Một số vấn đề định tính của phương trình sai phân và ứng dụng

Dien hinh la bai toan nghien cuii su diet vong, truong ton, phat trie'n ben vung hay tuAn hoan cua cac qiiAn the sinh hoc thOng qua viec nghien cuu tinh chat cua nghiem cac phirong trinh

DAI HOC QU6C GIA HA N C I TRirclNG DAI HOC KHOA HOC Tl/NHlfeN

DINH CONG HI/6NG

LUAN AN TIEN SI TOAN HOC

TAP THE H U O N G D.AN KHOA HOC:

1 HDC: GS TSKH Nguyen Van Mau

2 HDP: TS O^ng V u Giang

HA NOI - 2006

M6t s6 kf hif u dung trong lu$n ^n 1

Ma dau 2

Chirong 1 Ve m6t I6p phirong trinh sai phSn phi tuyen \6\ mot chdm 10

LI Tinh cha't cua nghiem phucmg trlnh sai phan phi tuy^n vcri m6t cham 11

L l l H6i tu v6 0 11

1.1.2 Gidfi n6i ngat 13

1.1.3 Hoi tu tai trang thai can bang duang vai ta't ca cac cham 16

LL4 H6i tu tdi trang thai can bang ducmg vai chain nho 21

1.1.5 Dao d6ng cham va luan hoan kh6ng tam thuong 24

1.2 M6 hinh quan the' dan rcri rac phi tuye'n vcri mOt cham 28

1.2.1 Sir diet vong, trucmg t6n, phat trien ben NVng va tuan hoan 28

1.2.2 M6 hlnh quan the chim cut a bang Wisconsin 29

1.2.3 M6 hlnh quSn the ru6i xanh Nicholson 34

1.3 M6'i lien he giua phucmg trinh vi phan va phucmg trlnh sai phan phi

tuyen c6 cham 35

1.3.1 Phucmg trinh vi phan phi tuyen c6 cham 36

1.3.2 M6i lien he ve tinh cha't cua nghiem phucmg trinh sai phan va

phucmg Irinh vi phan phi tuyen c6 cham 43 Chirong 2 Ve mot lap phirong trinh sai phan phi tuyen voi nhieu cham 48

2.1 Mot s6 khiii nicm '^^

2.2 Tinh h6i tu, giai noi, tuan hoan -^9

2.2.1 Tinh h6i tu ^^

2.2.2 Tinh giai noi ^^

2.2.4 Vi du 60

2.3 Tinh dao d6ng 62

Chirong 3 V^ mot 16p phirong trinh sai ph&n hum ty 70

3.1 Phuong trinh sai phSn huu ty bac mot 71

3.2 M6t s6 phuong trinh sai phan huu ty bac hai 75

Ket ludn 88 Danh muc cong trinh da cong bo cua tac gia lien quan den luSn an 90

Tai lieu tham khao 91

N - tap cac s6 tu nhien

Ax„ ^ x„+i - Xn, (n G No) la loan tu sai phan tien

i = ni,n2 nghia Ik i e {n : n e Z wh rii ^ TI ^ ns}, a day ni, n2 G Z

int/ - phSn trong cua doan 7

C{J) ^ {/ : R D J —^ J sao cho / lien tuc tren J}

n L a A, = A„ • • • A,, n L a An = 1 ncu a > b

id - anh xa d6ng nha't

liminfn-foo^n- gidi han duai cua day s6 {x„}n

limsup,,_,^Xn- giai han tren cua day s6' {xn}n

linnnfx-.a /(x)-giai han duai cua ham f \ X —>Y X C R", n e N, 1^ C

limsup^_„ /(x)-gidi han tren cua ham / ; A^ - ^ Y X C 7J\n e N, Y C

L^ thuy^t dinh tinh ciia phirong trinh sai phan 1^ m6t hirdfng nghien curu quan trong trong giai tich toan hoc va ung dung Nghi6n cun dinh tinh phirong trinh sai phan la nghiSn cuii tinh ch^t va dang di6u cdc nghidm ciia chung ma khOng nha't thi6't phai xay dung c6ng thiic nghiSm Trudc day, ngucri ta thucmg nghien cihi phuong trinh sai phan bang each tim c6ng thu:c nghiSm tucmg minh cua no Tuy nhien, kh6ng phai luc nao vice tim c6ng thuc nghiem tucmg minh cung thuc hien duoc hoac neu tim duoc thi c6ng thu:c qua phiic tap, can tro vice nghien cuu cac tinh cha't cua chiing Cac va'n de tieu bi^u ma ly thuyet dinh tinh phucmg trinh sai phan quan tam la tinh gioi n6i, tinh dao dong, ti'nh tudn hoan, tinh hAu tuan hoan, tinh hut, ti'nh nhi phan, tinh On dinh nghiem, v.v

Ly thuye't dinh tinh phucmg trinh sai phan tim duoc nhieu ung dung trong cac ITnh vuc ciia toan hoc cung nhu cac khoa hoc khac, nhu trong giai tich s6', ly thuyet dieu khi^n, ly thuyet tro choi, ly thuye't sO', khoa hoc may tinh, ly thuyet mach, ly thuyet lugng tu, di truyen hoc, sinh thai hoc, kinh te hoc, tam ly hoc

va xa h6i hoc, v.v Vi vay, viec nghien cihi ly thuyet nay la mot va'n de thai

su CLia toan hoc duoc nhi^u nha khoa hoc quan tam Trong thai gian gan day da

CO nhieu tai lieu chuyen khao (xem [1], [2], [10], [14], [37]) va nhieu bai bao khoa hoc (xcm [4], [7], [9], [11], [12], [13], [15], [16], [19], [25], [27], [28], [29], [33], [35], [36], [38], [39], [40], [41], [43], [44], [46], [47], [48], [51], [52], [55]) de cap den ly thuye't dinh tinh ciia phirong trinh sai phan va ung dung

Nhieu bai toan dfm ve nghien ci'm dinh tinh phucmg trinh sai phan Dien hinh

la bai toan nghien cuii su diet vong, truong ton, phat trie'n ben vung hay tuAn hoan cua cac qiiAn the sinh hoc thOng qua viec nghien cuu tinh chat cua nghiem cac phirong trinh sai phan mO ta chung hay cac phuong trlnh sai phan nhAn duoc

tir viec Tcf\ rac hoa cac phuong trinh vi phan (thucmg c6 cham dao ham ricng

dai s6', ngau nhien .) da duoc dung de mO hinh hoa cac quAn thC nay Mot

phan 1^ bai todn yeu c^u phai xay dung cac thuat toan s6 h6i tu M6t thuat toan

s6 quen bi^t la luge d6 lap Newton d^ tim nghiem ciia ham thuc Nhung luge 66

lap Newton chi h6i tu dia phuong trong khi do chi nhung thuat toan h6i tu toan

cue thi mdi c6 y nghIa trong umg dung Han che' nay cung xay ra dO'i vdi thuat

toan CO tinh chat tuin hoan vi trong trudng hgp nay may ti'nh khOng th^ cho ke't

qua xap xi t6t nhat khi thdi gian tie'n ra v6 ciing Chang han nhu, di tim nghiem

(x^p xi) ciia phuong trinh f{x,x) - x trong tap hcrp s6' thuc duong ta cho tru6c

cac gia tri XQ.XI > 0 va tinh cac gia tri khac theo cOng thuc x„+i = /(i„,Xn-i)

vdi n G N Dieu ma chung ta can o day la day {xn}n hOi tu nhanh toi nghiem

ciia phuong trinh f{x,x) = x Tuy nhien trong thuc te lai c6 th^ xay ra trucmg

hgp day {x„}„ tuan hoan hoac hOi tu nhung tO'c dO h6i tu khOng cao

Tren thuc te' nhieu quan th^ sinh hoc duoc mo hinh hoa boi phucmg trinh sai

phan phi tuye'n c6 cham dang

x„+i = Ai„+ F(x„_m), (0.1)

trong 66 m la m6t s6 nguyen duong c6' dinh, n e No; x,, (z = -m, 0) la cac s6'

duong cho tru6c; A e (0,1) va F G C([0,oo)) (xem [1], [7], [12], [41], [44], [45])

Trong m6 hinh nay, m la khoang thoi gian tir liic sinh ra den luc trucmg thanh

cLia ca th^; x„ la s6' lugng thanh vien trucmg thanh cua quan the 6 thoi diem n;

Axn la s6' lugng thanh vien truong thanh sO'ng sot (a thai diem n) va F(x„_,„) la

.sO' lugng thanh vien trudng thanh (phat sinh bai x„_„.) bd sung vao quln the a

th6i diem n + 1 Hai m6 hinh tieu bieu c6 dang (0.1) la mo hinh quan the chim

cut o bang Wisconsin hgp chung quO'c Hoa Ky (xem [7], [41], [44])

A.M-A.r„ + -^f^^, (/a->0)

va m6 hinh quan the ru6i xanh Nicholson (xem il], |45j)

J-„ + i = Ax„ + p x „ _ ^ c - ' " " — , {p.q> 0)

viec rcfi rac hoa phuong trinh vi phan phi tuy^n c6 cham

x{t) = -nx{t) -f- f{x{t - r)) (0.2)

bang each thay dao ham bac nhat x{i) ciia x tai t boi ty sai phan ca'p 1 cda

no Trong mOt sO' trucmg hgp cu thd ciia ham / , phucmg trinh (0.2) da dugc

diing d^ m6 hinh hoa m6t s6' quan th^ sinh hoc Ching han, voi /(x) = pxe~'^'^

hay /(x) ^ pe-*?^ thi (0.2) la m6 hinh quan Xhi ru6i xanh Nicholson (1957) do

Gurney va mOt s6' tac gia khac khao sat nam 1980 Hoac la voi /(x) = -^^ hay

/(x) = 0^^ thi (0.2) la cac m6 hinh san xua't te bao mau do Mackey va Glass

khao sat nam 1977 Ti'nh cha't ciia nghiem phuong trinh dang (0.2) da dugc nhieu

tac gia nhu F M Atay, Y Cao, S Chow, W S C Gurney, S P Blythe, R M

Nisbet, K Gopalsamy, M R S Kulenovic, G Ladas, Jack K Hale, K P 1 ladder,

J Tomiuk, U an der Heiden, Walther, M Kot, Yang Kuang, 1 Kubiaczyk, S

Saker, M R S Kulenovic, Y Sficas, M C Mackey, L Glass, Jianhong Wu, v.v

, quan tam nghien ci'm (xem [3], [6], [8], [20], [21], [22], [23], [24], [26], [30],

[31], [32], [34], [42], [49], [50], [54]) Can day, Y Lenbury, Thomas I Seidman

va Dang Vu Giang da khao sat ti'nh cha't cua nghiem phucmg trinh (0.2) va nhan

dugc mot s6' dieu kien de moi nghiem ciia phucmg trlnh nay la hoi tu ve 0, gidi

noi nggt hay hOi tu toi trang thai can bang duong duy nha't Dac biet la ket qua

ve hieu suA't cua do tre doi voi sir hoi tu cua nghiem den trang thai can bang

duang va su tOn tai nghiem tuan hoan kh6ng tam thucmg (xem [17], ilS;) Nliom

tac gia nay cung ap dung cac ket qua cua ho dd xac dinh dieu kien diet vong

truong t6n, phat tridn ben vung hay tuan hoan cua mot s6' qudn the sinh hoc dugc

rno hinh hoa boi phirong trlnh dang (0.2) 6 day ham phi tuyen / khong doi h6i

don dieu hay kha vi Vi vAy, kCt qua nay la c6 y nghia sinh hoc bai \i h:\u het

ciic m6 hinh phat triCn qudn the sinh hoc, ham / thuCmg khong dan dicii va kha

vi Hon nua, nghiem tuctn hoan khOng tam thuong dong vai tro quan inMiLi irong

cac qua trinh sinh hgc Nhom tac gia nay da su dung phucmg phap lap gun ium

cua phirong trinh (0.2) Ngoai ra, ho con dung nguyen ly re nhanh Hopf va dinh

1^ di^m b^Tt d6ng Browder d^ chung minh t6n tai nghiem tu^n hoan kh6ng t^m

thucmg cua phuong trlnh nay

Tinh ch^t cua nghiem phuong trinh sai phan phi tuye'n c6 cham (0.1) cung

da dugc nhieu nha khoa hoc quan tam nghien cuu (xem [1], [12], [27], [28], [45])

M6t s6 tac gia da tim dugc mot so dieu kien dd moi nghiem cua (0.1) hOi tu toi

trang thai can bang duong duy nha't cua no (hieu suat do tre khong xua't hien)

Cu th^ la, nguoi ta da chung minh rang voi mot so dieu kien rang buoc ve tinh don dieu, kha vi cho ham phi tuyen F, ihl moi nghiem hoi tu tai trang thai can bang duong voi ta't ca cac chain

Nam 1984, trong [12], Fischer va Gogh da su dung phuong phap phiem ham Liapunov dd chiing minh sir 6n dinh tiem cAn toan cue cua trang thai cAn bang duong duy nha't ciia phuong trinh dang (0.1) Trong [Ij, lac gia da ap dung ket qua nay dd xac dinh dieu kien phat Irien ben vung trong hai mo hinh quan the sau

va

' -t 71 — Til -TTI+I — A T „ H"

1 + a ' j „ _ , , i Tuy nhien, trong nhieu truong hgp thi phuong phap nay mat lac dung

Nam 1991, trong [28], nhom tac gia Karakoslas G Philos Ch G., Sficas Y

G da sir dung phirong phap day gioi han day de khao sal tinh chat cua nghiem

phuong trinh (0.1) voi hai dang cua ham F, do \l\ F ^ f • g va F = f + g, trong

do / la m6t ham lien tuc, ducmg don dieu giam va g Mx moi ham lien tuc khong

am, don dieu tang Nhom tac gia tren nhan dugc moi so dieu kien du de moi nghiem cua (0.1) hoi tu den trang thai can bang JiMne duy nhat va ho cung ap dung cac ket qua llm dugc cho mot so plurong irinh nhu

•Tn+i = A.r„ -i- ^ •

1 + ^n-m

X n + l = XXn + OcXn-m^ •/3x,

Xn+1 = Xxn + ae ^^"—, trong do 0 < A < 1, a,p,r,s, la cac hang so duong va m la mot so nguyen duong

c6' dinh Cac phuong trinh tren nhan dugc til viec rdi rac hoa mo hlnh san xua't

te bao mau Mackey - Glass va m6 hlnh quan the ruoi xanh Nicholson

Nam 1994, trong [27], A F Ivanov da khao sal phuong trlnh sai phan dang

trong do n € No,/x la tham so duong, / e C{R) va m la mot so nguyen duong c6

dinh Phuong trlnh nay co the dugc vict lai duoi dang (0.1) voi A = - ^ e (0,1)

va F{x) — -^f{x), Vx e K A F Ivanov da nhan dugc mot so ket qua \c tinh

cha't cua nghiem phuong trlnh nay nho vice nghien cuu ifnh chat cua anh xa /

A F Ivanov cung ap dung cac ket qua cua minh cho cac phien ban rai rac cua

m6 hlnh san xua't te bao mau Mackey - Glass va mo hlnh quan the ruoi xanh

Nicholson ma nhom tac gia Karakoslas G., Philos Ch G., Sficas Y G da khao

sat nam 1991

Nhu da de cAp o tren, phuong Irlnh sai phan phi luycn c6 cham (0.1 ) c6 the

dugc dung de mo hlnh hoa mot so quan the sinh hoc Trong mo hinh nay, he so

s6'ng sot A la mot so c6 dinh ihuoc khoang (0, 1 ) va su phat iricn cua quan the

phu thu6c m6t chAm m e N Tuv nhien, iron rbirc le ibi he so song sol \-v bicn

thien theo thoi gian va su phai triOn cua quan the thuong phu ihuoc nhieu cham

bi chan, co trong s6' Nhung quan the nhu va>- c6 the ^hhic mo la boi phujng

trlnh sai phAn sau

r

x „ 4 i - A,j-„ i ^ ( i ( n ) r ( i - , , _ , , ) f 0 3 )

t = i

cung \k mb rdng cua phuong tnnh

da dugc L H Erbe va B G Zhang d6 cap trong [11]

Tir nhimg m6 hinh thuc te' va viec red rac hoa phuong trlnh vi phan phi tuye'n

c6 cham (0.2), ciing nhu nhung ke't qua \6 tinh ch^t ciia nghiem phuong trinh

nay, dSc biet la hieu sua^t ciia d6 tre dG'i voi su hOi tu cua nghiem de'n trang thai can bang duong va su t6n tai nghiem tudn hoan kh6ng tdm thucmg, cho ta tha'y viec nghien cuu tinh chSft ciia nghiem hai lop phuong trlnh sai phan phi tuyen co cham (0.1), (0.3) va ung diing cua n6 trong ITnh vuc sinh hoc la m6t va'n de co tfnh cha't thoi su

Ngoai ra, viec nghien cuu tinh cha't cua nghiem phuong trlnh sai phan huu ty

C Gibbons, N R Prokup, da nhan dugc m6t so ket qua ve ti'nh chat cua nghiem

phuong trinh (0.4) voi m6t s6' han che' tren cac tham so Q 3.- 4, B.C Hon nua,

G Ladas con dua ra nhieu du doan ve tinh chat hoi tu va tuan hoan cua nghiem phuong trinh nay

Luan an tap trung nghien ciru mdt s6' va'n de dinh ti'nh cua phucmg trinh sai phan va ung dung NhiJng van de dugc nghien curu trong luan an bao g6m:

I Tfnh cha't ciJa nghiem m6t lop phuong trinh sai phan phi tuyen v(ti m(M

cham (0.1) va m6t \dp phucmg trinh sai phan phi tuyCn vai nhieu cham

(0.3) TCf do xac dinh dilu kien d^ cac qudn th^ sinh hoc dugc m6 hinh hod boi cac phuong trinh dang nay la diet vong, trucmg t6n, phat tri^n ben vung hay tuSn hoan

2 Tinh ch^t cua nghiSm m6t lop phuong trlnh sai phan huu ty dang (0.4) vdi

mdt s6 han che' tren cac tham s6' a, p, 7, A, B, C

Trong ban luan an nay, chung I6i su dung phucmg phap tap gi&i han UJ d^

xdc dinh su h6i tu cua moi nghiem phuong trlnh sai phan phi tuyen voi mOt cham (0.1) de'n trang thai can bang duong duy nha't ciia no Phuong phap cd dien

la phie'm ham Liapunov khOng hieu qua dC'i voi nhieu phuong trlnh dang (0.1) Ngoai ra, chiing tdi dung dinh ly didm bat d6ng khdng cue bien cua Browder

va nguyen ly re nhanh Hopf dd chi ra su t6n tai nghiem tuan hoan kh6ng tam thuong cua phuong trlnh (0.1) va diing dinh ly diem ba't d6ng Krasnosel'skii dd chung minh su t6n tai nghiem t u ^ hoan duong cua phuong trlnh

•,, + 1 = XnXn + y ^ Q t F ( j n - t

N6i dung cua luan an, ngoai phiin mo d^u, phln ket luAn gom co 3 chuong Chuong 1 nham trlnh bay m6t s6' dieu kien dd moi nghiem cua phuong trlnh

(0.1) hci til ve 0, gi&i noi nggt, h&'\ tu toi trang thai can bang duong duy nha't vcd

ta't ca cac cham hay voi cham nho; dac biet la dieu kien de t6n tai nghiem tuln hoan khOng tfim thucmg Xac dinh dieu kien diet vong irucmg ion, phat men

b6n vung va tudn hoan cua cac quiin the sinh hoc dugc mo hlnh hoa boi phuong

irlnh nay Ngoai ra, Chuong 1 con chi ro sir tuong thich ve iinh cha't cua nghiem phuong trinh sai phan phi tuyen co cham (0 1) va phucmg trlnh v: oha- phi tuyen

CO cham (0.2), Cac ke't qua dat dugc trong Chuong 1 la moi va mang ii'nh thoi

su Day cung la chuong co nhieu ket qua moi nha't irong luAn an nay

Trong Chuong 2, chiing tdi xac dinh dieu kien de nghiem cua phucmg irinh

sai phan phi tuye'n voi nhieu cham bi chan dang (0.3) la h6\ tu, gioi n6i tuAn

di6u kien diet vong, trucmg t6n hay tufe h o ^ cho cac q u ^ thi sinh hoc dugc

m6 hinh hod bcri phuong trinh (0.3) Ngoai ra, cdc k^t qua v6 tinh dao d6ng cua

nghiem phuong trinh (0.3) (trong trudng hgp An = 1, Vn € No) la mo rOng v6

mat toan hoc cho m6t s6' k^t qua ciia L H Erbe va B G Zhang ve tinh dao d6ng cua nghiem phuong trinh

Chuong 3 danh di nghien ciiu tfnh ch^t ciia nghiem mOt s6' Idrp phucmg trinh

sai phan huu ty dang (0.4) Cii th^ la, chiing tOi chung minh mOt phin du doan cua Ladas va xac dinh mOt s6' dieu kien dii de' moi nghiem ciia mot s6' lap phuong trlnh sai phan huu ty dang (0.4) hOi tu toi trang thai can bang ducmg duy nha't cCia chiing

N6i dung chinh ciia luan an dugc cOng b6' trong cac cOng trlnh [1-4] cua tac gia va da dugc bao cao o cac hOi nghi khoa hoc va xemina sau:

- Xemina "Giai tich - Dai s6'" ctia Trucmg Dai hoc Khoa hoc Tu nhien, Dai hgc QuO'c gia Ha nOi

- Xemina "Phuong phap giai phuong trinh vi phan" cua Khoa Toan-Ca-Tin hgc, Truong Dai hgc Khoa hoc Tu nhien, Dai hoc Qu6'c gia Ha nOi

- Xemina "Phuong trinh vi phan" ciia Khoa Toan-Co-Tin hoc, Trucmg Dai hoc Khoa hgc Tu nhien, Dai hgc QuO'c gia Ha nOi

HOi thao lien trucmg Vien ve phucmg trinh vi tich phan va ung dung (15

-16 thang 05 nam 2004 - Ba Vi)

- H6i thao Toan sinh thai n^^i tmcmg (27 - 2Q tha-.g 09 nan-i 2004 - Ha Long)

- H6i nghi qu6'c te' lan thii II ve giai tich truu tugng va ung dung (04 - 09 thang 06 nam 2005 - Quy Nhcm)

VE MOT L 6 P PHUONG TRINH SAI PHAN PHI TUYEN V6l

MOT CHAM

Xet phuong trinh sai phan phi tuye'n voi mOt cham dang

X„+i = AXn + F(x„_„), (1.1)

trong do m la m6t sO' nguyen duong cO' dinh, n e No; x,, {i = -Tn,0) la cac s6'

duong cho trudc; A e (0,1) va F e C((0,oo)) Phuong trlnh (1.1) xua't hien trong

nhi^u ling dung va co thi duac xem nhu la ke't qua cua su rcri rac hoa phuong

trlnh vi phan phi tuye'n co cham

i{t) = -lix{t) + f{x{t-T)) (1.2)

trong d6 t>0,f e C([0,oo)), ;x va r la cac tham s6' duang

Trong chuong nay, 6 muc thu nha't, chiing ta nghien cuu mOt s6 tinh cha't ciia

nghiem phuong trlnh sai phan phi tuyen voi m6t cham (1.1) Cu the la, ta se xac

dinh mOt sO dieu kien de moi nghiem ciia phucmg trinh tren la hoi tu ve 0, gidi

npi nggt hay hoi tu toi trang thai can bang ducmg duy nhat Dac biet la dieu kien

de ton lai nghiem tuan hoan khOng tam thucmg ciia (1.1) Muc thu hai danh de

trlnh bay ung dung cua viec nghien cuu dinh tinh phucmg trlnh sai phan co cham

(1.1) dO'i voi bai loan khao sat su diet vong trucmg ton phat trie'n ben vung va

tudn hoan ciia cac quan the sinh hgc dugc mO hlnh hoa bai phuitng irinh dang

nay Trong muc cuo'i cung la se nghien cuu moi Hen he ve linh chat cua nghiem

phuong trlnh sai phan phi tuyen co cham (1.1) va phucmg trinh vi phan phi tuyen

CO cham (1.2)

10

1.1 Tinh chat cua nghiem phirong trinh sai phan phi tuyen vdi mot

cham

Dinh nghla l.L MOt day s6 duong {xn}nGN_^ dugc goi la mdt nghiem cua (1.1)

n^u no thoa man (1.1) vdi ta't ca n e NQ

Neu cho trudc m + 1 s6 duong a^, (i = - m , 0) thi (1.1) co nghiem duy nha't

{xn}n^N-m Ihoa man di6u kien ban dSu

Xn = cin vdi n — —m, 0

Dinh nghla 1.2 MOt nghiem {xn]n cua (1.1) dugc goi la gi&i noi ngat neu

0 < Hminfxn ^ HmsupTn < oc

n ->oo

Xet phuong trlnh sai phan phi tuyen co cham (1.1) Ta co cOng thuc bien

thien hang s6' nhu sau

Djnh ly 1.1 Dieu kien can vii dii dc moi nghiem {x,,},, ciu (/./) hoi iii idi 0 khi

n lien ra vo cung la F{u) < (1 - A)u vin moi u > 0

Chifng minh Truoc het gia su rang /-'(u) < (1 - A);/ vai moi u > 0 Goi {x,,}., la

mOt nghiem cua (1.1) va M : - max_„.^,^o-f- Ta chung minh rang x, -^ \I vai

moi n That vSy, dung phuong phap quy nap gia su ring xjt ^ M vcfi moi k^n

La'y gioi han tren hai ve ta nhan dugc

Vi e la s6 nho bao nhieu tuy y nen dieu nay cho ta

Mat khac, {.r,}„ va {F(x,,_nO}„ la cac day bi chan nen ta co the chon m6t day

con {ilk} cua tap so tu nhien sao cho

Ta cung co the gia su rang day con {x„, ,„} hoi tu toi giai han /, Vi F la

ham lien luc nen la co ^2 = ^(^s)- Neu ^3 > 0 thi

/'2 = F ( 6 ) < ( 1 - A ) ^ 3

R 6 rang, 4 < ^i- Vi vay ^2 < (1 - A)^i Tiif (1.4) ta co

Ngugc lai, gia sii rang F{u) < (1 - X)u kh6ng thoa man vcri moi u > 0 Hai

trucmg hgp sau co Ih^ xay ra:

(i) T6n tai a > 0 sao cho F{a) = (1 - X)a

(ii) F{u) > (1 - X)u vdi moi u > 0

Trong trucmg hgp thu nha't day {x„}„ vcri x^ = a, Vn la m6t nghiem duong

nen khdng h6i tu den 0 Ta xet trucmg hgp thu hai Dat x, = 2, i = - m , 0 Ta

chung minh rang Xn > 1 vdi moi n Bang quy nap, gia su rang x^ > 1 vdi k ^^n

Nhan xet 1.1 De iha'y rang neu F(x) = c (hang so") thi lim^^^^ x„ = yf^ That

vay, phuong trlnh X,H i = Ax„ + c co nghiem tOng quat la x„ = aA" + j ^ Do

A e (0,1) nen la co ngay lim„_,3c J'u =

jzx-1.1.2 Gidi noi ngiit

Dinh ly sau la mOl dieu kien du de mgi nghiem cua (1.1) la gicn n6i ngat

Dinh ly 1.2 Gia su rang F{x) = H{x,x), trong do H : [0,oo) x [0,oo) -^ [0,oo)

Id ham lien tuc, dong bien theo bien thii nhat nhUng nghich bien theo bien thu

hai va H{x,y) > 0 neu x,y > 0 Gia thiet them rang

limsup : ^ A ^ < 1 - A , (1.5)

(x,y)-¥{co,oo) X

Uminf : ^ ^ M ) > i _ A (1.6)

(x,v)-+(0.0) X

Khi do mgi nghiem {xn}„ ciia (LI) Id gi&i noi nggt

Chiing minh Trudc het ta chihig minh rang {xn}n la bi chan tren Bang phuong

phap chung minh phan chumg, gia su limsup^_,^x„ = oo Vdi mdi sd nguyen

(vi Xkn > ^kn-i-m v^ H{x,y) la ham d6ng bie'n theo bi^n x) nen ta cd

hm sup ^ hm sup —^-—^ ^ 1 — A

(3:,v)->(oo.oo) X n-^oo Xfc^

Di6u nay mau thuSn vdi (1.5) Do dd, {xn}n bi chan tren

Tiep theo, ta chung minh rang Uminf„_,ooXn > 0 Bang phuong phap chung

minh phan chung, gia su rang hm inf^-^oo 2:n = 0 Vdi m6i so nguyen n ^ - m , ta

Dinh nghla 1.3 Vdi m6t nghiem gidi ndi ngat {xn}n cua (1.1) ta goi tap tSft ca cdc di^m tu cua day cac vec to {v^ = (x„_^, Xn-m+i, * • • , Xn)}n la tap gidi han 6

me ga ciia {xn}n va ki hieu la u{x),

Nhan x^t 1.2 Tap gidi han a;(x) compact va b^t bie'n ddi vdi anh xa

xac dinh boi Tv^ = v^_^^, Neu mdt nghiem {xn}n la tuin hoan thi tap hgp gidi han uj{x) g6m hiJu han didm Ngugc lai neu tap hgp gidi han a;(x) g6m him han

didm, thi ban than nd la mdt nghiem tu^n hoan (xem [53]) Hon niia, anh xa

T : uj{x) —> u{x) la toan anh Vi vay, t6n tai hai nghiem cd ngu6n gdc {PnlnGZ

va {Qn}n€Z (gia tri ban dau dugc chon trong tap gidi han a;(x)) cua phuong trinh (1.1) vdi mgi n sao cho

lim sup Xn = PQ, liminfxn = Qo

n-^oc "^-^^

va

Ta cd

va he qua la

Qo^Pn^ PO Qo ^ Qn < PO^ ^n G Z ,

Po = AP_i + F(P-m-i), Qo - AQ_i ^ F(Q-.n-l)

FjP.m-.) ^ ^ F((?_._.)

1 - A ' " " 1 - A

Tit cOng thuc nay ta co

—^ • iuf F(x) ^ liminfx,, ^ lim sup x„ ^ r -supFlx)

1 - A i > 0 n-.c» „_>^ i - A j > 0

1.1.3 Hoi tu t6\ t r a n g thai can bang d u o n g vdi tat ca cac c h a m

TCr day ta luon gia su rang phuong trlnh x ^ Ax - F(x) co nghiem duy nhat

X = X € (0, oo) Tit se xac dinh dieu kien de moi nghiem ciia (1.1) hoi tu tai trang th^i can bang duy nhat x voi tat ca cac cham

Dinh ly 1.3 Gia si( F Id hdm dcm dieu tang vd

Khi do mgi nghiem {xn}n ciia (LI) hoi tu den x

Chimg minh Vdi m6i x e [0,oo) dat H{x,y) = F(x),Vy 6 [0,oo), the'thi dieu kien

(1.5) va (1.6) la thoa man va dinh 1^^ 1.2 dugc ap dung Dieu nay cd nghla rang

mgi nghiem cua (1.1) la gidi nOi ngat Vi vay, vdi mdi nghiem {xn}n cua (1.1),

t6n tai hai nghiem cd ngudn gdc {Pn}ncz va {Qn}n€Z cua (1.1) sao cho

TCr (1.10) va (1.11) ta thu dugc ^(Po) > 0 va a^o^ ^ 0 Mat khac tu (1.7j suy

ra limsup^_^C(x) < 0, va tCr (1.8) ta nhan dugc hminf^_o^(j) > 0 Do do, hai

irucmg hgp sau co the xay ra: Hoac la trong (0, Qo] va \PQ oc) co hai die'm A'', A'"

khac nhau sao cho i{K') = i{K") - 0, hoac l\ = Qo = ^- Theo gia thiet thi

tru5ng hgp thu hai xay ra Dinh ly dirge chung minh •

Dinh ly 1.4 Gia si( F la ham chm dieu gidm Dat

F(x)

/(x) = 1 _ A I C A I H O

" & i,r ' H I ( •• I

V L( /M:L

Gia thiet them rang he hai phucmg trinh sau

a = f{P) P = f{a)

CO nghiem duy nha't a = p Khi do mgi nghiem {xn}n ciia (LI) hoi tu den x,

Chimg minh Vdi mdi y G [0,oo) dat H{x,y) = F(y),Vx G [0,oo), the thi dieu kien

(1.5) va (1.6) la thoa man va dinh ly 1.2 dugc ap dung Do vay, vdi mdi nghiem

{xn}n cua (1.1), ton tai hai nghiem cd ngudn gd'c {Pn}nez va {Qn}nez cua (1.1)

Xet he cac phuong trlnh sai phan sau

fln+i = fibn), 5„+i = /(a„) vai n e N

The' Ihl ca Po va Qo cijng thugc vao doan [a„,6„) vai moi n € N Day {a.Jn la

don dieu tang va day {fe,.}, la dcm dieu giam Vi vay ton tai hai giai han tuong

ung la a va p Hon nija, cac gioi han nay thoa man he

a = /(/?), ^ = / ( a )

Theo gia thiet cua ta thi a ^ p = x VI vay, liin„_.>: a, - liiii„-.:x b„ - 7 va do

do, Fo = Qo = ^- Dinh ly dugc chung minh ^

Ti6p theo, ta gia s i rang vdi yo > 0, ta cd

F{yo) = raaxF(x)

x^O

va F la ham don dieu tang trong [0,yo]i don dieu giam trong (yo>oo) Trong

trudng hgp nay F dugc goi la ham hinh chuong Dat

Gia thi^t them rang {xn}n la mdt nghiem gidi ndi ngat cua (1.1) Goi {Pn}n^z

va {Qn}n€Z la hai nghiem cd ngudn gd'c cua phuong trinh (1.1) sao cho

limsupx„ - Po, Qo ^ P„ ^ Po, Vn G Z (1.12)

n—•oo

Vi vay,

n ^ P{P-m-\) F{yo) , , /I Tj\

Po ^ — _ ^ T^ ^ ^^^^^'' ^ '

Dinh !y 1.5, Gia sH rang /(yo) ^ yo va (J.8) cung dugc gia thiet la diuig did sir

{xn}n i^ ^g^ nghiem gi&i noi nggt cua (LI) The thi {xn)n hoi tu den x

Ciiirng minh Tir (1.12) va (1.13) ta cd Pn ^ Po ^ yo> Vn G Z Nhung F la ham

tang trong [0,yo] nen ta thu dugc

Mat khac, ro rang limsup^_.^{(x) < 0 va tu (1.8) ta co Hminf, „C(J-) > 0 Do

66, hai irucmg hgp sau co the xay ra: Hoac la trong [O.Qo] va [/'o.oc) c6 hai

dlim K\K" khac nhau sao cho ^{K') = ^{K") = 0, hoac PQ = Qo = x Do gia

thieft cua ta trudng hop thur hai xay ra Dinh If dugc chumg minh D

Xet trudng hgp /(yo) > yo Trudc tifin, ta nhic lai dinh ly sau ciia Ivanov da

dugc trinh bay trong [27]:

Dinh ly 1.6 [27\ Gia sic tSn tai mdt doan I trong R la bat bien doi v&i anh xg

/ G C(R), ti(c Id / ( / ) C / Gia thiet them rang, co duy nhat mdt diem x G int/ la

diem hiit todn cue ciia / , ti(c Id /(x) = xvd linin-^oo f'ix) = x v&i mgi x G int/

The thi, mgi nghiem {x^jneN-^^^i G int/, i = - m , 0 ciia phuong trinh

Xn + l = —rXn + —-/(Xn_m), M > 0

fl+ 1 /i + 1

hdi tu t&i X

Dat / la doan [0,/(yo)] Ro rang ham / dua / vao chinh nd Tu (1.13) ta cd

x„ G / vdi ta't ca n trir mdt sd huu han chi sd n Mat khac vi x la nghiem duong

duy nha't ciia phuong trinh x = Xx + F{x) nen nd cung la nghiem duong duy nha't

cua phuong trinh /(x) = x Di6u nay cd nghla x G int/ la diem cd dinh duy nhat

cua / Ta cd bo de sau:

Bo de 1.1 Gia silt rang limn-.oo/"(x) = ^ ^'cri tat cd x G / The thi mgi nghiem

gi&i ndi nggt ciia (LI) hoi tu t&i x

Chimg minh Nhu da de cap 0 tren vdi mdt nghiem gidi noi ngat {x^Jn ta phai

cd Xn G / vdi ta't ca n trir mot sd huu han chi sd n VI vay khong mat tinh tong

quat ta gia su rang x^ G / vdi mgi n Theo dinh ly 1.6 ta cd dieu phai chung

Ph6p chumg minh ciia bd d6 1.2 cd thi tim th^y d [27], [51] B 6 di 1.1 va 1.2

cho ta dinh ly sau:

Dinh ly 1.7 Gia sUt hdm f co dgo hdm den cap 3 tren /, |/'(x)| ^ 1 vd dgo hdm

Schwarzian

^'^^> - m 2 (/'(x))

ciia f dm trong I \ {x} The thi mgi nghiem gi&i noi nggt cua (LI) hoi tu t&i x

1.1.4 Hoi tu tdri t r a n g thai can b a n g dirorng vdi c h a m n h o

Bay gid chiing ta nghien cihi hieu sua't cua cham m dd'i vdi sir hdi tu cua nghiem

phuong trinh (1.1) tdi trang thai can bang duong x Ta gia thiet /(yo) > yo Dieu nay keo theo x > yo

Menh dd 1.1 V&i moi nghiem gi&i noi nggt {xn}n ciia (LI) ta co

A'^"*"^x < Hminf Xn ^ x ^ HmsupXn ^

/(yo)-n—>cc n—•oo

Chiaig minh Ggi {P„}n^z va {Q„}„gz la cac nghiem co nguOn goc cua phuong

trinh (1.1) vdri Po = limsup„_^^x„ va QQ = liminf„^3c ^n- Ta co

Qo = AQ_i + F((?_i_„0 ^ AQo + F(C_i-m),

do do Qo ^ /(Q-i-m) Nhung Qo ^ Q-i-m, vi vay Q_i_„, ^ / ( Q - i - ^ ) - Mat khac, la co y < f{y) voi moi y e (0,x) Vi vSy (?_!_„, ^ x Tu day suy ra

Po ^ J^- Hon nira, lir cong thuc bien thien hang so ta co

Mat khac,

Po = AP.i + F{P_,_m) ^ APo + F ( P - i - ^ ) ,

nen Po ^ /(P-i-m) < /(yo) Nhimg Po ^ P-i-m do dd P.^^m ^ /(P-i-m) Mat

khac, ta cd y > /(y) vdi mgi y G (x,oo) Vi vay, P-i-m ^ x Tir day suy ra

Qo ^ X Menh d^ dugc chumg minh D

Dinh ly 1.8 Gid silt ton tgi cac hang so duang Li,L2 sao cho hdm / thoa man

Chimg minh Ggi {Pn}nGZ va {Qn}nez la cac nghiem cd ngudn gdc cua phuong

trinh (1.1) vdi Po = nmsupn_,oo^n va Qo - liminfn^oc :Cn Tu menh de 1.1 ta cd

Id mot so nguyen sao cho mo < m va

The thi moi nghiem (khac hang) {x„}„ cua (I.I) khong tuan hoan v('n chu ki

m — nio

Chimg minh Gia su trai lai, tuc l6n tai {x„}„ la mot nghiem tuan hoan (khac

hfing) v6i chu ki m - mo The thi {x,,}, la nghiem cua phucmg tnnh

ChAm trong phucmg trinh nay la mo nen ap dung dinh ly I S ta c(S

lim X,, — X

Nhung {xn}n 1^ day t u ^ hoan nen Xn = x vdi mgi n Diin nay mau thuan vdi

gia thie't {xn}n 1^ nghiem khac hang Menh di dugc chiing minh D

1.1.5 Dao dong cham va tuan hoan khong tam thirdng

Tren day ta da nghien cuu hieu suaft ciia cham m dd'i vdi su hdi tu cua nghiem

phuong trinh (1.1) Ta da chumg minh ring vdi cham nho va F la ham phi tuyen

hinh chudng, thi mdi nghiem gidi ndi ngat hdi tu den trang thai can bang duong

X Bay gid ta se nghien cum tfnh tuSn hoan cua nghiem trong trudng hgp cham

m du Idn Vdi gia thiet /(x) > x khi x < x va /(x) < x khi x > x, ta da chung

minh rang ta't ca cac nghiem gidi ndi ngat {xn}n cua (1.1) thoa man

A"^"^^x < liminf Xn ^ x ^ lim sup x„ ^ max _/(x) (117)

n - + o o n—>oo A ' " " * - ' T ^ X < X

He qua la, neu mdt nghiem gidi ndi ngat khdng dao dong xung quanh trang thai

can bang duong x, thi nd phai hdi tu den x Cung vay rd rang rang mdi nghiem

tucin hoan khac hang sd phai dao ddng xung quanh x Cho nen, trong muc nay

ta chi quan tam nghiem dao dong xung quanh trang thai can bang duong x

Ta gia sir tdn tai mdt doan compact I = [a,b] ^x sao cho / ( / ) C /, f{x) > x

vdi X G (a,x) va /(x) < x vdi x G (x,6] Ki hieu X la khdi [x.6j"^^^ Rd rang,

X la tap Idi compact cua R"*+^ Ta nghien curu nghiem dao dong cua (1.1) xuat

X „.^i - Axn + (1 - A)/(Xn J ;> A(; II - X)a - a ,

boi VI / anh xa doan / vao chinh nd Tucmg tu, x, i < b, va do i]o j-.,.i •: /

Menh de dugc chung minh

Menh de 1.4 Tdn tgi mot nghiem dao dong ciia (LI) xudt phat tic %

Chiing minh, Gia sir trai lai rang mdi nghiem xu^t phat tir 3C la khdng dao ddng

The' thi tir (1.17) ta suy ra t^t ca cac nghiem din hdi tu d^n trang thai can bang

X Mat khac, x6t anh xa

K '. JC —> X

Rd rang K la mdt anh xa lien tuc Dinh (x,x, • • • ,x) la mdt didm ba't ddng cue bien ciia anh xa K, Theo dinh ly didm ba't ddng (khdng cue bien) Browder (xem [5]), K cd mdt die'm ba't ddng khac d ben trong X, Goi {yn}n la mdt nghiem cua (1.1) xua't phat \\x die'm ba't ddng nay The' thi {yn}n la mdt nghiem tuiln hoan

khac hang cua (1.1) Dieu nay mau thuSn vdi gia thiet rang mdi nghiem xu.'^t

phat tir X hdi tu tdi trang thai can bang duong Menh de dugc chumg minh •

Djnh nghla 1.4 Mdt nghiem {xn}n cua (1.1) xua't phat tu X dugc goi la dao dong

cham xung quanh trang thai can bang duong x neu ton tai day cac sd nguyen

duong

Til < n2 < • • • < n^ < • • •

sao cho nk\.\ — n^ > m va

m < X

voi ta't ca cac sO' nguyen ducmg k

Menh de 1.5 Moi nghiem dao dong cua (LI) xuat phat tu X Id dao ddng cham

Chimg minh Xet m6t nghiem dao dOng {x,,}, .xuAt phat tu 'X Tu dmh ngliTa cua

X ta CO x_„.,x_,„,i,- • • ,xo ^ X Gia sir n, la chi so nh6 nhAt sao cho x,.^ < x

Thef thi Xni,x„,+i, • • • ,x„j+„i < X That vay, gia su trai lai, tiic la cd A; G [0,m)

sao cho x„i+jt+i ^ X va Xm+it < x Khi d6,

( 1 - ^)f{^ni+k-m) = Xn^^k+l " Ax^j+Jt > X - Ax,

suy ra /(x„,+fc_m) > x, Nhd gia thi^t tren ham / , ta nhan dugc Xn^+k-m < x

Dieu nay mau thuSn vdi tfnh nhd nha't ciia ni Vi vay,

Bay gid gia sir 712 > ni la chi sd nhd nha't sao cho x^^ ^ x, Rd rang, n2 > ni + m

Ta se chumg minh rang x„2>^n2+i>' *' )^n2+m ^ ^ That vay, gia su trai lai, tdn tai

A: G [0,m) thoa man Xn^+^+i < x va x^^+fc ^ x Khi dd,

( 1 - A ) / ( x „ 2 + ; t - m ) =^ ^n2+;t+l - AXn^-Hfc < X - Ax,

keo theo /(xnj+jt-m) < x, Nhd gia thiet cua ham / , ta nhan dugc Xn,-^k-m > x,

Dieu nay mau thuin vdi tfnh nho nha't cua 712 Vi vay,

Bang quy nap, ta cd thd xac dinh day

7Zi < n2 < • • • < n^c < • • '

cac sd nguyen duong sao cho njt+i - rik > m va

Xji-jj^, Xn^k + l ) • • * 5 •^n^fcH-m ^ X ,

•^n2k + ] ' -^"zk-M + l ' • • • > ' ^ n 2 f c + i * n i < -T

vdi ta't ca cac sd nguyen duong k Menh de dugc chung minh •

Bay gid ta nghien curu sir tdn tai nghiem tuan hoan khong tam thuong cua (1.1)

khi cham m du Ion Tuyen tinh hoa (1.1) tai trang thai cAn bang (dat r., - x-ajn

vdi e > 0 la mdt sd nho tuy y) ta dugc

yn + l = >^yn +

F\x)yn-m-Tun nghiem dudi dang y^ = z^^ ta nhan dugc phuong trinh dac trung

z^+i = Az^ + P'(x)

Su 6n djnh tuy^n tfnh d day dugc xac dinh nhd dd Idn cua z, Dieu kien 6n dinh la

I z |< 1 va khdng 6n dinh khi | 2 |> 1 Trudng hgp | 2 |= 1 thi hien tugng re nhanh Hopf xay ra He sd re nhanh dugc xac dinh nhu sau: Chgn 2 = cos^ + isin^ va dat D = F'(x), ta cd

(cos ^ + i sin O)"^^^ = A(cos ^ + i sin 9)"^ + D,

cos(m + 1)^ + zsin(m + 1)9 = X{cosm9 + is\nm9) + D

Tir day ta nhan dugc

2AD

Mru khac, ta cung c6

cos 77i9 COS 0 - sin m9 sin ^ = A cos niO -h D,

s'\mn0cos9 + cos77i/?sin^ = Asinm^

Giai he nay ta duoc

1 f A^ - D'

hay

1 -f- A'^ ^ D'

9 — arccos —

Theo nguyen ly re nhanh Hopf (xem [23], [54]) ta cd ke't qua sau cho su tdn

tai nghiem tudn hoan khdng t^m thudng ciia (1.1)

Dinh ly 1.9 Neu hdm F khd vi tgi x vd cham m thod man dieu kien

^ ^ a r c c o s - g g - [z? =./r'(^) ^ [-1 - A , - 1 + A] U [1 - A, 1 + A]) (1.18)

arccos ^\^ ^ '

thi (1.1) nhan mot nghiem tuan hoan khong tam thudng, xudt phat tit X va dao

dong cham xung quanh trang thai can bang ducmg x

1.2 M o hinh quan the don r6i rac phi tuyen vdi mot cham

1.2.1 Sir diet vong, trudng ton, phat trien ben vOmg va tuan hoan

Ta bie'l rang, co nhi^u bai toan din ve nghien cuu dinh tfnh phucmg trinh sai

phan Trong s6' do co bai loan nghidn cuu su diet vong, truong ton, phat tridn

bin vung va t u ^ hoan ciia mdt ^6 quSn the sinh hoc Trong muc thii nhat ta

da nhan dugc mOt s6' ket qua vd tfnh chat ciia nghiem phucmg trlnh sai phOn phi

tuye'n CO cham (1.1) Dua tren nhung ket qua do, trong muc nay ta se dua ra

nhung ket luan ve sir diet vong truong t6n, phat trien ben vung va tudn hoan cua

cac qudn the sinh hoc dugc m6 hinh hoa boi phucmg trinh dang nay Dac biet

ta se khao sal chi tie't mO hinh quin the chim ciit 6 bang Wisconsin hop chiing

quO'c Hoa Ky va m6 hinh qucln the ru6i xanh Nicholson

Xet m6 hinh qudn the don roi rac phi tuyen voi mot cham (1.1) Trong mo

hinh nay, A e (0,1) la he s6 sOng sot, m la khoang thCn gum tu liic sinh ra den

luc truong thanh cua ca the va F la ham s6 dac trung cho su phai tric'n cua quan

the\

Dinh nghla 1.5 Mdt nghiem {xn}n cua md hinh q u ^ thi (1.1) dugc ggi la diet

vong n^u limn-4oo Xn = 0; dugc ggi la tru&ng ton neu

0 < lim inf x„ ^ Um sup Xn < oo

va dugc ggi la phat trien ben vOng n€\i t6n tai gidi han Yim^^ooXn e (0,oo)

Nhu vay, dinh 1^ 1.1 la mdt dieu kien cdn va du de mgi nghiem cua (1.1) la

diet vong; dinh 1^ 1.2 la mdt di6u kien du di mgi nghiem ciia (1.1) la trudng tdn; cac dinh 1^ 1.3, 1.4, 1.5, 1.7 la cac di6u kien di mgi nghiem ciia (1.1) la

phat triln ben vumg vdi ta't ca cac cham Dinh ly 1.8 chi ra hieu suS^t cua dd tre

dd'i vdi sir phat triln bin vumg cua (1.1) Cu ihi la, vdi dd tre m du nhd thi mgi

Idi giai trudng tdn cua (1.1) la phat trien ben vumg Cac menh de 1.4, 1.5 cung ra't quan trong; nd chi ra sir tdn tai nghiem dao ddng cham cua (1.1) xua't phat

tilr X Dac biet la dinh ly 1.9 xac dinh dieu kien tdn tai nghiem tuan hoan khdng

tSm thudng cua (1.1)

1.2.2 M o hinh q u a n the chim cut a b a n g Wisconsin

Bay gid ta se sir dung cac ket qua trong muc thu nha't cua chuong nay de khao sat md hinh qudn the chim ciit d bang Wisconsin hgp chung qud'c Hoa Ky

Sir diet vong

Ne'u A f // ^ 1 hay // ^ 1 - A thi

f M ^ ^ ( l ^ < ( , - A ) , x > 0

^ ^ 1 + X^ 1 + x^

Theo dinh ly 1.1 ta cd Hmn-^oc-fn ^ 0

Sir trirdng ton

T\€p theo ta xet A + /x > 1 Dat

(x,y)->(0,0) X y-^0 1 + y'^

vay theo dinh ly 1.2 ta cd

0 < Hniiufxn ^ lim sup x„ < oc

Do do neu k ^ 1 thi F'{X) > 0 va F la ham dong bien Hon nua cac dieu kien

(1.7) va (1.8) cua dinh ly 1.3 dugc thoa man Tuc la

X6t yo = y ^ > 0 ta CO

F{yo) = maxF(x)

Fyya) = , ,fc = r 2/0 Atyo ^ ( f c - 1)AX

1 + y o " fc

va la nhan dugc rang neu 0 < A; < ^_^^_^ thi

F(yo) = (1 - ^)/^yo ^ (1 - ^^^ ^ ^ y o = (1 - A)yo,

Vi vay 9/(x) < 0 voi mgi x > 0 neu A: ^ 2

Trong irucmg hcrp 1 < A- < 2 ta phai gia thiet them rang

Ngo^i ra ta con ch\

yo ^ /(yo) = 7 7 ^ — ^ • yo

2 - A : A:(l - A ) 2(A:+1) ^ ( A : - l ) / i

2 - ) t ) t ( l - A )

< 2(A;+1) it

1 - A ^ V 2 - A : A 1

Di ap dung dinh li 1.8 ta tim sd L sao cho

|/(x) - x| ^ L|x - x| voi moi x G [yo, /(yo)]

Ta cd

f'ix) = F'jx) _ /i [(1 + x^-)-/.-x^-'-'x] _ ,i [1 + (1-A;)x'

1 - A ~ 1 - A (l + x'-) ' ^ 1 - A (1 -f-x^-)2 Dal

va phucmg trinh ip\y) = 0 cd 2 nghiem yi = - l y =

A- + 1 /; (A- - 1 ina.x v-(y) = v ( , , / , N ,,

thi ta cd

Um x„ = X

n—•oo

vdi mdi nghiem {x„}n ciia (1.1)

T6ng hgp lai cac ke't qua d tren ta dugc:

Ne'u A + // ^ 1 thi mgi nghiem diet vong

Ne'u A + /i > 1 thi mgi nghiem trudng tdn Vdi di6u kien nay thi trang thai can bang duong duy nha^t ciia md hinh la

_ JX + fx-l

X = \

1 - A

Khi dd mgi nghiem phat tri^n ben vung (hm„^oo Xn = x) neu mdt trong hai dieu

kien sau day thoa man:

(i)^e(0,^u[2,^),

(ii) 1 - A-+^ < ^ i ^ va j;d^S^ < ^ ^

Nh$n xet 1.3 Ke't qua nay la mdi va cd y nghla, boi vi trudc day (xem [7], [27],

[28], [41]), cac lac gia da chung minh su 6n dinh loan cue vdi ta't ca cac cham,

tuy nhien sir dimg them gia thiet khac

Trong [44] cac lac gia da chung minh rang neu

2 ^

1 - A • A -f /y - 1 Ihl trang thai can bang duong x la dn dinh tiem can dia phucmg Ket qua cua ta

la On dinh tiem can loan cue nen doi hoi phai them dieu kien ve cac tham so Bay gid la nghien cuu linh cha't tudn hoan cua nghiem Gia su

k > v a yo = \ T-—T

A + /i - 1 \ A - 1

Th^thi

v^

Hvo) = ~ ^ y o = maxF(x),

F'{x) = ^ - ^ [ / / - fc(A + ^ - 1)] < 0

Ro rang, /(yo) > yo va / don dieu tang trong doan [yo,/(yo)] T6n tai mdt

doan ddng / = [a,b] C [yo,/(yo)] sao cho / anh xa doan n^y vao chinh nd Khi

dd, vdi cham m du Idn tdn tai mdt nghiem tu^n hoan khac hang sd xu^t phat tir khdi [x,b]'^+\ Chu S rang, dd nhan dugc (1.18) doi hdi phai cd

X + l i - l 1 - A '

Nh$n xet 1.4 So sanh vdi ket qua ciia J G Milton (xem [44]) ta tha'y rang, cac

nghiem xua't phat g^n x se quay ve g^n x (x la dn dinh tiem can dia phirong); cdn nghiem xuS't phat xa hon se cd dang dieu luan hoan

1.2.3 Mo hinh quan the ruoi xanh Nicholson

Trong tie'u muc nay chiing ta khao sat md hinh quin the ruoi xanh Nicholson

x„+i = Ax„ + px„_^e-'^"-, A e (0,1), p, 9 G (0, oc)

Phuong trinh nay thudc dang (1.1) vdi

F(x)=pxe-''^ / U ) = ^ '

Rd rang, ham phat trien trong md hlnh nay la ham hlnh chu6ng vdi bat ki

p,qe (0,oo); trong khi dd, vdi 0 < A- ^ 1 thi ham phat men trong mo hinh quan Ihi chim ciil la ham don dieu tang tren [0,oo)

Ta de dang nhan dugc cac dieu kien sau cho su diet vong trucmg tdn phat trien ben vung va luln hoan cua qudn the rudi xanh Nicholson;

Ne'u p ^ 1 - A Ihl mgi nghiem diet vong

N^u p > 1 - A thi moi nghiem trudng t6n

N^u p > 1 - A thi trang thdi can bang duong duy nh^t la

thi tdn tai nghiem t u ^ hoan khac hang sd

1.3 Moi lien he giufa phuomg trinh vi phan va phuong trinh sai phan

phi tuyen co cham

Phuong trinh sai phan phi tuyen vdi mdt cham (1.1) cd the xem nhu la ke't qua ciia sir rdi rac hoa phuong trlnh vi phan phi tuyen co cham (1.2) bang each

thay dao ham bac nha't x(0 cua x lai t bdi ty sai phan cap 1 cua no Trong muc

thu nha't, chung ta da nghien cuu tinh cha't cua nghiem phuong trlnh (1.1) Mot cau hdi tu nhien dugc dat ra la cac ke't qua nay cua phuong trlnh sai phan phi tuye'n vdi mdt cham (1.1) va phucmg trinh vi phan phi tuyen cd cham (1.2) co tuong thich khdng? De tra loi cau hdi nay trudc het ta cAn nghien curu tinh chat ciia nghiem phuong trlnh (1.2)

1.3.1 Phiromg trinh vi p h a n phi tuyen co c h a m

Tinh ch^t ciia nghiem phuong trinh (1.2) da dugc nhieu tac gia quan tam ngliien ciiu Bay gid chung ta khao sat tinh cha't ciia nghiem phuong trlnh nay trong trudng hgp cham r = 0 va he thd'ng mdt sd ket qua trong trudng hgp cham

r > 0 ciia mdt sd tac gia di trudc Viec he thd'ng nay se thuan tien cho ta khi so s^nh tinh ch^t ciia nghiem phuong trinh (1.2) va phuong trinh (1.1)

Ta ki hieu {T{t)}t^Q la nira nhdm lien tuc gdm cac don anh lien tuc (phi tuye'n)

tilr R*= v^o chinh nd thoa man T(0) = id va T{t + ,s) ^- T(n'/"(>) vdi mgi t,s^O

Cac anh xa ngugc T(0"^ =: T{-t) dugc hieu theo nghla

T{-t)x = {v:T{()v x}

Ta de ki^m tra dugc

T{t)r{s) = T{t -I- ,s) vdi mgi /, s G E

Nhu vay cd the' coi hg {T{t)},(:^ la nhom mot tham so

Djnh nghla 1.6 Vdi mdi vec to u G K''' ta ggi tap hap {Tu \u : t ^ (J} la quy dao ciia u Dat

va ggi nd la tap gidi han a.- cua u

The thi vdi mgi phan tir v G u:{u) deu ton lai mot da\ so '; -^ oc sao cho

Wmk->ooT{tk)n - r, d day su hoi tu dugc hiOu theo chuan cua khong gian Euclid

da cho Nhu vay, tap gidi han u' cua ;/ la tap tat ca cac dicni tu cua quy dao

{T{i)u : t ^ 0}

Dinh ly 1.10 12il, \3I\ Ni'u qu\ dao ciia u !u gioi //<'/ ihi up •••n hon ^- cua u la

compact lien thong (khong rong) vd 7(0^4") -•''- '<'' '•"' ' " ""'^"''^ '''' '" cdn CO d{T{t)u,u.iu)) - 0 khi t - ex (odav d la khoang ,/ /' ron^ kh.n, ^lan Euclid)

Chiing minh Vi quy dao ciia u la ti6n compact nen trong bao ddng ciia nd nh^t

thi^t phai co di^m tu Do dd tip gidi han u khdng rdng Cung tir dinh nghla ta

th^y tap nay la compact v^ ro rang la T{t)u;{u) C uj{u) vdi mgi t ^ 0 Cho v G UJ{U)

thi V = \imj^ooT{tj)u Cho x la mdt di^m tu ciia tap hgp {T{tj - t)u : j e N}

thi T{t)x la di^m tu ciia tap hgp {T{tj)u : j e N} Do dd T{t)x = v Vay

T{t)u(u) = u}{u) Bay gid ta gia sir u{u) = U1UUJ2 vdi uuU2 la hai tap compact

cd khoang each la 5 > 0 TOr day suy ra d{T{t)u,u{u)) khdng ih^ tie'n tdi 0 khi

i -> 00 Ta cd dieu vd ly Dinh ly dugc chung minh D Xet phuong trinh vi phan phi tuye'n

x{t) = -fix{t) i-f{x{t)) (1.19)

vdi x(0) > 0 cho trudc, /x la tham sd duong va / G C([0,oo)) Gia thiet rang bai

todn gia tri ban dSu

j±{t) = -^xit) + f{x{t)),

[x(0) = xo

cd nghiem duy nha't tren [0,oo) Ta se xac dinh mdt sd dieu kien de mgi nghiem

duong ciia (1.19) la hdi tu ve 0, gidi ndi ngat hay hdi tu tdi trang thai can bang

duong duy nha't cua nd De lien theo doi la cd khai mem sau:

Dinh nghla 1.7 Mdt nghiem x(f) cua (1.2) hay (1.19) duoc goi la gi&i noi ngat

ne'u

0 < liniinfx(0 ^ liinsupx(0 < oc

( - • 0 0 ( - k O C

Dinh ly 1.11 Dieu kien cdn vd du de tat cd cac nghiem i{t) cua(L19) hoi tu ten

0 khi t tien ra v6 cung Id J[i) < //x v&i moi x > 0

Chimg minli Gia su /(x) < fix khdng dugc thda man NOI moi x ;• 0 Khi dd c6

hai trudng hgp xay ra: