Tài liệu Bài toán rời rạc : Cây pptx

Giải thích: Cây là một đơn đồ thị liên thông, không chứa chu trìnhvà có ít nhất 2 đỉnh.. Trong đơn đồ thị liên thông, giữa 2 đỉnh bất kì luôn tồntại đường đi giữa chúng nên trong cây sẽ

BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC

-&0& -CHƯƠNG 5:

CÂY

Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thị Diệu Hằng

n1+2.n2+3.n3+ +k.nk=2(n1+n2+n3+ +nk-1) n1= n3+2n4+ +(k-2)nk+2

Ta có: Giá trị max của:

Số đỉnh tối đa của cây m-phân có chiều cao h là:

h1+m1+m2+m3+ +mh = ∑mi

Giải thích: Cây là một đơn đồ thị liên thông, không chứa chu trình

và có ít nhất 2 đỉnh Trong đơn đồ thị liên thông, giữa 2 đỉnh bất kì luôn tồntại đường đi giữa chúng nên trong cây sẽ chứa một số đỉnh có bậc khác 1

b) Không có

Giải thích: Ta có: Nếu T là một cây có n đỉnh thì T có ít nhất 2

đỉnh treo( có bậc 1) Vậy, không thể tìm ra một cây có mọi đỉnh đều có bậc2

c) Có

Ví dụ:

d) Có Ví dụ:

* Bài 5:

Chứng minh hoặc bác bỏ các mệnh đề sau:

a) Trong một cây, đỉnh nào cũng là đỉnh cắt

b) Một cây có số đỉnh không nhỏ hơn 3 thì có nhiều đỉnh cắt hơn làcầu

b) Một cây có số đỉnh không nhỏ hơn 3 thì có nhiều đỉnh cắt hơn là cầu.

Mệnh đề trên sai

Cho một cây T có n đỉnh Trong một cây, mỗi cạnh đều là cầu Nhưvậy, số cầu của T là n-1( do trong T có n-1 cạnh)

Mặt khác, trong một cây, ngoài các đỉnh treo thì tất cả các đỉnh còn lạiđều là đỉnh cắt.Một cây chứa ít nhất 2 đỉnh treo, do đó số đỉnh cắt lớn nhất

- Đội B vô địch, đội D nhì

- Đội B nhì, đội C ba

- Đội A nhì, đội C tư

Biết rằng mỗi dự đoán trên đúng về một đội Hãy cho biết kết quả xếphạng của các đội

Lời giải:

Theo đề ra thì mỗi dự đoán đúng về một đội

Giả sử ở dự đoán đầu tiên: B vô địch, D nhì thì dự đoán về Dđúng.Vậy D nhì

Ở dự đoán 2: B nhì, C ba.Do D nhì nên dự đoán B nhì khôngđúng → C ba đúng

Ở dự đoán 3: A nhì, C tư.Do C đứng thứ ba nên dự đoán C tưsai → A nhì( vô lý, do dự đoán D nhì là đúng)

Vậy ở dự đoán đầu tiên, dự đoán B vô địch đúng.B vô địch nên ở dựđoán 2, dự đoán đội C ba đúng, và ở dự đoán thứ 3 đội A nhì đúng, và cuốicùng, đội D đứng thứ tư

* Bài 7:

Cây Fibonacci có gốc Tn được định nghĩa bằng hồi quy như sau: T1

và T2 đều là cây có gốc chỉ gồm 1 đỉnh; với n=2, 3, 4 thì cây có gốc Tn được xây dựng từ gốc với Tn-1 như là cây con bên trái và Tn-2 như cây con bên phải

a) Hãy vẽ 7 cây Fibonacci có gốc đầu tiên

b) Cây Fibonacci Tn có bao nhiêu đỉnh, lá và bao nhiêu đỉnh trong Chiều cao của nó bằng bao nhiêu?

T 1 T 2 T 3 T 4

T 5

T 6

* Bài 9:

Hãy tìm cây khung cho mỗi đồ thị sau:

a) K5 b) K4,4 c) K1,6 d) Q3 e) C5 f) W5

Lời giải:

a) K5

b) K4,4

* Bài 11:

Tìm cây khung nhỏ nhất của đồ thị sau theo thuật toán Kruskal vàPrim:

Lời giải:

+ Giải theo thuật toán Kruskal:

Thứ tự của các cạnh sắp xếp theo thứ tự không giảm:

(d,e), (b,f), (c,d), (a,c), (d,g), (g,h), (h,f), (a,e), (e,f), (b,e), (c,g), (d,h), (a,b)

Bắt đầu từ đồ thị rỗng T có 6 đỉnh

- Thêm vào T cạnh (d,e)→ số cạnh của T là 1<8-1

- Thêm vào T cạnh (b,f) → số cạnh của T là 2<8-1

- Thêm vào T cạnh (c,d)→ số cạnh của T là 3<8-1

- Thêm vào T cạnh (a,c)→ số cạnh của T là 4<8-1

- Thêm vào T cạnh (d,g)→ số cạnh của T là 5<8-1

- Thêm vào T cạnh (g,h)→ số cạnh của T là 6<8-1

- Thêm vào T cạnh (h,f)→ số cạnh của T là 7→ Dừng quá trìnhthêm cạnh vào T Đồ thị T vừa tạo ra chính là cây khung nhỏ nhất của đồ thịtrên

+ Giải theo thuật toán Prim:

(d,e),(d,g), (g,h),(h,f)

(d,e),(d,g), (g,h),(h,f), (f,b)

Vậy cây khung nhỏ nhất của đồ thị trên có độ dài là:

4+3+1+5+7+9+3=32Cây khung với tập cạnh:

E={(a,c),(c,d)(d,e),(d,g),(g,h),(h,f),(f,b)}

* Bài 12:

Tìm cây khung nhỏ nhất bằng thuật toán Prim của đồ thị gồm cácđỉnh A, B, C, D, E, F, H, I được cho bởi ma trận trọng số sau:

(B,I),(I,D), (I,F),(F,H)

(B,I),(I,D), (I,F),(F,H), (A,E)

Độ dài cây khung nhỏ nhất tìm được:

15+13+11+12+14+17+19=101Tập cạnh của cây khung nhỏ nhất:

E={(A,C),(C,B)(B,I),(I,D),(I,F),(F,H),(A,E)}

* Bài 13:

Duyệt các cây sau đây lần lượt bằng các thuật toán tiền thứ tự, trungthứ tự và hậu thứ tự:

j i

c b

3.2.2 Duyệt T(h):

3.2.2.1 Thăm h3.2.2.2 Duyệt T(i): Thăm i3.2.2.3 Duyệt T(j): Thăm jKết quả duyệt cây theo tiền thứ tự là:

2.1.2.Thăm f

2.2 Thăm c

1.1.3.3 Duyệt T(n):

1.1.3.3.1 Duyệt T(p): Thăm p1.1.3.3.2 Thăm n

1.1.3.3.3 Duyệt T(q): Thăm q1.2 Thăm b

1.3 Duyệt T(e): Thăm e

2.Thăm a

3 Duyệt T(c):

3.1 Duyệt T(f):

3.1.1 Duyệt T(j): Thăm j3.1.2 Thăn f

1.1.2.1 Duyệt T(m): Thăm m1.1.2.2 Duyệt T(n):

1.1.2.2.1 Duyệt T(p): Thăm p1.1.2.2.2 Duyệt T(q): Thăm q1.1.2.2.3.Thăm n

1.1.2.3 Thăm i1.1.3 Thăm d

1.2 Duyệt T(e): Thăm e

1.3 Thăm b

2 Duyệt T(c):

2.1 Duyệt T(f):

2.1.1 Duyệt T(j): Thăm j2.1.2 Duyệt T(k):

2.1.2.1 Duyệt T(o): Thăm o2.1.2.2 Thăm k

2.1.3 Thăm f2.2 Duyệt T(g):

2.2.1 Duyệt T(l): Thăm l2.2.2 Thăm g

2.3 Thăm c

3 Thăm a

Kết quả duyệt cây theo hậu thứ tự:

2

) (

) )(

(

b)

5

) 2 4 3 ( 3

5 3 ) (

3 4

2

d c b

2

2

) (

) )(

(

Ta có thể vẽ cây nhị phân tương ứng với biểu thức trên như sau:

Kết quả duyệt cây nhị phân trên theo tiền thứ tự sẽ cho ta cách viếtcủa biểu thức trên theo kí pháp Ba Lan, nếu duyệt theo hậu thứ tự thì sẽ cho

ta cách viết theo kí pháp Ba Lan đảo

Vậy ta có biểu thức trên được biểu diễn theo:

5 3 ) (

3 4

2

d c b

+

Cây nhị phân tương ứng:

Kết quả duyệt cây nhị phân trên theo tiền thứ tự sẽ cho ta cách viếtcủa biểu thức trên theo kí pháp Ba Lan, nếu duyệt theo hậu thứ tự thì sẽ cho

ta cách viết theo kí pháp Ba Lan đảo

Vậy ta có biểu thức trên được biểu diễn theo: