Một số vấn đề về đường tron euler, đường thẳng euler và ứng dụng

Tiếp đó, chúng tôi tìmhiểu việc vận dụng các tính chất của đường tròn Euler, đường thẳng Euler vàoviệc giải một số dạng toán cụ thể trong hình học phẳng.. Trong chương này, chúng tôi áp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ HẢI BÌNH

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG TRÒN EULER, ĐƯỜNG THẲNG EULER VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ HẢI BÌNH

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG TRÒN EULER, ĐƯỜNG THẲNG EULER VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Trần Việt Cường

THÁI NGUYÊN - 2019

Lời cảm ơn

Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sựhướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS Trần Việt Cường Tôi xin chânthành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôiđối với những điều thầy đã dành cho tôi

Tôi xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo, Khoa Toán - Tin, quý thầy cô giảngdạy lớp Cao học K11 (2018 - 2020) Trường Đại học Khoa học, Đại học TháiNguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điềukiện cho tôi hoàn thành khóa học

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người đãluôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình họctập và thực hiện luận văn

Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2019

Người viết Luận văn

Nguyễn Thị Hải Bình

Danh mục ký hiệu

△ABC ∼ △DEF Tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF

Danh sách hình vẽ

1.1 Z, Y, X thẳng hàng 2

1.2 Định lý Menelause 3

1.3 Đường tròn Apollonnius 3

1.4 MP ∥N Q 4

1.5 Phép nghịch đảo tâm O, phương tích k 5

1.6 Tứ giác AP BQ là tứ giác điều hòa 5

1.7 Phép vị tự tâm I, tỉ số k 6

1.8 AD, BE, CF đồng quy tại N 8

1.9 9

1.10 Đường tròn Euler đi qua chín điểm D, E, F, M, N, P, S, R, Q 10

1.11 11

1.12 Điểm O9 là trung điểm của HO 12

1.13 AO = LE 13

1.14 H, G, O9 và O thẳng hàng 14

1.15 ABC, ABH, BCH và ACH có chung nhau đường tròn Euler 15

1.16 15

1.17 16

1.18 18

1.19 20

1.20 22

2.1 O1, K, H thẳng hàng 24

2.2 D nằm trên OH 25

2.4 J nằm trên đường thẳng Euler của tam giác AY Z 27

2.5 A′ nằm trên đường tròn (I, IO) 28

2.6 M, N, K thẳng hàng 29

2.7 Đường thẳng qua Na song song P A đi qua N 30

2.8 31

2.9 R, S, T thẳng hàng 33

2.10 KI đi qua J là tâm Euler của tam giác IBC 34

2.11 HK đi qua trung điểm I của AG 34

2.12 HK đi qua điểm cố định I 36

2.13 Trung trực của AX, EY, CZ đồng quy tại trung điểm của OT 36

2.14 A, I, J thẳng hàng và KJ vuông góc với IJ 37

2.15 Các đường thẳng Euler của các tam giác ABC, AMN, BSR, CP Q đồng quy tại L 38

2.16 39

2.17 OH ∥P M 41

2.18 MN ∥ BC 42

2.19 IJ ∥ OA 43

2.20 EF vuông góc với MO 44

2.21 Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN luôn đi qua điểm cố định J 46

2.22 Trung trực của P Q luôn đi qua một điểm cố định N 47

2.23 Đường thẳng qua L, song song P K luôn đi qua điểm cố định J 48 2.24 (P T S) đi qua một điểm cố định I 49

2.25 XY đi qua P và điểm cố định M 50

2.26 S, M, P thẳng hàng 51

2.27 X thuộc P LE, (P KF ) và (P ZY ) 51

2.28 O1H1 và O2H2 cắt nhau tại M 52

2.29 (BPaC), (CPbA), (APcB) đồng quy tại Q 53

2.30 Đường tròn Euler của các tam giác AP Q, BP Q, CP Q tiếp xúc với nhau tại Q 54

2.31 55

2.32 56

2.33 57

2.34 59

2.35 60

2.36 61

2.37 62

Mục lục

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 2

1.2 Đường tròn và đường thẳng Euler 10

1.2.1 Đường tròn và đường thẳng Euler 10

1.2.2 Một số tính chất của đường tròn và đường thẳng Euler 12 Chương 2 Một số ứng dụng của đường tròn Euler, đường thẳng Euler 23 2.1 Các bài toán về quan hệ thẳng hàng và đồng quy 23

2.2 Các bài toán về quan hệ song song và vuông góc 40

2.3 Các bài toán về quan hệ điểm và đường cố định 45

2.4 Các bài toán khác 50

Mở đầu

Đường tròn Euler, đường thẳng Euler là trong những vấn đề thú vị của hìnhhọc phẳng Các bài toán liên quan đến đường tròn Euler, đường thẳng Euler

là những bài toán hay và khó Để giải quyết được những bài toán đó trước tiên

là phải hiểu về đường tròn Euler, đường thẳng Euler Tiếp đó, chúng tôi tìmhiểu việc vận dụng các tính chất của đường tròn Euler, đường thẳng Euler vàoviệc giải một số dạng toán cụ thể trong hình học phẳng

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề đường thẳng và đường tròn Eulertôi lựa chọn đề tài "Một số vấn đề về đường tròn Euler, đường thẳng Euler vàứng dụng" dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Việt Cường

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương.Chương 1 Một số vấn đề về đường tròn Euler, đường thẳng Euler.Trong chương này, ngoài trình bày một số kiến thức chuẩn bị có liên quan đến

đề tài, chúng tôi trình bày về định lý đường tròn Euler, đường thẳng Euler

và các tính chất của đường tròn Euler, đường thẳng Euler Các nội dung củachương được tổng hợp từ các tài liệu [1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 15]

Chương 2 Một số ứng dụng của đường tròn Euler, đường thẳngEuler

Trong chương này, chúng tôi áp dụng các tính chất của đường tròn Euler,đường thẳng Euler vào giải một số dạng toán trong hình học phẳng như: chứngminh thẳng hàng, chứng minh đồng quy, chứng minh song song, chứng minhvuông góc, chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định, chứng minh cácđẳng thức hình học Các nội dung của chương sẽ tham khảo từ các tài liệu[2, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14]

Chương 1

Một số vấn đề về đường tròn Euler, đường thẳng Euler

từ đỉnh đến trực tâm của tam giác gọi là các điểm Euler

(AC′, CA′), (BC′, CB′) thẳng hàng

Hình 1.1: Z, Y, X thẳng hàng.

Định lý 1.1.4(Định lí Menelause, [4]) Cho tam giác ABC và ba điểm D, E, Flần lượt nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB Khi đó, D, E, Fthẳng hàng khi và chỉ khi

là đường tròn Apollonius của đoạn thẳng AB ứng với tỉ số k

Hình 1.3: Đường tròn Apollonnius.

Chứng minh Gọi C, D là hai điểm nằm trong và ngoài đoạn thẳng AB sao

trên đường tròn đường kính CD

Ngược lại, giả sử P là điểm bất kỳ nằm trên đường tròn đường kính CD Khi

Như vậy, tập hợp các điểm P là đường tròn đường kính CD

k

Hình 1.5: Phép nghịch đảo tâm O, phương tích k.

O.Vậy

và MB là tiếp tuyến vẽ từ M đến (O) Một cát tuyến qua M cắt (O) tại P và

Q Khi đó AP BQ là tứ giác điều hòa

Hình 1.6: Tứ giác AP BQ là tứ giác điều hòa.

Do đó AQ

Vậy AP BQ là tứ giác điều hòa

Tứ giác điều hòa có một số tính chất như sau:

1 ABCD là tứ giác điều hòa thì AC · BD = 2AB · CD = 2BC · AD

2 Cho tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp (O), tiếp tuyến tại B và D cắt nhautại M, I là giao điểm của AC và BD Khi đó, (MIAC) = −1

3 Cho tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp O, gọi M là giao của hai tiếp tuyếncủa (O) tại B và D Gọi I là giao điểm của OM và BD Khi đó, IB làphân giác của góc AIC

Hình 1.7: Phép vị tự tâm I, tỉ số k.

cạnh đối diện tại A′, B′, C′ sao cho: hoặc cả ba điểm A′, B′, C′ đều nằm trên bacạnh của tam giác hoặc một trong ba điểm đó nằm trên một cạnh của tam giáccòn hai điểm kia nằm trên phần kéo dài của hai cạnh còn lại Điều kiện cần và

AB′

B′C · ACA′B′ · BCC′A′ = 1

Người ta thường gọi ba đường thẳng AA′, BB′, CC′ xuất phát từ các đỉnh củatam giác ABC và đồng quy tại một điểm là ba đường thẳng Ceva; Các đoạn

thẳng Ceva gọi là điểm Ceva Từ định lý Ceva, có thể suy ra rằng: Trong mộttam giác ABC:

1 Ba đường trung tuyến đồng quy (tại trọng tâm của tam giác)

2 Ba đường phân giác đồng quy (tại tâm đường tròn nội tiếp tam giác)

3 Ba đường cao đồng quy (tại trực tâm của tam giác)

4 Ba đường trung trực đồng quy (tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác).Dạng lượng giác của định lý Ceva như sau:

tiếp góc A, B, C tiếp xúc với BC, CA, AB theo thứ tự ở D, E, F Khi đó AD,

Chứng minh Gọi H, K theo thứ tự là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp tronggóc A với AB, AC Gọi p là nửa chu vi của tam giác ABC, BC = a, CA = b,

Hình 1.8: AD, BE, CF đồng quy tại N.

Do đó AD, BE, CF đồng quy (theo định lý Ceva)

Giao điểm N của ba đoạn AD, BE, CF được gọi là điểm Nagel

tâm (O1, r1) và (O2, r2) Quỹ tích tất cả các điểm P sao cho phương tích của P

3) Gọi J là trung điểm CD, ta có AC.AD = AB.AJ (hệ thức Maclaurin)

Định lý 1.1.15 (Định lý Simson,[10]) Chân các đường thẳng góc hạ từ mộtđiểm bất kỳ nằm trên một đường tròn xuống các đường thẳng chứa các cạnhcủa một tam giác nội tiếp nằm trên một đường thẳng Đường thẳng đó gọi làđường thẳng Simson.

tròn ngoại tiếp tam giác ABC lên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA vàAB

Hình 1.9:

trung tuyến, chân các đường cao và các điểm Euler nằm trên một đường tròn,gọi là đường tròn 9 điểm hay đường tròn Euler.

Hình 1.10: Đường tròn Euler đi qua chín điểm D, E, F, M, N, P, S, R, Q.

Chứng minh Gọi D, E, I lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB,

Suy ra IEDM là hình thang cân

Suy ra I, E, D, M thuộc một đường tròn, đó là đường tròn ngoại tiếp ∆DEI.Gọi K là trung điểm CH suy ra KE là đường trung bình của ∆ACH

Suy ra I, E, K, D, M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ∆DEI, tương

tự chứng minh cho các điểm còn lại

Hình 1.11:

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

Suy ra OD = JH = AJ suy ra AJDO là hình bình hành

Suy ra OA = DJ suy ra O0J = 1

Suy ra G là trọng tâm ∆ABC

Đường thẳng đi qua trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác có tên làđường thẳng Euler

là trung điểm của đoạn thẳng nối trực tâm với tâm đường tròn ngoại tiếp tamgiác đó

Hình 1.12: Điểm O 9 là trung điểm của HO.

lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn Euler củatam giác ABC Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC

dựng từ trung điểm các đoạn thẳng KE và MF

Vì các đường thẳng góc vừa dựng là các đường trung bình của hình thang

điểm cạnh OH

Định lý 1.2.3 ([10]) Bán kính của đường tròn Euler của một tam giác chotrước bằng một nửa đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.

Hình 1.13: AO = LE.

lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn Euler củatam giác ABC Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC

kính đường tròn Euler

Do đó, tứ giác ALEO là hình bình hành và AO = LE, trong đó LE là đườngkính của đường tròn Euler và AO là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tamgiác ABC

đôi khoảng cách từ tâm vòng tròn ngoại tiếp đến cạnh đối diện

Theo định lí 1.2.3, ta có OE = AL = HL nên suy ra 2OE = AH

lần lượt là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn Euler của tam giác ABC thì

Hình 1.14: H, G, O 9 và O thẳng hàng.

Ta có, O là trực tâm của tam giác A′B′C′ (vì OA′ ⊥ B′C′ và OB′ ⊥ A′C′), O9

tiếp tam giác A′B′C′

Chứng minh Gọi D, E và F lần lượt là chân các đường cao hạ từ đỉnh A,đỉnh B, và đỉnh C xuống BC, CA và AB của tam giác ABC Khi đó ta có cáctam giác ABC, ABH, BCH và ACH đều có chung các chân các đường cao là

Hình 1.15: ABC, ABH, BCH và ACH có chung nhau đường tròn Euler.

Euler

và trực tâm của một tam giác đến một đường thẳng bất kì đi qua tâm đườngtròn Euler bằng 0

Hình 1.16:

là tâm của đường tròn Euler của tam giác ABC và E là trung điểm của đoạnthẳng AH

Gọi L, P, M, N, K, F lần lượt là hình chiếu của các điểm A, B, C, H, E, D lên

đường thẳng d với d là đường thẳng bất kì đi qua điểm O9.

Do DF là đường trung bình của hình thang vuông BP MC nên ta có

giác và trực tâm đến một đường thẳng bất kì bằng bốn lần độ dài đại số khoảngcách từ tâm đường tròn Euler đến đường thẳng đó

Hình 1.17:

Chứng minh Gọi H và O9 lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn Euler

Khi đó, ta có

LA′ = P B′ = M C′ = N H′ = O9O′.Mặt khác, ta có

đường tròn nội tiếp của tam giác tiếp xúc với các cạnh BC, AC và AB lầnlượt tại D, E và F Trên đường thẳng AI, BI và CI gọi các tâm đường tròn

Chứng minh Ta có đường tròn ngoại tiếp của ∆ABC chính là đường tròn chín

tâm của ∆IaIbIc, và O là tâm của đường tròn chín điểm trong ∆IaIbIc Vì vậy,

các cạnh song song với nhau Cho nên đường thẳng Euler của chúng phải songsong với nhau Nhưng tâm đường tròn ngoại tiếp ∆DEF là điểm I Điều này

có nghĩa rằng đường thẳng Euler của ∆DEF đi qua điểm I và song song vớiOI

Bổ đề 1.2.10 ([15]) Cho tam giác ABC Gọi mE là hệ số góc của đường

mE = −mm1m2 + m3m1 + m2m3 + 3

1 + m2 + m3 + 3m1m2m3.Chứng minh Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H là trựctâm của tam giác ABC Gọi M là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh BC

và N, S lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên BC, AM

sin(B + C) − 2 sin C cos B

sin B cos C − sin C cos B

Thế (1.10) vào (1.9) ta được phương trình:

phẳng với tính chất như sau: không có hai đường thẳng nào song song, không

có ba đường thẳng nào đồng quy, không có ba đường thẳng nào tạo thành mộttam giác đều Nếu tồn tại một trong số các đường thẳng đó song song với đườngthẳng Euler của tam giác tạo thành từ ba đường thẳng còn lại thì bất cứ đườngnào trong số đó cũng song song với đường thẳng Euler được tạo thành từ bađường còn lại

m1m2 + m1m3 + m1m4 + m2m3 + m2m4 + m3m4 + 3m4m1m2m3 + 3 = 0.Mối liên hệ này là đối xứng với bất kỳ một hệ số góc nào và từ đó ta suy rađiều phải chứng minh

Hình 1.19:

sao cho A′′B′′ ∥A′B′, B′′C′′ ∥ B′C′ và A′′C′′ ∥ A′C′ Khi đó \AOA′′ = α.Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

O

Do (AB, A′′B′′) = (AC, A′′C′′) = (BC, B′′C′′) nên A′′ = RαO(A), B′′ = RαO(B),

C′′ = RαO(C)

Gọi e, e′và e′′lần lượt là đường thẳng Euler của ∆ABC, ∆A′B′C′và ∆A′′B′′C′′

song với đường thẳng BC khi và chỉ khi tan B tan C = 3.

hệ số góc của AC, AB và đường thẳng Euler của tam giác ABC Ta thu được

Vậy ta có điều phải chứng minh

giao với đường thẳng AB lần lượt tại M và N Khi đó đường thẳng Euler của

∆AM N song song với BC

Chứng minh Chọn một hệ trục tọa độ sao cho trục Ox song song với BC Gọi

là hệ số góc của đường thẳng AC, AB và đường thẳng Euler e của ∆ABC

Chương 2

Một số ứng dụng của đường tròn

Euler, đường thẳng Euler

Trong chương này, vận dụng các tính chất của đường tròn Euler, đường thẳngEuler đã trình bày trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số ứng dụng củađường tròn Euler, đường thẳng Euler trong việc giải một số dạng bài toán hìnhhọc phẳng Một số dạng toán có thể liệt kê ra như bài toán về đẳng thức hìnhhọc, bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng, bài toán về điểm cố định, đườngthẳng cố định, Các nội dung được trình bày trên cơ sở tham khảo các tàiliệu [2, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14]

quy

minh rằng đường thẳng Euler của các tam giác AP B, AP C, ABC đồng quytại một điểm nằm trên BC

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AP B

Chứng minh tương tự, đường thẳng Euler của tam giác AP C cũng đi qua K.Vậy, đường thẳng Euler của các tam giác AP B, AP C, ABC đồng quy tại mộtđiểm nằm trên BC.

giác có đỉnh là 3 trong 5 điểm A, B, C, D, P đồng quy

Chứng minh Gọi E là giao điểm AB và CD, F là giao của AC và BD Khi

đó, hai tam giác F AB và EAC lần lượt cân tại F và E

Lời giải bài toán Gọi G, L lần lượt là trọng tâm tam giác BP D, BCD; M là

tam giác KBD

Hình 2.3: G nằm trên đường thẳng Euler của tam giác ABC, ADC, AP C

trọng tâm tam giác BDP

Chứng minh tương tự với các tam giác BAD, ABP , ADP, BCD, DP C.Như vậy, ta cần chứng minh G nằm trên đường thẳng Euler của các tam giácABC, ADC, AP C

thứ hai tại T

tròn

Bằng cộng góc cũng suy ra [AP C = 180◦ − x = 180◦− [P AG= 180◦− [P CG.Suy ra G nằm trên đường thẳng Euler của tam giác AP C Ta có điều phảichứng minh.

có E là tâm đường tròn Euler Gọi X, Y, Z lần lượt hình chiếu của E trên BC,

CA, AB Chứng minh rằng đường thẳng Euler của các tam giác AY Z, BXZ,

Chứng minh Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, L là trungđiểm EO

Hình 2.4: J nằm trên đường thẳng Euler của tam giác AY Z

Ta sẽ chứng minh đường thẳng Euler của các tam giác AY Z, BXZ, CXY ,

Q

Suy ra tứ giác EJY Mb nội tiếp, nên ta có

[

J Y A = \J EMb = M\bMaMc = [BAC

Áp dụng bổ đề 2.1.4, suy ra J nằm trên đường thẳng Euler của tam giác AY Z

Chứng minh tương tự, ta có là điều phải chứng minh

không cân có D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB Gọi

với B′ và C′

Z Gọi H là trực tâm tam giác ABC và XH, Y H, ZH cắt BC, CA, AB theothứ tự tại M, N, K Chứng minh M, N, K thẳng hàng

Hình 2.5: A ′ nằm trên đường tròn (I, IO).

Chứng minh.

Gọi S và G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AI, AH

Vậy ta có điều phải chứng minh

b) Gọi R là bán kính đường tròn (O) Ta có GD = R Xét phép vị tự tâm A, tỉ