Tài liệu học Toán Rời Rạc ( HAY )

Logic là gì?Là một nhánh của triết học và toán học nghiên cứuvề nguyên tắc, phương pháp và tiêu chuẩn hình thứccho sự hợp lệ của suy luận, và kiến thức.+ Là khoa học ước lượng các suy luận+ Các luật của logic xác định ý nghĩa chính xác của một lýluận+ Logic dùng để làm gì?à Suy luận toán họcà Khoa học máy tính: vi mạch, xây dựng chương trình, kiểm chứngchương trình, trí tuệ nhân tạo, ...Mệnh đề là một câu hoặc đúng hoặc sai, chứ khôngthể vừa đúng vừa saiVí dụ:+ Thành phố Hồ Chí Minh là trung tâm kinh tế lớn nhất ViệtNam.+ Không có kẹt xe ở thành phố Hồ Chí Minh.+ 2 + 3 = 6.+ Một đồ thị đầy đủ có n(n − 1)2 cạnh.

Hàm (Function)

Quan hệ hai tập hợp

Ví dụ: Cấu trúc rời rạc nào

biểu diễn quan hệ giữa tập

sinh viên và tập điểm ?

Ví dụ: Cấu trúc rời rạc nào

có thể gán một phần tử của

tập người chơi game và một

phần tử của tập game ?

Ví dụ: Cấu trúc rời rạc nào

có thể gán một số nguyên

với một số bình phương của

B A

a b c d e

x y z w

Hàm (function)

Cho A, B là các tập hợp Một hàm từ A vào B là

một phép gán duy nhất một phần tử của B vào một

phần tử của A.

Một số ký hiệu và định nghĩa:

☞ f (a) = b, b: ảnh (image) của a,

a là nghịch ảnh (pre-image) của b

☞ f : A → B

☞ A: miền xác định (domain) của f,

B: miền giá trị (codomain) của f

Cộng và Nhân hàm giá trị thực

Cho 2 hàm f1 : A → R, và f2 : A → R.

f1 + f2, f1f2 : A → R và

(f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x) (f1f2)(x) = f1(x)f2(x)

Ví dụ: Cho f1(x) = x2 và f2(x) = x + 1 Khi đó,

(f1 + f2)(x) = x2

+ x + 1 (f1f2)(x) = x2

(x + 1) = x3

+ x2

Ảnh của tập con

Cho f : A → B, S ⊆ A Ảnh của S

f (S) = {f (s)|s ∈ S}

Ví dụ: A = {a, b, c, d, e} và B = {1, 2, 3, 4} với

f(a) = 2 f (b) = 1 f (c) = 4 f (d) = 1 f (e) = 1 Khi đó f({b, c, d}) = {1, 4}

Đơn ánh

(one-to-one) nếu và chỉ

nếu f(x) = f(y) → x = y

với mọi x, y thuộc miền

xác định của f.

B A

a b c d e

x

y

z

w

Ví dụ:

Hàm f : Z → Z với f(x) = x2 có là đơn ánh không ?

Hàm f : R → R với f(x) = x + 1 có là đơn ánh không ?

Toàn ánh

(onto, surjective) nếu và

chỉ nếu

∀b ∈ B, ∃a ∈ A, f (a) = b

B A

a b c d e

x

y

z

Ví dụ:

Hàm f(x) = x2 từ Z vào Z có là toàn ánh không ?

Hàm f(x) = x + 1 từ Z vào Z có là toàn ánh không ?

Song ánh

corespon-dence, bijection) nếu và

chỉ nếu nó vừa đơn ánh

B A

a b c

x

y

z

Ví dụ:

Hàm f(x) = x + 1 từ Z vào Z có là song ánh không ?

Ví dụ dạng hàm

Đơn ánh, không toàn ánh Toàn ánh, không đơn ánh Đơn ánh, toàn ánh

Không đơn ánh, không

toàn ánh Không phải hàm

Hàm ngược

Cho f : A → B, song ánh Hàm ngược của f là một

hàm gán cho mỗi b ∈ B một phần tử duy nhất a ∈ A

sao cho f(a) = b Ký hiệu hàm ngược f−1

a = f −1 (b)

f −1

f −1 b = f (a) f

f

Hàm song ánh còn

khả nghịch vì có thể xác định được hàm ngược

Ví dụ hàm ngược

Ví dụ: A = {a, b, c} và B = {1, 2, 3} với

f(a) = 2 f (b) = 3 f (c) = 1

f là hàm khả nghịch và hàm ngược của nó là

f−1(1) = c f−1(2) = a f−1(3) = b

Ví dụ: f : Z → Z với f = x2 không là hàm khả nghịch vì

f(−1) = f (1) = 1 (không đơn ánh)

Hợp thành

Cho g : A → B và f : B → C Hợp thành

(composi-tion) f ◦ g của f và g được định nghĩa là

(f ◦ g)(a) = f (g(a))

g g

C

f(g(a)) f

f

f ◦ g

Ví dụ hợp thành

Ví dụ: Cho A = {a, b, c} và g : A → A với

g(a) = b g(b) = c f (c) = a Cho B = {1, 2, 3} và f : A → B với

f(a) = 3 f (b) = 2 f (c) = 1 Khi đó,

(f ◦ g)(a) = 2 (f ◦ g)(b) = 1 (f ◦ g)(c) = 3

Ví dụ: Tính (f ◦ g) của f(x) = 2x + 3 và g(x) = 3x + 2

Đồ thị của hàm

Cho f : A → B Đồ thị (graph) của f là tập các cặp

{(a, b)|a ∈ A ∧ f (a) = b}

thấy dáng điệu

(−3,9)

(1,1) (2,4) (3,9)

(−1,1) (−2,4)

Khái niệm bản số mở rộng

Hai tập A và B có cùng bản số nếu và chỉ nếu có

một hàm song ánh từ A đến B.

Các tập hoặc hữu hạn hoặc có cùng bản số với tập

N được gọi là tập đếm được (countable) Các tập

còn lại được gọi là không đếm được (uncountable).

Ví dụ: Tập số nguyên dương lẻ là tập vô hạn đếm được