Bài toán tối ưu với hàm thuần nhất dương

Bài toán tối ưu với hàm thuần nhất dương

đại học Thái Nguyên

Tr-ờng đại học khoa học

-  0  -

Nguyễn Xuân Huy

Bài toán tối -u với hàm thuần nhất d-ơng

Luận văn thạc sĩ toán học

Thái Nguyên - 2009

đại học Thái Nguyên

Tr-ờng đại học khoa học

-  0  -

Nguyễn Xuân Huy

Bài toán tối -u với hàm thuần nhất d-ơng

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Lời nóiđầu 2

1 Những kiến về giải lồi 5 1.1 Tập affin và tập lồi 5

1.2 Hàm lồi 14

2 bài toán tối ưu 18 2.1 khái niệm bản 18

2.2 Bài toán tối ưu không ràng 23

2.3 Bài toán tối ưu ràng 25

3 Bài toán tối ưu với hàm thuần nhất dương 32 3.1 Hàm thuần nhất 32

3.2 Bài toán tối ưu với hàm thuần nhất dương 38

3.3 kết quả đốingẫu 38

3.4 Tối ưu toàn 44

Kết luận 53

Tài liệu tham khảo 54

Lời nói đầu

nó (Định lý Euler)

dng

affine,tậplồivàbaolồi,nónlồivàtậplồiđadiện, với khái niệmđỉnh,

một số tính bản Nội dung trình bày trong này sẽ

và bài toán tối ưu với hàm thuần nhất dương nóiriêng

về bài toán tốiưuphi tuyến, phânbiệt tối ưuđịa phương và tốiưu toàn tối

khái niệm và kết quả trình bày

đương với bài toán tối ưu lồi

hơn

GS-TS Trần Vũ Thiệu đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trìnhlàm luận văn

trường

giả xin thành ơn Ban lãnh đạo Sở Giáo và Đào tạo

và viếtluận văn này

giả

Chương 1

biểu diễn bởi

E Đó là tập affine nhỏ nhất E, kí hiệu là aff E

gọilàđiểmtrongtươngđối(relativeinteriorpoint) M nếutồntại hình

Cho hai ®iÓm x 1 , x 2 ∈ R n

(b)

H×nh1.1.(a), (b)-TËp låi; (d)-TËp kh«nglåi

(b)

H×nh1.3.(a)-H×nh vu«ng 4®iÓm biªn;

(b)- H×nhtrßn v« sè®iÓm biªn

lµ siªu ph¼ng tùa (supporting hyperplane) M t¹i x 0 ∈ M nÕu x 0 ∈ H vµ

M

a

x 0

H×nh1.5 Siªuph¼ngtùa M t¹ix 0

gäi lµ nãn låi nÕu

M võa lµ nãn võa lµ låi, nghÜa lµ víi bÊt kú x 1 , x 2 ∈ M vµ λ 1 , λ 2 ≥ 0 ta

H×nh1.6.(a)-Nãnlåi (b)-Nãnkh«nglåi

t¬ 0 t¹o thµnh

Ta nói hai phương d 1 và d 2 biệt nếu d 1 6= αd 2

lý thuyết tối ưu

1.1.8 Tập lồi đa diện

Tập lồi đa diện P ⊆ R n

là một tập lồi đa diện.

Dễ thấyrằng tậplồiđa diệnlà một tậplồi, đóng.Mộttậplồi đadiện bị

gọi là đa diện lồi hay gọi tắt là đadiện

Hình1.8.Đa diệnnàylàgiao 5nửakhông gian

I(x 0 ) := 

nghÜa lµ

Mệnh đề 1.6 Cho hàm f 1 là lồi trên D 1, f 2 lồi trên D 2 và hai số

Ta

thì f liên

trên D

1.2.4 Tiêu nhận biết hàm lồi khả vi

Định lý 1.7 Cho f là hàm khả vi trên tập lồi mở D ⊆ R n

Khi đó hàm f là

Định lý 1.8 Cho f là hàm khả vi hai lần trên tập lồi mở D ⊆ R n

Tóm lại, này đã lại khái niệm vềtập lồi (tập affine vàbao

bài toán tối ưu với hàm thuần nhất dương nói riêng

Chương 2

yếu dựa trên tài liệu [1℄, [2℄ và [3℄

án)

bài toán (P 1 ) Người ta gọi một nghiệm tối ưu là một phương án tối

toàn

tiểutoànHình2.1

Nếu bài toán (P 1 ) nghiệm tối ưu là x ∗ thì

(P 1 ) Nếu x ∗ là một nghiệm tối ưu bài toán thì thể viết

điểm x ∗ ∈ D sao

đơn giản là nghiệm bài toán (P 2 ).

bài toán đó C thể, ta

Xt bài

tối ưu toàn

Nhận xt2.3 Nếu bài toán (P 1 ) không nghiệmtối ưu thì giá trị tối ưu

lim

Tương tự, nếu bài toán (P 2 ) không nghiệm tối ưu thì giá trị tối ưu

lim

tương ứng, tất những điểm nằm trong đoạn thẳng nối x = ( −1, √ 3) T

trong đóf : R n → R là một hàm phi tuyến

là ma trận đối xứng, định dương nên f (x) là hàm lồi và điểm dừng

Định nghĩa2.1 Cho dãy {x k } ⊂ R n

Ví d 2.5 Xt bài toán min 

phương bài toán đang xt vì f (0, ±ǫ) = −ǫ 2 < 0, ∀ǫ > 0

2.3.2 §iÒu kiÖn tèi ­u Karush - Kuhn - (®iÒu kiÖn KKT)

Xt bµi to¸n tèi­u phi tuyÕn

®iÒu kiÖn sau:

tơ ▽g i (x 0 ), i ∈ I(x 0 ) và ▽h j (x 0 ), j = 1, ã ã ã , p là lậptuyến tính.

đúng

Ví d 2.7 Xt bài toán min −x 2

1 − x 2

2 với điều kiện x 1 ≤ 1

1 − x 2

Điều kiện KKT tương ứng bài toán này là

Kí hiệu ▽ x L, ▽ λ L, ▽ à L là gradient hàmL theo x, λ, àtươngứng Khi

b) λ ∗ i g i (x ∗ ) = 0, ∀i = 1, ã ã ã , m (điều kiện bù)

Lagrange tại (x ∗ , λ, à) là

trong đó x ∗ ≤ ξ ≤ x ∗ + d, λ = (λ 1 , ã ã ã , λ m ) T , à = (à 1 , ã ã ã , à p ) T Như đã

2.3.4 Bài toán tối ưu lồi

Xt bài toán tối ưulồi sau đây

trong đó D = {x ∈ R n | g i (x) ≤ 0, i = 1, 2, ã ã ã , m, h j (x) = 0, j =

Tóm lại, này đã trình bày vắn tắt khái niệm và kết quả bản

bài toán tối ưu phi tuyến, phân biệt tối ưu địa phương và tối ưu toàn

khái niệm và kết quả đã trình bày

Chương 3

Từ định nghĩa hàm thuần nhất dễ dàng suy ra:

lµ mét nãn låi VËy f lµ hµm låi.

Hệ quả 3.2 Giả sử f là hàm lồi thường, thuần nhất tuyến tính Khi

Nhiều ứng dng thường gặp khi hàm là thuần nhất 1 Ta ghilại kết quả

Hệ quảnói rằngnếu hàmlà thuầnnhất tuyếntính thì khităng mọi biến theo

quan trọng đối với hàm tuyến tính thuần nhất

Định lý 3.3 Định lý Euler (Euler's Theorem)

Chứng minh Giả thiết f (x) là hàm thuần nhất k Theo định nghĩa

3.2 Bài toán tối ưu với hàm thuần nhất dương

Bài toán (P ) đối với biến x ∈ R n

nh©n töLagrange (λ, µ) ∈ R m+1 + Dogi¶ thiÕt u > 0nªn ta ph¶i µ = 0 §Æt

nh©n tö Lagrange λ ∗ ThËt vËy,

gi¶ thiÕt (H) nh­ sau:

Chứng minh Giả sử (y ∗ , u) ∈ K ì R + là nghiệm tiểu toàn ( b P ).

vì thế từ (3.12) suy ra inf P = f (x ∗ ) = inf b P

lại, giả sử x ∗ là nghiệm tối ưu toàn (P ) Nếu như inf b P <

Như vậy, bài toán "min-max" tương ứng với bài toán (P ) là

Chẳnghạn, khip = q và nếu b i ≥ 0 vớimọi i = 1, 2, ã ã ã , mthì inf P < 0, bởi

Vì thế, ta quan tâm đến những x ∈ K thoả mãn f (x) < 0 và với

(D) min {x∈K,f(x)<0} max {i:g i (x)>0 } f (x) b i

Bài toán "min-max" (D) tương ứng dạng

• Xt bài toán (P ), trong đó f (g i , i = 1, 2, ã ã ã , m) là hàm thuần nhất

(P ) trong trường hợp p = q, nhờ dùng bài toán (D) Để đơn giảntrình bày, ta giả thiết b i ≥ 0 với mọi i = 1, 2, ã ã ã , m

• max i:g i (y)>0 − −f(y)

lµ do ta quan t©m tíi nh÷ng y ∈ K mµ f (y) < 0

nghiệm tiểutoàn hàmLagrangetrên K Trườnghợpmọihàmtham

gia trong bài toán đều là hai, bài toán (P ) là bài toán lồi LMI (bất đẳng

+ Nói riêng,(x ∗ , λ ∗ ) thoảmãn (3.7), (3.8).Do đóáp

lồi(3.14)trong định lý3.6là bài toántối ưuLMI(bất đẳng ma trận

Ví d 3.5 Xt bài toán tối ưu không lồi trong R 2 (p = 1, q = 2):

với K = R 2 Xtđiểm KKT x ∗ = ( −2, ± √ 3)tương ứng với nhân tửLagrange

Lagrange L(x, λ ∗ ) = x 1 + x 4 2 − 1 trên K Vì thế, giá trị tối ưu (P ) nhận

nhân tử Lagrange λ ∗ ∈ R m

+ và giả sử rằng

Chứng minh Theo Định lý 3.6 tỏ x ∗ là nghệm tiểu

sử x ∗ là điểmKKT bàitoán(P ) tương ứngvới nhân tửLagrangeλ ∗ ∈ R m

+

Khi đó, x ∗ là nghiệm tiểu toàn (P ) và giá trị tối ưu (P ) là

tập K ∗ x ∗ Sau đó, nhờ tính thuần nhất sẽ suy ra rằng x ∗ là nghiệmtiểu toàn L 1 ( ã, λ ∗ ) (dođó L( ã, λ ∗ ) trên K) Từ đó theo Định lý3.6

vì thế L 1 (y, λ ∗ ) ≥ L 1 (x ∗ , λ ∗ ) = 0 với mọi y ∈ K ∗.

thuần nhất,

toán lồi LMI

Q i nửa định dương với mọi i = 1, 2, ã ã ã , m, ta

trị riêng σ 2 (Q 0 ), ã ã ã , σ r+1 (Q 0 ) sao đạo hàm theo hướng

Vì thế, do x ∗ là điểm KKT (P ) tương ứng với nhân tử Lagrange λ ∗ ∈ R m

lồi

KÕt luËn

nhÊt

Tµi liÖu tham kh¶o

[3℄ E D Andersen (1998), Linear Optimization: Theory, Methods and

[5℄D.G.LuenbergerandY.Ye(2008),LinearandNonlinearProgramming,

3rd Edition, Springer