Các vấn đề: Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Bước 1: Tính
Trang 1BÀI 5 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: là hệ phương trình có dạng
𝒂𝟏𝒙 + 𝒃𝟏𝒚 = 𝒄𝟏 𝒂𝟏𝟐+ 𝒃𝟏𝟐 > 0
𝒂𝟐𝒙 + 𝒃𝟐𝒚 = 𝒄𝟐 𝒂𝟐𝟐+ 𝒃𝟐𝟐 > 0
Cặp số 𝑥𝑜; 𝑦𝑜 thỏa mãn cả hai phương trình gọi là 1 nghiệm của hệ Phương pháp giải: Phương pháp thế (ít sử dụng): Từ một phương trình, tính ẩn này theo ẩn kia Thế vào phương trình còn lại ⇢ phương trình bậc nhất Phương pháp định thức (thường sử dụng): Ta tính các định thức 𝑫 = 𝒂𝒂𝟏 𝒃𝟏 𝟐 𝒃𝟐 = 𝒂𝟏𝒃𝟐− 𝒂𝟐𝒃𝟏; 𝑫𝒙 = 𝒄𝒄𝟏 𝒃𝟏 𝟐 𝒃𝟐 = 𝒄𝟏𝒃𝟐− 𝒄𝟐𝒃𝟏; 𝑫𝒚= 𝒂𝒂𝟏 𝒄𝟏 𝟐 𝒄𝟐 = 𝒂𝟏𝒄𝟐− 𝒂𝟐𝒄𝟏 𝐷 ≠ 0: hệ có nghiệm duy nhất 𝑥 =𝐷𝑥 𝐷 ; 𝑦 =𝐷𝑦 𝐷 𝐷 = 0: Nếu 𝐷𝑥 = 𝐷𝑦 = 0 thì hệ có vô số nghiệm Nếu 𝐷𝑥 ≠ 0 hoặc 𝐷𝑦 ≠ 0 thì hệ vô nghiệm Chú ý: Trong một số trường hợp, ta có thể đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 2 Các vấn đề: Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Bước 1: Tính 𝐷; 𝐷𝑥; 𝐷𝑦 Bước 2: Xét hai trường hợp 𝐷 = 0 ⇢ giải tìm tham số m nếu có ⇢ thay vào 𝐷𝑥; 𝐷𝑦 kiểm tra trực tiếp ⇢ kết luận 𝐷 ≠ 0 ⇢ hệ có nghiệm duy nhất 𝑥 =𝐷𝑥 𝐷 ; 𝑦 =𝐷𝑦 𝐷 Áp dụng 1: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số 𝑚: 𝑚𝑥 + 𝑦 = 𝑚 + 1𝑥 + 𝑚𝑦 = 2
Trang 2
Áp dụng 2: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số 𝑚: 𝑚𝑥 + 𝑦 = 𝑚 𝑥 + 𝑚𝑦 = 𝑚2
Áp dụng 4: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số 𝑚: 𝑚𝑥 + (𝑚 − 1)𝑦 = 2𝑚𝑥 + 𝑚𝑦 = 𝑚 + 1
Áp dụng 5: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số 𝑚: 𝑚𝑥 + 2𝑚 − 1 𝑦 = 3 − 𝑚2𝑥 + 𝑚 + 1 𝑦 = 4
Định tham số 𝒎 thỏa điều kiện cho trước Áp dụng 6: Định 𝑚 để hệ vô nghiệm: 𝑚𝑥 − 𝑦 = 2𝑚 + 1 2𝑚 + 1 𝑥 − 4𝑦 = 4𝑚 + 3
Áp dụng 7: Định 𝑚 để hệ có nghiệm: 𝑚 − 1 𝑥 + (𝑚 − 1)𝑦 = 1𝑚𝑥 + 2𝑦 = 𝑚
Áp dụng 8: Định 𝑚 để hệ có vô số nghiệm: 4𝑥 − 𝑚 − 1 𝑦 = −𝑚
𝑚 + 5 𝑥 + 2𝑦 = 2 + 𝑚
Áp dụng 9: Định 𝑚 để hệ có 1 nghiệm duy nhất (𝑥; 𝑦) thỏa mãn 𝑥 𝑦 < 0: 𝑚𝑥 + 𝑚𝑦 = 𝑚 − 1𝑚𝑥 + 2𝑦 = 1
Áp dụng 10: Cho hệ phương trình: 𝑚𝑥 + 3𝑦 = 2𝑚 − 53𝑥 + 𝑚𝑦 = 1
① Giải và biện luận hệ phương trình trên ② Khi hệ có nghiệm duy nhất, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên của 𝑚 để hệ có nghiệm nguyên Áp dụng 11: Định 𝑚 ∈ ℤ để hệ có nghiệm nguyên duy nhất: 𝑚 + 1 𝑥 − 𝑚 + 5 𝑦 + 1 − 𝑚 = 0
3𝑚 + 1 𝑥 − 5𝑚 + 3 𝑦 + 1 + 7𝑚 = 0 Áp dụng 12: Định 𝑚 ∈ ℤ để hệ có nghiệm nguyên: 𝑚𝑥 + 2𝑦 = 𝑚 𝑚 − 1 𝑥 + 𝑚 − 1 𝑦 = 1 Á 𝐩 𝐝ụ𝐧𝐠 𝟏𝟑: Cho hệ phương trình: 𝑚 1 𝑥− 4𝑦 = 𝑚 − 2
𝑚 − 1 21
𝑥− 2𝑦 = 𝑚2− 1
① Giải hệ khi 𝑚 = 3 ② Định 𝑚 để hệ phương trình trên vô nghiệm
Trang 3Áp dụng 14: Định 𝑚 để hệ có nghiệm duy nhất và tính nghiệm đó:
① 𝑚𝑥 + 2𝑦 = 𝑚 𝑚 − 1 𝑥 + 𝑚 − 1 𝑦 = 1 ② 𝑚𝑥2− 2𝑦 = 𝑚
𝑥2+ 𝑚 − 3 𝑦 = 𝑚 − 1
3 Luyện tập:
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
① 5𝑥 + 𝑦 = 6
𝑥 − 5𝑦 = −6
② 2𝑥 −
1
3𝑦 = 1 3𝑥 −5
2𝑦 = 2
1
3𝑥 −
2
5𝑦 =
3 2 2
3𝑥 +
1
5𝑦 =
3 4
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
①
6𝑥 − 3
𝑦 − 1 −
2𝑦
𝑥 + 1= 5 4𝑥 − 2
𝑦 − 1 −
4𝑦
𝑥 + 1= 2
②
2𝑥2+ 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 3
𝑥2+ 𝑥 + 2 𝑦 − 1 = 4
③
3 𝑥 + 𝑦 + 2 1
𝑥−
1
𝑦 = 6 3(𝑥 − 𝑦) + 2 1
𝑥+
1
𝑦 = 4
Bài 3: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
① 𝑥 + 𝑚𝑦 = 1 𝑚𝑥 + 𝑦 = 𝑚2 ② 𝑥 + 𝑚𝑦 = 3𝑚𝑚𝑥 + 𝑦 = 3 ③ 𝑥 + 𝑚𝑦 = 1 𝑚𝑥 − 3𝑚𝑦 = 2𝑚 + 3
④ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎 − 𝑏 ⑤ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑎2+ 𝑏2
𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 2𝑎𝑏 ⑥ 𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑎 − 𝑏 𝑦 = 𝑎
2𝑎 − 𝑏 𝑥 + (2𝑎 + 𝑏)𝑦 = 𝑏
Bài 5: Định 𝑚 để các hệ phương trình sau vô nghiệm:
① 𝑚𝑥 + 2𝑚𝑦 = 1 𝑚2𝑥 + (2𝑚2− 𝑚)𝑦 = 2 ② 2𝑚2𝑥 + 3(𝑚 − 1)𝑦 = 3
𝑚 𝑥 + 𝑦 − 2𝑦 = 2 ③ 𝑚2𝑥 + 2 − 𝑚 𝑦 = 4 + 𝑚3
𝑚𝑥 + 2𝑚 − 1 𝑦 = 𝑚5− 2
Bài 6: Định 𝑚 để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
① 𝑚 + 1 𝑥 + 8𝑦 = 4𝑚
𝑚𝑥 + 𝑚 + 3 𝑦 = 3𝑚 − 1 ② 𝑚 − 1 𝑥 + 𝑚 + 2 𝑦 = 3𝑚 − 4𝑚𝑥 + 8𝑦 = 4𝑚 − 4
Bài 7: Định 𝑚 để các hệ phương trình sau vô số nghiệm:
① 2𝑥 − 𝑚 + 1 𝑦 + 2 = 0𝑚𝑥 + 3𝑦 + 𝑚 − 2 = 0 ② 𝑚 + 6 𝑥 + 2𝑦 = 𝑚 + 3
−4𝑥 + 𝑚𝑦 = 1 + 𝑚 ③ 2𝑚2𝑥 + 3(𝑚 − 1)𝑦 = 3
𝑚 𝑥 + 𝑦 − 2𝑦 = 2
Bài 8: Định 𝑚 để các hệ phương trình sau có nghiệm nguyên:
① 𝑚𝑥 + 2𝑦 = 𝑚 (𝑚 − 1)𝑥 + 𝑚 − 1 𝑦 = 1 ② 𝑚𝑥 − 2𝑦 = 𝑚 − 2 𝑚 − 1 2𝑥 − 𝑦 = 𝑚2− 1 ③ 𝑚 + 1 𝑥 − 2𝑦 = 𝑚 − 1
𝑚2𝑥 − 𝑦 = 𝑚2+ 2𝑚
Bài 9: Khi các hệ có nghiệm 𝑥; 𝑦 , hãy tìm hệ thức liên hệ giữa 𝑥 và 𝑦 độc lập với 𝑚:
① 𝑥 + 𝑚𝑦 = 3𝑚 𝑚𝑥 + 𝑦 = 2𝑚 + 1 ② 2𝑚 + 4 𝑥 − 5𝑚 + 3 𝑦 = 2𝑚 − 4
𝑚 + 2 𝑥 − 3𝑚𝑦 = 𝑚 − 2 ③ 𝑚𝑥 + 2𝑦 = 𝑚 + 1 2𝑥 + 𝑚𝑦 = 2𝑚 + 5
Bài 10: Định 𝑚, 𝑛 để các hệ phương trình sau vô nghiệm:
① 𝑚 + 1 𝑥 + 𝑚𝑦 = 𝑛
3𝑥 + 4 − 𝑚 𝑦 = 2𝑛 − 1 ② 𝑚 + 1 𝑥 + 2𝑛 + 1 𝑦 = 𝑚 + 1
𝑚 − 1 𝑥 + 𝑦 = 2