Bài toán cauchy đối với phương trình truyền nhiệt không thuần nhất

Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt không thuần nhất với hệ số chỉ phụ thuộc biến thời gian trong ………...33 2.3.1... Các bài toán có chứa phương trình parabolic được nghiên cứu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các tài liệutrong luận văn là trung thực Luận văn chưa từng được công bố trong bất

Lời cảm ơn

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm – Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Phạm Thị Thủy Nhândịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn cô về sự hướng dẫn hiệu quả cùng nhữngkinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán,các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên, ViệnToán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiệnthuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậyrất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạnhọc viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 04 năm 2016

Tác giả luận văn

Vũ Thị Thanh Huyền

MỤC LỤC

Lời cam đoan………i

Lời cảm ơn……… ii

MỤC LỤC……….……… iii

MỞ ĐẦU……… 1

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ……… 3

1.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng……… 3

1.2 Phép biến đổi Fourier trong ………8

1.3 Phép biến đổi Fourier trong ……… 13

1.4 Các công thức đơn giản của biến đổi Fourier……… 19

1.5 Biến đổi Fourier của một vài hàm số đơn giản……….22

Chương 2 BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT KHÔNG THUẦN NHẤT………29

2.1 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt không thuần nhất với hệ số hằng trong ………29

2.1.1 Bài toán Cauchy……… 29

2.1.2 Tìm nghiệm của bài toán (2.1.1), (2.1.2)……… 29

2.2 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt không thuần nhất với hệ số hằng trong ………31

2.2.1 Bài toán Cauchy……… 31

2.2.2 Tìm nghiệm của bài toán (2.2.1), (2.2.2)……… 31

2.3 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt không thuần nhất với hệ số chỉ phụ thuộc biến thời gian trong ……… 33

2.3.1 Bài toán Cauchy……… 33

2.2.2 Tìm nghiệm của bài toán (2.3.1), (2.3.2)……… 34

KẾT LUẬN………39

TÀI LIỆU THAM KHẢO………40

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong số lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, phương trìnhparabolic là lớp phương trình mô tả các quá trình truyền nhiệt, khuyếchtán Các bài toán có chứa phương trình parabolic được nghiên cứu từ rấtlâu và lý thuyết của các phương trình đó đến nay tương đối hoàn chỉnh.Khi nghiên cứu bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt, nhà toánhọc Pháp Poisson đã thiết lập công thức tính nghiệm, hiện nay mang tênông và có nhiều ứng dụng Ngày nay có rất nhiều phương pháp để nghiêncứu về phương trình đạo hàm riêng tuyến tính nhưng phương pháp biến đổiFourier trong nhiều trường hợp tỏ ra rất quan trọng và hiệu quả Phươngpháp biến đổi Fourier giúp cho việc nghiên cứu các lớp phương trình khácnhau và thiết lập được công thức biểu diễn nghiệm của các bài toán Khôngnhững thế phương pháp biến đổi Fourier còn nghiên cứu được tính chất củacác công thức biểu diễn nghiệm đó

Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn “ Bài toán Cauchy đối

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây

- Trình bày tổng quan về phương trình đạo hàm riêng, phép biến đổi Fourier

- Tìm nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt không

3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp phương trình đạo hàm riêng, phương pháp giảitích, và sử dụng hệ thống các phép biến đổi Fourier, công thức Poisson đểnghiên cứu bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt không thuầnnhất

giản của biến đổi Fourier, biến đổi Fourier của một vài hàm số đơn giản.Chương 2 Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiêncứu về bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt không thuần nhất

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, ta sẽ nhắc lại một số kiến thức quan trọng làm nềntảng để nghiên cứu chương sau, đó là các kiến thức về phương trình đạohàm riêng và biến đổi Fourier Các nội dung trong chương được trích dẫn

từ các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4], [5], [6], [9],[10], [11]

1.1 Phân loại phương trình đạo hàm riêng

1.1.1 Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợp hai biến

Định nghĩa 1.1.1.3 Giả sử u = u (x, y) là hàm xác định trong R2,

a(x, y) , b (x, y) , c (x, y) ∈ R2 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tínhcấp hai trong trường hợp hai biến là phương trình có dạng

Nếu tại mọi điểm trong một miền G mà phương trình (1.1.2) thuộc cùngmột loại thì ta nói rằng phương trình (1.1.2) thuộc loại đó trong miền G.b) Dạng chính tắc của phương trình tuyến tính cấp hai trongtrường hợp hai biến

Ta đưa phương trình (1.1.2) về các dạng chính tắc sau

có dạng

X

i,j=1

aijuxixj + F (x1, , xn, u, ux1, , uxn) = 0, (1.1.3)

a) Phân loại phương trình tuyến tính cấp hai trong trường hợpnhiều biến

(1.1.5) đều khác không và cùng một dấu

- Phương trình (1.1.3) được gọi là thuộc loại hypecbolic tại điểm

x0 = x10, , xn0

cùng một dấu, còn nghiệm cuối cùng còn lại có dấu khác

- Phương trình (1.1.3) được gọi là thuộc loại parabolic tại điểm

x0 = x10, , xn 0

còn lại đều khác không và cùng một dấu

(1.1.3) thuộc cùng một loại, thì ta nói rằng phương trình (1.1.3) thuộc loại

b) Dạng chính tắc của phương trình tuyến tính cấp hai trongtrường hợp nhiều biến

Xét phương trình tuyến tính cấp hai (1.1.3)

Dùng phương pháp đổi biến

ξ1 = ξ1(x1, , xn) (1.1.6)

- Giả thiết tại điểm x0 = x10, , xn0

phương trình (1.1.9) thuộc loại

(1.1.12) được gọi là dạng chính tắc của phương trình loại elliptic

phương trình (1.1.9) thuộc loại hypecbolic,

(1.1.13) được gọi là dạng chính tắc của phương trình loại hypecbolic

phương trình (1.1.9) thuộc loại parabolic

(1.1.14) được gọi là dạng chính tắc của phương trình loại parabolic

Như vậy, rõ ràng ta thấy

hypecbolic

1.2 Phép biến đổi Fourier trong L1(Rn)

( R n

)

hội tụ tuyệt đối.

Z

|u|<A

f (u) e−ihξ,uidu

< ε

2.

|u|<A

f (u) e−ihξ,uidu

∧

f

∧

f

Định nghĩa 1.3.1.2 (Định nghĩa biến đổi Fourier trong L2(Rn))

f

∃ {fm} , fm ∈ C0∞(Rn) mà fm → fm ∈ L2(Rn).Suy ra

Dαfm → Dαf ∈ L2(Rn)

\

Dαfm = (iy)α ∧fm cho m → ∞ ta được [Dαf = (iy)α ∧f

Công thức (1.3.6) được chứng minh

với mỗi điểm Lebesgue của f, suy ra

1.4 Các công thức đơn giản của biến đổi Fourier

Giả sử điều kiện để tồn tại các biến đổi Fourier gặp dưới đây đều thỏa mãn.Khi đó ta có các công thức sau

Vậy F (f ) (ξ) = g∧

ξ α

1.5 Biến đổi Fourier của một vài hàm số đơn giản

-A A

Đường thẳng ∆ song song với trục hoành Ox Ta có

e−z2 = e−A+y2ei2Ay → 0 khi A → +∞.

phương pháp tọa độ cực, ta được

e−x2

(ξ) = e−

ξ2 4

e− r2

... 2

BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI

PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN

NHIỆT KHƠNG THUẦN NHẤT

Trong chương này, ta áp dụng kiến thức phương trình đạo hàmriêng... class="page_container" data-page="36">

2.2 Bài tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt không< /p>

thuần với hệ số Rn

2.2.1 Bài toán Cauchy< /small>

ut... nghiệm toán (2.2.14)

c) Nghiệm toán (2.2.1), (2.2.2)

Nghiệm toán (2.2.1) (2.2.2)

2

2.3 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt khơng

thuần với