Hãy xác định m sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị Cm và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới trục hoành bằng nhau.. Tìm toạ độ điểm I' là điểm đối xứng với điểm I[r]
Trang 1TRƯỜNG THPT ĐA PHÚC KIỂM TRA HỌC KỲ 2
- - (Thời gian 90 phút)
Câu 1: (3,5 điểm) Cho hàm số: y = x4 - 4x2 + 2m + 1 có đồ thị là (Cm)
a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1 (C1)
b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C1) biết hoành độ tiếp điểm x0 = 1
c Giả sử đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt Hãy xác định m sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (Cm) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới trục hoành bằng nhau
Câu 2: (1,5 điểm) Tính các tích phân sau:
a I=∫
0
√ 3 xdx
√x2+1 ; b J =∫
0
π
x sin33 xdx
Câu 3: (1,5 điểm) Trong tập số phức
a Tính |¯z| biết z = (4 - 3i)2 + (1 + 2i)3; b Giải phương trình: x2 + 5x + 8 = 0
Câu 4: (3,5 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm I(2; 3; -1) và đường thẳng (d) có
phương trình: x +32 =y +7
1 =
z+11
−2 .
a Tìm toạ độ điểm I' là điểm đối xứng với điểm I qua đường thẳng (d)
b Lập phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua đường thẳng (d) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy)
c Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I cắt đường thẳng (d) tại hai điểm A, B thoả mãn AB= 40
- Hết
- - (Thời gian 90 phút)
a.
y' = 4x3 - 8x, y' = 0 4x3 - 8x = 0
x=0 x=±√2
⇔¿
0,25
y' - 0 + 0 - 0 +
HS đồng biến trên ( −√2 ;0) và ( √2 ; +∞ )
HS nghịch biến trên ( − ∞ ; −√2 ) và (0; √2 )
0,25
lim x 4x 3
y' - 0 + 0 - 0 +
yCĐ = y (0) = 3
yCT = y ( ± √2 ) = -1
0,25
CĐ
CT
Trang 2(C1) cắt trục Oy tại điểm (0;3)
(C1) cắt trục Ox tại điểm (-1;0), (1;0), ( −√3 ;0) và ( √3 ;0) 0,25
0,25
b.
(1đ)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C1)tại điểm M0 là: y = -4x + 4 0,25
c.
(0,5)
Phương trình hoành độ giao điểm x4 - 4x2 + 2m + 1 = 0 (1)
Đặt t = x2, t 0
0,25
Ta được phương trình: t2 - 4t + 2m + 1 = 0 (2)
Để PT (1) có 4 nghiệm phân biệt PT (2) có 2 nghiệm 0 < t1 < t2
Ta có {Δ'>0
S>0 P>0
⇔{ m<3
2
m> −1
2
⇔ −1
2 <m<
3
2 (*)
Vậy với − 12 <m<3
2 PT (1) có 4 nghiệm phân biệt tương ứng là:
−√t2, −√t1,√t1,√t2
Do y = x4 - 4x2 + 2m + 1 là hàm số chẵn (Nhận trục Oy làm trục đối xứng) theo yêu cầu
bài ta có:
∫(x4 - 4x2+ 2m + 1 )dx=0 ⇔ 3 t22−20 t2+15 (2 m+1)=0 (3)
Mặt khác t2 là nghiệm PT (2) ta có: t22− 4 t2+2 m+1=0 (4)
Từ (3) và (4) tìm được m = 11
18 thoả mãn điều kiện (*) Kết luận: m = 11
18 …
0,25
Câu 2: (1,5 điểm)
a.
(1đ) Đặt t = x2 + 1 => xdx ¿1
2dt Với x = 0 thì t = 1; Với x = √3 thì t = 4
0,25
I = 1
2∫t
− 1
3
-1
Trang 3-I = t
1
2
∨4
b.
(0,5)
3
J ∫xsin xdx ∫xsin xdx ∫xsin xdx 0,25
J = 2 π
Câu 3: (1,5 điểm)
a.
(1đ)
b.
(0,5)
i√7¿2
x1,2= − 5 ±i√7
Câu 4: (3,5 điểm)
a.
(1đ) PT tham số đt (d) là: {x =−1+2 t y=2+t
z=− 3 −t
b.
(1đ)
đt (d) đi qua điểm M0(-1;2;-3) và có VTCP ⃗u=(2 ;1;−1)
MP ( α ) có VTPT ⃗n=[⃗u; ⃗n1]=(1 ;−2 ;0) đi qua điểm M0(-1;2;-3) 0,25
c.
(1đ)
Gọi (β) đi qua điểm I(1;-2;3) và vuông góc với đt (d) 0,25
MP (β) đi qua điểm I(1;-2;3) có VTPT ⃗u=(2 ;1;−1) là 2x+y-z+3 = 0 0,25 Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm I trên đường thẳng (d) ta có H(-1+2t; 2 + t; -3-t)
H (β) ta có 6t + 6 = 0 t = -1
Vậy H(-3;1;-2)
0,25
Gọi I'(x;y;z) đối xứng với I qua (d)
H là trung điểm của II'
{x =−7 y=4
z=− 7
Vậy I'(-7;4;-7)
0,25
d.
(0,5)
Gọi M là trung điểm của AB ta có ΔIAM vuông tại M
Theo yêu cầu bài toán và ý c) ta có M(-3;1;-2)
⃗
MI=(4 ;−3 ;5)−⃗|MI|=√50
R2 =202 + 50 = 450
Vậy phương trình mặt cầu (S) thoả mãn yêu cầu bài toán là:
(x-1)2 + (y+2)2 + (z-3)2 = ( 15√2 )2
0,25
Chú ý:
- Học sinh làm cách khác đúng, lập luận chặt chẽ cho điểm tối đa
Trang 4- Hết