Không gian Sobolev
Không gian L 2 ( Ω )
Giả sử Ω là miền bị chặn trong R n , x= (x 1 ,x 2 , ,x n ) ∈ Ω với tích vô hướng
Ω f(x)g(x)dx. và chuẩn tương ứng kfkL 2 ( Ω ) Z
Không gian W 2 m ( Ω )
Không gian Sobolev W²ₘ(Ω) bao gồm tất cả các hàm u(x) thuộc L²(Ω), với điều kiện tất cả các đạo hàm suy rộng theo x đến cấp m đều thuộc L²(Ω) W²ₘ(Ω) được coi là không gian Banach, với chuẩn được định nghĩa là kuk_W²₂ₘ(Ω) = ∑.
Ω|D α u| 2 dx (1.1) trong đó α = (α 1 ,α 2 , ,α n )∈N n là đa chỉ số;
Không khó khăn khi có thể kiểm traW 2 m (Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng
Không gian W m,ℓ ( Q T )
Giả sử Ω là một miền bị chặn trong R n với biên ∂Ω và T =const>0.
Q T =Ω×(0,T) ={(x,t):x∈Ω,t ∈(0;T)} và được gọi là miền trụ đáyΩ.
Giả sử ℓ là các số tự nhiên, không gian Sobolev W m,ℓ (Q T ) bao gồm tất cả các hàm u(x,t) ∈ L 2 (Q T ), với tất cả các đạo hàm suy rộng theo x đến cấp m và theo t đến cấp ℓ thuộc L 2 (Q T ) Không gian W m,ℓ (Q T ) được coi là không gian Banach với chuẩn kuk 2 W m,ℓ (Q T ) = ∑.
Khi ℓ=0, số hạng thứ hai trong vế phải của (1.2) được coi là không tồn tại Việc kiểm tra rằng W 2 m,ℓ (QT) là một không gian Hilbert với tích vô hướng không gặp nhiều khó khăn.
Bất đẳng thức tích phân
Giả sử y(t) là một hàm không âm và hoàn toàn liên tục trên đoạn [0,T] Nếu hầu hết các giá trị trong [0,T] thỏa mãn bất đẳng thức dy(t) dt ≤ c1(t)y(t) + c2(t), trong đó ci(t) là các hàm khả tích không âm trên [0,T], thì với mọi t, 0 ≤ t ≤ T, ta có thể đánh giá y(t) như sau: y(t) ≤ exp.
Thật vậy, nếu ta nhân (1.3) vớiexp
− R 0 t c 1 (t)dt , ta có thể viết kết quả dưới dạng d dt y(t)exp
(1.5) và nếu ta tích phân hai vế của (1.5) từ0đếnt thì sẽ suy ra (1.4).
Nếuc 1 (t) =c 1 =const>0vàc 2 (ã) là một hàm số khụng giảm trờnt thỡ từ (1.2) và (1.4) ta có các bất đẳng thức sau y ′ (t)≤e c 1 1 t [c 1 y(0) +c 2 (t)] y(t)≤e c 1 1 t y(0) +c − 1 1 c 2 (t)[e c 1 t −1] (1.6)
Bài toán biên-giá trị ban đầu của phương trình parabolic
Phương trình truyền nhiệt
Khái niệm phương trình parabolic
Giả sửΩlà một miền bị chặn trongR n+1 ,x= (x 1 ,x 2 , ,x n ,x n +1)∈Ω. Như chúng ta đã biết, phương trình
∑ i=1 a i (x)u x i +a(x)u= f (2.1) được gọi làparabolic tại điểmx 0 nếu trong tọa độ mới y i n+1
∑ j=1 β i j x j , i=1,2, ,n,n+1 mà trong đóβ i j a ki β ℓ j =λ k (x 0 )δ k ℓ , nó đưa về dạng n+1
Tại điểm x 0, phương trình ∑ k=1 b k (x 0 )u y k + b(x 0 )u = f(x 0 ) (2.2) cho thấy rằng một trong các hệ số λ k (x 0 ) bằng 0, ví dụ như λ n+1 (x 0 ), trong khi các hệ số còn lại khác không và có dấu giống nhau, đồng thời b n+1 (x 0 ) khác 0 Khi chia (2.2) cho b n+1 (x 0 ), ta nhận được phương trình dạng u y n+1 + n.
Nếu \( a_k(x) < 0 \) với \( k = 1, \ldots, n \), thì (2.3) được gọi là phương trình parabolic dạng chuẩn Ngược lại, nếu \( a_k(x_0) > 0 \), ta có thể đổi hướng của \( y_{n+1} \) và nhân (2.3) với \(-1\) để nhận được một phương trình parabolic dạng chuẩn khác Khi (2.1) là parabolic tại tất cả các điểm \( x \in \Omega \), ta nói rằng nó là parabolic trong miền này Nếu các hệ số của \( M \) là hàm số trơn và (2.1) là parabolic, thì trong một miền nhỏ quanh một điểm bất kỳ, có thể đưa nó về dạng \( u_{y_{n+1}} - n \).
Trong phương trình (2.4) ∑ i=1 b i u y i + bu = f, thành phần ∑ n i, j=1 b i j ξ i ξ j được xác định là dương Biến số y n+1, ký hiệu là t, đại diện cho thời gian và đóng vai trò quan trọng trong mô tả hiện tượng truyền nhiệt cũng như một số trường hợp khác Các biến số còn lại y 1, , y n mô tả vị trí của điểm trong miền của bài toán vật lý Chúng ta sẽ xem xét phương trình parabolic được biến đổi thành dạng (2.4).
Trong luận văn ta xét phương trình parabolic tổng quát dạng bảo toàn sau
Nếu các hàm \( i, j, a_i \) và \( f_i \) khả vi, phương trình (2.5) có thể chuyển đổi thành dạng (2.4) Ngược lại, nếu các hàm \( b_{ij} \) khả vi, thì phương trình (2.4) có thể được viết lại dưới dạng (2.5).
Dạng của phương trình truyền nhiệt
Giả sửΩlà miền giới nội trongR n với biênS=∂Ω Với T >0ta đặt
S T ={(x,t) :x∈S,0≤t ≤T}. Một trường hợp đặc biệt của (2.5) là phương trình truyền nhiệt u t − n
Phương trình (2.6) khi xét dưới dạng bảo toàn (2.5) vì ta có thể viết lại nó dưới dạng u t − n
Phương trình f(x,t) mô tả quá trình truyền nhiệt trong miền Ω trong R n, với các điều kiện a i j = δ i j (kí hiệu Kronecker), a i = 0, b i = 0, a = 0, và f i = 0 Những bài toán này là cơ bản cho phương trình (2.5).
(1) Bài toán Cauchy: Tìm hàm số u(x,t) thỏa mãn (2.5) với x ∈ R n và t >0và thỏa mãn khit =0điều kiện ban đầu u|t=0=ϕ(x) (2.8)
Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất yêu cầu tìm hàm số u(x,t) thỏa mãn điều kiện (2.5) trong miền Q T với điều kiện ban đầu u|t=0=ϕ(x) cho x thuộc Ω (2.9) và điều kiện biên u|S T =ψ(x,t) cho tất cả t thuộc [0,T] (2.10) Miền Q T được mô tả như một hình trụ, với mặt xung quanh S T =S×[0,T] và đáy dưới là tập hợp {(x,t):x∈Ω,t =0}.
Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất yêu cầu tìm nghiệm của phương trình (2.5) trong hình trụ Q T, đồng thời đảm bảo rằng nghiệm này trùng khớp với các hàm số ϕ và ψ trên đáy dưới của Q T cũng như trên mặt bên S T.
Nghiệm suy rộng thuộc W 2,0 ∆ ,1 ( Q T ) của bài toán biên- giá trị ban đầu thứ nhất
trị ban đầu thứ nhất
Với kí hiệu∆u≡∑ n j=1 u x j x i , ta xét phương trình truyền nhiệt
Bài toán biên-giá trị ban đầu bao gồm tìm nghiệmu(x,t) trong miền bị chặn
Q T =Ω×(0,T) thỏa mãn điều kiện ban đầu u| t=0 =ϕ(x) (2.12) và điều kiện biên: u| S T =0 (2.13)
Dựa vào tài liệu [1] luận văn sẽ trình bày ba loại nghiệm suy rộng cho bài toán (2.11)-(2.13) Ta bắt đầu với nghiệm suy rộng thuộc không gian
Ta đưa vào không gian HilbertW 2 ∆ ,1 (Q T ) mà các phần tử u(x,t) của nó thuộc L 2 (Q T ) cùng với u t và u x , và có trong Q T các đạo hàm suy rộng u xx và chuẩn hữu hạn
Tích vô hướng trongW 2 ∆ ,1 (Q T ) được xác định bởi
Trước hết ta viết số hạng tự do f+∂f i
Nghiệm suy rộng của bài toán (2.11)-(2.13) trong không gian W 2 ∆,1 (Q T) là hàm số u(x,t) thuộc W 2,0 ∆,1 (Q T), thỏa mãn (2.11) hầu khắp trong Q T và bằng ϕ(x) tại t=0 Điều kiện này có thể được hiểu là ||u(ã,t) - ϕ(ã)||², Ω → 0 khi t → 0 Điều này có nghĩa là các hàm trong W 2,0 ∆,1 (Q T) được xác định cho mọi t ∈ [0,T] sẽ thuộc L 2 (Q T) và thậm chí thuộc W 2 1 (Q T), đồng thời liên tục với t trong chuẩn của L 2 (Ω) và chuẩn của W 2 1 (Q T).
Chúng ta phát biểu lại bài toán (2.11)-(2.13) với f +∂f i
∂x i ≡F khi xét bài toán tìm nghiệm của phương trình toán tử
Au={F;ϕ} (2.16) ở đóA là toán tử sau đây
Ta xem xét toán tử không bị chặn từ không gian L²(QT) đến không gian Hilbert W, mà cụ thể là tích của L²(QT) và W²₁(Ω) Các phần tử trong W được biểu diễn dưới dạng cặp {f, ψ} với f thuộc L²(QT) và ψ thuộc W²₁(Ω) Tích vô hướng giữa chúng được xác định bởi f' ; ψ' và f'' ; ψ'' trong không gian W.
Ωψ ′ x ψ ′′ x dx (2.18) Đối với miền xác định D(A) của A, ta lấy các phần tử của dạng ψ(x) +
0X(x,t)dt, ở đú ψ ∈ D(∆), X(ã,t) ∈ D(∆) đối với hầu hết tất cả t trong
[0,T]và∆X ∈L 2 (Q T ) Ở đây, bởiD(∆)ta muốn nói tập hợp các nghiệm suy rộng trongW 2 (Ω) của bài toán
Nếu f(x) = fˆ(x,t), fˆ ∈ L 2 (Q T ), thì nghiệm uˆ(x,t) của (2.19) là ở trong
L 2 (QT) đi cùng với uˆ x , đạo hàm uˆ xx tồn tại và là bình phương khả tích trên
Q ′ T =Q ′ (0,T)đối với tất cả Ω ′ ⊂Ω, đối với uˆ và tất cảv∈W 2 1,0 (QT)ta có
Q T uvb x dxdt, (2.20) và phương trình ∆ub=∑ n n=1 ub x j x j = bf thỏa mãn với tất cả (x,t) ∈ Q T Hơn nữa nếu f = R 0 t fb(x,t)dt thì lời giải u(x,t) của (2.19) là tương đương với
0 fb(x,t)dt, vàu(ã,t) sẽ là một phần tử củaW 2 1 (Q T ) mà liờn tục trongt (trong chuẩn của không gian này).
Theo quan điểm này, các phần tử v(x,t) = ψ(x) + ∫₀¹ X(x,t)dt nằm trong D(∆) cho tất cả t ∈ [0,T] Đối với các phần tử này, ∆v = ∆ψ + ∫₀ᵗ X(x)dt là các phần tử của không gian C([0,T], L²(Ω)), và vₓₜ ∈ L²(Qₜ) Toán tử A trên v(x,t) có thể được biểu diễn như sau:
Rất dễ để thấy rằng tập D(A) trù mật trongL 2 (Q T ).
Chúng ta sẽ chứng minh rằng A là một toán tử mở rộng Để làm điều này, cần chỉ ra rằng A được xây dựng từ một định lý có sẵn trong lý thuyết toán tử không bị chặn và rằng toán tử mở rộng A ∗ của A được xác định trên tập hợp trù mật Chúng ta cũng sẽ kiểm tra khẳng định rằng nếu v m ≡ D(A) với m = 1, 2, và nếu v m → 0 trong chuẩn của L 2 (QT), đồng thời Av m ≡ {f m, ϕ m} → {f, ϕ} trong chuẩn của W, thì f ≡ ϕ ≡ 0 Để chứng minh khẳng định này, ta sẽ lấy hàm số phẳng đầy đủ η(x, t) bằng 0 trên S T, với η(x, t) = 0, và xem xét tích phân tương ứng R Q T M 0 (v m)η dx dt Tiến hành tính tích phân từng phần sẽ cho kết quả mong muốn.
Ta có thể có được giới hạn khim→∞ để có
Đối với hàm η(x,t) có các đặc tính đã nêu, ta có thể áp dụng phương pháp nổi tiếng để kết luận rằng f và ϕ đều bằng 0, do đó toán tử A có thể được mở rộng thành A Để mô tả miền xác định D(A) và tính toán A trên các phần tử của D(A), ta sẽ chứng minh đối với M 0 rằng đẳng thức kv x (ã,t)k 2 2, Ω+ là đúng.
(2.22) là đúng Ở đâyv(x,t)là một phần tử bất kỳ củaD(A) vàt là số nào đó trong
[0,T]. Đẳng thức (2.24) được suy ra từ hệ thức sau
Sự hội tụ của các phần tử Av m và v m trong miền D(A) trong không gian W dẫn đến sự hội tụ của v n trong chuẩn của W 2 ∆ ,1 (Q T) và trong chuẩn sup 0 ≤ t ≤ T k ã k (1) 2, Ω Điều này chứng minh rằng các phần tử trong miền xác định mới không kém hơn nhiều so với các phần tử trong miền xác định cũ thuộc W 2,0 ∆ ,1 (Q T) và có sự phụ thuộc liên tục vào chuẩn của W ◦ 1 2 (Ω) Theo định lý 2.1, nếu Ω là miền bị chặn, thì bài toán (2.11)-(2.13) có nghiệm duy nhất u(x,t) trong W 2,0 ∆ ,1 (QT) khi F = f + ∂ ∂ x f i với i ∈ L 2 (QT) và ϕ(x) ∈.
W 1 2 (Ω) Hơn nữa, nghiệm u(x,t) là phụ thuộc liên tục vàot theo chuẩn của
Chứng minh Ta sẽ chứng minh R(A) không có phần bù trực giao trongW, tức là từ đồng nhất thức:
Q T ψ x v x (x,0)dx =0, (2.23) suy raw ≡0vàψ ≡0, ở đó vbất kỳ,v∈D(A)và {w;ψ} ∈W Lấy v(x,t) Z t t 1
Khi∆v| t=t 1=0vàt 1 bất kỳ, v xt =0trongQ T Vì vậy đồng nhất thức có dạng
Vì ψ ∈W 2 1 (Ω) và D(∆)|t=0 là trù mật trong W 2 1 (Ω) nên suy ra ψ ≡ 0 và
R(A) =W Định lí được chứng minh.
Ví dụ 2.1 Giả sửΩlà hình cầu đơn vị Để thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.1 ta có thể chọn các hàm như sau f(x) = 1 p4
Nghiệm suy rộng thuộc L 2 (Q T ) của bài toán biên- giá trị ban đầu thứ nhất
Trong mục này, bài viết giới thiệu loại nghiệm suy rộng thứ hai cho bài toán (2.11)-(2.13) Định nghĩa 2.1 nêu rõ rằng nghiệm suy rộng thuộc L²(QT) của bài toán này là hàm số u(x,t)∈L²(QT) đáp ứng đồng nhất thức đã được chỉ định.
Q T (−fη+ f i η xi )dxdt (2.26) với mọiη ∈W 2,0 ∆ ,1 (Q T ) thỏa mãn η(x,T) =0.
Từ đây về sau nếu trong một biểu thức ta gặp chỉ số lặp thì cần lấy tổng theo chỉ số lặp đó từ1đến n.
Nếu u là một nghiệm suy rộng trong L²(QT) của bài toán (2.11)-(2.13) với f = f_i = ϕ = 0, thì từ đồng nhất thức (2.26) suy ra u ≡ 0 Khi thay t bằng -t, đồng nhất thức này trở thành dạng (2.25) với ϕ ≡ 0 Tại đây, u đóng vai trò của v và η, trong đó tập hợp η trong (2.21) lớn hơn số của v trong (2.25) Kết hợp với (2.25), w triệt tiêu cho phép u ≡ 0 nếu ϕ, f và f_i đều bằng 0 trong (2.26) Như vậy, chúng ta đã chứng minh được định lý 2.2 rằng bài toán (2.11)-(2.13) không thể có hơn một nghiệm suy rộng trong L²(QT).
Mọi phần tử u của W²₀(Q_T) đều thuộc về W²¹(Ω) Hơn nữa, hàm u(x,t) là một hàm liên tục tuyệt đối theo chuẩn của W²¹(Q_T) Đồng thời, ta có ||u_x(ã,t)||²₂,Ω = ||u_x(ã,0)||²₂,Ω − 2.
Các thuộc tính của các phần tử trong không gian W 2,0 ∆ ,1 (Q T ) với đạo hàm tx ∈ L 2 (Q T ) và toàn bộ M của tất cả đạo hàm như vậy là trù mật trong W 2,0 ∆ ,1 (Q T ) Những thuộc tính này vẫn được duy trì dưới kết luận của M trong không gian Banach.
Cỏc chuẩn này tương đương trờn M với chuẩn k ã k ( 2,Q ∆ ,1) T khi đối với tất cả u∈M và đối với bất kỳ hàm số trơn nào trênζ(t) ku x (ã,t)ζ(t)k 2 2, Ω− ku x (ã,t)ζ(t 1 )k 2 2, Ω
Do đó ta suy ra sup
Nghiệm suy rộng thuộc V 2 1,0 (Q T ) của bài toán biên- giá trị ban đầu thứ nhất
trị ban đầu thứ nhất
Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày loại nghiệm suy rộng thứ ba Bây giờ chúng ta xét bài toán (2.11) - (2.13) với ϕ ∈L 2 (Ω), f i ∈ L 2 (Q T ) và f ∈
L 2,1 (Q T ) Trong đó, không gian L q,r (Q T ) bao gồm các hàm thuộc L 2 (Q T ) với chuẩn xác định kukq,r,Q T Z T
Chúng ta sẽ chỉ ra rằng trong trường hợp này nghiệm thuộc W 2 1,0 (Q T ) và thỏa mãn quan hệ năng lượng (phương trình cân bằng năng lượng) sau đây
Nghiệm suy rộng của bài toán (2.11)-(2.13) trong không gian V 2 1,0 (Q T ) được định nghĩa là nghiệm thỏa mãn phương trình (2.11) và điều kiện ban đầu của (2.12) theo nghĩa của đồng nhất thức tích phân Các nghiệm này tồn tại cho mọi t ∈ [0,T] và được ký hiệu là 2ku(x,0)k 2 2, Ω.
(fη− f i η xi )dxdt, (2.28) mà được thỏa mãn với tất cả t ∈ [0,T] và tất cả η ∈W 2,0 1 (Q T ) Thực tế là đối với u∈V 2 1,0 (Q T ) thì điều kiện biên (2.13) được thỏa mãn Ta nhắc lại
W 2,0 1 (Q T )bao gồm tất cả các phần tửv∈W 2 1,0 (Q T )v t trongL 2 (Q T ) Tích vô hướng trongW 2,0 1 (QT)
(uv+u t v t +u x v x )dxdt và chuẩn đó được bao hàm k ã k (1,1) 2,Q T Đồng nhất thức (2.28) cú thể viết dưới dạng Z
∂x i ηdxdt (2.29) với mọi η ở trong W 2,0 1 (Q T ) Phương trình năng lượng có thể đạt được từ đẳng thức
Bằng cách hợp nhất các phần tử và sử dụng cơ sở lập luận rằngutriệt tiêu trên
S T Tuy nhiên, (2.29) và (2.30) chỉ ra sự tồn tại của t và ∆u trong L²(QT), trong khi (2.26) và (2.27) áp dụng cho bất kỳ phần tử nào trong V²₁,₀(QT) Định nghĩa về nghiệm suy rộng của (2.11)-(2.13) trong V²₁,₀(QT) thể hiện sự tồn tại của khái niệm nghiệm trong W²,₀∆,₁(QT) Sự hạn chế của khái niệm nghiệm suy rộng trong L²(QT) cho thấy có sự khác biệt trong định nghĩa này so với nghiệm suy rộng ở Chương 2 Điều này chủ yếu liên quan đến tên gọi và không rõ ràng ngay từ định nghĩa, khi mà u′′ và nghiệm suy rộng của (2.11)-(2.13) trong V²₁,₀(QT) tương đương với ϕ = ϕ′ + ϕ′′, f = f′ + f′′ và fᵢ = f′ᵢ + f′′ᵢ Lý do cho điều này là không gian véc tơ liên quan (2.28) không chỉ ra rằng u′ + u′′ có mặt bất cứ khi nào nó chứa u′ và u′′ Tuy nhiên, lý luận tiếp theo trong Định lý 2.2 sẽ cho phép chúng ta chứng minh rằng (2.28) chứa u′ + u′′, dựa trên bằng chứng của cơ sở lý luận sẽ được thảo luận trong phần tiếp theo, nơi chúng ta sẽ nghiên cứu phương trình với hệ số biến số và sử dụng (2.30) một cách thực chất.
Từ phương trình (2.30), chúng ta có thể xác định phương trình cân bằng năng lượng của nghiệm liên quan đến chuẩn |u| Q T Để thực hiện điều này, cần đánh giá chặn trên vế phải của phương trình (2.30) bằng cách sử dụng đại lượng thích hợp.
!1/2 và nhận được từ (2.30) hai đánh giá sau:
0max≤ t ≤ Tkuk 2 2, Ω≤2 maxkuk2,1,Q t+2kFk2,Q tku x k2,Q t+ku(ã,0)k 2 2, Ω, (2.31) ku x k 2 2,Q t ≤ max
Chúng ta lấy căn bậc hai của cả hai vế (2.31) và (2.32) Sau đó ở vế phải, chỳng ta thay thế max 0 ≤ t ≤ T kuk2, Ω, ku x k2,Q t và ku(ã,0)k2, Ω bằng số lớn
|u|Q T và khử|u| 1/2 Q T từ bất đẳng thức có được:
(2.33) Định lí 2.3 Bài toán (2.11)-(2.13) có một nghiệm suy rộng duy nhất trong
Sự duy nhất trong V 2 1,0 (Q T ) được chứng minh là hệ quả của Định lý 2.3 Để xác nhận sự tồn tại, chúng ta ước lượng hàm ϕ trong chuẩn L 2 (Ω) thông qua các hàm số ϕ m với m=1,2, từ W 2 1 (Ω) Tương tự, hàm f được ước lượng trong chuẩn L 2,1 (QT) bằng các hàm số f m với m=1,2, từ L 2 (Q T ) Cuối cùng, hàm f i trong chuẩn L 2 (Q T) cũng được ước lượng bởi các hàm số f im với m=1,2, từ W 2 1,0 (Q T ).
Từ Định lý 2.2 bài toán (2.11)-(2.13) có nghiệm u m trong W 2,0 ∆ ,1 (Q T ) tương ứng với ϕ m và F m = f m +∂f im /∂x i Các hiệu u m −u p và F m −F p sẽ thỏa mãn bất đẳng thức sau:
2ku m (ã,0)−u p (ã,0)k2, Ω i. Điều này chứng tỏ rằng{u m }hội tụ theo chuẩn củaV 2 1,0 (Q T ) DoV 2 1,0 (Q T ) là đầy đủ, tồn tại hàm số giới hạn u của {u m } ở trong V 2 1,0 (QT) Hơn nữa
(2.29)-(2.30) chứa u, một cơ sở lí luận mà được giới hạn khi m→∞ Điều này chứng minh Định lý 2.3.
Nhận xét 2.2 Nghiệm suy rộng mà được đảm bảo bởi Định lý 2.3 có đạo hàm cấp 1/2đối với biếnt.
Nhận xét 2.3 Tử toánBmà tác động hàm số vectơ {f, f i ,ϕ}từL 2,1 (Q T )×
Nghiệm suy rộng u(x,t) của hệ phương trình (2.11)-(2.13) trong không gian V 2 1,0 (Q T) là tuyến tính Nếu u ′ = B({f ′ ,f ′ i ,ϕ ′ }) và u ′′ = B({f ′ ,f ′′ i ,ϕ ′′ }), thì tổng hợp u = u ′ + u ′′ cũng là nghiệm suy rộng trong L 2 (Q T) tương ứng với các điều kiện {f ′ + f ′′ ,f ′ i + f ′′ i ,ϕ ′ +ϕ ′′ } Theo định lý 2.3, nghiệm suy rộng v trong V 2 1,0 (QT) phải trùng hợp với u, tức là u = v = B({f ′ + f ′′ , f ′ i + f ′′ i ,ϕ ′ +ϕ ′′ }) Chúng tôi đã chứng minh rằng tập hợp các nghiệm suy rộng có tính chất tương tự.
(2.11)-(2.13) trongV 2 (Q T )tương ứng với tất cả các dữ kiện{f,f i ,ϕ}trong
Ví dụ 2.2 Để thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.3 ta có thể chọn các hàm số như sau: ϕ(x) =ln|x|, f(x) = 1 p4 t|x|, f 1 = f 2 = .= f n =0.
Phương trình parabolic dạng tổng quát
Phương trình parabolic tổng quát dạng bảo toàn
Trong phần nay chúng ta nghiên cứu bài toán biên giá trị ban đầu cho phương trình parabolic tổng quát dạng bảo toàn sau đây:
∂x i (2.34) u| t=0 =ϕ(x), u| S T =0, (2.35) với các điều kiệna i j =a ji , s n
∑ i=1 b 2 i , |a| ≤ à; (2.36) ϕ ∈L 2 (Ω), f ∈L 2,1 (Q T ),f i ∈L 2 (Q T ) (2.37) và điều kiện parabolic v|ξ| 2 ≤a i j (x,t)ξiξ j ≤à|ξ| 2 , v,à =const>0 (2.38) Định nghĩa 2.2 Nghiệm suy rộng u(x,t) của bài toán (2.34)-(2.35) là hàm u(x,t)∈W 2 1,0 (Q T ) thỏa mãn đẳng thức
(−uη t +a i j u x j u xi +a i uη xi +b i u xi η+auη)dxdt
Q T (fη− f i η xi )dxdt (2.39) đối với tất cảη ∈W 2 1,0 (Q T ) mà triệt tiêu đối vớit =T. Đầu tiên chúng ta sẽ chứng minh bài toán này có nghiệm suy rộng trong
Chúng ta sẽ áp dụng phương pháp Galerkin để chứng minh rằng mỗi nghiệm của bài toán trong không gian W 2 1,0 (QT) đều thuộc V 2 1,0 (QT) và thỏa mãn phương trình cân bằng năng lượng Cuối cùng, từ định lý duy nhất cho bài toán (2.34)-(2.35), chúng ta sẽ xác lập sự tồn tại của nghiệm suy rộng trong W 2 1,0 (QT).
Phương trình cân bằng năng lượng cho bài toán (2.34) có dạng:
Q T (ai ju x j u x i +a i uu x i +b i u x i u+au 2 )dxdt
Phương trình này có thể suy ra từ đẳng thức tích phân
∂x i )udxdt (2.41) và sử dụng điều kiện giới hạn u|S T =0.
Chúng ta có thể đánh giá |u| Q T từ (2.41) bằng nhiều phương pháp tương tự như đánh giá (2.28) từ (2.22) Căn cứ vào (2.36)-(2.37), ta có thể rút ra kết luận.
Kết hợp các số hạng đồng hạng, chúng ta nhân cả hai vế với 2 và thay kuk 2 2,Q T bằng ty 2 (t), với y(t) ≡ max 0 ≤ t ≤ T ku(ã,t)k2, Ω và ku(ã,0)k 2 2, Ω Từ đó, ta có bất đẳng thức: ku(ã,t)k 2 2, Ω + vku x k 2 2,Q t ≤ y(t)ku(ã,0)k2, Ω + cty 2 (t) + 2ykfk2,1,Q tku x k2,Q t.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét công thức j(t) = 2(2à 2 /v+à) và từ đó suy ra hai bất đẳng thức quan trọng: y²(t) ≤ j(t) và ku x k²₂,Q t ≤ v − 1 j(t) Bằng cách bình phương hai vế của bất đẳng thức (2.45) và (2.46), chúng ta có thể cộng các kết quả lại với nhau và điều chỉnh vế phải theo cách thích hợp.
(2.46) Chúng ta nhận được đánh giá sau:
|u|Q T ≤[1−(1+v−1/2)√ ct] − 2 (1+v−1/2) 2 ì[ku(ã,0)k 2, Ω +2kfk 2,1,Q t+2kFk 2,Q t] (2.47) Chúng ta chia nhỏ khoảng[0,T]thành khoảng nhỏ
, , ∆ n và ∆ n cuối cùng của chiều dài không vượt quá 2 t 1 Đối với mỗi trong số chỳng, chỳng ta cú giới hạn dạng (2.47) Nếu chỳng ta tớnh đếnku(ã,t)k2, Ω≤
|u| Q T, thì chúng ta có bất đẳng thức năng lượng:
|u| Q T ≤c(t)[ku(ã,0)k 2,Q t +2kfk 2,Q t +2kFk 2,Q t]≡c(t)F(t), (2.48) mà chứa bất cứ t nào trong [0,T] Hàm số c(t) được xác định bởi t và bởi hằng số vvàà trong (2.38) và (2.40).
Bất đẳng thức (2.48) được gọi là bất đẳng thức cơ bản thứ nhất.
Sự tồn tại nghiệm suy rộng
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm cho bài toán (2.34)-(2.35) trong không gian W²¹,₀(QT), chúng ta chọn hệ cơ sở {ϕₖ(x)} trong W²¹(Ω), đảm bảo rằng nó đã được chuẩn hóa trong L²(Ω) Chúng ta sẽ tìm nghiệm gần đúng uₙ(x,t) thông qua chuỗi uₙ(x,t) = ∑ₙₖ=₁ cₙₖ(t)ϕₖ(x) từ hệ thống các quan hệ.
(u t N ,ϕ t ) + (ai ju N x j +a i u N ,ϕ lx i ) + (biu N x i +au N ,ϕ l ) = (f,ϕ i )−(f i ,ϕ ix i )
Quan hệ (2.49) là một hệ thống các phương trình tuyến tính với N ẩn số c l (t)≡c N l (t), t =1, ,N, trong đó số hạng nguyên tắc có dạng dc 1 (t)/dt và hệ số k (t) là hàm số giới hạn Theo một định lý nổi tiếng, (2.49) và (2.50) xác định duy nhất hàm số liên tục c N l (t) trên đoạn [0,T] Chúng ta thiết lập giới hạn cho u N không phụ thuộc vào N bằng cách nhân mỗi phương trình của (2.49) với c N l thích hợp, cộng chúng lại từ 1 đến N, và hợp nhất trong khoảng từ 0 đến T, dẫn đến kết quả (2.49) với u=u Như đã chỉ ra, (2.49) ám chỉ đến (2.50).
F(t) =2kfk 2,1,Q l +2kFk 2,Q t +ku N (ã,0)k 2, Ω Nhưngku N (ã,0)k 2, Ω ≤ kϕk 2, Ω , do đú chỳng ta cú giới hạn
|u N |Q T ≤c 1 (2.51) với c 1 không đổi không phụ thuộc vàoN vì (2.64) chúng ta có thể lựa chọn dãy phụ u N k , k= 1,2, từ dãy u N , N =1,2, mà bởi hội tụ trong
L 2 (Q T) và đạo hàm u N x k k liên quan đến một số phần tử u ∈ W 2 1,0 (Q T) Phần tử u(x,t) được xem là nghiệm suy rộng lý tưởng cho bài toán (2.38)-(2.39) Tiếp theo, chúng ta nhân (2.49) với một hàm số liên tiếp bất kỳ d l (t) mà có dd l /dt ∈.
L2(0,T) và dl(T) được tích hợp vào phương trình từ 1 đến N, sau đó hợp nhất kết quả từ 0 đến T Khi hợp nhất số hạng đầu tiên với các phần vớit, chúng ta sẽ thu được một đồng nhất thức.
(fΦ− f i Φ x i )dxdt, (2.52) quan hệ không là gì khác ngoài đẳng thức:
=0, l =1, ,N chuyển thành dạng tương ứng với sự lựa chọn khoảng của ta.
Kết quả lý luận cho thấy dãy con trong u N hội tụ tới u Xét η = ∑ N t=1 d ℓ (t)ϕ ℓ (x), tập hợp tất cả các hàm số η với d ℓ (t) có đặc tính đã nêu Tổng S ∞ p=1 M p là trù mật trong không gian con Wb 2,0 1 (QT) của W 2,0 1 (QT), bao gồm các phần tử của W 2,0 1 (QT) mà triệt tiêu tại t = T Đối với η ∈ M p trong (2.54), chúng ta có thể xác định giới hạn của dãy phụ u N k đã chọn.
N k ≥ p Kết quả là chúng ta có được (2.50) đối với u , với η ∈ M p Nhưng
∪ p=1 M p trù mật trongWb 2,0 (Q T ) không khó để kiểm tra (2.50) chứa tất cả η ∈Wb 2,0 1 (Q T ); đó là u(x,t) thực sự là một nghiệm suy rộng trongWb 2,0 1 (Q T ) của (2.36)-(2.37).
Như vậy chúng ta đã chứng minh. Định lí 2.4 Nếu các giả thiết (2.36)-(2.48) được thỏa mãn, thì bài toán
(2.34)-(2.35) có ít nhất một nghiệm suy rộng trongWb 2,0 1 (Q T ).
Tính duy nhất của nghiệm suy rộng
Chúng ta nghiên cứu tính duy nhất của nghiệm u(x,t) bằng cách xem nó như một nghiệm suy rộng trong không gian L²(QT) của các phương trình (2.1)-(2.3) Trong quá trình này, hàm f trong (2.36) được thay thế bằng f - b_i u_i - a u ≡ f, và f_i được thay thế bởi f_i + a_{ij} u_{x_j} + a_i u_{xx} ≡ f_i Điều này khả thi vì f thuộc L²,1(QT) và f_i thuộc L²(QT) Hơn nữa, phương trình (2.50) có thể được chuyển đổi thành dạng (2.21) nhờ vào điều kiện η thuộc W²,1_δ,1(QT) và η(x,t) = 0 Theo Định lý 2.3, u(x,t) trở thành một nghiệm suy rộng của các phương trình (2.1)-(2.3) trong không gian V²₁,₀(QT), do đó nó thuộc V²₁,₀(QT), và các phương trình (2.22) và (2.23) cũng chứa nghiệm này, trong đó f cần được thay thế bằng f và f_i bằng b f_i.
Quan hệ (2.22) có thể được viết dưới dạng (2.41) và đồng nhất thức (2.23) dưới dạng:
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình (2.36)-(2.37) và chứng minh rằng tất cả các nghiệm suy rộng thuộc W 2,0 1 (Q T ) đều là nghiệm suy rộng trong không gian V 2 1,0 (Q T ) Các nghiệm này được xác định bởi đồng nhất thức (2.54) và quan hệ năng lượng (2.41) Hơn nữa, chúng ta sẽ chỉ ra rằng phương trình (2.36)-(2.37) không thể tồn tại hai nghiệm khác nhau.
W 2,0 1 (Q T ) Nếu bài toán có hai nghiệmu ′ và u ′′ như vậy thì hiệu của chúng u=u ′′ −u ′′ sẽ là một nghiệm suy rộng của (2.36)-(2.37) trong không gian
W 2,0 1 (Q T) tương ứng với điều kiện ban đầu là 0 và số hạng tự do 0 Qua các chứng minh, u thực sự là một nghiệm suy rộng của bài toán trong không gian V 2 1,0 (Q T), do (2.41) với vế phải bằng 0 Tuy nhiên, từ điều này, nó dẫn đến (2.49) với vế phải cũng bằng 0 Do đó, u(x,t) phải bằng 0, điều này đã được chứng minh rằng u' và u'' trùng nhau.
Từ những lập luận này liên quan đến hai nghiệm suy rộng u ′ và u ′′ của (2.36)-(2.37) trong V 2 1,0 (QT) với f, f i và ϕ riêng biệt, nó theo sau tử toán
B chia {f, f i ,ϕ} thành một nghiệm suy rộng trong V 2 1,0 (Q T ) là không gian véctơ, và phương trình cân bằng năng lượng (2.41) là một dãy của (2.41) với giả định về hệ số của à và hàm f, f i ,ϕ đã được chỉ ra ở Định lý 2.5 Chúng ta đã chứng minh được rằng nếu các giả thuyết (2.36)-(2.38) được thỏa mãn, thì bất kỳ nghiệm suy rộng nào của (2.34)-(2.35) thuộc W 2 1,0 (Q T ) cũng là nghiệm suy rộng trong V 2 1,0 (Q T ) và nó là duy nhất trong W 2 1,0 (Q T ).
Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ hai và thứ ba
Phát biểu bài toán
a) Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ hai: Tìm nghiệm u(x,t) của (2.54) sao cho thỏa mãn các điều kiện sau: u|t=0=ϕ(x), ∂u
Các thành phần của véc tơ pháp tuyến ngoài đơn vị được ký hiệu là ν = (ν₁, ν₂, ν₃, , νn) tại điểm x thuộc tập S Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ ba yêu cầu tìm nghiệm u(x,t) của phương trình (2.54) sao cho nghiệm này thỏa mãn điều kiện u|t=0 = ϕ(x) và ∂u.
∂N|S T+δ(x,t)| u S T =0 (2.56)Khi δ(x,t)≡0,, thì bài toán biên -giá trị ban đầu thứ ba sẽ là bài toán thứ hai.
Định nghĩa nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ hai và thứ ba
đầu thứ hai và thứ ba
Nghiệm suy rộng của bài toán (2.54)-(2.56) trong không gianW 2 1,0 (Q T ) được định nghĩa là hàm số u(x,t)∈W 2 1,0 (QT)thỏa mãn đồng nhất thức sau: b
Q T fηdxdt (2.57) với η ∈W 2 1 (Q T ) với η(x,t) =0, trong đó δ là hàm số được cho trong điều kiện (2.56).
Sự tồn tại nghiệm suy rộng
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.54)-(2.56) trong W²₁,₀(QT), chúng ta có thể áp dụng định lý duy nhất "đối nhau" cho nghiệm suy rộng Phương pháp đầu tiên là chứng minh định lý duy nhất cho bài toán chuyển động, với giả thiết rằng các hàm aᵢⱼ và bᵢ là bị chặn Điều này đảm bảo rằng bài toán (2.54)-(2.56) có nghiệm suy rộng u(x,t) thuộc W²₁,₀(QT) và thỏa mãn điều kiện u|ₜ₌₀ = 0.
M(u,η) =0 (2.58) vớiη ∈W 2 1 (Q T ) vàη(x,T) =0 Chúng ta xét hàm số η(x,t)
(2.59) trong đó blà cố định trên[0,T].
Không khó để chứng minh hàm số này thỏa mãn (2.58) chúng ta thay (2.59) vào (2.58) và viết kết quả dưới dạng
S b δ η t ηdsdt =0 (2.60) khiu=η t chot ∈(0,b) Chúng ta viếta i j η tx j η x i dưới dạng
2(∂ δ/∂ t )η 2 và thực hiện tìm số hạng thứ hai và thứ ba của tích phân (2.60) với các dạng sau
Chúng ta sẽ áp dụng giả thuyết về hệ số của Mb và δ, với cơ sở lập luận là tích phân R Ω ãããdx trong (2.63) được triệt tiêu đối với t = b bởi hàm số η.
(2.59), sau đó chúng ta rút gọn (2.61), sau nữa đổi dấu bất đẳng thức:
(2.62) trong đó ε i là số dương bất kỳ với hằng số cđược xác định bởi các hệ số của
M,b δ và đạo hàm của chúng đối vớit Chúng ta có thể xét các tích phân trên
Hơn nữa (2.59) tương tự là sự biểu diễn của η(x,t) Z t b η t (x,t)dt, t ∈[0,b] chúng ta có bất đẳng thức: η 2 (x,t)≤b
Chúng ta thay thế các phương trình (2.63) và (2.64) vào (2.62), sau đó kết hợp các số hạng tương tự và đặt η x 2 (x,0) và η t 2 lên vế trái Cuối cùng, chúng ta chọn ε i nhỏ đến mức mà hệ số η x 2 (x,0) và η 2 bằng với v/4 và 1.
Chúng ta sẽ tách biệt hai yếu tố và áp dụng bất phương trình (2.65) để xác định dạng η 2 (x,0) và η 2 từ vế phải của bất đẳng thức đã thu được Kết quả cuối cùng sẽ được trình bày như sau:
(η x 2 +bη t 2 )dxdt (2.66) chúng ta cho bnhỏ đến mức c 2 b≤ 1
Chúng ta sẽ sử dụng cơ sở lập luận đã chọn để chứng minh rằng hàm số η(x,t) mà chúng ta đã định nghĩa phụ thuộc vào biến b Để thực hiện điều này, chúng ta cần giới thiệu khái niệm liên quan.
0 u(x,t)dt =y(x,t) tiếp theoη(x,t) lày(x,t)−y(x,b)chot ∈ [0,t] Chúng ta thay thế biểu thức này choη vào (2.68) và sau đó nhân vế phải của bất đẳng thức và được như sau:
4c 3 (2.70) chúng ta thu được (2.69) bất đẳng thức:
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình (2.71) với b ∈ [0, b1], trong đó b1 = min{1/(4c2); 1/(4c3)} Do y(x,0) = 0, nên y_x(x,0) = 0 và y_x(x,b) ≡ 0 Từ đó, η_x(x,t) = y_x(x,t) - y_x(x,b) ≡ 0 cho t ∈ [0, b1], dẫn đến kết luận rằng η_t(x,t) = u(x,t) ≡ 0 Điều này chứng minh rằng hai nghiệm u' và u'' trùng nhau trong hình trụ Q_b1 = Ω × [0, b1] Nếu chúng ta áp dụng phương pháp này cho các hình trụ Ω × [b1, 2b1], Ω × [2b1, 3b1], và tiếp tục, chúng ta sẽ có thể sử dụng toàn bộ hình trụ Q_T để chứng minh định lý duy nhất Theo định lý 2.6, nếu các hệ số của (2.54) thỏa mãn điều kiện v|ξ|² ≤ a_ij(x,t)ξ_iξ_j ≤ à|ξ|² với v = const > 0, thì kết quả sẽ được đảm bảo.
|b i |,|a| ≤à 1 (2.72) và |δ| ≤ à 1 Bài toỏn (2.54)-(2.55) cú duy nhất nghiệm suy rộng trong
Bất đẳng thức cơ bản thứ hai
Xét toán tử parabolicM được viết dưới dạng bảo toàn:
∂x i Chúng ta sẽ nghiên cứu bất đẳng thức cơ bản thứ hai Nếu trị tuyệt đối Scủa
Ωvà hệ số của M có độ trơn nào đó Thêm vào s n
∑ i=1 b 2 i ,|a| ≤ à (2.73) ϕ ∈L 2 (Ω), f ∈L 2,1 (Q T ), f i ∈ L 2 (Q T ) (2.74) và dưới điều kiện của parabol không thay đổi v|ξ| 2 ≤a i j (x,t)ξ i ξ j ≤à|ξ| 2 , v,à =const>0, (2.75) hệ số của M thỏa mãn điều kiện:
≤à 1 (2.76) và |∂a i /∂x i | ≤ à 1 với bất đẳng thức cuối này, Mu cú thể viết dưới dạng rỳt gọn:
∂x i (a i j (x,t)u x j +ab i (x,t)u x i +ab(x,t)≡u t −Lu, ở đú|ab i ,ab| ≤ à 1
Chúng ta xét tích phân R Q
T(Mu) 2 dxdt đối với hàm số bất kỳ u(x,t) và triệt tiêu trênSvà biến đổi như sau
[u 2 t −2a i j u tx i u x j +2u t (aub x i +aub ) + (Lu) 2 ]dxdt
Do đó, với các giả thiết về hệ số của Lta nhận được
Đối với mọi ε > 0, chúng ta thay thế R Q T (Lu) 2 dxdt và R Ω a i j u x i u x j dx| t=t bằng các giá trị nhỏ hơn Tiếp theo, chúng ta lựa chọn các số hạng tương tự, với ε được xác định là 1/(2c 2).
Chúng ta có đánh giá:
Nếu chúng ta thay thế giới hạn này vào (2.61), chúng ta có bất đẳng thức: v
(2.82) ở đóc 6 (t) =1+c 4 R 0 1 c 5 (t)dt Từ đó suy ra v
, (2.84) màc 7 (t)có độ tăng tương tự trongt nhưc 6 (t) Chúng ta gọi là bất đẳng thức (2.84) làbất đẳng thức cơ bản thứ hai.
Bất đẳng thức này áp dụng cho mọi u thuộc không gian W 2,0 2,1 (Q T ) Sử dụng bất đẳng thức cơ bản thứ hai, có thể chứng minh rằng nghiệm của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất nằm trong không gian W 2,0 2,1 (QT) khi S thuộc c 2 và ϕ thuộc.
W 2 1 (Ω),F ≡ f+∂f i /∂x i ∈L 2 (Q T ), vàa i j thỏa mãn điều kiện ∂ ∂ a x i j k
Luận văn trình bày các vấn đề sau:
– Mô tả một số không gian Sobolev thích hợp đối với nghiệm của phương trình parabolic.
– Trình bày khái niệm dạng phương trình parabolic nói chung và phương trình truyền nhiệt nói riêng Phát biểu bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất.
– Đưa vào xét một số loại nghiệm của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt.
Bài viết trình bày các định lý về sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm cho bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất, thứ hai và thứ ba liên quan đến phương trình parabolic tổng quát dạng bảo toàn Các định lý này đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu rõ các giải pháp của phương trình và đảm bảo rằng chúng tồn tại trong các điều kiện nhất định Việc nghiên cứu này không chỉ góp phần vào lý thuyết toán học mà còn có ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực liên quan đến phân tích động học và nhiệt học.
– Trình bày bất đẳng thức cơ bản thứ hai đối với phương trình parabolic.