b Với cách đặt ẩn phụ như trên, trong trường hợp tổng quát, ta có: t+... Phương trình dạng.[r]
Trang 1Giải một số phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
1 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về giải phương trình:
Dạng phương trình af(x )+b√f (x )+c=0 (I).
Trong đó a, b, c cho trước và a.b 0
Phương pháp giải:
1 Điều kiện xác định: f(x) 0
2 Đặt √f (x )=t (t ≥ 0)⇒ f (x )=t2 (*), ta có phương trình ẩn t:
at2+bt+c=0 (1)
3 Giải phương trình (1), tìm nghiệm t 0
4 Thay t vào (*) tìm x
5 Trả lời nghiệm: Nghiệm của phương trình (I) là giá trị x tìm được
ở bước 4 thỏa mãn điều kiện bước 1
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) x+√x −2=0
Lời giải:
a) Điều kiện: x ≥ 0
Đặt √x=t(t ≥ 0)⇒ x=t2 , ta có phương trình
t2+t −2=0 (a+b+c=0)⇒t1 =1(t /m),t2=− 2 (loại)
t1=1⇒√x=1 ⇒ x=1
Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1
b) x2−7√x2− 2+8=0
Lời giải:
Điều kiện:
x2−2 ≥ 0 ⇔ x2
≥ 2 ⇔
x ≥√2
¿
x ≤−√2
¿
¿
¿
¿
¿
Ta có: x2−7√x2− 2+8=0 ⇔ x2−2 −7√x2− 2+10=0
Đặt √x2−2=t(t ≥0) ⇒ x2
− 2=t2 , ta có phương trình ẩn t: t2−7 t +10=0
−7¿2− 4 1 10=9 ⇒√Δ=3 ⇒t1 = 7+3
2 =5 (t /m);t2 =7 −3
2 =2(t /m)
Δ=¿ Với t1=5⇒√x2−2=5 ⇒ x2 =27⇒ x1=−√27=− 3√3 (t /m), x2= √ 27=3√3 (t/m)
Với t2=2⇒√x2− 2=2 ⇒ x2
=6⇒ x3=−√6(t /m), x4= √6(t /m) Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt:
x1=−3√3 , x2=3√3 , x3=−√6 , x4= √ 6
Trang 2c) x2−2 x +3=2√2 x2−4 x+3
Lời giải:
Ta có: 2 x x − 12 ¿2+1 ≥ 1
−4 x+3=2¿ nên tập xác định của PT là R Đặt √2 x2− 4 x +3=t(t ≥√1=1)⇒2 x 2− 4 x+3=t2⇒ x2−2 x= t2− 3
2
Phương trình x2−2 x +3=2√2 x2−4 x+3 trở thành:
t2− 32 +3=2 t ⇔ t2
−4 t+3=0 ⇒t1=1(t /m), t2=3 (t /m)
Với t1 = 1, ta có 2x2 - 4x + 3 = 1 <=> 2(x-1)2 = 0 <=> x = 1
Với t2 = 3, ta có 2x2 - 4x + 3 = 9 <=> 2(x2 - 2x - 3) = 0
⇔ x=−1
¿
x=3
¿
¿
¿
¿
¿ Vậy phương trình có ba nghiệm: x1 = 1, x2 = -1, x3 = 3
d) 2 x2−3 x+ 10=3√x3+8
Lời giải:
ĐKXĐ: x3+8≥ 0 ⇔ x ≥− 2
Khi đó: 2 x2−3 x+10=3√x3 +8 ⇔2 x2
−3 x +10=3√(x+2)(x2− 2 x +4 )
⇔2(x2−2 x+4)+(x +2)− 3√(x+ 2)(x2−2 x + 4)=0
Do x2- 2x + 4 = (x-1)2 + 3 > 0 với mọi x, nên chia hai vế của phương trình (1) cho x2 - 2x + 4, ta được: 2+ x +2
x2−2 x+4 −3√x2− 2 x +4 x +2 =0
Đặt √x2− 2 x +4 x +2 =t (t ≥ 0) , phương trình đã cho trở thành:
t2 - 3t + 2 = 0
⇔ t=1
¿
t=2
¿
¿
¿
¿
¿ Với t=1 ⇒√x2− 2 x +4 x +2 =1⇔ x2
−2 x +4=x +2
⇔ x2
− 3 x+2=0 ⇔ x=1
¿
x =2
¿
¿
¿
¿
¿
(t/m)
Trang 3Với t=2 ⇒√x2− 2 x +4 x +2 =2⇔4 x2
−9 x +14=0 (*) Δ=92− 4 4 14=−143<0 ⇒ phương trình (*) vô nghiệm
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 1, x2 = 2
*Nhận xét: Phương trình trên là một phương trình của dạng
af(x )+bg (x)=c√f (x) g (x) (*)
Xét f(x) = 0, xem giá trị của x tạ đây có phải là nghiệm của phương trình (*) không
Xét f(x) 0 Chia hai vế của phương trình (*) cho f(x), ta có
a+b g(x )
f ( x)=c√g (x) f (x ) Đây là một trường hợp của phương trình dạng (I)
Dạng phương trình axn+bx +(cx+d)√a , x n+b,+m=0 (II)
Trong đó a, b, c, d, a ’ , b ’ , m, n là các số cho trước, a.a ’ 0, n N❑
Phương pháp giải:
1 Điều kiện xác định
2 Đặt √a , x n+b,=t (t ≥ 0)⇒a ,
x n+b ,=t2 (*)
Ta có: axn
=a
a , .(a
, x n
+b ,
)−ab,
a , =
a
a , t
2−ab,
a , Phương trình (II) trở thành
a a , t2 +(cx+d)t+bx +m−ab,
a , =0 (1)
3 Giải phương trình (1), tìm nghiệm t theo x (Chú ý t 0)
4 Thay t vào (*) để tìm các giá trị của x
5 Trả lời nghiệm của phương trình (II)
ý kiến: Đối với n 2 thì việc giải phương trình dễ dàng
Đối với n > 2 thì việc ra đề cần chú ý chọn các hệ số a, b, c, d,
a ’ , b ’ , m sao cho bước 4 phân tích được thành nhân tử
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a) x2+3 x +1=(x+3)√x2+1
Lời giải:
ĐKXĐ: ∀ x ∈ R
Đặt √x2+1=t(t ≥1)⇒ x2
=t2−1 Phương trình đã cho trở thành:
Trang 4
t2−(x+3)t+3 x=0
x −3¿2≥ 0 ⇒
¿
t=x
¿
t=3
¿
¿
¿
¿
¿
¿x +3¿2− 12 x=¿
Δ=¿ Với t=x ⇒√x2+1=x (x ≥ 1)⇒ x 2
+1=x2⇒ 0 x2
+1=0 vô nghiệm Với t=3 ⇒√x2+1=3⇒ x 2 +1=9⇒ x 2
=8⇒ x=±√8=± 2√2 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1=2√2 , x2=−2√2
b) x3− 4 x − 2(x − 3)√x3− 20=12
Lời giải:
ĐKXĐ: x3−20 ≥ 0 ⇔ x ≥3
√ 20
Ta có: x3− 4 x − 2(x − 3)√x3− 20=12
⇔ x3− 20 −2(x −3)√x3− 20− 4 x +8=0
Đặt √x3−20=t (t ≥ 0) , phương trình đã cho trở thành:
t2 - 2(x-3)t - 4x + 8 = 0
x −1¿2.⇒√Δ ,= |x −1| =x −1(Do x ≥√320)
¿
x −3¿2−(− 4 x +8)=x2− 2 x +1=¿
¿
Δ '= ¿ Với 2 x +2 t=2 x +2¿2−20=0 ⇒√x ⇔ x3 3− 4 x2− 8 x − 24=0
−20=2 x +2 ⇔ x3
−¿
⇔ x3− 6 x2+2 x2− 12 x +4 x −24=0 ⇔ x=6(Do x2 ⇔(x− 6)(x2+2 x +4 )=0
+2 x +4 ≥ 3)
Với t=4 ⇒√x3−20=4 ⇔ x3
=84⇔ x =√384 Đối chiếu với ĐKXĐ ta thấy cả hai giá trị của x đều thỏa mãn Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1=6 , x2= √384
Dạng phương trình √a+cx ±√b − cx+d√(a+cx)(b − cx)=m (IV)
Phương pháp giải:
1 ĐKXĐ
2 Đăt √a+cx ±√b − cx=t ⇒t2
=a+b ±2√(a+cx)(b − cx)
Ta có phương trình t ± d t
2
− a −b
2 =m (*)
3 Giải phương trình (*) tìm nghiệm x thỏa mãn ĐKXĐ
4 Trả lời nghiệm
Trang 5Ví dụ: Cho phương trình: √x+1+√3 − x +√(x +1)(3− x)=k
a) Giải phương trình khi k = 2
b) Tìm điều kiện của k để phương trình có nghiệm
Lời giải:
a) Khi a = 2 ta có phương trình √x+1+√3 − x +√(x +1)(3− x)=2
ĐK: −1 ≤ x ≤3
Đặt √1+x +√3 − x=t (t >0)⇒ t2
= 4+2√(1+x )(3 − x)⇔√(1+x )(3 − x )= t
2
−4
2
Ta có phương trình:
t+ t
2
− 4
2 =2⇔ t 2
+2 t −8=0⇔ t=2(t /m)
¿
t=− 4 (Loai)
¿
¿
¿
¿
¿
Với t = 2 thì
√(1+x)(3− x)=22− 4
2 =0⇔
x +1=0
¿
3 − x=0
¿
x =−1
¿
x=3
¿
¿
¿
⇔¿
¿
¿
¿
(t/m)
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = -1, x2 = 3
b) Với cách đặt ẩn phụ như trên, trong trường hợp tổng quát, ta có: t+ t
2
− 4
2 =k ⇔t2
+2 t − 2 k − 4=0
xét Δ ' = 1 + 2k + 4 = 2k + 5
Nếu Δ ' ≥ 0 ⇔2 k+5 ≥ 0 ⇔k ≥−5
2
Phương trình có hai nghiệm: x1 =−1+ √2 k +5 , x2 =− 1− √2k +5
Do t > 0 nên t2 không thỏa mãn
Mặt khác, √1+x +√3 − x=1 √1+x +1.√3 − x ≤√2(1+x+3− x)=2√2 (Bunhi) Như vậy 0<t ≤ 2√2 Do đó 0<− 1+√2 k +5 ≤ 2√2⇔1<√2 k +5 ≤2√2+1
⇔− 4<2 k≤ 4 +4√ 2⇔− 2<k ≤ 2+2√ 2
Vậy với −2<k ≤ 2+2√2 thì phương trình có nghiệm
2 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về giải hệ:
Trang 6Phương trình dạng
f (x)¿n+b
¿
f (x)¿n+d
¿
c¿
a¿
m√ ¿
Trong đó a, b, c, d, t, m, n,p là hằng số và a.m.p.c 0 , n ∈ N❑ .
Phương pháp giải:
1 Tìm điều kiện xác định:
f (x)¿n+b ≥ 0
¿
f (x)¿n+d ≥0
¿
⇔
¿
¿
a¿
2 Đặt ẩn phụ:
f (x)¿n+b
¿
(u ≥0)
¿
f (x )¿n+d
¿
(v ≥ 0)
¿
⇔
¿
f (x)¿n+b
¿
f (x )¿n+d
¿
⇔
¿
f (x)¿n+ bc(1)
¿
a¿
¿
u=√ ¿ Trừ vế theo vế của (1) và (2), ta có phương trình cu2 - av2 = bc - ad (3)
Thay u, v vào (I) kết hợp (3), ta có hệ:
Trang 7
¿
mu+pv+t=0
cu2− av2=bc − ad
⇔
¿v=− mu+t
p
cu2− a(− mu+t
p )2=bc − ad (4)
¿ {
¿
3 Giải phương trình (4), chọn nghiệm u 0 sao cho v 0
4 Thay u hoặc v vào (1) tìm x thỏa mãn điều kiện
5 Trả lời nghiệm
Ví dụ : Giải các phương trình sau:
a) √2 x +1+√x −3 − 4=0 (1)
Lời giải:
Điều kiện:
¿
2 x +1 ≥ 0
x − 3 ≥0
⇔
¿x ≥ −1
2
x ≥3
⇔ x ≥ 3
¿ {
¿
Đặt
¿
√2 x+1=u
√x − 3=v
(0 ≤u , v ≤ 4 )⇒
¿2 x+1=u2
x −3=v2
⇒u2
−2 v2=7
¿ {
¿
(2)
Thay u, v vào (1), kết hợp (2), ta có hệ:
u+v −4=0
u2− 2 v2=7
⇔
¿
¿u=4 − v (3)
4 − v¿2−2 v2=7 (4 )
¿
¿ {
¿ Giải phương trình (4):
(4) <=> v2 + 8v - 9 = 0 => v = 1 (thỏa mãn) hoặc v = -9 (loại)
Trang 8v =1 => u = 3 (thỏa mãn), khi đó
¿
√x − 3=1
√2 x +1=3
⇔ x=4
¿ {
¿ Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4
b) √25− x2−√10 − x2=3
Lời giải:
ĐKXĐ:
¿
25 − x2≥ 0
10 − x2≥ 0
⇔−√10 ≤ x ≤√ 10
¿ {
¿ Đặt √25− x2=u(u ≥ 0),√10− x2=v (v ≥0)⇒u2
−v2=15⇔(u+v )(u− v)=15 Ta có
hệ:
¿
u − v=3
(u+v)(u − v )=15
⇔
¿u− v =3
u+v =5
⇔
¿u=4
v=1
¿ {
¿
(t/m)
Suy ra
√25− x2=4
√10 − x2 =1
⇔
¿x2 =9
x2=9
⇔ x=3
¿
¿
x =−3
¿
¿ {
¿
¿
¿ ¿
(t/m)
Vậy phường trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 = 3, x2=-3 c) 2√x2− 3 x+5+√2 x2− 4 x − 1− 7=0
Lời giải:
Trang 9ĐKXĐ:
¿
x2− 3 x+5 ≥ 0
2 x2−6 x +11≥0
⇔ ∀ x ∈ R
¿ {
¿ Đặt √x2−3 x+5=u (u≥ 0),√2 x2− 6 x +11=v (v ≥0)⇒2 u2− v2 =− 1
Ta có hệ:
2 u+v =7 2u2− v2=−1
⇔
¿v=7 −2 u
¿
7 −2 u¿2+1=0 (2)
¿
¿
¿
2u2−¿ (2) <=> -2u2 + 28u - 48 = 0 <=> u2 - 14u + 24 = 0
Δ '=72− 24=25 ⇒√Δ '=5⇒u1=7+5=12(t /m),u2=7 −5=2(t /m)
Tại u = 12 => v = 7 - 2.12 = -17 < 0 (không thỏa mãn)
Tại u = 2 => v = 7 - 2.2 = 3 (thỏa mãn)
Với u = 2
⇒√x2−3 x +5=2 ⇔ x2−3 x+1=0 ⇔
x=3+√5
2
¿
x = 3 −√5
2
¿
¿
¿
¿
¿ Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1= 3+√5
2 , x2 =3 −√5
2
Phương trình dạng √ax2+bx+c+√ax2+b1x +c1+√b2x +c2=√c +c2− c1 (II)
Trong đó a ≠ 0 , b1=b+b2
Phương pháp giải:
1 ĐKXĐ
2 Đặt √ax 2
+bx+c=u(u ≥ 0)⇒ u2 =ax 2
+bx+c
√ax2+b1x +c1=v (v ≥ 0)⇒ v2
=ax2+b1x +c1
√b2x +c2 =t(t ≥0)⇒t2
=b2x+c2 Suy ra u2− v2+t2=(b −b1+b2)x+c − c1+c2=c+c2− c1(Dob+b2=b1)
Trang 10Ta có hệ:
u2− v2+t2=c +c2− c1 u+v +t=√c +c2−c1 u+v +t¿2
¿
¿
¿ {
⇒u2− v2 +t 2
= ¿
⇔2(v2
+ uv +vt+tu)=0⇔(u+v )(v +t)=0 ⇔
u+v=0
¿
v+t=0
¿
¿
¿
¿
¿
Do u ≥0 , v ≥ 0 , t ≥ 0 nên u = v = 0 hoặc v = t = 0
3 Trả lời nghiệm: Nghiệm của phương trình (II) là nghiệm chung của hai phương trình u = v = 0 hoặc v = t = 0
Ví dụ: Giải các phương trình:
a) √2 x2− 9 x −5+√2 x2+2 x −60+√11 x − 30=5 (1)
Lời giải:
ĐK:
¿
2 x2− 9 x −5 ≥ 0
2 x2 +2 x −60 ≥ 0
11 x −30 ≥ 0
⇔ x ≥ 5
¿ { {
¿ Đặt √2 x2− 9 x −5=u(u ≥ 0)⇒ u2
=2 x2− 9 x −5
√2 x2+2 x −60=v (v ≥ 0)⇒v2
=2 x2+2 x −60
√11x −30=t(t ≥ 0)⇒t2
=11 x − 30 Suy ra u2− v2+t2=25
Ta có hệ:
u2− v2
+t2 =25
u+v +t=5 u+v +t¿2
¿
¿
¿ {
⇒u2− v2
+t2
= ¿
⇔2(v2
+ uv +vt+tu)=0⇔(u+v )(v +t)=0 ⇔
u+v=0
¿
v+t=0
¿
¿
¿
¿
¿
(*)
Do u ≥0 , v ≥ 0 , t ≥ 0 nên (*) xẫy ra khi u = v = 0 hoặc v = t = 0
Trang 11Với u = v = 0, ta có
¿
2 x2− 9 x −5=0
2 x2 +2 x − 60=0
⇔
¿ (x −5)(2 x+1)=0 2(x −5)(x+6)=0
⇔ x=5 (t/m)
¿ {
¿
Với v = t = 0, ta có
11 x −30=0
2 x2+2 x −60=0
⇔
11 x −30=0
¿
¿
2(x − 5)(x+6)=0
¿
¿ ¿
Vô nghiệm
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = 5 b) 3
√3 x2− x+2010−√33 x2−7 x+2011−√36 x −2012=√32011 (2)
Lời giải:
ĐKXĐ: ∀ x ∈ R
Đặt 3
√3 x2− x+2010=u ⇒u3 =3 x 2− x +2010
−√33 x2−7 x +2011=v ⇒ v3
=−3 x2+7 x −2011
−√36 x − 2012=t ⇒ t3
=− 6 x+2012
Suy ra u3
+v3
+t3 =2011
Ta có hệ:
u3+v3+t3=2011
u+v +t=√32011
u+v +t¿3
¿
¿
¿ {
⇒u3
+v3+t3= ¿
u2v +u2t+v2u+v2t +t2u+t2v +2 uvt
¿
⇔u2
(v +t)+vt(v+t)+uv (v+t)+ut (v +t)=0
¿
¿ =0⇔(u+v )(v+t )(t+u)=0 ⇔
¿
u=− v
¿
v=− t
¿
t=−u
¿
¿
¿
¿
¿⇔u3
+v3+t3=u3+v3+t3+3 ¿ Với u = -v, ta có 3
√3 x2− x+2010=¿ √3 3 x2−7 x+2011
Trang 12<=> 3x2 - x + 2010 = 3x2 -7x + 2011
<=> 6x - 1 = 0 <=> x = 61
Với v = - t, ta có −√33 x2−7 x +2011=¿ √36 x −2012
<=> -3x2 + x + 1 = 0
Δ , = 1+ 12 = 13
Phương trình có hai nghiệm x1= 1+√13
6 , x2 =1−√13
6
Với t = -u, ta có: −√36 x − 2012=−√33 x2− x +2010
<=> 3x2 - 7x + 4022 = 0
Δ=49 − 4 3 4022=− 48215 < 0 phương trình vô nghiệm Vậy phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt
x1= 1+√13
6 , x2 =1−√13
6 , x3 = 1
6
Phương trình dạng
f (x)¿n+a
¿
f (x)¿n+b
¿
−¿
¿ 3
√ ¿
(III)
Trong đó a, b, c là những số cho trước, n nguyên dương.
Phương pháp giải:
Nếu c = 0 thì
f (x)¿n+a
¿
f (x)¿3+b
¿
−¿
¿ 3
√ ¿
Nếu c 0 thì:
1 Đặt
f (x)¿n+a
¿
f (x)¿n+a
¿ 3
√ ¿
(*)
f (x)¿n+b
¿
f (x)¿n+b
−¿
3
√ ¿
Suy ra u3 + v3 = a + b Ta có hệ:
Trang 13¿u+v =c
u3 +v 3 =a −b
⇔
¿u+v =c
¿
(u+v)(u 2− uv+v2 )=a − b
¿
⇔
¿v=c − u
c −u¿2=a −b
c (**)
¿
¿
¿
u2−u (c − u)+¿
2 Giải phương trình (**) tìm nghiệm u
3 Thay u vào (*) để tìm x
4 Trả lời nghiệm của phương trình (III)
Ví dụ 1: Cho phương trình ẩn x: 3
√1− x +√31+x=a (1)
a) Giải phương trình (1) khi a = 1
b) Tìm các giá trị của a để phương trình (1) có nghiệm
Lời giải:
a) Khi m = 1, ta có phương trình 3
√1− x +3
√1+x=1
Đặt 3
√1− x =u⇒ u3
=1 − x ,√31+x=v ⇒ v3
=1+x
Suy ra u3 + v3 = 2 Ta có hệ:
u+v =1
u3 +v 3 =2
⇔
¿
¿u+v=1
(u+v)(u2− uv+v2)=2
⇔
¿v=1 −u
1 −u¿2=2(**)
¿
¿ {
u2−u(1 −u)+¿
(**) <=> 3u2 - 3u + 1 = 2 <=> 3u2 - 3u -1 = 0
⇔ u=3+√21
6
¿
u= 3 −√21
6
¿
¿
¿
¿
¿
Trang 14Với u=3+√21
6 ⇒1 − x=(3+6√21)3⇔ x=−2√21
9
Với u= 3 −√21
6 ⇒1 − x=(3−√ 21
6 )3⇔ x=2√21
9
Vậy khi a =1 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
x1=−2√21
9 , x2 = 2√21
9
b) Trong trường hợp tổng quát, ta có:
u+v =a
u3+v3=2
⇔
¿
¿u+v=a
(u+v)(u2− uv +v2)=2
⇔
¿v=a −u
u2− u(a− u)+¿ =2(**)
¿
¿ {
a¿
Với a = 0 phương trình (**) vô nghiệm
Với a 0 , (**) <=> 3au2 - 3a2u + a3 - 2 = 0
Xét Δ = (-3a2)2 - 4.3a(a3 - 2) = -3a4 + 24a = -3a(a - 2)(a2 + 2a+ 4)
Δ 0 <=> -3a(a - 2) 0 ( Do a2 + 2a+ 4 > 0) <=> 0 < a 2 (do
a 0)
Vậy phương trình (1) có nghiêm khi và chỉ khi 0 < a 2
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a) 3
√3 x2 +5 x −1 −√33 x2 +5 x +3 −84=0 (2)
Lời giải:
Đặt 3
√3 x2 +5 x −1=u⇒u3 =3 x 2 +5 x −1 ,√33 x2 +5 x+3=v⇒ v3 =3 x 2 +5 x +3
Suy ra u3 - v3 = -4 Ta có hệ:
u −v =− 4
u3− v3=84
⇔
¿
¿u − v=− 4
(u − v)(u2+uv+v2)=84
⇔
¿v=− 4 −u
− 4 −u¿2=− 21(**)
¿
¿ {
u2+u(− 4 − u)+ ¿
Trang 15(**) <=> u2 + 4u - 5 = 0
⇔ u=1
¿
u=− 5
¿
¿
¿
¿
¿
Với
u=1 ⇒3 x2
+5 x −1=1 ⇔3 x2
+5 x −2=0 ⇔ x= − 5+√49
1 3
¿
x= − 5−√49
6 =− 2
¿
¿
¿
¿
¿ Với u=− 5 ⇒3 x2
+5 x − 1=−5⇔ 3 x2
+5 x+4=0 Vô nghiệm Vậy phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1= 1
3, x2 =−2
b) 2.√33 − x3−√32+8 x3=2
Lời giải:
Đặt 3
√3− x3=u⇒u3
=3 − x3,√32+8 x3=v ⇒ v3
=2+8 x3
Suy ra 8u3 - v3 = 26 Ta có hệ:
¿2 u+v=2
8 u3+v3= 26
⇔
¿2 u+v=2
¿
(2 u+v )(4 u2− 2 uv+v2)=26
¿
⇔
¿v =2− 2u
2 −2 u¿2=13 (**)
¿
¿
¿
4 u2− 2u (2− 2u)+¿
(**) <=> 12u2 - 12u - 9 = 0 <=> 4u2 - 4u - 3 = 0
⇔ u=3
2
¿
u=−1
2
¿
¿
¿
¿
¿ Với u=3
2⇒ 3− x3
= 27
8 ⇔ x3
=−3
8 ⇔ x=−√33
2
Trang 16Với u=−1
2⇒3 − x3 =−1
8⇔ x3
= 25
8 ⇔ x=√325
2
Vậy phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1=−√33
2 , x2 =
3
√ 25 2
Một số phương trình khác
Ví dụ: Giải các phương trình:
a) (x+3)√(4 − x )(12+x)+x=28
Lời giải:
ĐK: (4 - x)(12 + x) 0⇔−12 ≤ x≤ 4
Đặt
¿
x+3=u ,√(4 − x )(12+x )=v (v ≥ 0)⇒
u2=x2+6 x+9
v2 =− x 2− 8 x +48
¿
⇒u2
+v2=2(28 − x )+1
¿ {
¿
Ta có hệ:
uv =28− x
u2
+v2 =2(28 − x)+1
u− v¿2=1⇔
¿
v=u+1
¿
v=u −1
¿
¿ {
¿
¿
¿
⇒u2
+v2 =2u v +1⇔¿
Với
v =u+1 ⇒√(4 − x)(12+x )=x +4⇔
− 4 ≤ x ≤ 4
− x2− 8 x+48=x2 +8 x +16
¿ {
⇔
−4 ≤ x ≤ 4
x2
+8 x −16=0
¿ {
⇔ x=− 4 +4√ 2
Với
v =u− 1⇒√(4 − x)(12+x )=x +2⇔
−2 ≤ x ≤ 4
− x2−8 x +48=x2+4 x +4
¿ {
⇔
− 4 ≤ x ≤ 4
x2
+6 x −22=0
¿ {
⇔ x=− 3+√ 31
Trang 17Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x1=− 4+4√2 , x2=−3+√31
b) √2 x +1−√3 x =x −1
Lời giải:
ĐK: x 0
Đặt
√2 x +1=u ,√3 x =v (u , v ≥ 0)⇒
u2 =2 x +1
v2=3 x
⇒ v2−u2
=x −1
¿ {
Ta có hệ:
u − v=x − 1
v2−u2
=x −1
⇒ v2
−u2=u −v⇔(u − v)(u+v+1)=0 ⇔
u=v
¿
u=−v −1
¿
¿
¿ {
¿
¿
¿ ¿
Do u, v >= 0 nên u = - v - 1 không thỏa mãn
Với v =u⇒√3 x=√2 x+1 ⇔ x =1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1
c) x2− x −2√1+16 x=2 (3)
Lời giải:
ĐK: x ≥ − 1
16
Khi đó (3) ⇔ x2− x=2(√1+16 x+1)
Đặt
√1+16 x +1=2 y ( y ≥12)⇒√1+16 x=2 y − 1
⇒1+16 x=4 y2− 4 y+1⇔ y2− y =4 x
Ta có hệ:
¿
x2− x=2 2 y =4 y
y2− y=4 x
⇒ x2
− x − y2+y=4 y − 4 x⇔(x− y)(x+ y+3)=0 ⇔ x= y
¿ {
¿ ( Do x ≥ − 1
16 và y ≥1
2 nên x + y + 3 > 0)
Với x = y
⇒√1+16 x=2 x −1 ⇔
x ≥1
2
4 x2− 20 x=0
⇔ x=5
¿ {
Trang 18Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất x = 5.