Bài toán tối ưu với ràng buộc là bài toán bù tổng quát

TSKH.Nguy¹n Xu¥n T§n... Cuèi ch÷ìng l v½ dö minh håa cho ph÷ìng ph¡p hi»uch¿nh Tikhonov... Døng thuªt to¡n.

Líi cam oan

Tæi xin cam oan r¬ng c¡c k¸t qu£ trong luªn v«n l  trung thüc v  khængtròng l°p vîi c¡c · t i kh¡c C¡c sè li»u, k¸t qu£ n¶u trong luªn v«n ÷ñctæi t¼m åc v  tr½ch d¨n tø c¡c t i li»u [2], [11]

Th¡i Nguy¶n, ng y th¡ng n«m 2017

Ng÷íi vi¸t luªn v«n

Nguy¹n Thanh T¥m

Líi c£m ìn

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa GS TSKH.Nguy¹n Xu¥n T§n T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n ng÷íi th¦ycõa m¼nh, trong mët thíi gian d i ¢ tøng b÷îc d¨n d­t t¡c gi£ l m quenvîi bë mæn lþ thuy¸t tèi ÷u, ¢ truy·n cho t¡c gi£ nhúng kinh nghi»mtrong nghi¶n cùu khoa håc, ëng vi¶n kh½ch l» t¡c gi£ v÷ñt qua nhúng khâkh«n trong chuy¶n mæn v  cuëc sèng

T¡c gi£ công xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi c¡c gi¡o s÷, c¡c th¦y,

cæ gi¡o cõa Vi»n To¡n håc v  tr÷íng S÷ Ph¤m Th¡i Nguy¶n, nhúng ng÷íi

¢ tªn t¼nh gi£ng d¤y, ¢ t¤o i·u ki»n v  gióp ï t¡c gi£ trong suèt qu¡tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v  ho n th nh luªn v«n

Cuèi còng, t¡c gi£ muèn b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi anh chà em håcvi¶n cao håc To¡n gi£i t½ch k23, nhúng ng÷íi th¥n trong gia ¼nh cõa m¼nh

¢ luæn ëng vi¶n, chia s´ v  kh½ch l» º t¡c gi£ câ thº ho n th nh cængvi»c håc tªp v  nghi¶n cùu cõa m¼nh

Th¡i Nguy¶n, ng y th¡ng n«m 2017

Ng÷íi vi¸t luªn v«n

Nguy¹n Thanh T¥m

Möc löc

1.1 Mët sè ki¸n thùc cì b£n 7

1.2 B i to¡n °t khæng ch¿nh v  ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh 9

1.2.1 Kh¡i ni»m b i to¡n °t khæng ch¿nh 9

1.2.2 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov 10

1.2.3 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov cho b i to¡n cüc trà têng qu¡t 11

1.3 B i to¡n bò 13

1.3.1 B i to¡n bò tuy¸n t½nh 13

1.3.2 B i to¡n bò phi tuy¸n 20

1.3.3 B i to¡n bò têng qu¡t 32

2 B i to¡n cüc trà vîi r ng buëc l  b i to¡n bò têng qu¡t 36 2.1 Ph¡t biºu b i to¡n 36

2.2 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov cho b i to¡n °t ra 412.3 V½ dö minh håa 47

Mð ¦u

B i to¡n bò câ nhi·u ùng döng trong c¡c l¾nh vüc: kinh t¸, t i ch½nh, kÿthuªt, vªt lþ, sinh th¡i v  i·u khiºn tèi ÷u, Vi»c nghi¶n cùu b i to¡n bòhi»n nay v¨n ang l  v§n · thíi sü, °c bi»t l  vi»c t¼m ra ph÷ìng ph¡pgi£i b i to¡n bò ang ÷ñc nhi·u nh  to¡n håc quan t¥m

B i to¡n bò nguy¶n gèc ÷ñc ph¡t biºu : Cho f : Rn →Rn,

T¼m ¯x ∈Rn+ sao cho

f (¯x) ∈ Rn+ v  < ¯x, f(¯x) >= 0, (0.1)trong â Rn l  khæng gian Euclid n - chi·u v 

c¡c h m thüc ϕ : Rn → R, ˜g : Rn → Rm, ˜h : Rn → Rp, g v  h: Rn → Rq l li¶n töc, kþ hi»u y = (y1, y2, , ym) ≤ 0 câ ngh¾a l  yi ≤ 0, ∀i = 1, 2, n.

Ta gi£ thi¸t nghi»m cõa c¡c b i to¡n (0.1), (0.2) v  (0.3) l  kh¡c réng.Tr÷íng hñp khi m = n, g(x) = −x, h(x) = −F (x), vîi F : Rn → Rn l 

ành lþ 0.2 [8] N¸u q khæng ¥m th¼ b i to¡n bò tuy¸n t½nh LCP (q, M)luæn gi£i ÷ñc v  x = 0 l  mët nghi»m t¦m th÷íng cõa nâ

Nghi¶n cùu mèi quan h» giúa b i to¡n bò tuy¸n t½nh v  b i to¡n b§t

¯ng thùc bi¸n ph¥n, kþ hi»u bði VI(K,F), l  b i to¡n t¼m mët vectì

Tr÷íng hñp khi n = m, g(x) = −x, h(x) = −F (x) vîi F l  ¡nh x¤ phituy¸n tø Rn v o Rn, b i to¡n (0.1) ÷ñc gåi l  b i to¡n bò phi tuy¸n, kþhi»u bði NCP(F), â l  b i to¡n t¼m vectì x ∈ Rn sao cho

x ≥ 0, F (x) ≥ 0, hx, F (x)i = 0, (0.4)hi»n nay c¡c nh  khoa håc ¢ t¼m ra r§t nhi·u ph÷ìng ph¡p gi£i cho c¡clo¤i b i to¡n n y T§t c£ c¡c ph÷ìng ph¡p ÷a ra ·u d¨n tîi gi£i mët b ito¡n cüc tiºu ho°c mët h» ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng

Nhi»m vö cõa luªn v«n l  gi£i b i to¡n tèi ÷u vîi r ng buëc l  b i to¡n

bò têng qu¡t b¬ng ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tr÷îc h¸t ta nh­c l¤i mët sèph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n bò têng qu¡t tr¶n

1 φN R(a, b) = min {a, b} ;

2 φM S (a, b) = ab +2α1 (max{0, a − αb}2− a2+ max {0, b − αa}2− b2), α >1;

3 φF B(a, b) = √

a2 + b2 − a − b

H m kho£ng ÷ñc x¥y düng tr¶n h m φN R ÷ñc gåi l  h m sè d÷ tü nhi¶n

H m φF B khæng ¥m tr¶n R2 v  h m kho£ng ÷ñc x¥y düng tr¶n nâ gåi l 

h m Lagrange ©n ÷ñc ÷a v o bði c¡c nh  khoa håc nh÷ Mangasarian v Solodov H m φF B ÷ñc gåi l  h m Fischer G¦n ¥y, düa tr¶n h m φF B

nhi·u nh  khoa håc ¢ mð rëng nghi¶n cùu v  ÷a ra mët sè h m mîi cât½nh ch§t tèt hìn Luo v  Tseng ¢ ÷a ra mët lîp c¡c h m kho£ng mîi

Ta sû döng ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov b¬ng c¡ch nhi¹u h m ban

¦u th nh mët d¢y c¡c b i to¡n °t ch¿nh L÷ñc ç hi»u ch¿nh Tikhonovtrong [5], [6] èi vîi b i to¡n bò bao gçm vi»c gi£i d¢y c¡c b i to¡n:

z := (ε, x) ∈ R×Rn, H(ε, z) := hε, G(ε, z)i

v  h m kho£ng G :Rn+1 → Rn, vîi

Gi(ε, x) := φ(xi, Fε,i(x)), i = 1, 2, , n,trong â φ(.) l  h m Fischer, Fε,i l  th nh ph¦n thù i cõa Fε

Sü hëi tö cõa nghi»m hi»u ch¿nh èi vîi (0.5) v  (0.6) ch¿ ÷ñc thi¸t lªptrong tr÷íng hñp F l  ìn i»u ho°c P0 - h m Hìn núa, tèc ë hëi tö cõanghi»m hi»u ch¿nh v¨n ch÷a ÷ñc xem x²t

Trong [3], N B÷íng ¢ sû döng ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov ºbi¸n êi b i to¡n (0.2) th nh b i to¡n khæng r ng buëc Ti¸p nèi vîi þt÷ðng tr¶n trong luªn v«n n y, chóng tæi ¢ nghi¶n cùu ph÷ìng ph¡p gi£i

b i to¡n cüc trà trong tr÷íng hñp b i to¡n câ r ng buëc l  b i to¡n bòtêng qu¡t

Nh÷ vªy, trong nhúng tr÷íng hñp °c bi»t, b i to¡n bò câ nhi·u ph÷ìngph¡p gi£i kh¡c nhau Tuy nhi¶n, c¡c k¸t qu£ ÷a ra ·u ái häi c¡c h mtrong b i to¡n ph£i câ t½nh ch§t ìn i»u ho°c l  P0 - h m M°t kh¡c, èivîi b i to¡n bò têng qu¡t, ch÷a câ thuªt to¡n hi»u ch¿nh Ch½nh v¼ vªy,luªn v«n n y tªp trung nghi¶n cùu ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh b i to¡n bòtêng qu¡t nh¬m kh¡c phöc nhúng nh÷ñc iºm tr¶n Chóng tæi ¢ ti¸p cªn

b i to¡n theo h÷îng kh¡c v  ÷a ra mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n n y.Ph÷ìng ph¡p mîi y¶u c¦u h m g(x) v  h(x) ph£i câ t½nh ch§t P0 - h m.Thuªt to¡n hi»u ch¿nh d¨n tîi cüc tiºu mët phi¸m h m phö thuëc tham

sè nh÷ng khæng r ng buëc, do â b i to¡n trð n¶n ìn gi£n hìn r§t nhi·u.C¡c k¸t qu£ ÷ñc giîi thi»u trong luªn v«n bao gçm:

1 Tr¼nh b y thuªt to¡n hi»u ch¿nh cho b i to¡n bò têng qu¡t;

2 Tr¼nh b y thuªt to¡n hi»u ch¿nh cho b i to¡n tèi ÷u vîi r ng buëc l 

b i to¡n bò têng qu¡t;

3 Minh håa c¡c ph÷ìng ph¡p ÷a ra b¬ng b i to¡n cö thº

Ngo i ph¦n mð ¦u, k¸t luªn v  danh möc c¡c t i li»u tham kh£o, luªnv«n ÷ñc bè cöc gçm hai ch÷ìng

Ch÷ìng 1 câ t½nh ch§t bê trñ, tr¼nh b y sì l÷ñc v· mët sè v§n · câli¶n quan nh÷: Khæng gian vectì Euclid Rn, P0 - h m, P - h m, P - h m

·u, h m ìn i»u, h m ìn i»u m¤nh, P0 - ma trªn, P - ma trªn; giîithi»u b i to¡n °t khæng ch¿nh v  ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov cho

b i to¡n cüc trà têng qu¡t Ch÷ìng 1 công tr¼nh b y kh¡i ni»m v· b i to¡n

bò tuy¸n t½nh, b i to¡n bò phi tuy¸n v  mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b ito¡n n y

Ch÷ìng 2 tr¼nh b y b i to¡n cüc trà vîi r ng buëc l  b i to¡n bò têngqu¡t, bao gçm: ành ngh¾a v  mët sè k¸t qu£ nghi¶n cùu g¦n ¥y; ph÷ìngph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov cho b i to¡n n y v  mët sè ành lþ chùng minh

sü tçn t¤i nghi»m Cuèi ch÷ìng l  v½ dö minh håa cho ph÷ìng ph¡p hi»uch¿nh Tikhonov

Ch֓ng 1

Mët sè ki¸n thùc chu©n bà

Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ quenbi¸t v· c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n bò nh÷ ph÷ìng ph¡p sû döng h mkho£ng, ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh, v  c¡c ki¸n thùc v· b i to¡n °t khængch¿nh, ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov Mët sè kh¡i ni»m trong ch÷ìng

n y ÷ñc tr¼nh b y düa tr¶n c¡c t i li»u [2] v  [16]

R còng vîi t½ch væ h÷îng n y ÷ñc gåi l  khæng gian ti·n Hilbert.Ti¸p theo ta ÷a ra mët sè ành ngh¾a v· ¡nh x¤ tø Rn v o Rn.

• P - h m ·u n¸u tçn t¤i mët h¬ng sè d÷ìng µ sao cho vîi måi x, y ∈ Rn

tçn t¤i mët ch¿ sè i sao cho

• P - ma trªn n¸u vîi måi x, y ∈ Rn, x 6= 0

max

i xi[M x]i > 0

1.2 B i to¡n °t khæng ch¿nh v  ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh

Trong ph¦n n y ta · cªp ¸n kh¡i ni»m b i to¡n °t khæng ch¿nh d÷îid¤ng ph÷ìng tr¼nh to¡n tû, còng vîi ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonovcho lîp b i to¡n n y

1.2.1 Kh¡i ni»m b i to¡n °t khæng ch¿nh

Ta tr¼nh b y kh¡i ni»m b i to¡n °t khæng ch¿nh ð d¤ng mët ph÷ìngtr¼nh to¡n tû, cö thº:

X²t b i to¡n t¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh

trong â A l  to¡n tû tø khæng gian m¶tric X v o khæng gian m¶tric Yvîi c¡c kho£ng c¡ch t÷ìng ùng l  ρX, ρY v  f ∈ Y Theo Hadamard J b ito¡n (1.1) gåi l  °t ch¿nh (ch½nh quy) n¸u c¡c i·u ki»n sau ÷ñc thäam¢n:

i) ph÷ìng tr¼nh (1.1) câ nghi»m xf , ∀f ∈ Y ;

ii) nghi»m xf ÷ñc x¡c ành mët c¡ch duy nh§t;

iii) nghi»m xf phö thuëc li¶n töc v o f

N¸u ½t nh§t mët trong ba i·u ki»n tr¶n khæng ÷ñc thäa m¢n th¼ b i to¡n(1.1) ÷ñc gåi l  b i to¡n °t khæng ch¿nh.V  º gi£i ÷ñc c¡c b i to¡nd¤ng n y th¼ ta c¦n ph÷ìng ph¡p mîi

1.2.2 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov

Ta tr¼nh b y mët c¡ch sì l÷ñc v· ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov, â

l  º t¼m nghi»m x§p x¿ cõa b i to¡n (1.1) khi khæng bi¸t thæng tin v·nghi»m ch½nh x¡c x0, Tikhonov N A ¢ ÷a ra mët kh¡i ni»m mîi ÷ñcgåi l  ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh düa tr¶n vi»c x¥y düng to¡n tû hi»u ch¿nh

v  c¡ch chån gi¡ trà cõa mët tham sè mîi ÷a v o

Gi£ sû A−1 khæng li¶n töc v  thay cho f ta bi¸t fδ : ρY(fδ, f ) ≤ δ → 0

B i to¡n °t ra l  düa v o thæng tin v· (A, fδ) v  mùc sai sè δ, t¼m mëtph¦n tû xδ x§p x¿ nghi»m ch½nh x¡c x0 cõa b i to¡n (1.1) Rã r ng takhæng thº x¥y düng ph¦n tû x§p x¿ xδ theo quy t­c xδ = A−1fδ, v¼ thùnh§t l  A−1 câ thº khæng x¡c ành vîi måi f ∈ Y , thù hai l  A−1 khængli¶n töc, n¶n n¸u A−1fδ tçn t¤i, công ch÷a ch­c ¢ x§p x¿ A−1f

Tham sè δ ch¿ cho ta mùc ë sai sè v¸ ph£i cõa (1.1) V¼ vªy mët i·un£y sinh tü nhi¶n l  li»u câ thº x¥y düng ph¦n tû x§p x¿ phö thuëc v omët tham sè n o â v  tham sè n y ÷ñc chån t÷ìng th½ch vîi δ sao chokhi δ → 0 th¼ ph¦n tû x§p x¿ n y hëi tö ¸n nghi»m x0 Ta công th§y n¸u

÷ñc th¼ tø fδ ∈ Y ta câ ph¦n tû x§p x¿ thuëc X, tùc l  tçn t¤i mët to¡n

tû n o â t¡c ëng tø khæng gian Y v o khæng gian X

Ta câ ành ngh¾a v· to¡n tû hi»u ch¿nh nh÷ sau:

ành ngh¾a 1.4 To¡n tû R(f, α) phö thuëc tham sè α t¡c ëng tø Y v o

X ÷ñc gåi l  mët to¡n tû hi»u ch¿nh cho b i to¡n (1.1) n¸u:

i) Tçn t¤i hai sè d÷ìng α1 v  δ1 sao cho to¡n tû R(f, α) x¡c ành vîi måi

α ∈ (0, α1) v  vîi måi fδ ∈ Y : ρY(fδ, f ) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1);

ii) Tçn t¤i mët sü phö thuëc α = α(fδ, f ) sao cho vîi måi ε > 0, ∃δ(ε) ≤ δ1

º vîi måi fδ ∈ Y thäa m¢n ρY(fδ, f ) ≤ δ ≤ δ1 th¼ ρX(xα, x0) ≤ ε, ð

¥y x0 l  nghi»m ch½nh x¡c cõa (1.1) v  xα ∈ R(fδ, α(fδ, f ))

Ph¦n tû xα ÷ñc gåi l  nghi»m hi»u ch¿nh cõa b i to¡n (1.1) v  α =

α(fα, δ) gåi l  tham sè hi»u ch¿nh.

Chó þ 1.1 Tr÷íng hñp α = δ, ành ngh¾a v· to¡n tû hi»u ch¿nh câ d¤ng

ìn gi£n sau;

i) Tçn t¤i mët sè d÷ìng δ1 sao cho to¡n tû R(f, δ) x¡c ành vîi måi

0 ≤ δ ≤ δ1 v  vîi måi f ∈ Y sao cho ρY(f, f0) ≤ δ;

ii) Vîi ε > 0 b§t k¼, tçn t¤i δ0 = δ0(ε, fδ) ≤ δ1 sao cho tø ρY = (fδ, f0) ≤

δ ≤ δ0; ρX = (xδ, x0) ≤ ε, ð ¥y xδ ∈ R(fδ, δ)

Chó þ 1.2 To¡n tû hi»u ch¿nh R(fδ, δ) câ thº l  mët ¡nh x¤ a trà

1.2.3 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov cho b i to¡n cüc trà têng qu¡t

X²t b i to¡n tèi ÷u phi tuy¸n câ r ng buëc nh÷ sau: t¼m ˜x ∈ Rn sao cho

ϕN(˜x) = min

S = {x ∈Rn : fi(x) = 0, i = 1, 2, , m; ˜ϕj(x) ≤ 0, j = 1, 2, , N − 1}

ð ¥y fi, i = 1, 2, m; ˜ϕj, j = 1, 2, , N − 1 v  ϕN l  nhúng h m li¶n töcx¡c ành trong khæng gian Euclide Rn °t:

S0 := {x ∈ Rn : fi(x) = 0} , i = 1, 2, , m,

Sj := {x ∈ Rn : ˜ϕj(x) ≤ 0} , j = 1, 2, , N − 1,th¼ S = ∩N −1

ð ¥y, x∗ l  ph¦n tû n o â trong Rn.

Trong [17] b i to¡n (1.4) ¢ ÷ñc gi£i ra v  câ mët nghi»m xα vîi méi

α > 0 Khæng l m m§t t½nh têng qu¡t, câ thº gi£ thi¸t ϕN (x) ≥ 0 ∀x ∈ Rn.Hìn núa, gi£ sû ϕN câ nhúng tªp mùc âng, ngh¾a l  {x ∈Rn : ϕN(x) ≤ c}

l  âng vîi måi c > 0

Ph¡t triºn b i to¡n (1.4) ta thu ÷ñc c¡c k¸t qu£ sau:

ành lþ 1.1 ([1]) N¸u αk → 0 khi k → ∞ th¼ måi d¢y 

xk , ð ¥y

xk := xαk l  mët nghi»m cõa (1.4) vîi α thay bði αk, câ mët d¢y hëi tö.Giîi h¤n cõa måi d¢y con hëi tö l  nghi»m cõa (1.2) Hìn núa, n¸u ˜x l nghi»m duy nh§t th¼

lim

k→∞xk = ˜x

Trong tr÷íng hñp {fi, ϕj} ÷ñc cho bði c¡c x§p x¿ 

fiδ, ϕδj thäa m¢nc¡c i·u ki»n:

Nh÷ ¢ nâi ð tr¶n, vîi méi αk > 0 b i to¡n (1.6) câ mët nghi»m x¡c ànhbði xδ

α t¡c gi£ ¢ chùng minh ti¸p ÷ñc k¸t qu£ sau

ành lþ 1.2 ([1]) Cho αk, δk → 0, sao cho δ k

α k → 0 khi k → ∞, ð ¥y{xk} ; xk = xδk

αk l  mët nghi»m cõa (1.5) vîi α, δ t÷ìng ùng thay bði αk, δk,

câ mët d¢y con hëi tö Giîi h¤n cõa måi d¢y con hëi tö l  nghi»m cõa(1.2) Hìn núa, n¸u nghi»m ˜x l  duy nh§t th¼

lim

k→∞xk = ˜x

1.3 B i to¡n bò

1.3.1 B i to¡n bò tuy¸n t½nh

Tr÷îc h¸t ta x²t b i to¡n bò tuy¸n t½nh, kþ hi»u bði LCP (q, M), l  b ito¡n t¼m vectì x ∈Rn sao cho

x ≥ 0, F (x) ≥ 0, hx, F (x)i = 0,trong â F :Rn → Rn l  ¡nh x¤ affin, ngh¾a l 

Trong ph÷ìng ph¡p Lemke th¼ ph²p quay l  thuªt ngú th÷íng xuy¶n

÷ñc dòng Ph²p quay l  sü thay êi cì sð b¬ng c¡ch êi ché mët bi¸n phi

cì sð vîi mët bi¸n cì sð, ngh¾a l  mët bi¸n phi cì sð s³ ÷ñc ÷a v o cì

sð v  trð th nh bi¸n cì sð mîi º thay th¸ cho mët bi¸n cì sð bà ÷a rakhäi cì sð v  s³ trð th nh bi¸n phi cì sð mîi.

X²t b i to¡n LCP (q, M) câ d¤ng: t¼m hai vectì z, ω ∈ Rn thäa m¢n

z0 ≥, zj ≥ 0, ωj ≥ 0, j = 1, , n, (1.9)

zjωj = 0, ∀j = 1, 2, , n, (1.10)trong â e ∈ Rn l  vectì vîi måi th nh ph¦n b¬ng 1 Ta gåi (1.9) l  i·uki»n khæng ¥m v  (1.10) l  i·u ki»n bò

Þ t÷ðng ph÷ìng ph¡p Lemke nh÷ sau: °t

z0 = max {−qi : 1 ≤ i ≤ n} > 0, z = 0, ω = q + ez0,nhªn ÷ñc nghi»m (bò khæng ¥m) ban ¦u cõa h» mð rëng (1.8) - (1.9).Thüc hi»n mët d¢y ph²p xoay t÷ìng tü nh÷ c¡c ph²p bi¸n êi ìn h¼nh,

÷a nghi»m bò khæng ¥m ban ¦u v· nghi»m bò khæng ¥m vîi bi¸n gi£

z0 = 0 Khi â s³ nhªn ÷ñc nghi»m cõa b i to¡n bò tuy¸n t½nh LCP(q,M)

Bê · sau ÷ñc chùng minh trüc ti¸p tø ành ngh¾a cõa b i to¡n

Bê · 1.1 ([15]) N¸u z0, z, ω l  mët nghi»m cõa b i to¡n suy rëng (1.8)

- (1.9) vîi z0 = 0 th¼ z, ω s³ l  mët nghi»m cõa b i to¡n bò tuy¸n t½nh ban

¦u LCP(q,M)

ành ngh¾a 1.5 Ta nâi (z0, z, ω) ∈ R1+2n l  mët nghi»m ch§p nhªn ÷ñc

cì sð g¦n bò cõa h» (1.8) - (1.10) n¸u

i) (z0, z, ω) l  mët nghi»m ch§p nhªn ÷ñc cì sð cõa h» (1.8) - (1.10);ii) câ ch¿ sè s ∈ {1, 2, , n} sao cho c£ hai bi¸n zs v  ωs ·u l  bi¸n phi

cì sð;

iii) z0 l  bi¸n phi cì sð v  câ óng mët bi¸n trong méi c°p bò nhau (zj; ωj)

l  bi¸n cì sð vîi måi j = 1, 2, , n v  j 6= s

ành ngh¾a 1.6 Cho mët nghi»m ch§p nhªn ÷ñc cì sð g¦n bò (z0, z, ω),trong â c£ hai zs v  ωs l  bi¸n phi cì sð N¸u nghi»m ch§p nhªn ÷ñc cì

sð g¦n bò (ˆz0, ˆz, ˆω) nhªn ÷ñc tø (z0, z, ω) b¬ng c¡ch ÷a zs ho°c ωs v o cì

sð cho ph²p bi¸n êi h» (1.8) theo cì sð mîi (gåi l  ph²p quay) ©y mëtbi¸n kh¡c z0 ra khäi cì sð th¼ nghi»m â s³ ÷ñc gåi l  nghi»m ch§p nhªn

÷ñc cì sð g¦n bò k· (z0, z, ω)

Thuªt to¡n Lemke gi£i b i to¡n LCP(q, M) gçm c¡c thõ töc sau:

Khði sü : N¸u q ≥ 0 th¼ døng thuªt to¡n:(z, ω) = (0, q) l  nghi»m ch§pnhªn ÷ñc cì sð bò cõa LCP(q, M) Ng÷ñc l¤i, ghi c¡c h» sè cõa h» ph÷ìngtr¼nh x¡c ành theo (1.8) v o mët b£ng chú nhªt (nh÷ b£ng ìn h¼nh) Gi£

sû −qs = max {−qi : i = 1, 2, , n} > 0 p döng "quy t­c h¼nh chú nhªt"

v  bi¸n êi b£ng nh÷ vªy gåi l  ph²p quay theo trö (ωs, z0) Nh÷ vªy, c¡cbi¸n cì sð z0 v  ωj vîi måi j = 1, 2, , n, i 6= j ·u khæng ¥m °t ys = zs

rçi chuyºn sang thüc hi»n váng l°p ch½nh, gçm c¡c b÷îc sau:

B÷îc 1: Gi£ sû ds l  cët trong b£ng nhªn ÷ñc t÷ìng ùng vîi cët bi¸n ys.N¸u ds ≤ 0 th¼ chuyºn sang b÷îc 4 Ng÷ñc l¤i, x¡c ành ch¿ sè h ng r nhíkiºm tra t¿ sè nhä nh§t d÷îi ¥y, trong â ˜d l  cët h» sè ð v¸ ph£i cõa h»(1.9)

B÷îc 2: Gi£ sû bi¸n cì sð h ng r l  zh ho°c ωh vîi ch¿ sè h n o â kh¡c

s ÷a bi¸n ys v o cì sð v  bi¸n êi b£ng theo ph¦n tû trö ð h ng r v  cët

ys N¸u bi¸n ωh bà lo¤i khäi cì sð th¼ °t ys = zh, cán n¸u bi¸n zh bà lo¤ikhäi cì sð th¼ °t ys = ωh Quay l¤i b÷îc 1

B÷îc 3: Lóc n y ÷a bi¸n ys v o cì sð v  lo¤i khäi cì sð bi¸n z0 Sau khibi¸n êi b£ng theo ph¦n tû trö ð h ng z0 v  cët ys ta s³ nhªn ÷ñc nghi»mch§p nhªn ÷ñc cì sð bò cõa b i to¡n LCP(q,M) Døng thuªt to¡n

B÷îc 4: Døng ð tia R = {(z0, z, ω) + λd : λ ≥ 0} câ t½nh ch§t: méi iºmtr¶n tia R ·u thäa m¢n (1.8) - (1.10), cö thº l  v²ctì d ∈ R1+2n câ ph¦n

tû ð h ng t÷ìng ùng vîi ys b¬ng 1, ph¦n tû kh¡c b¬ng 0

Trong tr÷íng hñp LCP (q, M) khæng suy bi¸n nh  khoa håc Olsson D [15] ¢ chùng minh ÷ñc

ành lþ 1.3 N¸u M l  P - ma trªn th¼ ph÷ìng ph¡p Lemke s³ luæn gi£i

÷ñc vîi b§t ký LCP (q, M) khæng suy bi¸n

÷ñc gåi l  quÿ ¤o trung t¥m

vîi e ∈ Rn l  vectì m  måi th nh ph¦n cõa nâ l  1 v  X l  ma trªn ch²o

m  måi ph¦n tû n¬m tr¶n ÷íng ch²o ÷ñc cho bði vector x ∈ Rn Burke

J v  Xu S [3] ¢ gi£i b i to¡n LCP(q,M) trong tr÷íng hñp ìn i»u b¬ng

c¡ch x¥y düng h m

φ (a, b, µ) = a + b −

q

(a + b)2 + 4µ2, (1.11)D¹ th§y

φ (a, b, µ) = 0 ⇔ a ≥ 0, b ≥ 0, ab = µ2

Þ t÷ðng ch½nh cõa thuªt to¡n l  ¡p döng ph÷ìng ph¡p Newton gi£i h»ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng F (x, y, µ) = ν, ð ¥y h m

F : Rn×Rn ×R++ → Rn×Rn×R++,x¡c ành bði

F (x, y, µ) :=





M x − y + qφ(x, y, µ)mu



,vîi

φ(x, y, µ) :=





φ(x1, y1, µ)

F (x, y, µ) :=





00

¯µ

ð ¥y β > 0 cho tr÷îc L¥n cªn n y câ thº xem l  hñp cõa t§t c£ c¡c l¡tc­t

0 Chån β > 2√n sao cho φ x0, y0, µ0 ≤ βµ0, nh÷ vªy x0, y0
∈

N (β, µ0) chån ti¸p ¯σ, α1, α2 trong kho£ng (0,1)

B÷îc 2: (∆xk, ∆yk, µk) l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh

ành lþ 1.4 ([3]) X²t thuªt to¡n tr¶n, gi£ sû M l  P0 - ma trªn N¸u

xk, yk
∈ N (β, µk)th¼ ho°c xk+ ∆xk, yk+ ∆yk
l  nghi»m cõa LCP(q,M)ho°c ˆxk, ˆyk, ˆµk
v  xk+1, yk+1, µk+1
l  ho n to n x¡c ành trong b÷îc 2

v  3 Ð tr÷íng hñp thù hai, ta câ ˆxk, ˆyk
∈ N (β, ˆµk) v  xk+1, yk+1
∈

N (β, µk+1) vîi 0 < µk+1 < ˆµk Tø x0, y0
∈ N (β, µ0) vîi µ0 > 0, i·u

n y cho th§y thuªt to¡n ho n to n x¡c ành

ành lþ 1.5 ([3]) N¸u LCP(q, M) ìn i»u, x > 0, y > 0, Mx − y + q = 0vîi (x, y) ∈Rn ×Rn v  β > 0, µ0 > 0, tçn t¤i C > 0 sao cho

∇(x,y)F (ˆx, ˆy, µ)−1 ≤ C,vîi 0 < µ ≤ µ0 v  (ˆx, ˆy) ∈ N (β, µ) th¼ LCP (q, M) câ mët nghi»m duynh§t

1.3.2 B i to¡n bò phi tuy¸n

Tr÷îc ti¶n ta ành ngh¾a b i to¡n bò phi tuy¸n NCP (F ) l  b i to¡n t¼mvectì x ∈ Rn sao cho

x ≥ 0, F (x) ≥ 0, hx, F (x)i = 0,trong â F l  ¡nh x¤ phi tuy¸n tø Rn v o Rn

º gi£i b i to¡n bò phi tuy¸n ta chia c¡c tr÷íng hñp èi vîi ¡nh x¤ phituy¸n F

ành lþ 1.6 N¸u F ∈ C1(Rn) câ Jacobian F0(x) x¡c ành d÷ìng vîi måi

x ∈ Rn th¼ x∗ l  cüc tiºu to n cöc cõa ψ khi v  ch¿ khi x∗ l  iºm døngcõa ψ

ành lþ 1.7 N¸u F ∈ C1(Rn) l  h m ìn i»u th¼ x∗ ∈ Rn l  cüc tiºu

to n cöc cõa b i to¡n tèi ÷u khæng r ng buëc (1.14) - (1.15) v  khi v  ch¿khi x∗ l  iºm døng cõa ψ

º t¼m cüc tiºu cõa h m ψ, ta câ ph÷ìng ph¡p ri¶ng ÷ñc gåi l  ph÷ìngph¡p ÷íng dèc nh§t, thuªt to¡n cõa nâ nh÷ sau:

2 Thuªt to¡n 2

B÷îc 1: Gi£ sû F : Rn →Rn l  h m ìn i»u m¤nh, x¡c ành ψ : Rn → R,ψ(x) :=

ψ xk + βmdk
≤ ψ xk

− βmσ dk 2.B÷îc 5: °t xk+1 := xk + tkdk, k := k + 1, quay l¤i B÷îc 2

ành lþ 1.8 ([8]) Gi£ sû F ∈ C1(Rn) l  h m ìn i»u m¤nh vîi µ >

0, x0 ∈ Rn l  iºm xu§t ph¡t ban ¦u, tªp mùc cõa nâ l  L(x0) :=

Mα(x) := hx, F (x)i+ 1

2α



(x − αF (x))+ 2 + (F (x) − αx)+ 2 − kF (x)k2,vîi α > 1 l  tham sè v  (.)+ l  ph²p trüc giao tr¶n khæng gian Rn+

r (x) := x − (x − F (x))+ = min {x, F (x)} ,

l  ph¦n d÷ tü nhi¶n èi vîi NCP(F), r (x) = 0 khi v  ch¿ khi x l  nghi»mcõa NPC(F).

Hai nh  to¡n håc tr¶n ¢ chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i nghi»m v  ¡nhgi¡ ÷ñc c¡c k¸t qu£ sau

ành lþ 1.9 ([14]) N¸u α > 0 th¼

i) Mα(x) ≥ 0 vîi måi x ∈ Rn;

ii) x ∈ Rn l  nghi»m cõa NCP(F) khi v  ch¿ khi Mα(x) = 0;

iii) α−1(α − 1) kr (x)k2 ≤ Mα(x) ≤ (α − 1) kr (x)k2 vîi måi x ∈ Rn.Vªy b i to¡n NCP(F) gi£i ÷ñc thæng qua vi»c t¼m cüc tiºu khæng r ngbuëc

xi+1 = xi + ηidi,Vîi ηi = γki vîi ki l  sè nguy¶n ¥m k khæng ¥m nhä nh§t thäa m¢n

xk ÷ñc gåi l  hëi tö tîi Q - tuy¸n t½nh tîi x∗

n¸u tçn t¤i mët h¬ng sè 0 < r < 1 sao cho