Vì phân xưởng tăng năng suất, mỗi ngày làm thêm được 9 sản phẩm so với định mức, nên trước khi hết hạn 1 ngày thì phân xưởng đã làm vượt số sản phẩm được giao là 5%.. Hỏi nếu vẫn tiếp tụ[r]
Trang 1Chương III
I KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH
1 Định nghĩa
Phương trình biến x là mệnh đề chứa biến có dạng f(x) = g(x)
x0 gọi là nghiệm của PT f(x) = g(x) f(x0) = g(x0)
Giải PT là tìm tất cả các nghiệm của PT (hay tập nghiệm của nó)
PT không có nghiệm ta nói PT vô nghiệm
2 Điều kiện của phương trình
Là điều kiện của biến x để hai vế của phương trình đều có
nghĩa
3 PT chứa tham số
Là PT ngoài ẩn x còn có các chữ cái khác được xem như
các hằng số tham gia vào PT và được gọi là tham số
Ví dụ: x2 + 2x – m = 0 là PT với tham số m
4 PT tương đương
Hai PT đgl tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm (kể cả tập rỗng)
Ký hiệu: ta dùng ký hiệu “” để nêu quan hệ tương đương
của 2 PT
5 Phép biến đổi tương đương
Phép cộng (trừ): f(x) = g(x) f(x) ± h(x) = g(x) ± h(x)
Phép nhân (chia): f(x) = g(x) f(x).h(x) = g(x).h(x)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
h x h x
, với h(x)¹ 0
Chú ý: Phép chuyển vế: f(x) + h(x) = g(x) Û f(x) = g(x) – h(x)
6 PT hệ quả
PT f1(x) = g1(x) (1) gọi là phương trình hệ quả của PT f(x) = g(x) (2) nếu mọi nghiệm của PT (2) đều là nghiệm của PT (1)
Ký hiệu: f(x) = g(x) f1(x) = g1(x)
7 Lưu ý: i) Khi bình phương hai vế của PT thì ta được PT hệ
quả
ii) Khi giải PT mà dẫn đến PT hệ quả thì phải thử lại
nghiệm PT tìm được vào PT ban đầu để loại nghiệm ngoại lai
Trang 2II PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PT BẬC NHẤT, BẬC HAI
1 Giải và biện luận PT dạng ax + b = 0 (1)
Bước 1: Đưa PT (1) về dạng ax = –b
Bước 2: Biện luận theo a
+ Nếu a ¹ 0 thì PT (1) có nghiệm duy nhất x = – b/a
+ Nếu a = 0 ta tiếp tục biện luận theo b
b ¹ 0 thì PTVN
b = 0 thì PT nghiệm đúng với mọi x
2 Giải và biện luận PT dạng ax 2 + bx + c = 0
Bước 1: Biện luận theo a
+ Nếu a = 0 thì ta được PT bx + c = 0 (biện
luận tiếp)
+ Nếu a 0 ta thực hiện bước 2 Bước 2: Tính biệt thức = b2 – 4ac (hoặc D ¢)
Bước 3: Biện luận phương trình theo dấu của
+ Nếu > 0 thì PT có hai nghiệm phân biệt
b x
a
- ± D
= + Nếu = 0 thì PT có nghiệm kép 1 2 2
b
a
= =
-+ Nếu < 0 thì PTVN
3 Định lí Viét
Cho PT ax2 + bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm x1, x2 Khi đó,
1 2
b
S x x
a c
P x x
a
ìïï = + =-ïïï
íï
ïïïî
Ngược lại, nếu u và v có tổng S và tích P thì u và v là các
nghiệm pt X2 – SX + P = 0
4 Phương trình trùng phương
Dạng: ax4 + bx2 + c = 0 (a 0)
Cách giải: đặt t = x2 (t ³ 0) đưa về PT bậc 2 theo t Giải tìm
t, đối chiếu với điều kiện t 0, rồi tìm x.
5 Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Các dạng cơ bản: |A| = |B| ; |A| = B ; |A| + |B| = C
Cách Giải 1: Dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối của 1 số để khử dấu | |
Trang 3neáu neáu
0 0
A
ïï
= íï - <
ïïî Cách Giải 2: Bình phương hai vế để khử dấu | | (dẫn đến PT
hệ quả) Khi giải xong phải thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai
Cách Giải 3: Dùng công thức biến đổi tương đương
A B
A B
é = ê
= Û ê =-ê
0
B
A B
A B
ìï ³ ïï
ï é =
= Û í ê
ïï ê
=-ï ê
ï ë î
6 Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
Các dạng cơ bản: A = B ; A =B ; A+ B =C Cách Giải 1: Bình phương hai vế để khử dấu (dẫn đến
PT hệ quả) Khi giải xong phải thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai
Cách giải 2: Dùng công thức biến đổi tương
0
A
A B
ìï ³ ïï
= Û íï =
0
B
A B
A B
ìï ³ ïï
= Û íï
= ïïî
III PT VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
1 PT bậc nhất hai ẩn:
Dạng: ax + by + c = 0 (2) (a,b,c là hằng số, a2 + b2 0)
Cặp (x0;y0) gọi là nghiệm của (2) nếu chúng nghiệm đúng PT (2)
Biểu diễn tập nghiệm: tập nghiệm của (2) là đ.thẳng ax +
by + c = 0
2 Hệ hai PT bậc nhất hai ẩn
a x by c
a x b y c
ïïí
ïïî Cách Giải: (cũ) Dùng PP cộng hoặc PP thế đã học ở lớp 9
PP định thức: (mới)
+ Tính
1 1
1 2 2 1
2 2
a b
a b
Trang 4-1 1 1 1
;
+ Nếu D 0 thì và
y
D
+ Nếu D = 0 và D x = D y = 0 thì PT cĩ vơ số nghiệm
thoả mãn
a x by+ =c
+ TH cịn lại: hệ PT vơ nghiệm
3 Hệ ba PT bậc nhất ba ẩn
a x by c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
ïï
íï
ïïỵ Cách Giải: Dùng PP cộng để khử dần từng ẩn số nhằm đưa
hệ PT trình về dạng tam giác:
a x d
a x b y d
a x b y c z d
ìï = ïï
íï
Gausse)
BÀI TẬP
§1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
1.1 Tìm điều kiện xác định của các PT sau đây
a.
2
x
+ =
4
2 9
x
x x
+
= +
-c. 2
1
3
4 1 2
x
x x
+
=
-e.
2
3 2
1
x
x
- + =
2 3
2
x x
x
-g. 2
+ + h.x2- 2x- 3= +3 1- x 1.2 Giải các PT sau đây
a. 3- x+ =x 3- x+1 b.x+ x- 2= 2- x+2
Trang 5x
e.
3 1
3 2
x
x x
+
=
+ f. x- 4- x= +3 4- x
g. x+ + = +1 x 3 x+1 h. x- 5- x= +2 x- 5 i.
2
x
+ =
4
x
+
k.
2
3 2
x
2
2 3
x x
+
-1.3 Giải các PT sau đây
a.
+ + =
1
x x
+
c.
2
x x
2
x
-e.
2
2 3
x
=
-g.
2
x
1.4 Cho phương trình (x + 1)2 = 0 (1) và phương trình chứa tham số
ax2 – (2a + 1)x + a = 0 (2)
Tìm giá trị của a sao cho PT (1) tương đương PT (2)
1.5 Xác định m để mỗi cặp PT sau tương đương
a.3x – 2 = 0 và (m + 3)x – m + 4 = 0
b.x + 2 = 0 và m(x2 + 3x + 2) + m2x + 2 = 0.
c.2x – 3 = 0 và
2
d.x2 –4 = 0 và 3x2 + (m + 3)x + 7m + 9 = 0
e.x2 –1 = 0 và 2mx2 + (m2 – 4)x – m2 = 0
f.3x –1 = 0 và
2
mx
m x
+
-g.x2 + 3x – 4 = 0 và mx2 – 4x – m + 4 = 0
Trang 6§2 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT, BẬC HAI 2.1 Giải các phương trình sau đây
a.
x x
x x
-c. x- 3(x2- 3x+2)=0 d. x+1(x2- x- 2)=0 e.
g.
2
x x
+ =
3
x
1
x
k.
x
-=
x
-2.2 Giải và biện luận các phương trình sau đây theo tham
số m
a.(m + 1)2x = (2x + 1)m +5x + 2 b.(m 1)(x + 2) + 1 =
m2
c.(m2 1)x = m3 + 1 d.(m2 + m)x = m2 1
e.m2x + 3mx + 1 = m2 2x f.m2(x + 1) = x + m
g.(2m2 + 3)x 4m = x + 1 h.m2(1 x) = x + 3m
i.m2(x 1) + 3mx = (m2 + 3)x 1 j.2mx + 3 = m x
2.3 Giải và biện luận các phương trình sau đây theo tham
số m
a.
1 3 2
mx m
x
2( 4)
1
m m
x
+
-c.
2
1
-=
e.
1 2 1
x m x
3 2 1
x m x
Trang 7
2
x m x
2 2
mx m
x m
+
-=
-i.
3
x m x
3 2 2
x m x
-2.4 Giải và biện luận các phương trình sau đây theo tham
số m
a.x + m = x m + 2 b.x m = x + 1
c.mx + 1 = x 1 d.1 mx = x + m
2.5 Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất a.m(2x 1) + 5 + x = 0
b.m2x 2m2x = m5 + 3m4 1 + 8mx
c.
1
x m x
=
-2.6 Tìm m để phương trình sau đây vô nghiệm.
a.m2(x 1) + 2mx = 3(m + x) 4
b.(m2 m)x = 12(x + 2) + m2 10
c.(m + 1)2x + 1 m = (7m 5)x
d.
2 2 1
x m x
+
2.7 Tìm m để các phương trình sau có tập hợp nghiệm là
a.m2(x 1) 4mx = 5m + 4
b.3m2(x 1) 2mx = 5x 11m + 10
c.m2x = 9x + m2 4m + 3
d.m3x = mx + m2 m
2.8 Giải các phương trình sau đây
a.x- 2= +x 1 b x+ = -1 x 2
c.2x- 1= +x 2 m.2x- 1= - 5x- 2
l.3x- 2=2x+3 e x- 2=2x- 1
f.x- 3=2x+1 n.2x+ =5 x2+5x+1 2.9 Giải các phương trình sau đây
a. 5x+ = -6 x 6 b. 2x2+ = +5 x 2
c.x- 2= x d. 2x+ = -1 x 1
Trang 8e. 2x- 3= -x 2 f. x2- 7x+10=3x- 1
g. 3- x- x+ =2 1 h. 4x2+2x+10=3x+1 i.
x = x
-k.
x- = x
-2.10 Cho PT 3x2 – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 Tìm m để PT có
1 nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia Tính các nghiệm trong trường hợp đó
2.11 Cho PT bậc hai x2 + (2m – 3)x + m2 – 2m = 0.
a.Xác định m để PT có hai nghiệm phân biệt.
b.Với m nào thì PT có hai nghiệm và tích của chúng bằng
8 Tìm các nghiệm trong trường hợp đó
2.12 Cho PT mx2 + (m2 – 3)x + m = 0
a.Xác định m để PT có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó b.Với m nào thì PT có hai nghiệm x1, x2 thoả: 1 2
13 4
x +x =
2.13 Cho PT (m + 2)x2 + (2m + 1)x + 2 = 0
a.Tìm m để PT có 2 nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm
bằng –3
b.Với m nào thì PT có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó 2.14 Cho PT 9x2 + 2(m2 – 1)x + 1 = 0.
a.Chứng tỏ rằng với m > 2 thì PT có 2 nghiệm âm phân
biệt
b.Với m nào thì PT có hai nghiệm x1, x2 thoả x1+x2= - 4
2.15 Cho PT (m + 1)x2 – (m – 1)x + m = 0
a.Xác định m để PT có một nghiệm bằng –3 Tính nghiệm
kia
b.Với m nào PT có 1 nghiệm gấp đôi nghiệm kia Tính các
nghiệm trong trường hợp đó
2.16 Cho PT 3x2 + 5x + 2m + 1 = 0
a.Với m nào thì PT có hai nghiệm trái dấu.
b.Với m nào thì PT có hai nghiệm âm phân biệt
Trang 9c.Với m nào thì PT có hai nghiệm dương phân biệt.
c.Với m nào thì PT có hai nghiệm x1, x2 thoả x13+x23=10. Tính các nghiệm trong trường hợp đó
2.17 Cho PT 3x2 + 2(3m – 1)x + 3m2 – m + 1 = 0
a.Với giá trị nào của m thì PT vô nghiệm.
b.Giải PT khi m = –1.
2.18 Cho PT (m + 1)x2 + (3m – 1)x + 2m – 2 = 0 Xác định
m để PT có hai nghiệm x1, x2 mà x1+x2=3 Khi đó, tìm
các nghiệm x1, x2.
2.19 Hai bạn Vân và Lan đi mua trái cây Vân mua 10 quả
quýt, 7 quả cam với giá tiền là 17800 Lan mua 12 quả quýt, 6 quả cam hết 18000 Hỏi giá tiền mỗi quả quýt, quả cam là bao nhiêu?
2.20 Có hai dây chuyền may áo sơ mi Ngày thứ nhất cả hai
dây chuyền may được 930 áo Ngày thứ hai do dây chuyền thứ nhất tăng năng suất 18%, dây chuyền thứ hai tăng năng suất 15% nên cả hai dây chuyền may được
1083 áo Hỏi trong ngày thứ nhất mỗi dây chuyền may được bao nhiêu áo?
2.21 Hai công nhân được giao việc sơn một bức tường Sau
khi người thứ nhất làm được 7 giờ và người thứ hai làm được 4 giờ thì họ sơn được 5/9 bức tường Sau đó họ cùng làm việc với nhau trong 4 giờ nữa thì chỉ còn lại 1/18 bức tường chưa sơn Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sau bao nhiêu giờ mỗi người mới sơn xong bức tường
2.22 Ba phân số đều có tử số là 1 và tổng của ba phân số
đó bằng 1 Hiệu của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng phân số thứ ba Còn tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng 5 lần phân số thứ ba Tìm các phân
số đó?
2.23 Một phân xưởng được giao sản xuất 360 sản phẩm
trong một số ngày nhất định Vì phân xưởng tăng năng suất, mỗi ngày làm thêm được 9 sản phẩm so với định mức, nên trước khi hết hạn 1 ngày thì phân xưởng đã làm vượt số sản phẩm được giao là 5% Hỏi nếu vẫn tiếp tục làm việc với năng suất đó thì khi đến hạn phân xưởng làm được tất cả bao nhiêu sản phẩm?
Trang 102.24 Hai người quét sân Cả hai người cùng quét sân hết 1
giờ 20 phút, trong khi nếu chỉ quét 1 mình thì người thứ nhất quét hết nhiều hơn 2 giờ so với người thứ hai Hỏi mỗi người quét sân một mình thì hết mấy giờ?
2.25 Tìm 2 cạnh của một mảnh vườn hình chữ nhật biết
rằng
a.Chu vi là 94,4m và diện tích là 494,55m2
b.Hiệu của hai cạnh là 12,1m và diện tích là 1089m2
§3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ 3.1 Giải các hệ phương trình sau đây
a.
x y
x y
ìï + =
ïí
ï - =
x y
x y
ìï - = ïí
ïî
c.
x y
ìï - =
ïï
2 ( 2 1) 2 2
x y
-ïï
ïïî
e.
x y
x y
ìï - =
ïïí
x y
x y
ìï + = ïïí
ïïî
g.
x y
x y
ìïï + =
ïïï
íï
ïïïî
3.2 Giải các hệ phương trình sau đây
d.
x y z
y z
z
ìï + - =
-ïï
íï
ï =
x y z
x y z
x y z
ïï
-íï
ï - - + =
x y z
x y z
x y z
ìï + + =
ïï
íï
ïïî
Trang 11x y z
x y z
x y z
ìï - + =
-ïï
-íï
x y z
x y z
x y z
ìï + - =
ïï
ï - + + =
-íï
6
x y z
x y z
x y z
ìï + + = ïï
íï
ï - + - = ïïî
BÀI TẬP NÂNG CAO
3.3 Giải các hệ phương trình sau đây
a.
x y
ïï
1
x y
ïï
ïïî
c.
ïïí
1 2
5
2 3
3
x y
x y
ìïï + = ïïï
íï
ï - = ïï
ïî
3.4 Giải và biện luận các hệ phương trình sau đây
a.
3
x my m
mx y m
ìï + =
ïí
m x my m
ïí
ïî
c.
m x my
mx y m
ïí
ïí
ïî
e.
2
mx y m
x y m
ïí
1
mx y m
mx y m
ìï - = + ïí
ïî
g.
ïí
2
mx y m
x my m
ìï - = -ïí
ï - = -ïî
i.
1
1 0
mx y
x my
ìï + =
-ïí
1
x my
mx my m
ìï + = ïí
ïî
3.5 Giải và biện luận hệ phương trình sau đây
Trang 121 1
ax by a
bx ay b
ìï + = +
ïí
2
ax by a b
bx ay ab
ïïí
ïïî
c.
2 2
ax y a
bx y b
ìï - =
ïï
íï - =
2
ax by a b
bx b y b
ìï - = -ïï
íï - = ïïî
3.6 Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
a.
1 2
mx y m
x my
ïí
mx m y m
ïí
ïî
c.
ïí
mx m y
m x my
ïí
ïî
3.7 Định m để hệ phương trình vô nghiệm.
a.
2
m x m y
m x y y
ïïí
x my
m x my
ïí
ïî
c.
ïí
mx y m
ïí
ïî
3.8 Định m để hệ phương trình có vô số nghiệm.
a.
ìï - + = +
ïí
2
2
mx y m
x my
ìï + = ïïí
ïïî
c.
x my m
ïí
x my
mx y
ìï + = ïí
ïî
3.9 Định m để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên.
a.
2
m x y m m
-ïïí
3 0
mx y
x my m
ìï + - = ïí
ïî
c.
mx y m
ìï - =
-ïïí
2
x y
mx y m
ìï + = ïí
ïî