Viết phương trình mặt cầu S có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng P.. Tìm tọa độ điểm E nằm trên đường thẳng CD sao cho B là hình chiếu vuông góc của E trên đường thẳng AB.. Tìm tọa độ đi
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ II Năm học 2010-2011
Môn thi: TOÁN 12
Thời gian: 120 phút (không kể phát đề) Ngày thi: 15/04/2011
(Đề thi gồm có 1 trang)
I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm)
1) Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = x 2(1 - x ) biết rằng F(1) = 0
2) Tính các tích phân sau
a) A =
1 0
0
x 1
(2x 1)e dx
-+
Câu 2 (1,0 điểm) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (2 – i )( 1 + 2i ) – 3( 1 - i).
Câu 3 (3,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(-1; 1; 2), B(1; 0; 1),
C(-1; 1; 0) và D(2; -1; -2)
1 Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua ba điểm B, C và D
2 Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
3 Tìm tọa độ điểm E nằm trên đường thẳng CD sao cho B là hình chiếu vuông góc của E trên đường thẳng AB
II - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Học sinh chỉ được chọn một trong hai phần (phần cho chương
trình chuẩn 4a, 5a, 6a; phần cho chương trình nâng cao 4b, 5b, 6b)
1 Theo chương trình Chuẩn
Câu 4.a (1.0 điểm)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C ) của hàm số y = cos3x sin2x, các đường thẳng
x = 0, x =
2
và y = 0
Câu 5.a (1.0 điểm) Giải phương trình 4z2- 2z + 1 = 0 trên tập số phức
Câu 6.a (1.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm P(1; 2; -3), Q(3; 3; 0),
R(2; -3; 1) và S(3; -1; 4) Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng PQ và điểm N trên đường thẳng RS, sao cho khoảng cách hai điểm M và N đạt giá trị nhỏ nhất
2 Theo chương trình Nâng cao
Câu 4.b (1.0 điểm) Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = 2x
2x 1 , x = 0, x = 1 và
y = 0 Tính thể tích khối tròn xoay tạo ra khi quay hình phẳng (H ) xung quanh trục hoành
Câu 5.b (1.0 điểm) Tìm mô đun của số phức z, biết z2= 1- 4 3i
Câu 6.b (1.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 0; -1), B(0; 1; -1) và
mặt cầu ( S ) tâm I (1; 2; -1), bán kính R = 1 Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng AB và điểm N trên mặt cầu ( S ), sao cho khoảng cách hai điểm M và N đạt giá trị nhỏ nhất
Trang 2
-Hết -SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC KỲ II NĂM 2011
ĐỒNG THÁP Mơn thi: TỐN 12- trung học phổ thơng
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Bản hướng dẫn gồm 05 trang
I Hướng dẫn chung
1) Nếu học sinh làm bài khơng theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định
2) Việc chi tiết hĩa (nếu cĩ) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm khơng làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất trong tồn tổ chấm thi của trường
3) Sau khi cộng điểm tồn bài, làm trịn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm trịn thành 0,5, lẻ 0,75 làm trịn thành 1,0 điểm)
II Đáp án và thang điểm
I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7,0 điểm)
Câu 1 1 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2
x (1 - x ) biết rằng
Phân tích f(x) = - x4+ x2
Nguyên hàm F(x) =
-4
4
x
+ 3
3
x
+ C
F(1) = 1
3-1
4+C = 0 suy ra C = - 1
12
Vậy F(x) =
-4
4
x
+ 3
3
x
- 1
12
0.25 0.25 0.25 0.25
Câu 1 2
a) Tính tích phân a) A =
1 0
* Đặt u = 1 x u2= 1- x hay x = 1 - u2 dx=-2udu
* Đổi cận x 0 1
u 1 0
* Đổi biến A =
0
2 1
(1 u )u( 2udu)-
1
2 4 0
* Vậy A = 2(
3
3
u
-5
5
u
)]1
0= 4
15
0.25 0.25 0.25 0.25
Câu 1 2
b) Tính tích phân B =
0
x 1
(2x 1)e dx
-+
Đặt u = 2x+1 du = 2dx
dv= ex v= -ex 0.25
Trang 3 Tích phân từng phần B=-(2x+1)ex]0
1
+2
0 x 1
e dx
Vậy B= -1-e-2 ex]0
1
= e-3
0.25 0.25 0.25
Câu 2 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z = (2 – i )( 1 + 2i ) – 3( 1 - i) 1.0đ
Biến đổi z = 2+4i-i-2i2-3+3i
Số phức z = 1+6i
Phần thực bằng 1
Phần ảo bằng 6
0.25 0.25 0.25 0.25
Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(-1; 1; 2),
Câu 3 1 Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua ba điểm B, C và D 1.0đ
Cặp véc tơ BC
=(-2 ;1 ; -1) BD=(1; -1; -3)
Véc tơ pháp tuyến n=[BC ; BD ]= (-4; -7; 1)=-(4 ;7 ;-1)
Phương trình mặt phẳng (P): 4(x-1)+7(y-0)-1(z-1) = 0
Vậy phương trình mặt phẳng (P) : 4x+7y-z-3= 0
0.25
0.25 0.25 0.25
Câu 3 2 Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (P) 1.0đ
Phương trình mặt cầu (S) tâm A : (x+1)2+(y-1)2+(z-2)2 = R2
Bán kính R = d(A;(P))= 4( 1) 7(1) 1(2) 32 2 2
66
Phương trình mặt cầu (S) : (x+1)2+(y-1)2+(z-2)2 = 2
33
0.25 0.5 0.25
Câu 3 3 Tìm tọa độ điểm E nằm trên đường thẳng CD sao cho B là hình
chiếu vuông góc của E trên đường thẳng AB.
1.0đ
Gọi E(x;y;z)CD: CD = (3 ;-2 ;-2) E(-1+3t ;1-2t ;-2t)
Điều kiện BE BA hay BE.BA = 0, với BA =( -2 ;1 ;1) và BE
=(-2+3t ;1-2t ;-1-2t)
Suy ra phương trình -2(-2+3t)+1(1-2t)+1(-1-2t)= 0 hay t= 2
5
Vậy E(1
5;1
5; 4
5
)
0.25
0.25 0.25 0.25
II - PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Trang 41 Theo chương trình Chuẩn
Câu 4a Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( C ) của
hàm số y = cos3x sin2x, các đường thẳng x = 0, x =
2
và y = 0
1.0đ
Diện tích S = 2 3
0
cos xsin2xdx
p
0
cos xsin2x
p
0
cos xsinxdx
p
Đặt u= cosx -du= sinxdx Đổi cận x 0
2
u 1 0
S = - 2
0 4 1
u du
Vậy S= 2
5
5
u
]1
0= 2
5
0.25 0.25
0.25
0.25
Câu 5a Giải phương trình 4z2- 2z + 1 = 0 trên tập số phức 1.0đ
’= (-1)2-4(1)= -3
Căn bậc hai của ’ là i 3
Phương trình hai nghiệm là z1,2= 1 3
4
i
0.25 0.25 0.5
Câu 6a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm P(1; 2; -3),
Q(3; 3; 0), R(2; -3; 1) và S(3; -1; 4) Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng PQ và điểm N trên đường thẳng RS, sao cho khoảng cách hai điểm M và N đạt giá trị nhỏ nhất.
1.0đ
Gọi M(x;y;z)PQ: PQ =(2;1;3) M(1+2t; 2+t;-3+3t) N(x;y;z)RS: RS =(1;2;3) N(2+t’; -3+2t’;1+3t’)
MN =(1+t’-2t; -5+2t’-t;4+3t’-3t)
Điều kiện MN PQ
MN RS
MN PQ
MN RS
Suy ra hệ phương trình 13 ' 14 9
t t
t t
25 ' 9 29 9
t t
Vậy M(67
9 ;47
9 ;20
3 ) và N(43
9 ;23
9 ;84
9 )
0.25
0.25
0.25 0.25
1 Theo chương trình Nâng cao
Trang 5Câu Đáp án Điểm Câu 4b Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = 2x
2x 1 , x = 0, x = 1
và y = 0 Tính thể tích khối tròn xoay tạo ra khi quay hình phẳng (H ) xung quanh trục hoành.
1.0đ
Thể tích V =p
1
2 0
2x
2x 1+
Biến đổi V =p
1
2 0
1
2x 1
-+
1
2 0
2x 1 (2x 1)
ò
Nguyên hàm V=p[x-ln 2x -1 1
2
1
2x 1]1
0
Vậy V=p(4
3-2ln3) ( đvtt)
0.25 0.25 0.25 0.25
Câu 5b Tìm mô đun của số phức z, biết z2= 1- 4 3i 1.0đ
Gọi z= x+yi, x,y : 1- 4 3i= (x+yi)2= x2-y2+2xyi
Hệ phương trình
2 2
1
x y xy
3
x y
3
x y
Do đó z = 2- 3i hay z = -2+ 3i
Vậy z= 7
0.25 0.25
0.25 0.25
Câu 6b Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 0; -1),
B(0; 1; -1) và mặt cầu ( S ) tâm I (1; 2; -1), bán kính R = 1 Tìm tọa
độ điểm M nằm trên đường thẳng AB và điểm N trên mặt cầu ( S ), sao cho khoảng cách hai điểm M và N đạt giá trị nhỏ nhất.
1.0đ
Gọi M(x;y;z)AB: AB
=(-1;1;0) M(1-t; t;-1)
IM =(-t; t-2; 0) Điều kiện IM AB IM AB=0
-1(-t)+1(t-2)=0 t= 1 M(0; 1; -1)
N(x;y;z)IM(S) Ta có NIM: IM =(-1;-1; 0) N(1-t;2-t;-1)
N(1-t;2-t;-1) (S): (x-1)2+(y-2)2+(z+1)2= 1 (-t)2+(-t)2=1 t= 2
2 ;-1) hoặc N(1+ 2
2 ;-1)
Với N(1- 2
2 ;-1) MN= 2-1
Với N(1+ 2
2 ;-1) MN= 2+1
Vậy M(0; 1; -1) và N(1- 2
2 ;-1) thì MN= 2-1 nhỏ nhất
0.25
0.25
0.25 0.25