De DA thi HSG 9 V2 Hai lang

PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ CHÍNH THỨC VÒNG 2.. là số chính phương.[r]

PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2012-2013

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1 (4 điểm):

a) Rút gọn biểu thức: A = 4 7  4 7

b) Cho biểu thức: B =

2 2

1 - - 2 2 - 4

- 2 - 7 10 - 5

Tìm x nguyên để B nguyên

Bài 2 (4 điểm): Cho x > 0, y > 0, x+ £y 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

9

xy

Bài 3 (4 điểm): Chứng minh rằng số: 11…….1 x 100………05 + 1

(có 1995 chữ số 1) (1994 chữ số 0)

là số chính phương

Bài 4 (4 điểm): Tìm số chính phương có 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên

tố, căn bậc 2 của số đó có tổng các chữ số là 1 số chính phương

Bài 5 (4 điểm): Cho ∆ABC biết AC2 = AB2 + BC.AB

Chứng minh rằng :ABC 2ACB  

Hết

Lưu ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ……….……….……….……….……….……….………. Số BD: ……….

ĐỀ CHÍNH THỨC

VÒNG 2

HƯỚNG DẨN CHẤM THI HSG VÒNG II

MÔN TOÁN 9 (2012-2013)

Bài 1 (4 điểm) :

a) A = 4 7  4 7

Dễ thấy A > 0 (0,5 điểm)

Ta có: A2 =  4 7 4 72

=4 7 4  7 2 4   7 4   7

(0,5 điểm)

= 8 2 9 2  (0,5 điểm)

Suy ra A = 2 (Vì A > 0) (0,5 điểm)

b) Ta có: x2 - 7x + 10 = (x - 5)(x - 2)

Điều kiện để B có nghĩa là: x ≠ 5 và x ≠ 2

Ta có:

2 2

B

x x x x (0,5 điểm)

3

2

 





x

x (0,5 điểm)

1

B

   (0,25 điểm)

Với x nguyên, B nguyên khi và chỉ khi

1 2

x  nguyên (0,25 điểm)

Khi đó x - 2 = 1 hoặc x - 2 = - 1 => x = 3 x = 1 (0,25 điểm) Vậy x = 3; x = 1 thì B nguyên (0,25 điểm)

Bài 2 (4 điểm):

Áp dụng BĐT côsi, ta có:

(1 điểm)

Ta có:

(0,5 điểm)

Mặt khác:

9

xy

1 143 1 143 1 1 143 145

(2 điểm)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

1

2

= =

(0,25 điểm)

Vậy minM =

145

4 , đạt được tại

1

2

= =

(0,25

điểm)

Bài 3 (4 điểm):

Ta có: (101994 + 101993 + … + 10 + 1) x ( 101995 + 5)+ 1 1,5đ

=

1

9 (10 - 1)(101994 + 101993 + … + 10 + 1)( 101995 + 5)+ 1 1,5đ

=

1

9 (101995 - 1)( 101995 + 5)+ 1 1đ

= ………… =

2 1995

3

(1994 chữ số 3)

Bài 4 (4 điểm):

Gọi số phải tìm là abcd; (a,b,c,d nguyên ; 0≤ a,b,c,d≤9)

abcd chính phương nên d = { 0 ;1 ;4 ;5 ;6 ; }

Mặt khác: 1000≤ abcd = k2 <10000

k là số có 2 chữ số mà d = 5 nên k tận cùng là 5 1đ

Tổng các chữ số của k là 1 số chính phương nên k =45

Bài 5 (4 điểm):

Vẽ phân giác BD

0,5



DC BC



2

AD.AC = AB2 (gt làAC2 = AB2 + BC.AB )



AB AC;

∆BAD ~ ∆CAB(c.g.c)

Khi BD là phân giác :

1

B B 2





B

2 = C1B 2C  1Hay

0,5

Thí sinh giải cách khác đúng vẩn dạt điểm tối đa.