Ghép hình chữ nhật từ các hình vuông
Trong mục này ta xét bài toán sau:
Bài toán: Chia một hình chữ nhật thành n hình vuông con khác nhau từng đôi.
Liên quan đến bài toán này là bài toán : "Ghép n hình vuông khác nhau từng đôi thành một hình chữ nhật".
Nghiên cứu đã chỉ ra rằng không thể ghép n hình vuông khác nhau từng đôi để tạo thành một hình chữ nhật khi n ≤ 8 Tuy nhiên, với n = 9, có thể ghép 9 hình vuông khác nhau thành một hình chữ nhật, như được minh họa trong các hình (1.1, 1.2, 1.3, 1.4).
Hình 1.4: hình vuông có cạnh bằng cạnh lớn của P, ta sẽ được một hình chữ nhật
P1 Hình vuông thứ n+ 1 có cạnh lớn hơn tất cả các cạnh của hình vuông hợp thành P Như vậy, hình vuông P1 được ghép từ n + 1 hình vuông khác nhau từng đôi.
Một số nhà toán học đã nghiên cứu bài toán tìm số n nhỏ nhất để chia một hình vuông có kích thước cho trước thành n hình vuông con khác nhau từng đôi Bài toán này lần đầu tiên được P Sprag xem xét vào năm
1939 [6] Trên hình 1.5 chỉ ra một cách chia hình vuông cạnh 175 thành
24 hình vuông con khác nhau từng đôi với các cạnh như sau:
Willcocks T.H.A đã chỉ ra rằng số lượng hình vuông khác nhau tối thiểu cần thiết để ghép thành một hình vuông có cạnh 175 là 24 Đây là một ví dụ điển hình cho sự phân hoạch hình chữ nhật.
422×593 thành các hình vuông con khác nhau từng đôi (1.6):
Bài toán chia hình chữ nhật thành các hình vuông con khác nhau liên quan chặt chẽ đến hai khái niệm quan trọng: đồ thị và mạch điện Các kết quả này cho thấy mối liên hệ giữa hình học và lý thuyết đồ thị, mở ra hướng nghiên cứu mới trong việc ứng dụng các khái niệm này vào các bài toán thực tiễn.
Đồ thị và mạch điện
Các phương pháp được áp dụng để đạt được kết quả trong lý thuyết đồ thị và biểu diễn mạng điện phức tạp liên quan đến đồ thị trên mặt phẳng Đồ thị là hệ thống các đường nối các điểm đã cho, với các điểm gọi là đỉnh và các đường nối là cạnh Phần mặt phẳng được giới hạn bởi các đường gấp khúc khép kín, tương tự như miền I hoặc II trong hình 1.7a, được gọi là các diện của đồ thị.
Định lý Euler là một kết quả quan trọng trong lý thuyết đồ thị, cho biết mối quan hệ giữa số đỉnh B, số cạnh P và số diện G của một đồ thị Cụ thể, nếu đồ thị có B đỉnh, P cạnh và G diện, thì các số nguyên dương này liên hệ với nhau theo một hệ thức nhất định.
Đồ thị định hướng là loại đồ thị có các cạnh được chỉ hướng, như minh họa trong hình 1.7b Ví dụ, trong đồ thị ở hình 1.7a, chúng ta có các giá trị B = 6, P = 10, G = 5, và tổng hợp các giá trị này cho thấy 6 - 10 + 5 = 1.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ thảo luận về việc phân hoạch một hình chữ nhật có kích thước 32 và 33 thành 9 hình vuông khác nhau, như được minh họa trong hình 1.2 Mặc dù các hình vuông con không nhất thiết phải khác nhau, chúng ta sẽ xem xét các cạnh của hình chữ nhật nằm ngang hoặc thẳng đứng, dẫn đến việc các cạnh của các hình vuông con cũng sẽ nằm theo hướng tương tự Chúng ta sẽ tập trung vào các đoạn nằm ngang trong hình vẽ, cụ thể là các đoạn A1B1, A2B2, A3B3, A4B4, A5B5 và A6B6.
Mỗi đoạn trong bài viết được liên kết với một điểm xác định, có thể coi điểm này là trung điểm của đoạn Các điểm này được ký hiệu bằng H1, H2, và được xem như đỉnh của một đồ thị Khi hai điểm tương ứng với các đoạn nằm ngang chứa các cạnh của cùng một hình vuông trong phân hoạch, ta nối chúng bằng đoạn thẳng hoặc cung của đường cong Kết quả là ta có đồ thị 1.9, phản ánh phân hoạch hình chữ nhật thành các hình vuông, với các cạnh của đồ thị tương ứng với hình vuông trong phân hoạch và các đỉnh tương ứng với các đoạn nằm ngang đã xác định.
Để hiểu rõ hơn về các diện của đồ thị, ta xem xét diện H2H3H5H4, tương ứng với một dãy 4 hình vuông trong phân hoạch Các đỉnh cao nhất H2 và thấp nhất H5 tạo thành các đường thẳng nằm ngang, với các hình vuông có cạnh 10 và 4, được biểu diễn bởi các cạnh H2H4 và H2H3 Đồng thời, các hình vuông với cạnh 1 và 7 được thể hiện qua các cạnh H4H5 và H3H5, trong đó hình vuông cạnh 1 có cạnh nằm ngang chung với hình vuông cạnh 4.
10, hình vuông với cạnh 7 có cạnh nằm ngang chung với cạnh 4 Như vậy,chúng ta đi đến một tổ hợp các hình vuông biểu diễn trên hình 1.10, từ
Hình 1.9: hình này rõ ràng rằng tất cả các hình vuông được xét đều kề với đoạn thẳng đứng CD.
Ta xem xét một trường hợp tổng quát với các đỉnh H1, H2, H3, Hl của đồ thị, tương ứng với một phân hoạch của hình chữ nhật thành các hình vuông Giả sử H1 và Hk (với k ≤ l) là các đỉnh cao nhất và thấp nhất, tương ứng với các đoạn nằm ngang cao nhất và thấp nhất Các cạnh của đồ thị H1H2 và H1Hl, bắt nguồn từ đỉnh H1, tương ứng với hai hình vuông kề nhau có đáy trên thuộc cùng một đường thẳng AB, và có cạnh chung thẳng đứng CD.
Nếu các hình vuông được xét K1, K 1 ′ bằng nhau (hình 1.12a) thì các đáy
Để đảm bảo các cạnh H1H2 và H1Hl có hai đỉnh chung, các điểm H2 và Hl cần phải trùng nhau, tạo thành đường thẳng A’B’ Khi đó, diện được xét của đồ thị chuyển thành “nhị giác” H1H2, tương ứng với cạnh thẳng đứng CD Nếu hình vuông K1 ′ tương ứng với cạnh H1Hl lớn hơn hình vuông K1 (tương ứng với cạnh H1H2), thì hình vuông K2, nằm kề với K1 từ phía dưới và nhận đường thẳng CD làm cạnh thẳng đứng, sẽ được biểu diễn trên đồ thị bởi cạnh H2H3.
Nếu các hình vuông K2 và K 1 ′ có cạnh nằm ngang chung A’B’(hình
Trong đồ thị, các mút của các cạnh H2H3 và H1H1 phải trùng nhau (hình 1.12d) Khi đó, các đỉnh H3 và H1 sẽ tương ứng với đoạn nằm ngang A’B’ Do đó, diện tích của đồ thị sẽ được xác định là tam giác H1H2H3.
Ba cạnh của hình tương ứng với ba hình vuông nằm cạnh cạnh thẳng đứng CD Nếu tổng tất cả các cạnh của các hình vuông K1 và K2 lớn hơn các cạnh của hình vuông K1 ′, thì sẽ xảy ra hiện tượng tiếp xúc với hình vuông K1 ′.
Hình 1.12: từ phía dưới còn có một hình vuông K 2 ′ cũng có cạnh nằm trên CD; trên đồ thị, hình vuông này tương ứng với cạnh HlH l− 1 (hình 1.11b).
Trong phân tích này, chúng ta khẳng định rằng các đường gấp khúc H1H2H3 Hk và H1HlHl−1 Hk gặp nhau tại điểm Hk, tương ứng với cạnh ngang A’B’ đi qua mút dưới D của đoạn thẳng đứng CD Các đường gấp khúc này sẽ tương ứng với một dãy hình vuông bên trái hoặc bên phải đoạn thẳng đứng CD Do đó, mỗi diện của đồ thị tương ứng với một đoạn thẳng đứng nào đó trong số các đoạn thẳng phân hoạch hình chữ nhật thành các hình vuông Ngược lại, mỗi đoạn thẳng đứng CD cũng tương ứng với một diện xác định của đồ thị được giới hạn bởi các cạnh biểu diễn dãy hình vuông bên trái hoặc bên phải với cạnh CD.
Chúng ta sẽ vẽ đồ thị với hai điểm H và H’ tương ứng với các cạnh ngang AB và A’B’, trong đó điểm cao hơn sẽ tương ứng với đoạn cao hơn Trên các cạnh của đồ thị, sẽ có các mũi tên chỉ hướng từ trên xuống dưới, tạo nên một đồ thị có định hướng Bên cạnh mỗi cạnh, sẽ có các số thể hiện độ dài của các cạnh tương ứng với hình vuông Ví dụ, đồ thị ở hình 1.13 khôi phục từ hình 1.9, tương ứng với phân hoạch hình chữ nhật thành các hình vuông như ở hình 1.8, nhưng giờ đây đã được định hướng và gắn trọng số cho các cạnh.
Việc thiết lập các liên hệ giữa các cạnh của đồ thị tương ứng với việc phân hoạch một hình chữ nhật thành các hình vuông là rất đơn giản Cụ thể, các cạnh hướng tới một đỉnh H tương ứng với các hình vuông ở phía trên, trong khi các cạnh đi ra từ H lại tương ứng với các hình vuông ở phía dưới đoạn thẳng ngang AB được biểu diễn bởi điểm H Như vậy, trong hình 1.13, các đoạn đi tới H3 được minh họa rõ ràng.
H1H3 và H2H3 tương ứng với các hình vuông có cạnh 18 và 4, kề từ phía trên với đoạn A3B3 Các cạnh H3H5 và H3H6, tương ứng với các hình vuông có cạnh 7 và 15, kề từ phía dưới với đoạn A3B3 (xem hình 1.8) Tổng độ dài các cạnh của các hình vuông kề với một đoạn nằm ngang từ phía trên bằng tổng độ dài các cạnh của hình vuông kề với đoạn này từ phía dưới Do đó, đối với mỗi đỉnh của đồ thị, tổng trọng số của các cạnh đi tới đỉnh này bằng tổng trọng số các cạnh đi ra từ nó.
Hơn nữa, nếu Hi 1, Hi 2, , Hi l là một diện nào đó của đồ thị vàHi 1, Hi k
Các đỉnh cao nhất và thấp nhất của diện được ký hiệu là (k ≤ l) Các đường gấp khúc Hi 1, Hi 2, , Hi k và Hi 1, Hi l, Hi l − 1, , Hi k tương ứng với dãy các hình vuông kề nhau từ phía trái và phía phải, tạo thành một đoạn thẳng đứng.
Định lý cơ bản
Hình chữ nhật P có thể được chia thành các hình vuông khác nhau, không có hai hình vuông nào giống nhau, nếu và chỉ nếu các cạnh của hình chữ nhật P thông ước.
Một hình chữ nhật có tỷ số cạnh là số hữu tỷ có thể chia thành các hình vuông bằng nhau Ví dụ, hình 2.1 minh họa cách chia một hình chữ nhật với tỷ số cạnh 7:4 thành các hình vuông bằng nhau Do đó, định lý có thể được phát biểu lại rằng: Hình chữ nhật P có thể chia thành các hình vuông con khác nhau từng đôi khi chỉ khi nó có thể chia thành các hình vuông con bằng nhau.
Trong hình 2.1, các hình vuông có thể không giống nhau và các cạnh của hình chữ nhật được thông ước Giả sử chúng ta có một phân hoạch hình chữ nhật P thành n hình vuông, được ký hiệu bởi các cạnh x1, x2, , xn.
P bởi X,Y Ta cần chứng minh X:Y là số hữu tỷ.
Các mối liên hệ giữa n+2 đại lượng x1, x2, , xn, X, Y có thể được xác định thông qua tổng độ dài các cạnh của các hình vuông kề với mỗi cạnh của hình chữ nhật, tương ứng với độ dài của cạnh đó Đối với mỗi đoạn thẳng đứng hoặc nằm ngang, tổng độ dài các cạnh của các hình vuông kề bên sẽ bằng độ dài của đoạn thẳng đó Tập hợp các liên hệ này có thể được xem như một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với các ẩn x1, x2, , xn, X, Y, có hệ số là +1 hoặc −1, nếu tất cả các ẩn được chuyển về một vế Phân hoạch xuất phát của hình chữ nhật P tương ứng với một nghiệm dương của hệ này, được xác định bởi n+2 số dương.
Ta có thể minh họa việc phân hoạch hình chữ nhật thành 10 hình vuông con như trong hình 2.2 Các liên hệ giữa các hình vuông được biểu diễn bằng các phương trình sau: x1 + x2 + x3 = X, x1 + x8 = Y, x4 + x5 = x2, x7 + x9 = x8, x6 + x10 = x5 + x3, x2 + x4 = x1 + x7, x8 + x7 = x1, x5 + x6 = x4, x9 = x7 + x4 + x6, và x10 = x6 + x9.
Chúng lập thành một hệ 11 phương trình thuần nhất với 12 ẩn (trong
Hình 2.2: ngoặc là các phương trình hệ quả của các phương trình trước).
Hệ phương trình bậc nhất thường được giải bằng cách biểu diễn một ẩn qua các ẩn còn lại từ một phương trình trong hệ Biểu thức này được thay vào các phương trình còn lại, tạo thành một hệ mới với ít phương trình và ẩn hơn Quá trình này lặp lại cho đến khi số lượng phương trình và ẩn giảm dần Tất cả các hệ phương trình suy ra từ phương pháp này và hệ ban đầu đều là thuần nhất, dẫn đến ba khả năng xảy ra.
Trong quá trình loại bỏ các ẩn từ hệ phương trình, chúng ta đạt được một phương trình thuần nhất duy nhất với một ẩn, đó là ax=0 hay x=0 Ở đây, x đại diện cho một trong các ẩn x1, x2, , xn, X, Y Tất cả các ẩn còn lại trong hệ được biểu diễn qua các ẩn khác và cuối cùng thông qua x dưới dạng một biểu thức thuần nhất, dẫn đến kết quả x1 = x2 = = xn = X = Y = 0.
Hệ phương trình của chúng ta có ít nhất một nghiệm dương, và thông qua việc biểu diễn các ẩn qua x và y, chúng ta có thể tìm được tỷ số của từng ẩn so với x hoặc y Cụ thể, nghiệm của hệ sẽ thỏa mãn tỷ lệ x1 : x2 : : xn : X : Y = a1 : a2 : : an : A : B, với a1, a2, , an, A, B được xác định trong quá trình giải Hệ số của phương trình chỉ là +1 hoặc -1, nên các tỷ số trong quá trình giải đều là tỷ lệ của các số nguyên, dẫn đến việc các số a1, a2, , an, A, B đều là số hữu tỷ, và tỷ số X : Y = A : B cũng sẽ là hữu tỷ.
Ví dụ, chúng ta xét hệ phương trình tương ứng với phân hoạch biểu diễn trên hình 2.2:
Từ các phương trình (11), (2), (9), (3), (10), (5), (7), (4), (1), (6) ta tìm được: x5 = x3 −x2; x4 = x2 −x5 = 2x 2 −x3 =; x6 = x4 −x5 = 3x 2 −2x 3 ; x10 = x5 +x3 −x6 = 4x3 −4x2; x9 = x10−x6 = 6x3 −7x2; x7 = x9 −x4 −x6 = 9x3 −12x2; x8 = x7 +x9 = 15x3 −19x2; x1 = x8 +x7 = 24x 3 −31x 2 ;
X = x1 +x2 +x3 = 25x 3 −30x 2 ; Y = x1 +x8 = 39x 3 −50x 2 ; Đặt các giá trị nhận được vào phương trình (8) (là phương trình duy nhất chưa sử dụng cho đến nay) ta nhận được
Từ đó dễ dàng suy ra rằng: x1 : x2 : x3 : x4 : x5 : x6 : x7 : x8 : x9 : x10 : X : Y
Phân hoạch xuất phát chính xác đến một phép đồng dạng tương ứng với phân hoạch biểu diễn trên hình 1.17, trong đó hình chữ nhật với tỷ số các cạnh 65:47 được chia thành 10 hình vuông.
Trong quá trình loại bỏ các ẩn từ hệ, chúng ta cuối cùng sẽ có một phương trình thuần nhất với số ẩn lớn hơn 2, giả sử các ẩn bị loại là x1, , xr, và giữ lại các ẩn X, Y Phương trình này có thể được viết dưới dạng: xr = qr + 1xr + 1 + qr + 2xr + 2 + + qnxn + Q1X + Q2Y Đồng thời, tất cả các biến còn lại sẽ được biểu diễn thông qua các biến xr + 1, xr + 2, , xn, X, Y.
x r− 1 = pr +1xr +1+pr +2xr +2 + +pnxn+P1X +P2Y
Cho các ẩn xr +1, xr +2, , xn, cùng với các giá trị tùy ý X và Y (bao gồm cả các giá trị khiến X : Y trở thành vô tỷ), có thể tìm được nghiệm cho hệ Tuy nhiên, chúng ta sẽ chỉ ra rằng trường hợp này không thể xảy ra với hệ xuất phát Giả sử ngược lại, x1, x2, , xr, xr +1, xr +2, , xn, X, Y là một nghiệm của hệ tương ứng với phân hoạch đã cho của hình chữ nhật thành các hình vuông Thay đổi một chút giá trị Y bằng một giá trị khác.
Y +ε Khi đó các giá trị x1, x2, , xr biến đổi theo, chúng sẽ biến đổi thành x ′ 1 = ar+1xr+1+ar+2xr+2+ +anxn+A1X + A2Y ′ = x1 +A2ε x ′ 2 = br +1xr +1+br +2xr +2 + +bnxn +B1X +B2Y ′ = x2 +B2ε x ′ r = q r +1x r +1+q r +2x r +2 + +q n x n +Q1X +Q2Y ′ = x r +Q2ε
Nếu chọn ε đủ nhỏ để các số Y′ = Y + ε, x′1, x′2, , x′r vẫn dương, ta có thể biến hình chữ nhật P với các cạnh X và Y thành n hình vuông với các cạnh x1, x2, , xn Hình chữ nhật P sẽ trở thành P’ với các cạnh X và Y’, trong khi các hình vuông cũ sẽ chuyển thành các hình vuông mới với các cạnh x′1, x′2, , x′r, xr+1, xr+2, , xn mà không vi phạm sơ đồ phân bố các hình vuông Các số X, Y’, x′1, , x′r, xr+1, xr+2, , xn phải thỏa mãn điều kiện kề của các hình vuông và các cạnh hình chữ nhật tương ứng Điều này dẫn đến việc tồn tại vô hạn các phân hoạch xấp xỉ nhau của các hình chữ nhật thành các hình vuông khi ε nhận giá trị đủ nhỏ, và điều này gây ra mâu thuẫn.
(diện tích hình chữ nhật bằng tổng diện tích của tất cả các hình vuông hợp thành) Cũng đúng như thế, hình chữ nhật với các cạnh
X và Y’=Y+ε được phân thành các hình vuông với các cạnh x ′ 1 = x1 +A2ε, x ′ 2 = x2 +B2ε, , x ′ r = x r +Q2ε, x r +1, , x n thì:
⇔ X(Y+ε) = (x 1 +A2ε) 2 +(x 2 +B2ε) 2 + +(xr +Q2ε) 2 +x 2 r+1 + +x 2 n Đẳng thức cuối cùng có thể viết lại dưới dạng sau:
Dùng đẳng thức (*) rút gọn (**) và chia hai vế đẳng thức nhận được cho ε ta nhận được
Vì tổng A2 + B2 + + Q2 bằng 0, các số A2, B2, , Q2 không thể đồng thời bằng 0 Điều này cho thấy các đại lượng x1, x2, , xr không thể hoàn toàn không phụ thuộc vào Y Tổng độ dài các cạnh của hình vuông kề với cạnh có độ dài Y của hình chữ nhật phải bằng một số Y xác định.
ε được xác định đơn trị bởi các đại lượng X, x1, , xr, A2, , Q2 Theo lý luận của chúng ta, ε là một số dương tùy ý đủ nhỏ, nhưng điều này dẫn đến một mâu thuẫn.
Hệ phương trình tuyến tính có thể được xác định từ việc phân hoạch hình chữ nhật P thành các hình vuông, trong đó trạng thái đặc trưng là trường hợp 2 Một nghiệm của hệ này tương ứng với phân hoạch ban đầu hoặc chỉ khác biệt bởi một phép đồng dạng.
2, khi đó tỷ số X : Y = A : B của hình chữ nhật được phân hoạch bắt buộc phải là số hữu tỷ Điều kiện cần của định lý được chứng minh.