Bài tập Hệ phương trình – Toán 11

Thay trở lại hệ ta được Theo trên, bên trái là hàm đồng biến, bên phải là hàm nghịch biến, nên phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm Mà x 1 là nghiệm nên nó là nghiệm duy nhất của phương [r]

.(vì (1;1) không thỏa phương trình(2))

Thay vào phương trình (2), ta được :

(1)  x y  2 x y  3  0 y 4 x

Thay vào (2) ta được: 3 x 2 2 4 3  x x 2 5x 5 0

2 3 3

Phương trình (*) vô nghiệm do: x  2 x 2 0  VT  0.

Vậy x = 3 và y = 1 là nghiệm của hệ phương trình

Câu 1. Giải hệ phương trình:

4

 

 

 , từ đó phương trình ( 3) cónghiệm duy nhất

1 2



y

, suy ra

1 2



x

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  

1 1

2 2

3 3 0

5 21 2

Từ phương trình thứ nhất dễ dàng suy ra được y > 0

Từ đó tìm được

5 3 ( , ) ( , )

2 2

Do đó f x' nghịch biến trên 0; 2 , hơn nữa f ' 1  0nên f x' nhận giá trị dương trên

0;1 và âm trên 1; 2  Suy ra f x f  1 0với mọi x0; 2 

1 2 1

Do y0 phương trình (1) tương đương với

u=0 suy ra x=0 (Không thoả mãn điều kiện bài toán)

Vậy hệ đã cho có một nghiệm x y;   5;3 

Câu 8. Giải hệ phương trình :

3 3 0

5 21 2

2 2

2

8 16

Coi (*) là phương trình bậc 2 ẩn y ta có  3x4 4 0 x nên (*) vô nghiệm

Do đó hệ phương trình tương đương với

2 3

Từ đó ta tìm được nghiệm của hệ là 3;6 ,  2; 1  

Câu 17. (Thi cụm Quỳnh Lưu, năm 2016-2017) Giải hệ phương trình sau:

l x

Ta thấy y = 0 không là nghiệm của hệ phương trình đã cho,

ta xét các giá trị y0, chia hai vế của PT thứ nhất cho y0 ta được

x y (*)Giải hệ PT (*) ta được hai nghiệm (-2; 5) , (1; 2)

Vậy hệ PT ban đầu có hai nghiệm (-2; 5) , (1; 2)

Bài 3. Hệ phương trình tương đương với

+ Với y = -2 thì hệ phương trình vô nghiệm

+ Với y2, chia hai vế của hai phương trình cho y + 2 ta có

2 2

2 2

2 4 2

2 0 2

x y y

Kết hợp với điều kiện thì hệ phương trình có hai nghiệm (x; y): (1; -1), (-2; 2)

Bài 4. Giải hệ phương trình:

2 2 1

0 2

Kết hợp điều kiện (*) ta được nghiệm của hệ là:x y;  1;1 

Bài 5. Giải hệ phương trình sau:

Giải hệ (I) ta được u v  1 x y 2

Hệ (II) vô nghiệm

2 0 2

x y y

Do vậy ta được: x2 = y + 1 (1 điểm).

Thay vào phương trình (2) ta được:

Dễ thấy a b  2 6 nên trường hợp thứ ba bị loại

Hai trường hợp đầu ta tính được x=-1/2 KL: Hệ có một nghiệm x=-1/2; y=-3/4

Bài 10. Giải hệ phương trình sau:

Bây giờ ta xét a0,b0.Đặt b ka  k 0.Với cách đặt này thì

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi k 1.Khi đó a b  3 hay x y 9

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm x y;  là 0;0 , 9;9  

Bài 11. Giải hệ phương trình sau:

Bài 12. Giải hệ phương trình:

3cot 2 1

tan 6 cot 2 3cot 2

11 , ,

+) Nếu x 0 ta đặt y ax z bx ;  thay vào hệ ta được

1 2

1

2 0

b thay

1 1

   

y x y x

nên y0 Ta có

0 

y từ phương trình thứ nhất suy ra x 1  mà 1;0  không thỏa mãn pt thứ 2nên y0

Nhận xét : Hệ (I) có nghiệm duy nhất  hệ (II) có nghiệm duy nhất

* Điều kiện cần : Giả sử hệ (II) có nghiệm duy nhất x z; 

Vì x z;  là nghiệm của (II) nên x z;  ,  x z;  , x z;  cũng là nghiệm của (II)

Do đó để (II) có nghiệm duy nhất thì x z  0.

Do đó hệ (II) có nghiệm duy nhất x z  0.

* Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất  hệ (II) có nghiệm duy nhất  m 2013

Bài 18. Giải hệ phương trình sau:

Do vậy ta được: x2  y 1

Thay vào phương trình (2) ta được: 5x x2   6 x 1 x2 2x 7  13 2 x 1

(*)Đặt

Dễ thấy a b 2 6 nên trường hợp thứ ba bị loại

Hai trường hợp đầu ta tính được

1 2

2 1 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x,y) =

10;0 , 1;

4 3

Do vậy xy, tương tự lí luận như trên ta được x z suy ra x y z.

Thay trở lại hệ ta được

Mà x 1 là nghiệm nên nó là nghiệm duy nhất của phương trình (1)

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là x  y z 1.

Bài 3. Giải hệ phương trình :

Bài 4. Giải hệ phương trình:

2

3 2 7 2

 (1.5 đ) xy > yx  ln(xy) > ln(yx)  ylnx > xlny 

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x y;  1;0.

Bài 8. Giải hệ phương trình:

3 3

Bài 9. [Đề xuất Chuyên Biên Hòa, DHĐBBB 2014-2015] (4,0 điểm):

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực

Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( 2 ; 3)

Bài 10. [Đề dữ liệu, Chuyên Lê Hồng Phong, DHĐBBB, 2015] Giải hệ phương trình:

Nên hàm số f t  nghịch biến trên 

Mà f  1 0 suy ra phương trình (*) có nghiệm duy nhất t 1

Với

1 2



x

ta có

1 2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ; ) (7; 47).x y  

Bài 13. Giải hệ phương trình :

Xét hàm f(t) = t3 + 3t đồng biến trên  Phương trình (3) tương đương x+ 1 = t

Thay vào phương trình (2) và giải phương trình được x = 1, y =

3

2 Nghiệm của hpt là (1;

3

2 )

Bài 15. (Olimpic Trại hè Hùng Vương 2013) Giải hệ phương trình :

y không thoả mãn phương trình thứ 2 của hệ nên hệ đã cho vô nghiệm

Bài 16. (Chuyên Nguyễn Tất Thành – Yên Bái) Giải hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là 0; 1 ; 1;0 ; 2; 3      

Bài 17. (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2012) Giải hệ phương trình:

 Điều kiện :

5 4

Thử lại ta thấy cả hai đều thỏa điều kiện (*)

 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm : 0; 1  , 1; 2 

Bài 19. Giải hệ phương trình

2 2

Do đó f x nghịch biến trên 0;2 , hơn nữa f 1 0nên f x' nhận giá trị dương trên

0;1và âm trên 1;2  Suy ra f x f  1 0với mọi x0;2 

Từ đó, hệ phương trình có nghiệm x y 1.

Bài 24. Giải hệ phương trình sau:

Nhận thấy x  y z 1 là một nghiệm của phương trình Ta chứng minh hệ có nghiệm

Suy ra x1 mâu thuẫn (*)

Tương tự giả sử x1 ta cũng dẫn đến điều vô lý

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x  y z 1

Bài 2. Giải hệ phương trình

Từ (3) và (7) suy ra 2x + y = 3 và x = y ta được x = y = 1 (thoả mãn các điều kiện của

bài toán) Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (1;1)

Bài 3. Giải hệ phương trình sau:

Do đó, từ (2) suy ra:  

2

7 1

1 8

+) Nếu x 0 thay vào hệ ta có hệ vô nghiệm

+) Nếu x 0 ta đặt y ax z bx ;  thay vào hệ ta được

+) Nếu

2

1 1

1 2

1

2 0

b thay

1 1

2



t t

3 hoặc 1 ;

1 3

Bây giờ ta xét a0,b0 Đặt b ka  k  0 Với cách đặt này thì

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi k  1 Khi đó a b  3 hay x y 9.

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm x y;  là 0;0 , 9;9  

Bài 8. Giải hệ phương trình

Vì 2 xy  x ynên từ phương trình (1) suy ra

Từ (3) và (7) suy ra 2x + y = 3 và x = y ta được x = y = 1 (thoả mãn các điều kiện của

bài toán) Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (1;1)

Bài 9. Giải hệ phương trình:

Thay xy vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

1 5

/ 2

1 5

2



 

x y

.Vậy hệ có nghiệm duy nhất x y;  

1 5 2

Thử lại thấy x  y z 1 là nghiệm.

Kết luận:Hệ đã cho có nghiệm duy nhất x  y z 1.

Bài 14. Giải hệ phương trình :

4

.Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm

5

1 4

  m

Hệ (I) có nghiệm  x2 + x – (m + 4) = 0 có nghiệm trên [-2;2].

Dựa vào đồ thị parabol (P) y = x2 + x – 4 trên [-2;2], và đường thẳng y = m suy rakết quả

 Cách 3: Giải theo tam thức bậc hai

Bài 3. Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm

         

 

2 2



a

và nghiệm của hệ là:

3 2 2

(2) 2

Từ (1)có thể đặt X uZ Y, uT ,thay vào (2)và (3)ta có:

3 2



m

.+ Từ đó:Đáp số của bài toán là

3 4 3

x x

1 ( , )

Tập giá trị là:

3 3

; 2

2

4

5 ( 2)

x

(Chưa giải) Bài 9. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

2

2 2

1 1