de va dap an thi hsg toan 8 cap truong

GiảI bằng phơng pháp khác đúng cho điểm tơng đơng..[r]

Đề thi HSG Toán 8

Thời gian: 120’

A/ đề bài

Câu 1: ( 2,5 điểm)

Phân tích đa thức thành nhân tử:

a/ x2 – x – 6 (1 điểm)

b/ x3 – x2 – 14x + 24 (1,5 điểm)

Câu 2: ( 1 điểm)

Tìm GTNN của : x2 + x + 1

Câu 3: ( 1 điểm)

Chứng minh rằng: (n5 – 5n3 + 4n)  120 với m, n  Z

Câu 4: ( 1,5 điểm)

Cho a > b > 0 so sánh 2 số x , y với :

1 1

a

a a



  ; y = 2

1 1

b

b b



 

Câu 5: ( 1,5 điểm)

Giải phơng trình: x  1

+ x 2

+ x  3

= 14

Câu 6: ( 2,5 điểm)

Trên cạnh AB ở phía trong hình vuông ABCD dựng tam giác AFB cân , đỉnh F

có góc đáy là 150 Chứng minh tam giác CFD là tam giác đều

B/ Đáp án

Câu 1:

a/ Ta có: x2 – x – 6 = x2 – 4 – x – 2 = (x - 2)(x + 2) – (x + 2)

= (x + 2)(x – 2 - 1) = (x + 2 )(x - 3) ( Nếu giải bằng cách khác cho điểm tơng đơng )

b/ Ta có: x = 2 là nghiệm của f(x) = x3 – x2 – 14x + 24

Do đó f(x)  x – 2, ta có: f(x) : (x – 2) = x2 + x – 12

Vậy x3 – x2 – 14x + 24 = (x - 2)( x2 + x – 12)

Ta lại có: x = 3 là nghiệm của x2 + x – 12

Nên x2 + x – 12 = (x - 3)(x + 4)

Nh vậy: x3 – x2 – 14x + 24 = (x - 2)(x - 3)(x + 4)

Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của x2 + x + 1 (1 đ’)

Ta có : x2 + x + 1 =

2

Vậy f(x) đạt GTNN khi

2

1

2

x 

= 0 Tức x =

-1 2

Câu 3: Ta có : n5 – 5n3 + 4n = n5 – n3 – 4n3+ 4n = n3(n2 - 1) – 4n( n2 - 1)

= n(n - 1)( n + 1)(n - 2)(n + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp trong đó có ít nhất hai số là bội của 2 ( trong đó một số là bội của 4, một số là bội của

3, một số là bội của 5)

Vậy tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 8,3,5 = 120

Câu 4: (1,5 đ’)

Ta có x,y > 0 và

a

 



Vì a> b > 0 nên 2 2

1 1

a b Vậy x < y.

Câu 5:

1/ Xét khoảng x < -2 ,ta có: -3x + 2 = 14 x = - 4

2/ -2  x < 1, ta có : -x + 16 = 14  x = 2 (loại)

3/ 1  x < 3, ta có : x + 4 = 14  x = 10 (loại)

4/ x  3 , ta có: 3x – 2 = 14  x =

16 3

Vậy phơng trình trên có nghiệm là x = - 4 và x =

16

3 .

Câu 6: ( 2,5 đ’)

Dựng tam giác cân BIC nh tam giác AFB có góc đáy 150

Suy ra : B  2 600 (1)

Ta có AFB BIC (theo cách vẽ) nên: FB = IB (2)

Từ (1) và (2) suy ra :FIB đều

Đờng thẳng CI cắt FB tại H Ta có: I2= 300 ( góc ngoài của CIB).

Suy ra: H2 = 900 ( vì B= 600 ) Tam giác đều FIB nên IH là trung trực của FB hay CH

là đờng trung trực củaCFB Vậy CFB cân tại C Suy ra : CF = CB (3)

Mặt khác : DFC cân tại F Do đó: FD = FC (4)

Từ (3) và (4), suy ra: FD = FC = DC ( = BC)

Vậy DFC đều

GiảI bằng phơng pháp khác đúng cho điểm tơng đơng

2

I 2

F 2

H

150 15 0 2