Điều kiện tối ưu và điều kiện chính quy ràng buộc cho bài toán tối ưu với ràng buộc cân bằng

Mục lục1 Điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân bằng của J.J.. 9 2 Điều kiện tối ưu và điều kiện chính quy cho bài toán quy hoạch toán học với ràng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU

THÁI NGUYÊN - 2015

Mục lục

1 Điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân bằng của J.J Ye 3

1.1 Điều kiện điểm dừng và điều kiện điểm chính quy 3

1.1.1 Điểm dừng và điều kiện chính quy 4

1.1.2 Điều kiện dừng đối ngẫu 5

1.2 Điều kiện cần và đủ tối ưu 9

2 Điều kiện tối ưu và điều kiện chính quy cho bài toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân bằng của C Kanzow và A Schwartz 20 2.1 Các khái niệm và định nghĩa 20

2.2 Điều kiện Fritz John 22

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Các bài toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân bằng (hay còn gọi

là ràng buộc bù) là một lớp bài toán tối ưu khó Các điều kiện Tucker cho các bài toán này phải được thiết lập với các điều kiện chínhquy thích hợp với kiểu ràng buộc này Nhiều công trình đã nghiên cứu

Kuhn-về các điều kiện Fritz John, các điều kiện chính quy và các điều kiệnKuhn-Tucker cho lớp bài toán này J.J Ye ([11], 2005) đã thiết lập cácđiều kiện Fritz John cho bài toán tối ưu khả vi với ràng buộc cân bằng.Các điều kiện chính quy thích hợp được đưa vào [11] để dẫn điều kiệnKuhn-Tucker C Kanzow và A Schwartz ([4], 2010) đã sử dụng cáchtiếp cận Fritz John để dẫn các điều kiện tối ưu cần và đủ cho bài toánquy hoạch toán học khả vi với ràng buộc cân bằng Đây là đề tài đã

và đang được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu.Chính vì vậy tác giả đã chọn đề tài: "Điều kiện tối ưu và điều kiện chínhquy ràng buộc cho bài toán tối ưu với ràng buộc cân bằng"

2 Mục đích của đề tài

Luận văn trình bày các kết quả nghiên cứu về điều kiện tối ưu và cácđiều kiện chính quy cho bài toán tối ưu khả vi với ràng buộc cân bằngcủa Ye [11] và Kanzow - Schwartz [4] đăng trên tạp chí J Math Anal.Appl vol 307 (2005) và SIAM J Optim vol 20 (2010)

3 Nội dung của luận văn

Luận văn bao gồm phần mở đầu hai chương, kết luận và danh mụccác tài liệu tham khảo

Chương 1: Điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán quy hoạch toán

học với ràng buộc cân bằng của J.J Ye

Trình bày các kết quả của J.J Ye ([11],2005) về các loại điểm dừngthích hợp cho bài toán tối ưu với ràng buộc cân bằng Chương 1 trìnhbày định lý về điều kiện M-dừng kiểu Fritz John, định lý về điều kiệnM-dừng Kuhn-Tucker cho bài toán quy hoạch toán học khả vi với ràngbuộc cân bằng Điều kiện M-dừng đủ với các giả thiết về tính lồi suyrộng cũng được trình bày trong chương 1

Chương 2: Điều kiện tối ưu và điều kiện chính quy cho bài toán quyhoạch toán học với ràng buộc cân bằng của C Kanzow và SchwartzTrình bày các kết quả về điều kiện tối ưu và các điều kiện chính quythích hợp cho bài toán quy hoạch toán học khả vi với ràng buộc cânbằng MPEC của Kanzow - Schwartz ([4],2010) Chương 2 trình bày điềukiện cần Fritz John của Kanzow- Schwartz và các điều kiện chính quycho MPEC Điều kiện đủ để MPEC là M-dừng được trình bày với cácđiều kiện chính quy thích hợp

Nhân dịp này tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến tập thể các thầy

cô giáo đã truyền đạt những tri thức quý giá trong thời gian tác giảhọc tập tại trường Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đốivới thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lưu đã hướng dẫn, giúp đỡ tận tình

và đầy trách nhiệm để tác giả hoàn thành luận văn này Cuối cùng tácgiả xin được cảm ơn Sở giáo dục - Đào tạo tỉnh Thái Nguyên, trườngTHPT Yên Ninh, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, ủng hộ vàtạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu và học tập

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015

Học viên

Địch Xuân Luyến

Chương 1

Điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân bằng của J.J Ye

Chương 1 trình bày các kết quả của J.J Ye ([11],2005) về các loại điểmdừng, điều kiện M-dừng Fritz John, điều kiện M-dừng Kuhn-Tucker chobài toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân bằng khả vi Với các giảthiết về tính suy rộng, điều kiện M- dừng Kuhn-Tucker trở thành điềukiện M-dừng đủ

1.1 Điều kiện điểm dừng và điều kiện điểm chính quyXét bài toán với ràng buộc cân bằng (MPEC):

(MPEC) min f (z)

g(z) ≤ 0, h(z) = 0,G(z) ≥ 0, H(z) = 0, G(z)TH(z) = 0,

buộc cân bằng(OPCC):

(OPPC) min f (x, y)

g(x, y) ≤ 0, h(x, y) = 0,G(x, y) ≥ 0, y ≥ 0, G(x, y)Ty = 0

(1.2)

Bài toán này là trường hợp đặc biệt quan trọng nhất (trong đó Ω =

Rm+) của bài toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức biến phân (OPVIC):

và Ω là tập con lồi đóng của Rm Với một vectơ d ∈ Rn và tập chỉ số

I ⊆ {1, 2, , n}, di là thành phần thứ i của d và dI là vectơ con gồm cácthành phần di với i ∈ I.ha, bi hoặc aTb là tích vô hướng của vectơ a vàb

1.1.1 Điểm dừng và điều kiện chính quy

Với vectơ chấp nhận được z∗ của MPEC, ta định nghĩa các tập sauđây:

Ig := {i : gi(z∗) = 0}

α := α(z∗) := {i : Gi(z∗) = 0, Hi(z∗) > 0},

β := β(z∗) := {i : Gi(z∗) = 0, Hi(z∗) = 0},

γ := γ(z∗) := {i : Gi(z∗) > 0, Hi(z∗) = 0}

Tập β là một tập suy biến Nếu β là tập rỗng, thì vectơ z∗ được gọi

là thỏa mãn điều kiện bù chặt Ở đây ta xét trường hợp β 6= ∅ Ta xácđịnh tập các phân hoạch của β bởi

P (β) := {(β1, β2) : β1 ∪ β2 = β, β1 ∩ β2 = ∅}

Mỗi phân hoạch (β1, β2) ∈ P (β) được ghép với bài toán MPEC:

Định nghĩa 1.1 (Nón tuyến tính)

Giả sử Z là tập chấp nhận được của MPEC và z∗ ∈ Z Nón tiếp tuyếncủa Z tại z∗ là nón đóng được xác định bởi

T (z∗) := {d ∈ Rn : ∃tn ↓ 0, dn → d sao cho z∗ + tndn ∈ Z, ∀n} (1.5)Khái niệm sau đây về điều kiện điểm dừng của MPEC được đựa vàotrong [8] Nó khác với điều kiện B-dừng [9] được xác định bởi

∇f (z∗)Td ≥ 0, ∀d ∈ TM P EClin (z∗) (1.6)trong đó TM P EClin (z∗) là nón tuyến tính hóa MPEC được định nghĩadưới đây

Định nghĩa 1.2 (Điểm B-dừng)

Một điểm chấp nhận được z∗ của MPEC được gọi là điểm dừng Boligand(B-dừng) nếu

∇f (z∗)Td ≥ 0, ∀d ∈ T (z∗) (1.7)1.1.2 Điều kiện dừng đối ngẫu

Không giống với quy hoạch phi tuyến thông thường chỉ có một điềukiện dừng đối ngẫu, tức là điều kiện Karush-Kuhn-Tucker MPEC, cómột số khái niệm dừng Bây giờ ra tóm tắt và trình bày mối liên hệ giữacác khái niệm đó

∀i ∈ β, λGi λHi ≥ 0 (1.10)Theo [9 Bổ đề 1] điều kiện C-dừng là điều kiện KKT không trơn khi sửdụng grandient suy rộng Clarke [4] bằng cách phát biểu lại MPEC nhưmột bài toán quy hoạch phi tuyến không trơn:

min f (z)g(z) ≤ 0, h(z) = 0,

Gi(z) = 0, i ∈ α, Hi(z) = 0, i ∈ γ,min{Gi(z), Hi(z)} = 0, i ∈ β

(1.11)

Định nghĩa 1.5 (Điểm A-dừng)

Một điểm chấp nhận được z∗ của MPEC được gọi là điểm dừng luân

phiên nếu tồn tại λ = (λg, λh, λG, λH) ∈ Rp+q+2m sao cho (1.8) - (1.9) vàđiều kiện sau đúng:

∀i ∈ β, λGi ≥ 0, hoặc λHi ≥ 0 (1.12)Khái niệm điểm A-dừng được đưa vào bởi Flegel và Kanzow Thực rađiều kiện A-dừng là điều kiện KKT cho M P EC(β1, β2) với một phânhoạch (β1, β2) ∈ P (β)

Định nghĩa 1.6 (Điểm M-dừng)

Điểm chấp nhận được z∗ của MPEC được gọi là Mordukhovich-dừngnếu tồn tại λ = (λg, λh, λG, λH) ∈ Rp+q+2m sao cho (1.8) - (1.9) và điềukiện sau đây đúng:

∀i ∈ β, hoặc λGi > 0, λHi > 0 hoặc λGi λHi = 0 (1.13)Định nghĩa 1.7 (Điểm S-dừng)

Một điểm chấp nhận được z∗ của MPEC được gọi là dừng mạnh nếutồn tại λ = (λg, λh, λG, λH) ∈ Rp+q+2m sao cho (1.8) - (1.9) và điều kiệnsau đúng:

∀i ∈ β, λGi ≥ 0, λHi ≥ 0 (1.14)Điều kiện S-dừng là điều kiện KKT cho MPEC nới lỏng:

(RMPEC) min f (z)

g(z) ≤ 0, h(z) = 0,

Gi(z) = 0, i ∈ α, Hi(z) = 0, i ∈ γ,

Gi(z) ≥ 0, Hi(z) ≥ 0, i ∈ β

Biểu đồ sau đây tóm tắt mối quan hệ giữa các khái niệm điểm dừngđối ngẫu trên:

Điểm S -dừng

⇓Điểm M-dừng

Điểm C-dừng Điểm A-dừng

Điểm W-dừngĐịnh nghĩa 1.8 (MPEC LICQ)

Giả sử z∗ là điểm chấp nhận được của MPEC, trong đó tất cả các hàmkhả vi liên tục tại z∗ Ta nói rằng điều kiện chính quy độc lập tuyếntính MPEC thỏa mãn tại z∗ nếu các vectơ gradient của các ràng buộccủa R MPEC:

Định nghĩa 1.9 ( MPEC LICQ bộ phận)

Giả sử z∗ là điểm chấp nhận được của MPEC Điều kiện chính quy độclập tuyến tính MPEC bộ phận đúng tại z∗ nếu với mọi vectơ

λGβ = 0, λHβ = 0,1.2 Điều kiện cần và đủ tối ưu

Trước hết ta nhắc lại một số kiến thức về nón và dưới vi phân giớihạn của Mordukhovich:

(iv) Giả sử C ⊆ Rn là tập đóng khác rỗng và x∗ ∈ C Nón pháp tuyếngiới hạn C tại x∗ được định nghĩa bởi

NC(x∗) := {d ∈ Rn | ∃{xk} →C x∗, dk ∈ NCF(xk) : dk → d}.Các dưới vi phân sau đây có quan hệ với các nón đã định nghĩa trên.Định nghĩa 1.11

∀(x0, y0, z) ∈ Ω,trong đó Ω = Rm+ × Rm× Rq

Một điều kiện M-dừng kiểu Fritz John có thể phát biểu như sau:

Định lý 1.1 (Điều kiện M-dừng kiểu Fritz John)

Giả sử z∗ là nghiệm địa phương của MPEC trong đó tất cả các hàm khả

vi liên tục tại z∗ Khi đó, tồn tạị r ≥ 0, λ = (λg, λh, λG, λH) ∈ Rp+q+2m,

không đồng thời bằng 0, sao cho

trong đó Ω := {x, y ∈ R2m : x ≥ 0, y ≥ 0, xTy = 0} Đây là một bài toántối ưu với các ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và một ràng buộc tậpkhông lồi (x, y) ∈ Ω với (x∗, y∗, z∗) = (G(z∗), H(z∗), z∗) là một nghiệmđịa phương Áp dụng quy tắc giới hạn của quy tắc nhân tử Lagrangecủa Mordukhovich [7, Định lý 1(b)] ta suy ra tồn tại r ≥ 0, λ khôngđồng thời bằng 0 và (ξ, γ) ∈ NΩ(x∗, y∗) (Nón pháp tuyến giới hạn của

Ω tại (x∗, y∗)), sao cho





,

λgIg ≥ 0,

trong đó ei kí hiệu vectơ đơn vị có thành phần thứ i = 1 Từ đó suy ra

hoặc ξi < 0, γi < 0 hoặc ξiγi < 0, nếu x∗ = y∗ = 0

Do điều kiện M-dừng kiểu Fritz John, nếu r trong điều kiện khác 0, thì

có thể lấy bằng 1 Vì vậy, điều kiện M-dừng kiểu KKT được suy ra

Định nghĩa 1.12 (NNAMCQ)

Giả sử z∗ là điểm chấp nhận được của MPEC, trong đó tất cả các hàmkhả vi liên tục tại z∗ Ta nói rằng điều kiện chính quy NNAMCQ (NoNonzero Abnormal Multiplier Constraint Qualitification) đúng tại z∗nếu không tồn tại vectơ khác 0

λ = (λg, λh, λG, λH) ∈ Rp+q+2msao cho

(i) Với mọi phân hoạch của β thành P, Q, R với R 6= ∅ tồn tại d saocho

NNAMCQ tương đương với MPEC GMFCQ

Chứng minh.

Chú ý rằng β được chia thành các tập:

P = {i ∈ β : λGi = 0}, Q = {i ∈ β : λHi = 0},

R = {i ∈ β : λGi > 0, λHi > 0}

Vì vậy điều kiện NNAMCQ tương đương với hai điều kiện sau:

(1) Với mọi phân hoạch β thành các tập P, Q, R với R 6= ∅ không tồntại các vectơ λgIg, λh, λGα∪Q∪R và λHγ∪P ∪R thỏa mãn hệ :

Định nghĩa 1.14 (Điều kiện chính quy tuyến tính MPEC)

Ta nói rằng điều kiện chính quy tuyến tính MPEC thỏa mãn nếu tất cảcác ánh xạ g,h,G,H là affine

Kết quả sau đây nhận được bằng cách phát biểu lại MPEC thành (P)

và áp dụng các kết quả tương ứng cho OPVIC [(10), Hệ quả 4.8]

Định lý 1.2 (Điều kiện cần M-dừng kiểu KKT)

Giả sử z∗ là nghiệm tối ưu địa phương của MPEC, trong đó tất cả cáchàm khả vi liên tục tại z∗ Nếu hoặc là MPEC GMCQ, hoặc là điều kiệnchính quy tuyến tính MPEC thỏa mãn tại z∗ thì z∗ là M-dừng

Chứng minh.

Kết luận z∗ là M-dừng với điều kiện MPEC GMFCQ được suy ra từ

Hệ quả 1.1 và Mệnh đề 1.1 Để chứng minh z∗ là M-dừng với điều kiệnchính quy tuyến tính MPEC, ta xét các nghiệm của hệ ràng buộc nhiễucủa EMPEC sau đây:

α ≥ 0 sao cho

X

(p, q, r, s) ⊂X(0, 0, 0, 0) + α k(p, q, r, s)k clB, ∀(p, q, r, s) ∈ U

Trong đó cl B là kí hiệu hình cầu đơn vị đóng Một cách tương đương,

hệ ràng buộc của EMPEC có một cận chặn địa phương tức là

d((x, y, z),X(0, 0, 0, 0)) ≤ α k(p, q, r, s)k ,

∀(p, q, r, s) ∈ U, (x, y, z) ∈X(p, q, r, s),trong đó d(a,C) là khoảng cách từ điểm a tới tập C Theo nguyên líClarke về hàm phạt chính xác [(3), Mệnh đề 2.4.3], (x∗, y∗, z∗) cũng lànghiệm tối ưu địa phương của bài toán không có ràng buộc sau:

min f (z) + µfd((x, y, z),X(0, 0, 0, 0)),trong đó µf là hằng số Lipschitz của f Vì vậy, theo tính chất của cậnchặn địa phương ta có (z, p, q, r, s) = (z∗, 0, 0, 0, 0) là nghiệm tối ưu địaphương của bài toán sau:

k(p, q, r, s)k, sử dụng kỹ thuật như ta đã chứng minh Định lí 1.1 chogradients giới hạn và đẳng thức (1.15) được thay bởi bao hàm thức Ápdụng Hệ quả 1.1 cho MPEC, ta nhận được điều kiện M-dừng, bởi vì z

là thành phần của (1.15) cho bài toán trên cũng đúng như cho (1.15)MPEC

2Trong định lý sau đây, ta chỉ ra điều kiện M-dừng trở thành điều kiện

đủ tối ưu hoặc điều kiện đủ tối ưu địa phương với điều kiện lồi suy rộngMPEC thích hợp

toàn cục của MPEC; trong trường hợp βG−∪ βH− = ∅ hoặc khi z∗ là điểmtrong tương đối của tập Z ∩ {z : Gi(z) = 0, Hi(z) = 0, i ∈ βG−∪ βH−}, tức

là với mọi điểm chấp nhận được z gần z∗, ta có:

h5gi(z∗), z − z∗i ≤ 0, ∀i ∈ Ig (1.17)Tương tự, ta có

h5hi(z∗), z − z∗i ≤ 0, ∀i ∈ J+, (1.18)

−h5hi(z∗), z − z∗i ≤ 0, ∀i ∈ J− (1.19)Bởi vì với bất kỳ điểm chấp nhận z ta có −G(z) ≤ 0, −H(z) ≤ 0, chonên

−h5Gi(z∗), z − z∗i ≤ 0, ∀i ∈ α+ ∪ βH+ ∪ β+ (1.20)

−h5Hi(z∗), z − z∗i ≤ 0, ∀i ∈ γ+ ∪ βG+ ∪ β+ (1.21)Trong trường hợp

α− ∪ γ−∪ βG− ∪ βH− 6= ∅,nhân (1.17)-(1.21) với

λgi ≥ 0 (i ∈ Ig), λhi > 0 (i ∈ J+), −λhi > 0 (i ∈ J−),

λGi > 0 (i ∈ α+ ∪ βH+ ∪ β+), λHi > 0 (i ∈ γ+∪ βG+ ∪ β+)

Bây giờ ta xét trường hợp α− ∪ γ− 6= ∅ và βG− ∪ βH− 6= ∅ Với bất kỳ

i ∈ α, do Hi(z∗) > 0, Hi(z) > 0 với z đủ gần z∗ Vì vậy, do điều kiện bù,

ta có Gi(z) = 0 với những z như vậy Do đó, với z đủ gần z∗ ta có

Gi(z) = Gi(z∗), ∀i ∈ α

Do tính tựa lồi của tập Gi(i ∈ α−) tại z∗, ta suy ra z đủ gần z∗

h5Gi(z∗), z − z∗i ≤ 0, ∀i ∈ α− (1.22)Tương tự, với z đủ gần z∗ ta có

h5Hi(z∗), z − z∗i ≤ 0, ∀i ∈ γ− (1.23)Nhân (1.17)-(1.23) với

Do tính giả lồi của f tại z∗, ta có f (z) ≥ f (z∗) với z đủ gần z∗ Nhưvậy z∗ là nghiệm tối ưu địa phương của MPEC nếu α− ∪ γ− 6= ∅ và

βG− ∪ βH− 6= ∅

Bây giờ ta giả sử z∗ là một điểm trong tương đối của

Z ∩ {z : Gi(z) = 0, Hi(z) = 0, i ∈ βG−∪ βH−} Khi đó, với điểm chấp nhậnđược z bất kỳ đủ gần z∗, ta có

Gi(z) = 0, Hi(z) = 0, ∀βG− ∪ βH−

Vì vậy, do tính tựa lồi của Gi(i ∈ βH−) và Hi(i ∈ βG−), ta suy ra

h5Gi(z∗), z − z∗i ≤ 0, ∀i ∈ βH−, (1.24)h5Hi(z∗), z − z∗i ≤ 0, ∀i ∈ βG− (1.25)Nhân (1.17)-(1.25) tương ứng với

λgi ≥ 0 (i ∈ Ig), λhi > 0 (i ∈ J+), −λhi > 0, (i ∈ J−),

λGi > 0 (i ∈ α+∪ βH+ ∪ β+), λHi > 0 (i ∈ γ+ ∪ βG+ ∪ β+),

−λGi > 0 (i ∈ α− ∪ βH−), −λHi > 0 (i ∈ γ− ∪ βG−)rồi cộng lại, ta suy ra với z đủ gần z∗,

Do tính giả lồi của f tại z∗, ta có f (z) ≥ f (z∗) với z đủ gần z∗ Như vậy

z∗ là nghiệm tối ưu địa phương của MPEC nếu z∗ là điểm trong tươngđối của tậpZ ∩ {z : Gi(z) = 0, Hi(z) = 0, ∀βG− ∪ βH−} Định lý đượcchứng minh đầy đủ

2

Chương 2

Điều kiện tối ưu và điều kiện

chính quy cho bài toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân bằng của C Kanzow và A Schwartz

Chương 2: Trình bày các kết quả về điều kiện tối ưu và điều kiệnchính quy cho bài toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân bằng khả

vi MPEC của C.Kanzow và A.Schwartz ([4],2010)

Điều kiện cần Fritz John được trình bày cùng với các điều kiện chínhquy thích hợp với MPEC Với các điều kiện chính quy, điều kiện đủ đểmột nghiệm của MPEC là M-dừng cũng được trình bày trong chươngnày

2.1 Các khái niệm và định nghĩa

Xét bài toán quy hoạch toán học với ràng buộc cân bằng (MPEC):min f (x)

g(x) ≤ 0,

h(x) = 0,

Gi(x) ≥ 0, Hi(x) ≥ 0, Gi(x)Hi(x) = 0, ∀i = 1, , q,

(2.1)

Tập chấp nhận được của bài toán MPEC được kí hiệu bởi

(1) MPEC -MFCQ nếu các vectơ

(ii) α ≥ 0, λi ≥ 0, ∀i ∈ Ig(x∗), λi = 0, ∀i 6∈ Ig(x∗), γi = 0,

∀i ∈ I+0(x∗), νi = 0, ∀i ∈ I0+(x∗), hoặc γi > 0, νi > 0 hoặc

γiνi = 0 ∀i ∈ I00(x∗)

(iii) λ, µ, γ, ν không đồng thời bằng 0

(iv) Nếu λ, µ, γ, ν không đồng thời bằng 0, thì tồn tại dãy {xk} → x∗ saocho ∀k ∈ N,

f (xk) < f (x∗),nếu λi > 0 (i ∈ {1, , m}), thì λigi(xk) > 0,nếu µi 6= 0 (i ∈ {1, , p}), thì µihi(xk) > 0,nếu γi 6= 0 (i ∈ {1, , q}), thì γiGi(xk) < 0,nếu νi 6= 0 (i ∈ {1, , q}), thì νiHi(xk) < 0,Chứng minh

Trước hết ta phát biểu bài toán MPEC dưới dạng tương đương

min

(x,y,z) f (x)g(x) ≤ 0,h(x) = 0,

y − G(x) = 0,

z − H(x) = 0,(x, y, z) ∈ C,

(2.6)

trong đó tập

C := {(x, y, z) ∈ Rn+q+q | yi ≥ 0, Zi ≥ 0, yizi = 0, ∀i = 1, , q} (2.7)

là khác rỗng và đóng và ta có cực tiểu địa phương (x∗, y∗, z∗) với

y∗ = G(x∗), z∗ = H(x∗) Bây giờ ta Mệnh đề 2.1 [2] Chọn ε > 0 sao cho