Bài toán về chia hình vuông

Hơn nữa, việc chứng minh Định lý cơ bản vềchia hình chữ nhật thành các hình vuông không bằng nhau thì mọi hìnhvuông đều chia được thành các hình vuông nhỏ hơn đôi một khác nhau.Bài toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THÀNH AN

BÀI TOÁN VỀ CHIA HÌNH VUÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

Lời cảm ơn

Trước tiên, tác giả xin được gửi lời cảm ơn đến tất cả quý thầy cô đãgiảng dạy trong chương trình Cao học khóa 2013-2015 lớp K7Q, chuyênngành Phương pháp toán sơ cấp, sự quan tâm chỉ đạo, tạo điều kiện củaBan giám hiệu, các phòng, khoa chuyên môn của trường Đại học Khoahọc- Đại học Thái Nguyên, các kiến thức được thầy cô giảng dạy làm cơ

sở cho tác giả thực hiện tốt luận văn này

Tác giả xin chân thành cảm ơn TS.Nguyễn Văn Minh, đã tận tìnhhướng dẫn cho tác giả trong thời gian thực hiện luận văn Mặc dù, trongquá trình thực hiện luận văn, có giai đoạn không được thuận lợi mangyếu tố chủ quan nhưng thầy đã rất cố gắng hướng dẫn, chỉ bảo, cho tácgiả nhiều kiến thức cũng như kinh nghiệm trong thời gian thực hiện đềtài Sau cùng, tác giả xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến Ban giám hiệu trườngTHPT Hoàng Hoa Thám- Đông Triều- Quảng Ninh, các anh chị em đồngnghiệp và gia đình, đã luôn tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quátrình học tập cũng như thực hiện luận văn

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoahọc - Đại học Thái Nguyên

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015

Phạm Thành AnHọc viên Cao học Toán K7QTrường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên

• Nếu yêu cầu tất cả các hình vuông con phải bằng nhau thì chia đượcnhư hình 1a,b, nghĩa là số hình vuông phải là chính phương.

• Nếu không yêu cầu tất cả các hình vuông bằng nhau, thì số hìnhvuông có thể là 6 (hình 1c) hoặc 7 (hình 1d)

Hình 1:

Tuy nhiên nếu yêu cầu “các hình vuông khác nhau từng đôi một” thìvấn đề sẽ không đơn giản Một điều thú vị, từ bài toán chia hình vuông làbiến thành một mạch điện tương đương, bằng cách xem xét các ô vuôngnhư điện trở nối với các cạnh trên cùng và cạnh dưới cùng của hình vuônglớn, sau đó áp dụng định luật về mạch của định luật Kirchhoff mà sẽ đềcập trong luận văn này để giải quyết bài toán trên

Luận văn đề cập đến hai khái niệm Đồ thị và Mạch điện, dựa vào lýthuyết đồ thị để giải bài toán chia hình chữ nhật thành các hình vuôngkhông bằng nhau, đặc biệt là Định lý Euler "Số đỉnh trừ số cạnh cộng sốdiện trong mọi đồ thị luôn bằng 1", khi đó ta thấy một song ánh hiếm hoigiữa Hình học và Điện học Hơn nữa, việc chứng minh Định lý cơ bản vềchia hình chữ nhật thành các hình vuông không bằng nhau thì mọi hìnhvuông đều chia được thành các hình vuông nhỏ hơn đôi một khác nhau.Bài toán về ghép các hình vuông để được hình chữ nhật cho ta thấy sựliên hệ của bài toán này với dãy số Fibonacci Cấu trúc luận văn:

Chương 1: Ghép hình chữ nhật từ các hình vuông: Giải quyếtbài toán về chia hình chữ nhật thành các hình vuông khác nhau từng đôi

và ghép hình chữ nhật từ các hình vuông khác nhau từng đôi

Chương 2: Định lý cơ bản về chia hình chữ nhật thành cáchình vuông không bằng nhau: Phát biểu và chứng minh lại Định lý

cơ bản về điều kiện cần và đủ của phép chia hình chữ nhật thành cáchình vuông không bằng nhau, tìm được một hệ thức liên hệ giữa bài toánchia một hình chữ nhật thành các hình vuông với dãy Fibonacci đã biết

Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015

Phạm Thành AnHọc viên Cao học Toán K7QChuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấpTrường Đại học Khoa học - Đại học Thái NguyênEmail: Phamthanhan.c3hht@quangninh.edu.vn

Chương 1

Ghép hình chữ nhật từ các hình

vuông

Trong mục này ta xét bài toán sau:

Bài toán: Chia một hình chữ nhật thành n hình vuông con khác nhautừng đôi

Liên quan đến bài toán này là bài toán : "Ghép n hình vuông khác nhautừng đôi thành một hình chữ nhật"

Người ta đã chứng minh được rằng, không thể ghép n hình vuông khácnhau từng đôi để được một hình chữ nhật với n ≤ 8 (chi tiết xem [5]).Với n = 9, có thể ghép 9 hình vuông khác nhau từng đôi thành một hìnhchữ nhật được minh họa trên hình (1.1, 1.2, 1.3, 1.4)

Hình 1.1:

Hình 1.2:

Hình 1.3:

Hình 1.4:

hình vuông có cạnh bằng cạnh lớn của P , ta sẽ được một hình chữ nhật

P1 Hình vuông thứ n + 1 có cạnh lớn hơn tất cả các cạnh của hình vuông

khác nhau từng đôi

Một số nhà toán học đã xét bài toán: Tìm số n bé nhất sao cho có thểchia một hình vuông có kích thước cho trước thành n hình vuông conkhác nhau từng đôi Người đầu tiên xét bài toán này là P Sprag vào năm

1939 [6] Trên hình 1.5 chỉ ra một cách chia hình vuông cạnh 175 thành

24 hình vuông con khác nhau từng đôi với các cạnh như sau:

Hình 1.5:

1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 14, 16, 18, 20, 29, 30

31, 33, 35, 38, 39, 43, 51, 55, 56, 64, 81

Ví dụ này được chỉ ra bởi Willcocks T.H.A.[8] Cho đến nay, 24 là số ítnhất các hình vuông khác nhau từng đôi mà có thể ghép thành một hìnhvuông có cạnh 175 Ví dụ cho sự phân hoạch hình chữ nhật có kích thước

422 × 593 thành các hình vuông con khác nhau từng đôi (1.6):

Hình 1.6:

Các kết quả đã kể trên về bài toán chia hình chữ nhật thành các hìnhvuông con khác nhau từng đôi liên quan đến hai khái niệm quan trọng làkhái niệm đồ thị và khái niệm mạch điện

Các phương pháp đã sử dụng để nhận được đa số các kết quả trong 1.1liên quan đến cơ sở của lý thuyết đồ thị và phương pháp biểu diễn cácmạng điện phức tạp Đồ thị trên mặt phẳng là một hệ thống các đường,

ví dụ các đoạn thẳng, nối các điểm của một hệ điểm đã cho nào đó Cácđiểm này gọi là các đỉnh của đồ thị, còn các đường (các đoạn thẳng) nốicác điểm này gọi là các cạnh của đồ thị Phần mặt phẳng giới hạn bởicác đường gấp khúc khép kín (nói chung, là các đường cong) lập từ cáccạnh của đồ thị, tương tự như miền I hoặc miền II của hình 1.7a gọi làcác diện của đồ thị

Hình 1.7:

Định lý sau đây kết quả quan trọng của lý thuyết đồ thị:

Định lý 1.1 (Định lý Euler) [5] Nếu đồ thị có B đỉnh, P cạnh và G diệnthì các số nguyên dương B, P, G liên hệ với nhau bởi hệ thức:

Chẳng hạn, đối với đồ thị trên hình 1.7a ta có : B = 6, P = 10, G = 5

và 6 − 10 + 5 = 1 Cuối cùng, cần nói thêm rằng đồ thị mà cạnh của nókèm theo các mũi tên chỉ hướng đi của các cạnh này (ví dụ, xem hình1.7b) được gọi là các đồ thị định hướng

Giả sử ta có một phân hoạch nào đó một hình chữ nhật hay một hìnhvuông thành các hình vuông nhỏ hơn; để xác định ta sẽ nói về phân hoạchhình chữ nhật với các cạnh 32 và 33 thành 9 hình vuông khác nhau từngđôi biểu diễn trên hình 1.2, mặc dù ở đây đang nói về phân hoạch bất

kỳ một hình chữ nhật thành các hình vuông con không nhất thiết phảikhác nhau Như thường lệ, ta sẽ xem các cạnh của hình chữ nhật là nằmngang hoặc thẳng đứng; khi đó các cạnh của tất cả các hình vuông concũng sẽ nằm ngang hoặc thẳng đứng Ta xét tất cả các đoạn nằm ngangtrên hình vẽ của ta, tức là các đoạn A1B1, A2B2, A3B3, A4B4, A5B5, A6B6

(hình 1.8)

Hình 1.8:

Mỗi đoạn này được đặt tương ứng với một điểm xác định (có thể xemđiểm này trùng với trung điểm của đoạn tương ứng, mặc dù điều này

đỉnh của một đồ thị nào đó Nếu hai điểm tương ứng với các đoạn nằmngang chứa các cạnh của cùng một hình vuông của phân hoạch thì tanối các điểm này bằng một đoạn thẳng (hay là bằng một cung của đườngcong nào đó) Như vậy, ta nhận được đồ thị 1.9, tương ứng với phân hoạchhình chữ nhật thành các hình vuông; rõ ràng, các cạnh của đồ thị nàytương ứng với các hình vuông của phân hoạch, còn các đỉnh tương ứngvới các đoạn nằm ngang xác định bởi phân hoạch của ta

Tiếp theo, sẽ có lợi cho ta khi làm rõ ý nghĩa của các diện của đồ thị

tương ứng với một dãy 4 hình vuông của phân hoạch Các đỉnh cao nhất

nằm ngang, dọc theo chúng là các hình vuông với các cạnh 10 và 4 (đượcbiểu diễn trên đồ thị bởi các cạnh H2H4 và H2H3) và các hình vuông vớicác cạnh 1 và 7 (biểu diễn trên đồ thị bởi các cạnh H4H5 và H3H5); đồngthời hình vuông với cạnh 1 có cạnh nằm ngang chung với hình vuông cạnh

10, hình vuông với cạnh 7 có cạnh nằm ngang chung với cạnh 4 Như vậy,chúng ta đi đến một tổ hợp các hình vuông biểu diễn trên hình 1.10, từ

các đỉnh cao nhất và thấp nhất trong các đỉnh của các diện này, như vậy

nhất trong các đoạn tương ứng với các đỉnh H1, H2, H3, Hl Các cạnhcủa đồ thị H1H2 và H1Hl, xuất phát từ đỉnh H1 tương ứng với hai hìnhvuông kề nhau, các đáy trên của chúng thuộc cùng một đường thẳng AB

thẳng đứng CD (hình 1.11a))

Nếu các hình vuông được xét K1, K10 bằng nhau (hình 1.12a) thì các đáy

Hình 1.11:

dưới của chúng cũng phải thuộc cùng một đường thẳng nằm ngang A’B’;đồng thời, các cạnh H1H2 và H1Hl phải có hai đỉnh chung, nghĩa là cácđiểm H2, Hl cần phải trùng nhau (hình 1.12b); cả hai điểm này tương ứngvới đường thẳng A’B’); do đó, trong trường hợp này diện được xét của

đồ thị suy biến thành “nhị giác” H1H2, có thể đặt tương ứng nó với cạnhthẳng đứng CD Bây giờ giả sử hình vuông K10tương ứng với cạnh H1Hl

này được biểu diễn trên đồ thị bởi cạnh H2H3

1.12c) thì các mút của các cạnh H2H3 và H1Hl của đồ thị phải trùng nhau

nằm ngang A’B’); như vậy, khi xét diện của đồ thị là tam giác H1H2H3,

3 cạnh của nó tương ứng với 3 hình vuông kề với cạnh thẳng đứng CD

các cạnh của hình vuông K10 (hình 1.11) thì tiếp xúc với hình vuông K10

Hình 1.12:

đồ thị, hình vuông này tương ứng với cạnh HlHl−1 (hình 1.11b)

Tiếp tục sự phân tích này, chúng ta khẳng định rằng trong mọi trườnghợp đường gấp khúc H1H2H3 và H1HlHl−1 gặp nhau tại điểm Hk,tương ứng với cạnh nằm ngang A’B’ đi qua mút dưới D của đoạn thẳngđứng CD, đồng thời đường gấp khúc H1H2H3 Hk và H1HlHl−1 Hk

sẽ tương ứng với một dãy các hình vuông kề về bên trái hoặc bên phải,với đoạn thẳng đứng CD Như vậy, ta kết luận rằng, mỗi diện của đồ thịtương ứng với một đoạn thẳng đứng nào đó, trong số các đoạn thẳng sinh

ra phân hoạch một hình chữ nhật thành các hình vuông Ngược lại, cũng

rõ ràng là mỗi đoạn thẳng đứng CD (khác với các cạnh bên của hình chữnhật được phân hoạch) tương ứng với một diện xác định của đồ thị giớihạn bởi các cạnh biểu diễn dãy các hình vuông kề về bên trái hoặc bênphải với cạnh CD

Tiếp theo ta sẽ luôn vẽ đồ thị sao cho từ hai điểm H và H’ tương ứngvới các cạnh nằm ngang AB và A’B’, điểm nằm cao hơn tương ứng vớiđoạn nằm cao hơn; ngoài ra, trên các cạnh của đồ thị ta quy ước vẽ cácmũi tên chỉ hướng từ trên xuống dưới Như vậy, ta sẽ luôn xem đồ thịđược xét là định hướng Tiếp theo, bên cạnh mỗi cạnh của đồ thị sẽ đặtcác số bằng độ dài cạnh của hình vuông tương ứng với cạnh này Ví dụ,

trên hình 1.13 là đồ thị ở hình 1.9) khôi phục lại, tương ứng với phânhoạch hình chữ nhật thành các hình vuông biểu diễn ở hình 1.8), tuynhiên, bây giờ đồ thị đã được định hướng, các cạnh của nó đã gắn trọngsố.

Hình 1.13:

Dễ dàng thiết lập các liên hệ liên kết các cạnh của các đồ thị khả dĩtương ứng với các phân hoạch một hình chữ nhật thành các hình vuông.Trước hết, rõ ràng rằng các cạnh đi tới một đỉnh xác định H tương ứngvới các hình vuông kề về phía trên với đoạn thẳng nằm ngang AB biểudiễn bởi điểm H; các cạnh đi ra từ H tương ứng với các hình vuông kềvới đoạn AB từ phía dưới [Như vậy, trên hình 1.13 các đoạn đi tới H3 là

H1H3, H2H3 tương ứng với các hình vuông với cạnh 18 và 4 kề từ phíatrên với đoạn A3B3, các cạnh đi ra từ H3 là các cạnh H3H5, H3H6 tươngứng với các hình vuông có cạnh là 7 và 15 kề từ phía dưới với đoạn A3B3-xem hình 1.8] Bởi vì tổng độ dài các cạnh của các hình vuông kề với mộtđoạn nằm ngang nào đó từ phía trên bằng tổng độ dài các cạnh của hìnhvuông kề với đoạn này từ phía dưới thì đối với mỗi đỉnh của đồ thị, tổngtrọng số của các cạnh đi tới đỉnh này bằng tổng trọng số các cạnh đi ra

từ nó

Hơn nữa, nếu Hi1, Hi2, , Hil là một diện nào đó của đồ thị và Hi1, Hik

(k ≤ l) là các đỉnh cao nhất và thấp nhất của diện này thì các đườnggấp khúc Hi1, Hi2, , Hik và Hi1, HilHil−1, , Hik tương ứng với dãy cáchình vuông kề từ phía trái và phía phải với cùng một đoạn thẳng đứng

Hi1, Hi2, , Hil bằng tổng trọng số tất cả các cạnh lập thành đường gấpkhúc Hi1, HilHil−1, , Hik, trong đó H1, H2, , Hik, , Hil là các đỉnhcủa diện đã cho, đồng thời Hil, Hik tương ứng là các đỉnh cao nhất vàthấp nhất của diện này (hình 1.14b) (Chẳng hạn, ở đồ thị biểu diễn trênhình 1.13 các đỉnh cao nhất và thấp nhất của diện H2H3H5H4 là các đỉnh

gấp khúc này là 10+1 và 4+7)

Các điều kiện liên kết trọng số của các cạnh của đồ thị, có thể phát biểutheo một cách khác Ta sẽ gán cho cạnh H’H với hướng đi ngược với chiềumũi tên (tức là hướng từ H’ tới H, trong đó H’ nằm dưới điểm H) trọnglượng âm −p, bằng với trọng lượng cũng của cạnh đó (tức là cạnh HH’với hướng “tự nhiên”) về trị tuyết đối nhưng với dấu ngược lại Khi đó,điều kiện đưa ra ở trên có thể phát biểu dưới dạng sau: Đối với mỗi đỉnh

H của đồ thị, tổng trọng số của các cạnh xuất phát từ H (không phânbiệt là đi tới H hoặc đi ra từ H) bằng 0; đối với mỗi diện Hi1, Hi2, , Hiltổng trọng số của các cạnh giới hạn diện này bằng 0 (ta sẽ xem hướngcủa các cạnh là hướng từ Hi1 tới Hi2, từ Hi2 tới Hi3, v.v )

Quy tắc chỉ ra ở trên rất gần với cái gọi là định luật Kirchhoff cho phéptính cường độ dòng điện đi qua phần này hoặc phần khác của một mạchđiện rẽ nhánh Trong trường hợp phần được xét của mạch không có nguồn,tổng cường độ dòng điện đi ra khỏi một đỉnh H nào đó của mạch rẽ nhánhbằng tổng cường độ các dòng đi tới đỉnh này (hình 1.15a) Mặt khác, nếuđiện trở của tất cả các dây dẫn riêng biệt lập thành mạch phức tạp là nhưnhau thì đối với hai đường bất kỳ HH1H2 HiH0, HH10H20 Hj0H0 nối haiđỉnh nào đó H, H’ của mạng, tổng cường độ dòng điện đi qua các đoạndây dẫn HH1, H1H2, , Hi−1Hi, HiH0 bằng tổng cường độ dòng điện điqua các đoạn dây dẫn HH10, H10H20, , Hj−1Hj0, Hj0H0 (hình 1.15 b); nếuđiện trở của các đoạn dây bằng 1, thì trong cả hai trường hợp tổng cường

độ dòng điện bằng hiệu điện thế tại các điểm H và H’).

Hình 1.14:

Hình 1.15:

Như vậy, rõ ràng với định luật Kirchhoff, trùng khớp với các quy tắcliên kết các trọng số của đồ thị tương ứng với phân hoạch một hình chữnhật (xem hình 1.14 và 1.15) Bởi vì, các quy tắc Kirchhoff là các mốiliên hệ duy nhất liên kết các dòng điện tại các phần riêng biệt của mộtmạch điện rẽ nhánh, mỗi phân hoạch hình chữ nhật thành các hình vuông(thậm chí không bắt buộc phải khác nhau từng đôi) tương ứng với mộtmạch điện xác định Ví dụ, trên hình 1.16 biểu diễn mạch điện tương ứngvới phân hoạch hình chữ nhật thành 9 hình vuông, được biểu diễn trênhình 1.2 hay hình 1.8 (xem đồ thị biểu diễn trên hình 1.13) Trên hình1.18 biểu diễn phân hoạch hình chữ nhật thành 10 hình vuông (xem hình

các phương pháp tính toán các mạch điện phức tạp đã được biết rõ đểtìm các cách phân hoạch mới một hình chữ nhật thành các hình vuông.

Hình 1.16:

Hình 1.17:

cạnh nằm ngang của khung dây, còn hiệu điện thế giữa đáy trên và đáydưới bằng độ dài của một cạnh thẳng đứng (như vậy, trong trường hợpphân hoạch một hình vuông thành các hình vuông nhỏ hơn cần phải xemcường độ dòng điện bằng hiệu điện thế) Chúng ta còn xem rằng các hìnhvuông riêng biệt tạo thành khung dây là tách rời khỏi nhau bởi các nhátrạch dọc theo các cạnh thẳng đứng của phân hoạch; dọc theo các đườngnằm ngang chia cắt khung dây thành các phần chúng ta liên kết các hìnhvuông riêng biệt bởi các dây dẫn có độ dẫn điện cực lớn (thực tế là vôhạn) (hình 1.21); từ quan điểm các tính chất điện của lưới, điều kiện cuốicùng có nghĩa là đoạn nằm ngang được đồng nhất với một điểm) Khi đótất cả các hình vuông mà khung dây được phân ra sẽ đóng vai trò cácdây dẫn có điện trở giống nhau (bởi vì dọc theo các dây dẫn như vậy, tỷ

số U

đi đến mạch điện mô tả ở trên tương ứng với phân hoạch của ta

Hình 1.21:

Bây giờ ta quay lại với các đồ thị tương ứng với các phân hoạch hìnhchữ nhật thành các hình vuông Mỗi đồ thị như vậy lập thành một “bộkhung” của mạch điện tương ứng (được hoàn toàn xác định bởi một đồthị định hướng với các trọng số đã cho của các cạnh) Trong đoạn này

chúng ta vẫn chưa sử dụng sự kiện các hình vuông của phân hoạch phảikhác nhau từng đôi; chúng ta cũng không loại trừ thậm chí cả các phânhoạch chứa các hình vuông bằng nhau nằm kề nhau và có một cạnh chung(xem hình 1.19 và 1.20) Tuy nhiên, nếu chỉ quan tâm đến vấn đề phânhoạch một hình chữ nhật thành các hình vuông khác nhau từng đôi thìngay từ đầu có thể loại khỏi việc xét các đồ thị chứa các “nhị giác” nhưbiểu diễn trên 1.12b, vì chúng ta biết rằng các nhị giác như vậy tương ứngvới các cặp hình vuông bằng nhau, kề nhau theo một cạnh thẳng đứng(xem hình 1.12 a) cũng như các hình 1.20a,b Tương tự như vậy, chúng

ta có thể xem rằng đồ thị được xét không chứa các “đầu gối” HpHqHr lậpbởi các cạnh HpHq và HqHr, từ đỉnh chung Hqcủa chúng không đi ra mộtcạnh nào khác với HqHp và HqHr (hình 1.22a) vì một “đầu gối” như thế

rõ ràng tương ứng với hai hình vuông bằng nhau kề nhau theo một cạnhnằm ngang (hình 1.22b) và hình 1.19a,b Như vậy, tiếp theo chúng ta sẽxem rằng tại mỗi một trong B − 2 đỉnh (tức là các đỉnh khác với đỉnhtrên cùng và dưới cùng) của đồ thị hội tụ không ít hơn 3 cạnh, mỗi mộttrong G diện được giới hạn bởi không ít hơn 3 cạnh

Hình 1.22:

Rõ ràng từ đỉnh trên cùng của đồ thị có thể xuất phát một cạnh duynhất (xem hình 1.23a,b) Tuy nhiên, tình huống này tương ứng với trườnghợp khi chỉ có một hình vuông duy nhất kề với đáy trên của hình chữnhật được phân hoạch, đây là trường hợp không đáng quan tâm vì rõràng nó dẫn về bài toán phân hoạch một hình chữ nhật bé hơn nhận được

từ hình chữ nhật xuất phát bằng cách cắt bỏ hình vuông trên cùng Bởivậy, có thể xem rằng từ đỉnh trên cùng của đồ thị xuất phát không ít hơnhai cạnh; cũng đúng như vậy, ta sẽ xem rằng từ đỉnh dưới cùng của đồthị xuất phát không ít hơn hai cạnh Khi đó tổng số P các cạnh của đồ

Hình 1.23:

3 cạnh và từ mỗi một trong đỉnh cao nhất và đỉnh thấp nhất xuất phátkhông ít hơn 2 cạnh; mặt khác, khi đếm các cạnh theo các đỉnh như vậy,mỗi cạnh được tính hai lần (mỗi cạnh nối hai đỉnh) Vậy ta có:

3Thế kết quả nhận được vào công thức Euler (E) ta có:

2P + 2

3Bây giờ ta nhận xét rằng, có thể đặt tương ứng đồ thị của phân hoạchhình chữ nhật thành các hình vuông một cách khác với cách vừa mô tả

ở trên Ta đánh dấu trên các đoạn thẳng đứng (các cạnh của các hìnhvuông của phân hoạch) C1D1, C2D2, các điểm V1, V2 mà ta sẽ chọnlàm các đỉnh của đồ thị Khi đó ta nối các điểm Vi, Vj tương ứng với haicạnh CiDi, CjDj bởi một đường chỉ trong trường hợp nếu các cạnh củamột hình vuông của phân hoạch thuộc các đường thẳng CiDi, CjDj (xemhình 1.24a,b và hình 1.8, 1.9)

Khi đó ta nhận được đồ thị “đối ngẫu” với đồ thị đã được xét trướcđây: các đỉnh của đồ thị như vậy tương ứng với các đoạn thẳng đứng của

Hình 1.24:

phân hoạch, các cạnh, vẫn như trước, tương ứng với các hình vuông củaphân hoạch, còn các diện tương ứng với các đoạn nằm ngang (khác vớiđáy trên và đáy dưới) của hình chữ nhật được phân hoạch Cũng có thểbiến đồ thị này thành định hướng, nếu chọn chẳng hạn, hướng duyệt cáccạnh là “từ trái qua phải” (tức là tuân theo quy tắc đi qua cạnh của đồthị theo hướng tương ứng với việc chuyển từ một cạnh thẳng đứng sangcạnh thẳng đứng nằm bên phải nó) Vẫn như trước, có thể gán cho cáccạnh các trọng số bằng độ dài các cạnh của hình vuông tương ứng vớicác cạnh này Phương pháp chuyển từ một đồ thị xuất phát sang một đồthị đối ngẫu với nó vừa mô tả (xem đồ thị biểu diễn trên hình 1.25a,b),

có thể xét như một phương pháp xây dựng một mạch điện rẽ nhánh “đốingẫu” với một mạch điện đã cho (phương pháp này đã được các nhà điệnhọc biết từ lâu trước khi phát hiện ra mối liên hệ giữa các lưới điện vớibài toán chia hình chữ nhật thành các hình vuông)

Hình 1.25:

của ta (bao gồm cả hai đáy của hình chữ nhật xuất phát), các số P vàP’ bằng số các hình vuông tham gia vào phân hoạch và số G+2 và B’bằng số các đoạn thẳng đứng (bao gồm cả hai cạnh bên của hình chữnhật) (Như vậy, trong trường hợp các đồ thị biểu diễn trên hình 1.25

ta có B=G’+2=6, P=P’=9 và G+2=B’=6 hoàn toàn tương ứng với hình1.2) Cũng đúng như trước, khi đó thiết lập được rằng, nếu phân hoạchxuất phát của hình chữ nhật không chứa hình vuông kề hoàn toàn vớimột cạnh bên của hình chữ nhật được phân hoạch và nếu đồ thị tươngứng không chứa “nhị giác”, không chứa “ đầu gối” (bởi vì, nếu trái lại,phân hoạch xuất phát nhất định chứa các cặp hình vuông bằng nhau cócạnh chung) thì

3và

3Như vậy, cuối cùng ta có

2P − 4

số không lớn các hình vuông trở thành một công việc không mấy phứctạp nhưng tương đối buồn tẻ Ví dụ, đồ thị duy nhất khả dĩ tươngứng với phân hoạch một hình chữ nhật thành 5 hình vuông biểu diễntrên hình 1.26 (so sánh với hình 1.27) Ký hiệu trọng số của các cạnh

HH1, HH2, H1H2, H1H0, H2H0 bởi các số p1, p2, p, p01, p02 như chỉ ra trênhình 1.26, ta nhận được hệ đẳng thức sau (bên trái là các đẳng thứctương ứng với quy tắc Kirchhoff, liên quan đến các đỉnh của đồ thị, bên