Lý thuyết và bài tập về phương trình tương đương và phương trình hệ quả

Phép biến đổi tƣơng đƣơng Định lí Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương a Cộng[r]

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ

PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ

1 Phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm

2 Phép biến đổi tương đương

Định lí

Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương

a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức;

b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức

đó

3 Phương trình hệ quả

Nếu mọi nghiệm của phương trình f x g x đều là nghiệm của phương trình f x1 g x1 thì phương trình f x1 g x1 được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f x g x .

Ta viết

1 1

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu Ta gọi đó là

nghiệm ngoại lai

Khi giải phương trình, không phải lúc nào ta cũng áp dụng được phép biến đổi tương đương trong nhiều trường hợp ta phải thực hiện các phép biến đổi đưa tới phương trình hệ quả, chẳng hạn bình phương hai

vế, nhân hai vế của phương trình với một đa thức Lúc đó để loại nghiệm ngoại lai, ta phải thử lại các nghiệm tìm được

V 1 Cho phương trình 2

2x  x 0 1 Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là hệ quả của phương trình  1 ?

1

x x

x

3

4x  x 0

C  2

2

2x x 0 D x2 2x 1 0

Lời giải

h n

Cách 1: Ta có: *2 0

1

x x

x



2

2x x 0

*4x3 x 0 20

x x





 

 



0 1 2 1 2

x x x



 









  



* 2

2

2x x 0 2

2x x 0

2

x x









 



*x22x 1 0 x 1

Cách 2: iải theo pp tr c nghiệm

Cách 3: iải theo Casio nếu có

V Phương trình 2

3

x  x tương đương với phương trình:

A x2 x 2 3x x2 B 2 1 1

3

C x2 x 3 3x x3 D 2 2 2

x  x   x x 

Lời giải

h n

Cách 1: Vì hai phương trình có cùng tập nghiệm T  0;3

Cách 2: iải theo pp tr c nghiệm

Cách 3: iải theo Casio nếu có

V 3 Khẳng định nào sau đây sai?

 11 1

x x x





8x 4x 5 0

Lời giải

h n

Cách 1: Vì phương trình  

 

1 1 1

x x x





 có điều kiện xác định là x1

Cách 2: iải theo pp tr c nghiệm

Cách 3: iải theo Casio nếu có

V 4: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương 2

mx m x m (1) và

m x x m (2)

Lời giải

h n

Cách 1:Giả sử hai phương trình 1 và 2 tương đương

2 0

x

Do hai phương trình tương đương nên x 1 là nghiệm của phương trình 2

Thay x 1 vào phương trình 2 ta được

5

m

m

Với m 5: Phương trình 1 trở thành 2

1

5

x

x

Phương trình 2 trở thành 2

1

7

x

x

Suy ra hai phương trình không tương đương

Với m 4: Phương trình 1 trở thành 2

1

1

x

x

Phương trình 2 trở thành 2

1

2

x

x

Suy ra hai phương trình tương đương

Vậy m 4 thì hai phương trình tương đương

Cách 2: iải theo pp tr c nghiệm

Cách 3: iải theo Casio nếu có

V 5: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương 2

2x mx 2 0 (1) và

2x m 4 x 2 m 1 x 4 0 (2)

h n

Cách 1:Giả sử hai phương trình 3 và 4 tương đương

Ta có 2x3 m 4 x2 2 m 1 x 4 0 x 2 2x2 mx 2 0

2

2

x

Do hai phương trình tương đương nên x 2 cũng là nghiệm của phương trình 3

Thay x 2 vào phương trình 3 ta được 2 2 2 m 2 2 0 m 3

Với m 3 phương trình 3 trở thành 2

2

2

x

x

Phương trình 4 trở thành 2x3 7x2 4x 4 0 x 2 2 2x 1 0

2 1 2

x

x

Suy ra phương trình 3 tương đương với phương trình 4

Vậy m 3

Cách 2: iải theo pp tr c nghiệm

Cách 3: iải theo Casio nếu có

4 Bài tập

NHẬN IẾT

Câu 1 Cho phương trình x21 x–1x 1 0 Phương trình nào sau đây tương đương với phương

trình đã cho ?

A x 1 0 B x 1 0 C x2 1 0 D x–1x 1 0

Câu 2 Hai phương trình được gọi là tương đương khi

A Có cùng tập xác định B Cả A, B, C đều đúng

C Có cùng dạng phương trình D Có cùng tập hợp nghiệm

TH NG HIỂU

Câu 3 Khi giải phương trình x2  5 2 x  1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình  1 ta được:

5 (2 )

Bước 2: Khai triển và rút gọn  2 ta được: 4x9

Bước 3:   9

2

4

x

Vậy phương trình có một nghiệm là: 9

4

x

Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

A Đúng B Sai ở bước1 C Sai ở bước 2 D Sai ở bước 3

Câu 4 Phương trình 2

3

x  x tương đương với phương trình:

A x2 x 3 3x x3 B x2 x2 1 3x x21

C x2 x 2 3x x2 D 2 1 1

3

Câu 5 Cho hai phương trình: x x  2 3 x2  1 và  2  

3 2 2

x x x





 Khẳng định nào sau đây

là đúng?

A Phương trình 1 và 2 là hai phương trình tương đương

B Phương trình 2 là hệ quả của phương trình 1

C Phương trình 1 là hệ quả của phương trình 2

D Cả A, B, C đều sai

Câu 6 Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình 2

4 0

A    2 

2 x  x 2x  1 0. B x2 3 1

C    2 

x x  x  D x24x 4 0

Câu 7 Cho phương trình 2

2x  x 0 1 Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là hệ quả của phương trình  1 ?

A 4x3 x 0 B  2

2

2x x 0 C 2 0

1

x x

x

2

2 1 0

x  x 

Câu 8 Khi giải phương trình 3 4

0 2

x



  1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau:

Bước 1:  1  3  

4 0 2

x x x



Bước 2:  3

0 4 0 2

x

x x



Bước 3:    x 3 x 4

Bước 4:Vậy phương trình có tập nghiệm là:T  3; 4

Cách giải trên sai từ bước nào?

A Sai ở bước 2 B Sai ở bước 1 C Sai ở bước 4 D Sai ở bước 3

Câu 9 Khi giải phương trình 5 4

0 3

x



  1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau:

Bước 1:  1  5 

3

x

x x



Bước 2:  5

3

x

x x



Bước 3:    x 5 x 4 Bước 4:Vậy phương trình có tập nghiệm là:T  5; 4

Cách giải trên sai từ bước nào?

A Sai ở bước 3 B Sai ở bước 2 C Sai ở bước 1 D Sai ở bước 4

Câu 10 Khẳng định nào sau đây sai?

A 3x  2 x 3 2

8x 4x 5 0

C  

2 2 2

x x x





Câu 11 Phép biến đổi nào sau đây đúng

A 5x x 3 x2x25x x3 B x    2 x x 2 x2

C 3x x 1 x2 x 1 3xx2 D 3 3 2 2

2 0

Câu 12 Khi giải phương trình x 2 2x3 1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình  1 ta được:

x  x  x  x 2 

Bước 2: Khai triển và rút gọn  2 ta được: 3x28x 5 0 Bước 3:   5

3

Bước 4:Vậy phương trình có nghiệm là: x1 và 5

3

x

Cách giải trên sai từ bước nào?

A Sai ở bước 1 B Sai ở bước 2 C Sai ở bước 3 D Sai ở bước 4

Câu 13 Tậpnghiệm của phương trình x x

x   là:

A T  1 B T   1 C T   D T  0

Câu 14 Khi giải phương trình 1 2 3

x x



   1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: đk:x 2 Bước 2:với điều kiện trên  1 x x    2 1 2x3  2 Bước 3:  2 x24x 4 0   x 2

Bước 4:Vậy phương trình có tập nghiệm là:T   2

Cách giải trên sai từ bước nào?

A Sai ở bước 1 B Sai ở bước 2 C Sai ở bước 3 D Sai ở bước 4

Câu 15 Cho phương trình 2x2 x 0 Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải

là hệ quả của phương trình đã cho?

1

x x x

2x x  x5 0

C 2x3x2 x 0 D 4x3 x 0

Câu 16 Khi giải phương trình 2

3x  1 2x1 1 , ta tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình  1 ta được:

 2 2

3x 1 2x1 2 

Bước 2: Khai triển và rút gọn  2 ta được: 2

x  x  x hayx–4 Bước 3: Khi x0, ta có 3x2 1 0 Khix 4, ta có 3x2 1 0

Vậy tập nghiệm của phương trình là: 0; –4 

Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

A Sai ở bước1 B Đúng C Sai ở bước 2 D Sai ở bước 3 VẬN NG

Câu 17 Phương trình nào sau đây không tương đương với phương trình x 1 1

x

  ?

A 7 6x  1 18. B 2x 1 2x 1 0.C x x 5 0 D x2 x  1

Câu 18 Cho phương trình 3 2 1 2



 

  Với điều kiện x 1,phương trình đã cho tương đương

với phương trình nào sau đây?

A 3x   2 x 1 2 x B 3x  2 1 2 x

C 3x   2 x 1 2 x D 3x 2 2 x

Câu 19 Chọn cặp phương trình không tương đương trong các cặp phương trình sau:

A x 3 2 xx2 x2x và x 3 2 x x B 3x x 1 8 3x và

6x x 1 16 3x..C x 1 x22x và  2

x  x D x 2 2x và 5

3

Câu 20 Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x23x0?

A 2 1 3 1

2

x  x  x x

C x2 x 3 3x x3 D 2 2 2

x  x   x x 

Câu 21 Khẳng định nào sau đây là sai?

1

x x

x



2

1 1

x   x x  x D x 1 2 1   x x 1 0

Câu 22 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A 3x x 2 x2 x 2 3xx2 B 2 3  2

1 2 3 1 1

x

x

C 3x x 2 x23xx2 x2 D x 1 3x  x 1 9 x2

Câu 23 Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:

A x x  1 1 x1 và x1 B x x 2x và x 2 1

C x x2  1 x2 và x1 D x x 2 x và x 2 1

Câu 24 Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:

A 2x x  3 1 x3 và 2x1 B 1 0

1

x x x

1 2

x  x D x x  2 1 x2 và x1

VẬN NG

Câu 25 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương:

2

A m 5 B m 5; m4 C m4 D m5

Câu 26 Tìm giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương:

2x mx 2 0 1 và 3   2  

2x  m4 x 2 m1 x 4 0 2

A m2 B m3 C m 2 D 1

2

m

ĐÁP ÁN

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26

Website HOC247 cung cấp một môi trường h c trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá H c Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi ưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số H c, Giải Tích, Hình H c và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ iảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh h c tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập tr c nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí