Phương pháp giải bài tập trắc nghiệm đại số và giải tích lớp 11 (chương trình nâng cao) phần 1

Để giúp các học sinh giải tốt các câu hỏi trắc nghiệm, tác giả biên soạn cuốn “Phương pháp giải bài tập trắc nghiệm Dai sé va Mỗi chương được chia thành nhiều phần tương ứng với các tiết

NGUYỄN NGỌC KHOA

(Giáo viên THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT - QUẢNG NGÃI)

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

TRAC NGHIEM

ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

Lop 1 1

CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

LỜI NÓI Đầu

Gi năm học 06 - 07 Bộ Giáo dục đã thực hiện giảng dạy theo

chương trình SGK mới Song song với chương trình mới là phương

pháp kiểm tra đánh giá mới, đặc biệt là phương pháp trắc nghiệm

khách quan Theo dự định, năm học này, trong kì thi các cấp môn

toán sẽ được thi trắc nghiệm khách quan trên toàn quốc

Để giúp các học sinh giải tốt các câu hỏi trắc nghiệm, tác giả biên soạn cuốn “Phương pháp giải bài tập trắc nghiệm Dai sé va

Mỗi chương được chia thành nhiều phần tương ứng với các tiết học

trong SGK, mỗi phần có nhiều câu trắc nghiệm theo phân bố từ dễ

đến khó, cuối mỗi phần có phần hướng dẫn giải và đáp số Trong phần hướng dẫn giải, sau mỗi bài giải có nêu phương pháp cụ thể để học sinh củng cố kiến thức và nâng cao kĩ năng giải toán

Dù đã rất cố gắng nhưng không thể tránh khỏi thiếu sót, rất mong

bạn đọc gần xa góp ý để cuốn sách ngày càng hoàn thiện, tác giả vô

„ cùng biết ơn

TÁC GIẢ

SƠ LƯỢC VỀ KIEM TRA VA DANH GIA

BANG TRAC NGHIEM

I Phan loại các phương pháp trắc nghiệm

Trac nghiệm theo nghĩa rộng là một phép đánh giă cụ thể mức độ, khả năng trong một linh vực cụ thể Trắc nghiệm viết được chia thành hai loại chính:

s Các câu hỏi tự luận: Các câu hỏi trả lời theo dạng mở, thí sinh

phải trả lời các câu hỏi nêu ra trong một bài viết (trước năm

2006 ta thi dưới dạng này)

s Các câu hỏi trắc nghiệm khách quan: Một bài thi thường gồm nhiều câu hói, thí sinh trả lời câu hỏi rất ngắn gọn (thông

thường là gạch chéo, hoặc bôi đen câu chọn đúng)

Vì thói quen ta gọi tắt trắc nghiệm khách quan là trắc nghiệm

1L Loại câu trắc nghiệm khách quan

Trong bộ môn toán ta gặp các câu dạng sau:

1 Câu ghép đôi: Thí sinh phải ghép từng cặp hai nhóm từ ở hai cột

khác nhau để được một câu phù hợp với yêu cầu

của câu hỏi nêu ra

Vi du: Gieo môt đồng tiền hai lần Xét các biến cố:

A: "Kết quả của hai lần gieo là như nhau"

B: "Có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp"

C: "Lần gieo thứ hai mới xuất hiện mặt sấp"

Hãy ghép môi thành phần của cột trái với một thành phần thích hợp ở cột phải để được một khẳng định đúng:

Chú ý rằng hình thức trắc nghiệm này chỉ sử dụng kiểm tra tại lớp

2 Câu đúng sai: Đưa ra một khẳng định mà thí sinh phải lựa chọn

một trong hai phừơng án: đúng, sai

Ví dụ: Trong các khẳng định sau day, khang dinh nào đúng,

a) Câu a ta tréo vào ô đúng

b) Câu b ta tréo vào ô sai

c) Câu c ta tréo vào ô sai

Hình thức trắc nghiệm này cũng chỉ được sử dụng kiểm tra

_ tại lớp

3 Câu điển khuyết: Nêu một mệnh đề có khuyết một bộ phận, thí

sinh phải điển vào để được một mệnh dé đúng Trong bộ môn toán, hình thức trắc nghiệm này ít khi được sử dụng

4 Câu trả lời ngắn: Là câu trắc nghiệm mà thí sinh phải trả lời

ngắn gọn

Trong bộ môn toán hình thức trắc nghiệm này ít khi được sử dụng

5 Câu nhiều lựa chọn: Đưa ra một phương án và một số câu trả lời

(thường là 3 hoặc 4), thí snh chọn một

phương án đúng

Câu trúc câu trắc nghiệm nhiều lựa chọn có hai phần:

« Phần đầu được gọi là phản dẫn: Phán này nêu ra vấn dé,

cung cấp thông tin, hoặc nêu một câu hỏi

e Phần sau nêu các phương án trả lời được đánh dấu bằng các

chữ cái a, b, c hoặc các chữ số 1 2, 3, Trong các phương

án trên chỉ có một phương án đúng

Vị dụ: Biểu diễn cung x = = với mọi số nguyên k trên đường

tròn lượng giác ta có bao nhiêu điểm phân biệt?

3) 5 điểm b) 8 điểm c) 10 điểm d) 6 diém Trong các kiểu câu trắc nghiệm đã nêu, câu nhiều lựa chon lược sử dụng phổ biến, vì chúng có cấu trúc thích hợp trong

;ziệc chấm bằng máy

Câu 4: Chọn khẳng định dúng:

al Ham so y = Vsinx co tập xác định là các đoạn

|“ +k9m;= + k2x| 2 ¬

b) Hàm số y = A€osx có tập xác định là các đoạn [k2n; m + k2m] c) Ham sé y = Vsinx + Vcosx có tập xác định là các đoạn

c' Hàm số y = tanx 1a ham số lẻ đúng, sai

d) Ham số y = cotx là hàm số lẻ |_| dung, sai Câu 6: Chọn khẳng định đúng:

Câu 8: Trong các khẳng định dưới đầy, khẳng định nào đúng, khẳng

c) Ham sé y = sin(x + £) 66 chu ki T = x

sai

sai

Câu 14: Cho hàm số y = 2 + 3sinx Giá trị nhỏ nhất m, giá trị lớn nhất M của hàm số bằng bao nhiêu?

1 sinx + sin2x + sin3x = a) sin3x(2cosx + 1)

2 sin2x + sin3x + sin4x= |b)—-sin2x(—-2sinx + 1)

3 cosx — sin2x — cos3x = c) sin3x(2sinx + 1)

d) sin2x(2cosx + 1)

11

Câu 19: Với mọi số thực x, giá trị của biểu thức

A =sinx + sin2x + sin3x + sin4x bằng giá trị biểu thức nào dưới đây:

_ Xx b) 4cosx.cos Gx sin — 2 5

Câu 20: Với mọi số thực x thuộc tập xác định, giá trị biểu thức

siỉn x + sin 2x + sin3x , ›

——————— bằng:

A=-

cos x + cos 2x + cos 3x

a) cot2x b) tanx c) cotx d) tan2x

Câu 21: Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nao đúng, khẳng

định nào sai:

a) Với mọi số thực x, y, ta có: cosxcosy = 5 leostx — y) + cos(x + y)]

Câu 23: Với mọi tam giác ABC, giá trị của biểu thức

S = sinA + sinB + sinC bằng giá trị của biểu thức nào dưới đây:

a) asin ain gin’ b) 4cos— cos — cos —

c) 4sinAsinBsinC , _ d) 4cosAcosBeosC

Câu 23: Với mọi tam giác ABC, giá trị biểu thức

8 = cosA + cosB + cosC bằng giá trị biểu thức nào dưới đây:

a)1+ pee caa b)1+ dsm” sin ® ci ©

e)1l- dees con eos d)1— 4sin 2 in sin’

12

Câu 24: Với mọi tam giác ABC, giá trị biểu thức

S = sin2A + sin2B + sin2C bang giá trị biếu thức nào dưới đây: a) AsinAsinBsinC b) 4cosAcosBeosC

€) 1 + 4sinAsinBsinC d) 1 + 4cosAcosBeosC

Câu 9ð: Với mọi tam giác không vuông ABC, giá trị biểu thức

8 = tanA + tanB + tanC bằng giá trị nào dưới đây:

Câu 26: Với mọi tam giác ABC, giá trị của biểu thức

S= tan Stan © + tan tan C + tan „in bằng giá trị biểu

thức nào dưới đây:

a) tan tan? ton © b) tan —- ‘ton

Câu 37: Tam giác ABC có 3 góc A, B, C thỏa man:

2sinAsinB(1 — cosC) = 1 Giá trị góc A bang bao nhiêu?

Câu 29: Với mọi tam giác ABC không vuông thỏa mãn:

tanA + tanB = 2eoLc Chọn khẳng định đúng:

a) Tam giác ABC cân tai A b) Tam giác ABC cân tại B

c) Néu A = 30° thi C = 30° d) Tam giác ABC cân tại C

13

b) ginx + siny < 2cos với mọi số thực x, y

c) sinx + siny < asin = —* với mọi x, y e (Ũ; m)

d) sinx + sinny < 2cos ge với mọi x, y e (0; x)

Câu 31: Chọn khẳng định đúng:

a) cosx + cosy < eos = * với mọi x, y thỏa mãn x + y € ‘05 1)

x+ of cauh , x

b) cosx + cosy = 2cos 5 Ÿ với mọi x, y thỏa mãn x + y < 05 2)

€) cosx + cosy < 2cos ` với mọi x, y

d) cosx + cosy > 2cos = VỚI mỌIi x, y

Câu 39: Chọn khẳng định đúng:

a) sinx + sin2y > 2sin(x + y) với mọi x, y e (0; m)

b) sin2x + sin2y < 2sin(x + y) véi moi x, y € (0; m)

c) sin2x + sin2y < 2cos(x + y) với mọi x, y

d) sin2x + sin2y < 2sin(x + y) với mọi x + y e (Ô; 7)

b) tanx + tany < 2tan = vdi moi x, y € (0; a)

c) tanx + tany > 2tan Aer với mọi x, y € (0; 7)

d) Các khẳng định ở các câu trên đều sai

4A

Câu 34: Cho tam giác ABC thỏa mãn: cosÀA + cosl3 = 2sin= Chọn

khẳng định đúng:

a) Tam giác ABC vuông tại A b) Tam giác ABC vuông tại B

c)C = A= 30° - đ) Tam giác ABC cân tại C

Câu 35: Với mọi tam giác ABC, giá trị lớn nhất của biểu thức

S = cosA + cosB + 2cosC 1a:

Câu 86: Với mọi tam giác ABC, biểu thức

8 =sin2A + sin2B + cos2C đạt giá trị lớn nhất khi:

a) A = 30° b) A= 45° c) A = 60° d) A = 75° Câu 37: Với mọi tam giác nhọn ABC Giá trị nhỏ nhất cua biểu thức

DS: dung

d) Hàm số y = cotx có tập xác dinh 14 R \ {km / Wk € Z}

DS: dung Câu 2: 1 Hàm số y = sin2x có tập xác định R

Câu 4: a) y = ASinx xác định © sinx > 0 © x e [k2n; x + k2z]

(Điểm biểu diễn cung x nằm phía trên trục co)

Câu a sai

b) y = vcosx xác định © cosx 2 0.x = [-5 + k2n; : +k2n] : (Điểm biểu diễn cung x nằm phía tay phải trục sin)

Cau 5: a) Hàm số y = sinx là hàm số lẻ ĐS: sai

b) Hàm số y = cosx la ham 86 chan DS: dung c) Ham số y = tanx là hàm số lẻ ĐS: dúng d) Hàm số y = cotx là hàm số lẻ DS: dung

Cau 6: a) y = cos2x

s Tập xác định D = R

sVới VxelR=>-xeR

fl—x) = cos[2(-x)] = eos(—2x) = cos2x = f(x)

Vay y = cos2x 1a ham sé chan

b) y = sin?x

se Tập xác định D = R

eV6i ¥xe R>-xeR

f(—x) = sin*(-x) = (-sinx)? = sin’x = f(x)

Vay y = sin’x 14 ham số chẩn

c) y = tan2x

ø Tập xác định D = R \ ‘3 +k= /vk eZ}

eVé6i vxe D>-xe D ‘

f(—x) = tan[2(—x)| = tan(—2x) = -tan2x = —f(x)

Aim ool - 3g) teal) mcne =

Vì f~c) = £12 nia TGA EROS phải là hàm số chắn

TRUNG TAM THONG TIN THU VIEN

f

b) y = sin(x )y =sin(x — =), 3

Véix= =: 6

2) = sin 2 = =) =sin(-F) |

` AE) = sin? - 3) = sint—7) = sing =

Vi toc )z Re ): nén f(x) khong phai la ham s6 chắn

Vay fx) chong la ham sé 1é ĐS: Câu d

Câu 8: a) Hàm số y = sinx có chu kì T = 2 DS: sai

b) Hàm số y = cosx có chu kì T=2n + DS: dung e) Hàm số y = tanx co chu ki T = x DS: ding

d) Ham 86 y = cotx co chu ki T = 2n DS; sai

Cau 10: y = sin4x,

e Chu kì của hầm số nếu có phải là số dương, câu a sai Ta kiểm

tra đẳng thưức: fx + T) = Ấx) theo giá trị dương T từ nhỏ đến lớn

kề „ 4, 2n) giái trị nào thỏa mãn ta nhận (không thử tiếp)

e Với mọi x c: Rì:

Ñx+ “)= sil4&x + : )] = sin(4x + 2m) = sin4x

18

DS: Cau d Cau 12: a) y = sin2x

vi tt™) = sin= =1,

eu + 5) =sinlat +5 )]=sin(E +) =-sing ea #f(P)

Vậy hàm số y = sin2x không thể có chu kì bằng >:

AE) =cos% = 2

RE +20) = cos® +x) =-cos% =-2 oa)

Vay ham sé y = cos 5 không thể có chu kì bằng 2m

c) y = sin(x + s) có chu kì 2n , DS: Cau d

(trên đây ta dùng kiểu suy luận loại trừ)

Cau 18: a) Ham sé y = sinx cé tap gid tri 1A doan [-1; 1] DS: dung

b) Hàm số y = cosx c6 tap gia tri 1A doan [-1; 1] DS: sai c) Ham sé y = tanx c6 tap gia tri la R DS: ding d) Ham sé y = cotx có tập giá trị là R DS: sai

19

Câu 14: Vì —1 < sinx < 1, nên: —1 < 2 + 3sinx < 5 hay —1 < y < 5

ey=-losinx=-lox=-2 + k2n

2

sy =5 € sinx =1 csx= 2 + kn, DS: Cau b Câu 15: Đặt t = tanx, t e R Bài toán qui về tim GTNN, GTLN cia

hàm y = t?— 4t + 2 trên R

Hàm số y = t - 4t + 2 là hàm bậc hai có =2” = 2, vì vậy y đạ 2a

GTNN bằng y(2) = -2 DS: Cau a

Câu 16: y = sin’x — 4sinx + 2

Đặt t = sinx, điều kiện: -1 < t < 1 Bài toán qui về tim GTNN, GTLN của hàm số

Câu 18: 1 sinx + sin2x + sin3x = (sin3x + sinx) + sin2x

= 2sin2xcosx + sin2x = sin2x(2cosx + 1) = 2sinxcosx(2cosx + 1)

Vay 1 > d)

20

2 sin2x + sin3x + sin4x = (sin4x + sin2x) + sin3x

= 2sin3xcosx + sin3x

= sin3x(2cosx + 1)

Vay 2 > a)

3: cosx — sin2x — cos3x = (cosx — cos3x) — sin2x

= 2sin2xsinx — sin2x = -sin2x(-2sinx + 1)

Vay 3 > b)

Cau 19: A = (sin3x + sinx) + ( sin4x + sin2x) = 2sin2xcosx + 2sin3xcosx

= 2cosx(sin2x + sin3x) = deosx.sin > cos DS: Cau c

DS: dung b) Với mọi số thực x, y, ta có: sinxsiny = 5 [eos(x — y) — cos(x + y)]

A+B A-B

= 2sin cos + 2sin — cos —

= ets AB + 2sin g cos Ệ = 2cos — (cos + ein)

Câu 29: S = (cosA + cosB) + cosC

= aoe Bagh -8 +1 ~ 2sin?S ._C A-B - 2C _ © A-B _C

= 2S 006 — 2 + 1—2sin“— =2sin— in ain (ead 2 —Sin— sing t1

= 2sin & (cos “Bet 2B) 1

= dsin@ sin“ xin ® +1 DS: Cau b Cau 24: S = (sin2A + sin2B) + sin2C = 2sin(A + B)cos(A - B) + sin2C

= 2sinCcos(A — B) + 2sinCcosC = 2sinC[cos(A - B) + cosC]

= 2sinC[cos(A — B) — cos(A + B)] = 4sinAsinBsinC

DS: Cau a tanA + tanB

Câu 2ð: Ta có: tanC = -tan(A + B) = ————————— u a có: tan an(A + B) aha

=> tanC(tanAtanB - 1) = tanA + tanB

«© ` tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC

DS: Cau c

Cc A B 1-tan 2 tan Š Câu 26: Ta có: tan — = cot(= + =) = — 2 —2

+ 5 2 tan — + tan —

tan —(tan— + tan—) = 1 — tan— —

© tan “tan ^: ao ten” = ten en?

= tan dan 4 tan Bee? + tan” tan & =1

Ds; Cau d

Câu 27: 2sinAsinB(1 — cosC) = 1 © [cos(A — B) — cos(A + B)1 — tosC) = 1

© [cos(A — B) + cosC](1 ~ cosC) = 1

© cos(A — B)(1 — cosC) + eosC — cos?C — 1 = 0

© [1-cos(A-— B)Ì(1 — cosC) +cosC=0 (*)

2

Do 1 - cos(A — B) > 0; 1 — cosC > 0; cos”C > 0, nên

© asin? = 2cosAcosB <> 1 — cosC =cos(A + B) + cos(A— B )

< 1-cosC = -cosC + cos(A — B) <= cos(A — Bì = L

oA=B

Vậy ABC là tam giác cân tại C BS: Canc

Câu 30: Ta chứng minh câu c đúng: sinx + siny = 2sin x2 Y cog XL

2

Với mọi x, y e (0; x) > == e (0; x) > sin —= > 0

Lai do cos~ = < 1, vì vậy từ (*) ta có

Sinx + siny < 2sin z 5 Ÿ với mọi x, y e (0;rø) DS: Cauc

Øf,¿ ý: Ta có thể chọn câu trả lời theo phương pháp loại trừ:

e Chox=y= E: sinx + siny = 1; 2cos*7¥ = V3

Vậy khẳng định ở câu a sai

e Cho x = y= 27 SinX + siny = 2; 2eos~—* =0

Vậy khẳng định ở câu b, câu d sai

Vậy khẳng định ở câu c đúng

Câu 81: Ta chứng minh khẳng định ở câu a đúng:

cosx + cosy = 2c0s~*¥ cos “ae (*)

Với mọi x + y € (0; 1) > a € (0; 2) = co >0

x—

Lại do cos Bg 1, nên từ (*) ta có:

cosx + cosy < 2eos*-* : DS: Ciu a

Tu cũng có thể dùng phương pháp loạt trừ để trả lời câu hỏi này

Câu 82: Chọn khẳng định đúng:

Ta có thể chứng minh câu d đúng Ta cu

sin2x + sin2y = 2sin(x + y)cos(x—y) (#)

Với mọi x + y e (0; n) ta có sin(x + y) > 0 Lại do cos(x — y) < L, vì vậy từ (*) ta có:

sin2x + sin2y < 2sin(x + y) DS: Céu d

24

Câu 33: 'Ta chứng minh khẳng định ở câu a đúng

D&u "=" © cos = 7 =1©A=B DS: Cau d

Câu 335: Theo cau 34 ta cé cosA + cosB < 2sin © , đấu "="© A=B

>> S< asin = + 2cosC = Sein’ #2 asint®

Vậy GTLN của S bằng - DS: Ciu b

Câu 86: Theo câu 14, ta có: sin2A + sin2B < 2sinC, dấu "=' © A=B

=> S<QsinC + (1— 2sin?C) = -2sin?C + 2sinC + 1

Đặt t = sinC, điều kiện 0 < t < 1

Bài toán qui vẻ tính GTLN của ham ft) = —2tẺ + 2t + 1 với 0< t< 1ˆ

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương Beot và 6tam S , tecd:

9cotC + 6tan C >2 |I2cotC tan =443

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁ? CƠ BẢN

Câu 1: Biểu diễn cung x = = vdi moi sé nguvén k trén dudng tron lượng giác, ta có bao nhiêu điểm phan biệt?

a) 5 điểm b) 8 điểm €) 10 điêm d) 6 điểm

Câu 2: Biểu diễn cung x = 5 + = với mọi số nguyên k trên đường

tròn lượng giác ta có bao nhiêu điểm phân biệt?

a) 5 điểm b) 8 điểm e) 10 điểm d) 12 điểm

Câu 8: sin với mọi số nguyên k nhận bao nhiêu giá trị khác nhau?

a) 3 giá trị b) 4 giá trị €) 5 giá tri d) 6 giá trị:

câu 4: tần ST với mọi số nguyên k nhận bao nhiêu giá trị khác nhau?

a) 3 giá trị b) 4 giá trị c) 5 gia tri d)6 giá trị

Caiu 5: cos as với mọi số nguyên k nhận bao nhiêu giá = khác nhau?

a) 3 giá trị b) 4 giá trị ce) 5 gia tri d) 6 gia tri

câu 6: Cho a là số thực bất kì Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khăng định nào sai:

a) Với mọi số thưc a, phương trình sinx = sina «> x = + a + k2n,

với mọi số nguyên k đúng Sai

d) Với mọi a # x + kx, k e Z, phương trinh cotx = cota <> x = a + k2n, ,

với mọi số nguyên k đúng sai

Câu 7: Trong các giá trị dưới đây, giá trị nào là nghiệm của phương

Câu 9: Phương trinh sinx = sin2x có bao nhiêu nghiệm trên (0; 2x]?

a) 2 nghiệm b) 3 nghiệm c) 4 nghiệm d) 5 nghiệm Câu 10: Phương trình cos3x = cosx có bao nhiêu nghiệm trên [0; 3m)? a) 4 nghiệm b) 5 nghiệm c) 6 nghiém d) 7 nghiém Câu 11: Phương trình cos3x = sinx có bao nhiêu nghiệm trên [0; 3n] a) 8 nghiệm b) 9 nghiệm c) 10 nghiệm d) 7 nghiệm Câu 12: Tổng các nghiệm của phương trình: tan2x = tanx trên đoạn

c) Co 4 nghiệm d) Co nhiéu hon 4 nghiém

Câu 15: Biểu diễn trên đường tròn lượng g:ác nghiệm cua phương

trình tan5x + cot( Stee 0 ta có bao nhieu diém phan biệt?

a) 4 điểm b) 6 điểm c) 8 điểm d) 10 điểm

28

Jâu 16: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình:

tanx sin’x — 2sin’x = 3(cos2x + sinxcosx) ]a:

Jâu 17: Nghiệm âm lớn nhất cúa phương trình:

cos3x + cos5x + cos7x = 0 là:

c) cosx = 0 d) Ca 3 khang dinh trén déu sai

câu 20: Phương trình: 1 + sin2x + cos2x = 0 là phương trình hệ quả

của phương trình:

a) eos?x = 1 b) sintx — 7 =0

c) cos(x — : )=0 d) Ca ba câu trên đều sai

(Câu 21: Phương trinh 5cosx — 2sin2x = 0 có tập nghiệm là:

ets +kn/keZ¡ ah tetas K binh

a) {5(8 + 4k) /k eZ] b) [2 +km/k€Z)

29

Câu 23: Phương trình sin2x = —sin4x là phương trình tương đương của phương trình:

a) sinxcosx = 0 b) (4sin’x — 3)sinx = 0

Câu 24: Cho 3 phương trình:

sinx + sin3x + sin5x = 0 có tập nghiệm S;

x = kên

— 5

k =0 thì x = 0: ta có điểm biểu diễn tương ứng Mọ

k=1 thì x= =: ta có điểm biểu diễn tương ứng MỊ

k = 2 thi x = 4%: ta có điểm biểu diễn tương ứng Mạ 5

k= Sthix = °: ta có điểm biểu điễn tương ứng Mụ

8m

k=4thì x= 5 : ta có điểm biểu diễn tương ứng Mụ

k= 5 thì x = 2n: ta có điểm biểu diễn tương tng Ms = My

Vậy cung x có 5 điểm biểu diễn DS: Cau a Cau 2: Tương tự như câu 1 ta có 10 điểm biểu điẫn ĐS: Câu c 30

Ohi lý bế quá sau: Cung x = KP” với p, q là 2 số nguyên dương

q

nguyên tố cùng nhau và p là số le, có 2q điểm biểu diễn

Cung x = kF” với Ðp q là 2 số nguyên đương nguyên tố cùng

q

nhau và p là số chắn, có q điểm biểu diễn

Câu 3: Biểu diễn cung <, ke Z trên đường tròn lượng giác ta có 6

arg; A, & om), hon

iém ới cá ó số đo Ö; —; —; 1; —

điểm ứng với các cung có số đo gi 3 T 3° 3

a ; $ _ 7 «2m 4m or

xét rằng: sin0 = sinz; sins = sin —; sin— = aa —-

Vay sin có 3 giá trị khác nhau DS: Cau a

Chủ y rang ta cé thé ding MTBT dé tinh sin cde cung 6 (*) dé

bết luận

Câu 4: Biểu dién cung x = trên đường tròn lượng giác ta có 5

điểm iểm ứng ứng với năm cung với nă :Ũ; —; —; —: — el els

Kiểm tra bằng MTBT ta có tan của 5 giá trị trên khác nhau từng

ee „ với mọi số nguyên k DS: sai x=mẽ-a+k2n

b) Với mọi số thực a, phương trình cosx = eosa © x = ‡a + k2n,

với mọi số nguyên k DS: dung

"31

c) Với mọi a z ; +kn,k e Z, phương trình tanx = tana © x = a + km, với mọi số nguyên k DS: ding

d) Véi moi a # x + kn, k € Z, phuong trinh cotx = cota <> x =a + kz,

với mọi số nguyên k DS: sai

Câu 7: Đây là dạng trắc nghiệm tính toán, thế trực tiếp các giá trị

đã cho vào phương trình để kiểm tra DS: Cau d

Có thể giải như sau: cot(2x — 109) = 5

Câu 10: cos3x = cosx © ax = mw de ° kr

dụng cung phụ sinx = cosí( Zo x)

Phương trình đã cho tương duong vdi cos3x = cos 5 — x)

Vay kn # 5 + Ïn với mọi số nguyên k, ¿

Trên (0; 6x) phương trình đã cho có các nghiệm x = x; x = 21; x=ðn: x =4n; x = 5n

Vậy tổng các nghiệm bằng lỗn DS: Cau d

33

Câu 13: Cách 1: Thử trực tiếp và kết luận

Cách 2: ĐK: cosx.cos2x z 0 Phương trình đã cho tương đương vớ

sin2x.sinx = cos2x.cosx ¢> cos2x.cosx — sin2x.sinx =0-

Cách 3: PHương trình đã cho tương đương với

tan2x = cotx © tan2x = tan( — x)

Fm=vselk NO LÊ với vk, 1c,

@hu ý: Phương trình dạng cotu = C0EV c> he eln

Câu 15: Biến đổi phương trình đã cho về dạng tanu = tanv, dựa vào

công thức cot(2 + x) =-tan5x

Biểu diễn trên đường tròn lượng giác cung x = kt ta có 8 điểm

bỏ đi 2 điểm biểu diễn của cung : +m, còn lại 6 điểm

là nghiệm ta nhận (không thủ tiếp) DS: Cau c Câu 18: Câu hói này thuộc dạng tinh toán Ta thử trực tiếp:

øe Với x = + — + ki, ta có:

QOthde Iai: Phuong trinh f(x) = 0 (1) la phuong trinh hé quả của

phương trình g(x) = 0 (2), nếu tập nghiệm của phương

trình (1) chứa tập nghiệm của phương trình (2)

Để giải bài nay ta tim nghiệm của từng phương trình ở câu q, b,

e, d rồi thay uào phương trình đã cho ở đầu bài

35

+ sinx =1 €sx= 2 + kủ,

Với x= : + km: cos2x ~— cos4x = cos(x + 2k) — cos(2r + 4km)

= cosn — cos2n = -2

Vay x = 5 +krrkhông là nghiệm của phương trình cos2x:— cos4x = 0

hay phương trình cos2x — cos4x = 0 không là phương trình hệ quả

của phương trình sinx = 1

esinx = 0 > x= kz

V6i x = km: cos2x — cos4x = cos2kn - cosdkn = 0- O=0

Vay x = kn la nghiém cua phuong trinh cos2x — cos4x = 0 hay phương trình cos2x — cosáx = 0 là phương trình hệ qua của phương trình sinx = 0 DS: Cau b Câu 20: Cách 1: Giải như câu 15

Cách 2: Ta có: 1 + sin2x + cos2x = 22 cos(x — : Jcosx (ban doc

hãy chứng minh chỉ tiết đẳng thức này )

[cos x =0

1 + sin2x + cos2x = 0 1

| costx = a =0

Vậy phương trình: 1 + sin2x + cos2x = 0 là phương trình

hệ quả của các phương trình

cosx = 0, cos(x — : )=0 DS: Cau c

Câu 21: 5cosx — 2sin2x = 0 <> 5cosx — 4sinxcossx = 0 <> cosx(5 — 4sinx) = 0

Ahde fạ¿: 2 phương trình được gọi là 2 phương trình tương đương

mếu tập nghiệm của chúng bằng nhau

Như vậy để chứng minh 2 phương trình tương đương, ta

có hai cách chứng minh sau:

e Chứng minh 2 phương trình có cùng tập nghiệm

e Biến đổi tương đương phương trình này thành phương

Biểu (1) và (II) trên đường tròn lượng giác ta thấy tập nghiệm (I

Cách 2: sin4x = —sin2x © sin2x + sin4x = 0

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

Câu 1: Phương trình sin”x - 3sinx + 2 = 0 có tập nghiệm là:

Câu 2: Phuong trinh: 2sin’x — (2 + V2 )sinx + J2 = 0 có bao nhiêu nghiệm trên nửa khoảng [0; 2m)?

a) 2 nghiệm b)3nghiệm 'c) 4 nghiệm d) 5 nghiệm

Câu 3: Cho 2 phương trình: 2eos”x - 3eosx + 1=0 (1)

sinx(2cosx — 1) = 0 (2)

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng:

a) (1) và (2) là hai phương trình tương đương

b) (1) là phương trình hệ quả của (2)

c) (2) là phương trình hệ quả của (1)

d) Các khẳng định ở a, b, e đều sai

Câu 4: Trên đoạn [0; 3x] phương trình: cos’x — 2sinx + 2 = 0 có:

a) 3 nghiệm b) 2 nghiệm c) 4 nghiệm d) 6 nghiệm Câu ð: Cho phương trình: 2sin?x — 5sinx - 3 = 0 có tập nghiệm là S

Ký hiệu:

S, = {-30° + k360° / Vk © Z}; Sp = {210° + k360°/ vk e Z} Chon khang dinh dung:

a) (S,;U S2) ¢ S va (S; US.) #8 b) Sc (S,; US.) va (S; U S2) +S

e) S =(S¡ 2 8¿) d)S=8; `

Câu 6: Cho phương trình: 6sin”x - 5sinx + 1 = 0 có tập nghiệm S

Sị= Lễ + kên /Vk © 2}; S = {72 + k2n/ Vk e Z}

Chon khang dinh dung:

a) (S; U 82) c S va (S; US.) #8 b)Sc (S; US.) va (S; US.) +S

Câu 7: Tổng các : nghiệm của phương trình: tạn” '2x~ (1 + V3 )tan2x + v3 =0

Câu 8: Tích các nghiệm của phương trình:

cot?3x — 15 cons +1 =0 trên [0; m] là:

a) 2 nghiệm b) 3 nghiệm c) 1 nghiệm d) Vô nghiệm

Câu 11: Phương trình tan”x - 2mtanx + 2m” - 4 = 0 có nghiệm khi

Câu 18: Biểu diễn nghiệm của phương trình lượng giác:

3sin’x — 423 sinxcosx + 3eos”x = 0 trên đường tròn lượng giác ta được bao nhiêu điểm phân biệt?

a) 2 điểm b) 4 điểm c) 6 điểm d) 8 diém Câu 14: Phuong trinh sin*x + 5 sin2x + 2cos’x — 3 = 0 có phương

trinh hé qua 1a phuong trinh:

a) (sinx — cosx)sinx = 0

b) (2sinx — cosx)sin2x = 0

c) (sinx — cosx)(2sinx’— cosx)sin2x = 0

d) Cả 3 câu trên đều sai

40:

Câu 15: Phuong trinh: sin*x — 6sin”xcosx + 11sinxeos”x — 6eos”x = 0

là phương trình hệ quả của phương trình:

a) c0SX = sinx b) sinx = 2cosx

c) sinx = 3eosx d) Cả 3 câu trên đều đúng

Câu 16: Phương trinh: sin®x — 7sin’xcosx + 11sinxcos’x — 7cos*x + cosx = 0

tương đương với phương trình:

a) (co'sx — sinx)(sinx — 2cosx)(sinx — 3cosx) = 0

b) (c0sx + sinx)(s¡i^x + 2cosx)(sinx + 3cosx) = 0

c) (cosx — sinx)(sin + 2eosx)(sinx + 3cosx) = 0

) Cả ba câu trên đều sai

Câu 17: Phuong trinh: cos*x + cosx.sin’x + sinx = 0 có bao nhiêu

nghiệm trên [—2r; 2x]?

a) 2 nghiệm b) 4 nghiệm e) 6 nghiệm d) 8 nghiệm Câu 18: Tập nghiệm của phương trình: A3 sinx — cosx = 1 là:

a) S = {kt / Vk © 2} b)S= {2 +k2n/ Wk © Z}

c)S= {7 +kn/ vk Z} d) Cả 3 câu a, b, c đều sai

Câu 19: Phương trình 3sinx — 4cosx = 5 tương đương với phương trình a) sinw = 2cosx b) sin* = 2eos >

c) sinw = 3cosx d) sing = Beos >

Cau 20: Hay ghép mỗi dòng ở cột trái với một dòng thích hợp ở cột

phải điể được một khẳng định đúng:

1 Phương trình: 3sinx + 4cosx = m | a) m € (—«; —5] U [5; +00)

có mghiệm khi và chỉ khi b) m e [~4; 0]

2 Phương trình: m.sinx +(m + 1)cosx e)m e (—œ; —4] L2 [0; +ø)

=m -] có nghiệm khi và chỉ khi

d) m c[—5; 5]

Câu 21: Phuong trình (m? + 2)sinx + 4msinx.cosx = m + 3 có

nghiệm khi và chỉ khi: