Luan van KHAI THÁC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM DIỆN VUÔNG TRONG SÁCH GIÁO KHOA HÌNH HỌC 11 – NÂNG CAO VÀO VIỆC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH

PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Một thực tế đang diễn ra khá phổ biến hiện nay là năng lực giải toán hình học không gian của học sinh còn chậm. Nhiều học sinh không nắm vững các kiến thức cơ bản về hình học không gian. Có những học sinh có thể làm được những bài toán cơ bản và đơn giản ở trong sách giáo khoa nhưng lại không thể làm được những bài toán phức hợp hơn do sự tổ hợp của những bài toán đơn giản đó với nhau. Tình trạng học sinh không hiểu bản chất của vấn đề, không nắm vững các mối liên hệ giữa các yếu tố trong tình huống bài toán, chỉ biết vận dụng một cách máy móc mà không biết vận dụng linh hoạt vào bài toán cụ thể đang là phổ biến. Điều này dẫn đến thực tế nhiều học sinh ngại giải toán hình học không gian, thậm chí có học sinh còn sợ và còn mất bình tĩnh khi đứng trước yêu cầu giải toán hình học không gian. Xu hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán hiện nay là phát huy, bồi dưỡng năng lực tư duy tích cực, sáng tạo của học sinh, bồi dưỡng cho họ chủ động tham gia vào các hoạt động khám phá, nhận thức trong quá trình tương tác sư phạm của lớp học. Dạy học không chỉ giới hạn trong khuôn khổ cung cấp kiến thức cho học sinh mà điều quan trọng hơn phải là bồi dưỡng cho họ khả năng vận dụng, khai thác các tri thức đã biết để xây dựng nên những tri thức mới hữu ích cho mỗi người, tạo tiền đề cho quá trình học tập sau này. Có thể hình dung nhiệm vụ của người thầy giáo trong dạy học là tổ chức cho học sinh hoạt động để kiến tạo nên cho các em có kiến thức cơ bản, tổ chức các tình huống để học sinh biết cách vận dụng những kiến thức đó vào giải các bài toán quen thuộc và giải các bài toán liên quan, tập dượt sử dụng các thao tác tư duy để chuyển các bài toán phức tạp về những bài toán đơn giản hơn, quen biết hơn và từng bước giải quyết được những bài toán khó. Muốn làm được điều đó, người giáo viên phải vận dụng các phương pháp khác nhau, định hướng cho học sinh hoạt động tích cực trong quá trình khai thác các kiến thức đã học, nhận ra các mối liên hệ biện chứng trong các hệ thống kiến thức toán học, kích thích sự tìm tòi, tính tự giác, chủ động, độc lập và sáng tạo của mỗi học sinh. Người giáo viên phải giúp học sinh nhận dạng một bài toán nêu ra liên quan đến những kiến thức đã được học, biết phát triển từ bài toán đã biết thành bài toán mới và ngược lại, biết phân tích, so sánh và tổng hợp các bài toán riêng để dẫn tới các bài toán mới phong phú, đa dạng và khó hơn. Các bài toán về tam diện vuông trong chương trình Hình học 11 Nâng cao tạo nên một hệ thống vừa có mối liên hệ bên trong, vừa có mối liên hệ bên ngoài với nhiều dạng bài toán khác nhau. Có thể khai thác hệ thống các bài toán về tam diện vuông như một công cụ bồi dưỡng tư duy, phát triển năng lực giải toán cho học sinh. Tuy nhiên trong thưc tiễn dạy học ở trường trung học phổ thông hiện nay tình trạng chung là chỉ dừng lại ở những bài toán cơ bản như trong sách giáo khoa hay sách bài tập mà chưa chú ý khai thác sâu bài toán loại này như một cầu nối để giải quyết các bài toán thuộc những chủ đề khác. Kết hợp giữa nhận thức lý luận thu nhận được qua quá trình học tập sau đại học với thực tiễn dạy học và bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở trường trung học phổ thông trong những năm qua, chúng tôi chọn đề tài luận văn Thạc sĩ là: “Khai thác các bài toán về tam diện vuông trong sách giáo khoa Hình học 11 – Nâng cao vào việc phát triển năng lực giải toán cho học sinh”. II. Mục đích nghiên cứu Bồi dưỡng tư duy và năng lực giải toán cho học sinh thông qua việc khai thác các bài toán hình học không gian thuộc chủ đề tam diện vuông, thông qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học ở trường trung học phổ thông. III. Nhiệm vụ nghiên cứu 1. Tổng hợp các vấn đề lí luận về quá trình nhận thức, quá trình tư duy trong học và giải toán của học sinh. 2. Làm rõ hệ thống kiến thức và yêu cầu dạy học nội dung Hình học không gian và tiềm năng của bài toán về tam diện vuông trong việc phát triển năng lực giải toán của học sinh. 3. Đề xuất một số định hướng và giải pháp sư phạm khai thác bài toán: Tam diện vuông vào hình thành và phát triển năng lực giải toán cho học sinh. 4. Thử nghiệm sư phạm để kiểm chứng các đề xuất. IV. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: 1. Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu hoạt động dạy học giải toán. Nghiên cứu nội dung kiến thức và các hoạt động nhận thức liên quan đến kiến thức tam diện vuông. 2. Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu các vấn đề về năng lực tự học toán thông qua dạy học giải toán Tam diện vuông. Khảo sát thực tế tại trường THPT Đô Lương 1, huyện Đô Lương tỉnh Nghệ An; V. Phương pháp nghiên cứu 1. Phương pháp nghiên cứu lý luận 2. Phương pháp điều tra, khảo sát thực tiễn 3. Phương pháp thực nghiệm 4. Xử lý số liệu bằng phương pháp thống kê toán VI. Giả thuyết khoa học Trong dạy học giải toán ở trường trung học phổ thông nếu giáo viên quan tâm đến việc khai thác các dạng toán nói chung, các dạng toán về tam diện vuông nói riêng và thiết kế, tổ chức các hoạt động theo các định hướng thích hợp thì sẽ bồi dưỡng được năng lực giải toán cho học sinh, thông qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán. VII. Đóng góp của luận văn 1. Hệ thống hóa tư liệu về lý luận dạy học toán, đặc biệt là các tư liệu về quá trình nhận thức và dạy học giải toán, làm thành một tài liệu tham khảo trong công tác chuyên môn. 2. Phân tích nội dung chủ đề tam diện vuông và hệ thống hóa các dạng toán điển hình về tam diện vuông, qua đó tạo ra một tài liệu mang tính chuyên đề về một hệ thống kiến thức thuộc hình học không gian trong chương trình môn toán trung học phổ thông. 3. Thiết kế một số định hướng và giải pháp khai thác bài tập tam diện vuông vào bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh trong dạy học giải toán.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ ĐÌNH THANH

KHAI THÁC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM DIỆN VUÔNG TRONG SÁCH GIÁO KHOA HÌNH HỌC 11 – NÂNG

CAO VÀO VIỆC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC

GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGHỆ AN - 2013

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ ĐÌNH THANH

KHAI THÁC CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM DIỆN VUÔNG TRONG

SÁCH GIÁO KHOA HÌNH HỌC 11 – NÂNG CAO

VÀO VIỆC PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP

DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN

Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS CHU TRỌNG THANH

NGHỆ AN - 2013

Trong thời gian qua, ngoài sự nỗ lực của bản thân, đề tài Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của TS Chu Trọng Thanh.

Tác giả xin chân thành biết ơn TS Nguyễn Văn Thuận và TS Nguyễn Đinh Hùng đã nghiên cứu và đóng góp nhiều ý kiến sắc đáng, thiết thực để hoàn chỉnh Luận văn.

Luận văn còn có sự giúp đỡ về tài liệu và những ý kiến góp ý của các thầy

cô giáo thuộc chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán.

Xin trân trọng gửi tới các thầy cô lời biết ơn chân thành và sâu sắc của tác giả.

Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ Toán trường THPT Đô Lương 1 đã tạo điều kiện trong quá trình tác giả thực hiện đề tài.

Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn là nguồn cổ vũ động viên để tác giả thêm nghị lực hoàn thành tốt Luận văn.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và bạn đọc.

Xin trân trọng cảm ơn!

Nghệ An, tháng 10 năm 2013

Tác giả

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Một số vấn đề về năng lực và năng lực giải toán cho học sinh

1.1.1 Khái niệm năng lực

1.1.2 Khái niệm năng lực toán học

1.1.3 Năng lực giải Toán

1.1.4 Một số yếu tố ảnh hưởng đến năng lực phát hiện phương pháp giải toán của học sinh THPT

1.2 Lý luận về dạy học giải bài tập toán học

1.2.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

1.2.2 Các chức năng của bài tập toán

1.2.3 Phân loại bài tập toán

1.2.4 Dạy học giải bài tập toán học

1.3 Một số vấn đề cần truyền thụ và bồi dưỡng để phát huy năng lực giải toán cho học sinh

1.3.1 Truyền thụ tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp

1.3.2 Bồi dưỡng tư duy cho học sinh trong quá trình dạy học toán

1.4 Thực trạng việc dạy học giải toán ở trường phổ thông hiện nay

1.5 Kết luận chương I

Chương 2 Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh thông qua việc khai thác các bài toán về tam diện vuông

2.1 Một số biểu hiện của năng lực huy động kiến thức

2.1.1 Năng lực chuyển hoá nội dung và hình thức bài toán để phát hiện mối liên hệ với các kiến thức đã có

2.1.2 Năng lực khái quát hoá, tương tự hoá, đặc biệt hoá, xét trường hợp đặc biệt có thể

2.2 Một số biểu hiện của năng lực giải toán thể hiện qua hoạt động khám

phá bài toán mới từ các bài toán cơ bản

2.2.1 Đề xuất bài toán tương tự

2.2.2 Đề xuất bài toán tổng quát

2.3 Một số biện pháp phát triển năng lực giải toán cho học sinh thông qua việc khai thác bài toán về tam diện vuông

2.3.1 Một số định hướng đề ra các biện pháp sư phạm

2.3.2 Một số biện pháp

2.4 Kết luận chương 2

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm 101

3.1 Mục đích thực nghiệm 101

3.2 Nội dung và tổ chức thực nghiệm 101

3.2.1 Tổ chức thực nghiệm 101

3.2.2 Nội dung thực nghiệm 101

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm 102

3.3.1 Đánh giá định tính 102

3.3.2 Đánh giá định lượng 103

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm 106

KẾT LUẬN 107

TÀI LIỆU THAM KHẢO 108

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Một thực tế đang diễn ra khá phổ biến hiện nay là năng lực giải toán hình học không gian của học sinh còn chậm Nhiều học sinh không nắm vững các kiến thức cơ bản về hình học không gian.

Có những học sinh có thể làm được những bài toán cơ bản và đơn giản ở trong sách giáo khoa nhưng lại không thể làm được những bài toán phức hợp hơn do sự tổ hợp của những bài toán đơn giản đó với nhau Tình trạng học sinh không hiểu bản chất của vấn đề, không nắm vững các mối liên hệ giữa các yếu tố trong tình huống bài toán, chỉ biết vận dụng một cách máy móc mà không biết vận dụng linh hoạt vào bài toán cụ thể đang là phổ biến Điều này dẫn đến thực tế nhiều học sinh ngại giải toán hình học không gian, thậm chí có học sinh còn sợ và còn mất bình tĩnh khi đứng trước yêu cầu giải toán hình học không gian.

Xu hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán hiện nay

là phát huy, bồi dưỡng năng lực tư duy tích cực, sáng tạo của học sinh, bồi dưỡng cho họ chủ động tham gia vào các hoạt động khám phá, nhận thức trong quá trình tương tác sư phạm của lớp học Dạy học không chỉ giới hạn trong khuôn khổ cung cấp kiến thức cho học sinh mà điều quan trọng hơn phải là bồi dưỡng cho họ khả năng vận dụng, khai thác các tri thức đã biết để xây dựng nên những tri thức mới hữu ích cho mỗi người, tạo tiền đề cho quá trình học tập sau này Có thể hình dung nhiệm vụ của người thầy giáo trong dạy học

là tổ chức cho học sinh hoạt động để kiến tạo nên cho các em có kiến thức cơ bản, tổ chức các tình huống để học sinh biết cách vận

dụng những kiến thức đó vào giải các bài toán quen thuộc và giải các bài toán liên quan, tập dượt sử dụng các thao tác tư duy để chuyển các bài toán phức tạp về những bài toán đơn giản hơn, quen biết hơn và từng bước giải quyết được những bài toán khó Muốn làm được điều đó, người giáo viên phải vận dụng các phương pháp khác nhau, định hướng cho học sinh hoạt động tích cực trong quá trình khai thác các kiến thức đã học, nhận ra các mối liên hệ biện chứng trong các hệ thống kiến thức toán học, kích thích sự tìm tòi, tính tự giác, chủ động, độc lập và sáng tạo của mỗi học sinh Người giáo viên phải giúp học sinh nhận dạng một bài toán nêu ra liên quan đến những kiến thức đã được học, biết phát triển từ bài toán đã biết thành bài toán mới và ngược lại, biết phân tích, so sánh và tổng hợp các bài toán riêng để dẫn tới các bài toán mới phong phú, đa dạng và khó hơn.

Các bài toán về tam diện vuông trong chương trình Hình học 11- Nâng cao tạo nên một hệ thống vừa có mối liên hệ bên trong, vừa có mối liên hệ bên ngoài với nhiều dạng bài toán khác nhau Có thể khai thác hệ thống các bài toán về tam diện vuông như một công

cụ bồi dưỡng tư duy, phát triển năng lực giải toán cho học sinh Tuy nhiên trong thưc tiễn dạy học ở trường trung học phổ thông hiện nay tình trạng chung là chỉ dừng lại ở những bài toán cơ bản như trong sách giáo khoa hay sách bài tập mà chưa chú ý khai thác sâu bài toán loại này như một cầu nối để giải quyết các bài toán thuộc những chủ đề khác.

Kết hợp giữa nhận thức lý luận thu nhận được qua quá trình học tập sau đại học với thực tiễn dạy học và bồi dưỡng học sinh giỏi

toán ở trường trung học phổ thông trong những năm qua, chúng tôi

chọn đề tài luận văn Thạc sĩ là: “Khai thác các bài toán về tam

diện vuông trong sách giáo khoa Hình học 11 – Nâng cao vào việc phát triển năng lực giải toán cho học sinh”.

II Mục đích nghiên cứu

Bồi dưỡng tư duy và năng lực giải toán cho học sinh thông qua việc khai thác các bài toán hình học không gian thuộc chủ đề tam diện vuông, thông qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học ở trường trung học phổ thông

III Nhiệm vụ nghiên cứu

1 Tổng hợp các vấn đề lí luận về quá trình nhận thức, quá trình tư

duy trong học và giải toán của học sinh.

2 Làm rõ hệ thống kiến thức và yêu cầu dạy học nội dung Hình học

không gian và tiềm năng của bài toán về tam diện vuông trong việc phát triển năng lực giải toán của học sinh.

3 Đề xuất một số định hướng và giải pháp sư phạm khai thác bài

toán: Tam diện vuông vào hình thành và phát triển năng lực giải toán cho học sinh.

4 Thử nghiệm sư phạm để kiểm chứng các đề xuất.

IV Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

1 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu hoạt động dạy học giải toán.

- Nghiên cứu nội dung kiến thức và các hoạt động nhận thức liên quan đến kiến thức tam diện vuông.

V Phương pháp nghiên cứu

1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

2 Phương pháp điều tra, khảo sát thực tiễn

3 Phương pháp thực nghiệm

4 Xử lý số liệu bằng phương pháp thống kê toán

VI Giả thuyết khoa học

Trong dạy học giải toán ở trường trung học phổ thông nếu giáo viên quan tâm đến việc khai thác các dạng toán nói chung, các dạng toán về tam diện vuông nói riêng và thiết kế, tổ chức các hoạt động theo các định hướng thích hợp thì sẽ bồi dưỡng được năng lực giải toán cho học sinh, thông qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán

VII Đóng góp của luận văn

1 Hệ thống hóa tư liệu về lý luận dạy học toán, đặc biệt là các tư

liệu về quá trình nhận thức và dạy học giải toán, làm thành một tài liệu tham khảo trong công tác chuyên môn.

2 Phân tích nội dung chủ đề tam diện vuông và hệ thống hóa các

dạng toán điển hình về tam diện vuông, qua đó tạo ra một tài liệu mang tính chuyên đề về một hệ thống kiến thức thuộc hình học không gian trong chương trình môn toán trung học phổ thông

3 Thiết kế một số định hướng và giải pháp khai thác bài tập tam

diện vuông vào bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh trong dạy học giải toán.

Chương 1

Cơ sở lý luận và thực tiễn 1.1 Một số vấn đề về năng lực và năng lực giải toán cho học sinh.

1.1.1 Khái niệm năng lực

Qua kết quả nghiên cứu của các công trình tâm lý học và giáo dục họccho thấy, từ nền tảng là các khả năng ban đầu, trẻ em bước vào hoạt động

Qua quá trình hoạt động mà dần hình thành cho mình những tri thức, kĩ năng,

kĩ xảo cần thiết và ngày càng phong phú, rồi từ đó nảy sinh những khả năngmới với mức độ mới cao hơn Đến một lúc nào đó, trẻ em đủ khả năng bêntrong để giải quyết những hoạt động ở những yêu cầu khác xuất hiện tronghọc tập và cuộc sống thì lúc đó học sinh sẽ có được một năng lực nhất định

Sau đây là một số cách hiểu về năng lực:

+) Định nghĩa 1: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con người

khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao

+) Định nghĩa 2: Năng lực là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của

con người, đáp ứng được yêu cầu của một hoạt động nhất định và là điều kiệncần thiết để hoàn thành có kết quả một số hoạt động nào đó

+) Định nghĩa 3: Năng lực là những đặc điểm cá nhân của con người

đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết đểhoàn thành xuất sắc một số loại hoạt động nào đó

Như vậy, cả ba định nghĩa đó đều có điểm chung là: năng lực chỉ nảysinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẻ, và

do đó nó gắn liền với tính sáng tạo, tuy nó có khác nhau về mức độ (địnhnghĩa 3 gắn với mức độ hoàn thành xuất sắc)

Mọi năng lực của con người được biểu lộ ở những tiêu chí cơ bản nhưtính dễ dàng, nhẹ nhàng, linh hoạt, thông minh, tính nhanh nhẹn, hợp lý, sángtạo và độc đáo trong giải quyết nhiệm vụ

Phần lớn các công trình nghiên cứu tâm lý học và giáo dục học đềuthừa nhận rằng con người có những năng lực khác nhau vì có những tố chất

riêng, tức là sự thừa nhận sự tồn tại của những tố chất tự nhiên của cá nhânthuận lợi cho sự hình thành và phát triển của những năng lực khác nhau.

Tóm lại, năng lực khá trừu tượng trong tâm lí học Tuy còn có nhữngcách hiểu và diễn đạt khác nhau, song về cơ bản các nhà tâm lí học đều thốngnhất rằng:

- Năng lực tồn tại và phát triển thông qua hoạt động; để có năng lực cần phải

có những phẩm chất của cá nhân đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhấtđịnh, đảm bảo cho hoạt động ấy đạt hiệu quả cao

- Người có năng lực về một hoạt động nào đó cần phải:

+ Có tri thức về hoạt động đó;

+ Tiến hành hoạt động theo đúng các yêu cầu của nó một cách có hiệu quả + Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra;

+ Biết tiến hành có kết quả trong những điều kiện khác nhau

Trên cơ sở tìm hiểu những quan điểm về năng lực, xét từ phương diệngiáo dục, chúng ta có thể hiểu rằng:

- Năng lực thể hiện đặc thù tâm lí, sinh lí khác biệt của cá nhân, chịu ảnhhưởng của yếu tố bẩm sinh di truyền về mặt sinh học, được phát triển hay hạnchế còn do những điều kiện khác của môi trường sống

- Những yếu tố bẩm sinh của năng lực cần có môi trường điều kiện xã hội(ở đây ta sẽ giới hạn trong môi trường giáo dục) thuận lợi mới phát triểnđược, nếu không sẽ bị thui chột Do vậy năng lực không chỉ là yếu tố bẩmsinh, mà còn phát triển trong hoạt động, chỉ tồn tại và thể hiện trong mỗi hoạtđộng cụ thể

- Nói đến năng lực là nói đến năng lực trong một loại hoạt động cơ thể củacon người

- Cấu trúc của năng lực bao gồm một tổ hợp nhiều kĩ năng thực hiện nhữnghành động thành phần và có liên quan chặt chẽ với nhau Đồng thời năng lựccòn liên quan đến khả năng phán đoán, nhận thức, hứng thú và tình cảm

- Hình thành và phát triển những năng lực cơ bản của học sinh trong học tập

và đời sống là nhiệm vụ quan trọng của các nhà trường sư phạm

1.1.2 Khái niệm năng lực toán học

Theo V A Krutecxki năng lực toán học được hiểu theo 2 ý nghĩa, 2mức độ:

Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với

việc học toán, đối với việc nắm giáo trình toán học ở trường phổ thông, nắmmột cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng

Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt

động sáng tạo toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớnđối với xã hội loài người

Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cáchtuyệt đối Nói đến năng lực học tập toán không phải là không đề cập tới nănglực sáng tạo Có nhiều em học sinh có năng lực, đã nắm giáo trình toán họcmột cách độc lập và sáng tạo, đã tự đặt và giải các bài toán không phức tạplắm; đã tự tìm ra các con đường, các phương pháp sáng tạo để chứng minhcác định lý, độc lập suy ra các công thức, tự tìm ra các phương pháp giải độcđáo cho những bài toán không mẫu mực Tuy nhiên, đó chỉ chiếm một tỉ lệrất nhỏ Với việc nghiên cứu khái quát, Luận văn chỉ chủ yếu tiếp cận nănglực toán học theo góc độ thứ nhất:

Định nghĩa 1: Năng lực học tập toán học là các đặc điểm tâm lý cá

nhân (trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt độngtoán học và giúp cho việc nắm giáo trình toán một cách sáng tạo, giúp choviệc nắm một cách tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng và

kỹ xảo toán học

Định nghĩa 2: Những năng lực học toán được hiểu là những đặc điểm

tâm lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêucầu của hoạt động toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì

là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo

toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễdàng và sâu sắc kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học.

Nói đến học sinh có năng lực toán học là nói đến học sinh có trí thôngminh trong việc học toán Tất cả mọi học sinh đều có khả năng và phải nắmđược chương trình trung học, nhưng các khả năng đó khác nhau từ học sinhnày qua học sinh khác Các khả năng này không phải cố định, không thay đổi:Các năng lực này không phải nhất thành bất biến mà hình thành và phát triển

trong quá trình học tập, luyện tập để nắm được hoạt động tương ứng.

Tuy nhiên, ở mỗi người cũng có khác nhau về mức độ năng lực toán

học Do vậy, trong dạy học toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung và phương pháp thích hợp để sao cho mọi đối tượng học sinh đều được nâng cao dần về mặt năng lực toán học Về vấn đề này nhà toán học Xô viết nổi tiếng,

Viện sĩ A N Kôlmôgôrôv cho rằng: “Năng lực bình thường của học sinhtrung học đủ để cho các em đó tiếp thu, nắm được toán học trong trường trunghọc với sự hướng dẫn tốt của thầy giáo hay với sách tốt”

1.1.3 Năng lực giải toán

1.1.3.1 Khái niệm

Theo Tâm lý năng lực toán học của V A Cruchetxki: “Những năng lựctoán học được hiểu là những đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là những đặcđiểm của hoạt động trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt động học tậptoán, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên nhân của sựthành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư cách làmột môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc nhữngkiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực toán học”

Năng lực giải toán là một thành phần của năng lực toán học, được hìnhthành, rèn luyện và phát triển chủ yếu thông qua hoạt động giải toán Do đó,năng lực giải toán có thể hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân, đáp ứng caoyêu cầu lĩnh hội tri thức, có khả năng độc lập huy động tri thức, kỹ năng, kinh

nghiệm trong hoạt động giải toán, hướng đến việc góp phần hình thành, bồidưỡng và phát triển năng lực trí tuệ cho học sinh.

1.1.3.2 Bản chất của năng lực giải toán

Năng lực giải toán gồm có các thành tố :

- Hiểu rõ và giới hạn phạm vi của bài toán Đối với các bài toán là vấn

đề thì xác định rõ vấn đề trong các tình huống cần phải giải quyết, luôn nhìnbài toán ở nhiều góc độ và tìm tòi các hướng giải mới lạ

- Xác định các mối liên hệ giữa các thành phần chính trong bài toán, xử

lý sự liên kết, phối hợp các tình huống bằng cách thức gắn bó các vấn đề cầngiải quyết Đề ra chiến lược giải và hoàn tất việc giải quyết bài toán một cáchthích hợp đi đến kết quả của tiến trình giải toán Phân tích, nghiên cứu, đánhgiá kết quả của tiến trình giải toán

- Có khả năng tiên liệu các tình huống bài toán sẽ nảy sinh cùng với cácchiến lược giải và lựa chọn phương pháp giải thích hợp, đây là quá trình thunhận hợp thức hoá bài toán

Các môn học ở trường THPT đều huy động đến năng lực giải toán trongquá trình tiếp thu kiến thức mới Dạy học giải toán với tư cách là một nghệthuật, dù ở môn học này hay môn học khác đều phải đòi hỏi học sinh và giáoviên có sự linh hoạt, mềm dẻo trong tư duy dựa trên cơ sở có sự hiểu biếtxuyên suốt về bản chất của năng lực giải toán

1.1.3.3 Các thành phần của năng lực giải toán

Các thành phần của năng lực giải toán gồm cả 3 lĩnh vực: Lĩnh vựcnhận thức, lĩnh vực cảm xúc và lĩnh vực trí tuệ Ba lĩnh vực kết cấu này được

cụ thể hóa thành các thành tố và các mối liên hệ giữa chúng, tạo nên một cấutrúc của năng lực giải toán gồm:

- Lĩnh vực cảm xúc :

Có khát vọng giải được bài toán thể hiện ở sự kiên trì về mặt ý chí vàhứng thú, say mê trong giải toán nói riêng và học toán nói chung

- Lĩnh vực nhận thức :

+ Có năng lực nhận thức và tổ chức hoạt động nhận thức trong giảitoán: Hiểu bài toán (thu nhận, chế biến, lưu trữ thông tin ), lĩnh hội nhanhchóng tiến trình giải một bài toán và các tri thức trong tiến trình giải toán.

+ Có năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, phân tích bài toán, có khảnăng xây dựng mô hình toán học, xây dựng kế hoạch giải và tiến hành chiếnthuật giải một bài toán

+ Có năng lực khái quát hóa, phát hiện các vấn đề mới trong các vấn đềquen thuộc Từ đó đề xuất và sáng tạo các bài toán mới, thu nhận hợp thứchóa bài toán thành tri thức của người dạy toán

- Lĩnh vực trí tuệ :

+ Có năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán, tri giác hệ thốnghóa kiến thức về giải toán, năng lực tư duy bằng các cấu trúc rút gọn có thiênhướng về thao tác với các số liệu về giải toán: Ký hiệu dấu, số, dữ liệu điềukiện, giả thiết, kết luận

+ Biểu lộ sự phát triển mạnh, linh hoạt của tư duy lôgic, tư duy sáng tạo Cótốc độ tư duy nhanh biểu hiện rõ nét của tư duy độc lập, mềm dẻo trong giải toán

Tập hợp các thành phần của năng lực giải toán là một thể thống nhất.Các thành phần trên có liên quan chặt chẽ và ảnh hưởng lẫn nhau, tạo thànhmột hệ thống, một cấu trúc của năng lực giải toán; việc phân tách thành 3 lĩnhvực cụ thể cũng chỉ nhằm để hiểu rõ sâu sắc hơn chứ không xem xét chúngmột cách tách biệt nhau Trong các thành phần nêu trên thì năng lực phát hiện

và giải quyết vấn đề là năng lực đặc thù, là một bộ phận quan trọng của nănglực giải toán Nắm được điểm then chốt này có tác dụng quyết định trong việcrèn luyện năng lực giải toán cho học sinh trong quá trình lĩnh hội tri thức

1.1.3.4 Đặc trưng của năng lực giải toán

Là tập hợp tất cả những nét riêng biệt và tiêu biểu được xem là dấu hiệu

để phân biệt với các năng lực khác, gồm :

- Năng lực giải toán được đặc trưng bởi hoạt động tư duy tích cực, độclập, sáng tạo của học sinh; tận lực huy động tri thức và kinh nghiệm trong tiến

trình giải toán để đi đến lời giải; để tìm được hướng giải quyết bài toán đã cho

và xác định hướng giải các bài toán mới có từ bài toán ban đầu

- Năng lực giải toán luôn thể hiện ở "trạng thái động" bởi tính linh hoạt,mềm dẻo thích ứng của tư duy và thay đổi các phương thức khác nhau để giảibài toán

Tiến trình giải một bài toán cụ thể có 3 mức độ của năng lực giải toán :+ Mức độ 1: Tập trung vào sự đáp ứng những yêu cầu mà bài toán đặt ra(đối với học sinh trung bình với biểu hiện chưa rõ nét của năng lực giải toán)

+ Mức độ 2: Tập trung vào sự lựa chọn những tri thức và phương phápgiải toán thích hợp; việc sử dụng có hiệu quả những tri thức và phương pháp

đó để hoàn tất tiến trình giải toán (đối với học sinh khá nắm được bản chấtcủa năng lực giải toán,vận dụng cụ thể, sáng tạo các thành phần của năng lựcgiải toán)

+ Mức độ 3: Tập trung vào việc tiên liệu những điều kiện đã làm nảysinh các vấn đề khó khăn hay mâu thuẫn cần giải quyết trong bài toán và việc

"phán xét", cách tiếp cận, giải quyết các vấn đề trong tiến trình giải toán, (điềunày thể hiện năng lực giải toán ở học sinh khá giỏi)

1.1.4 Một số yếu tố ảnh hưởng đến năng lực phát hiện phương pháp giải Toán của HS THPT

1.1.4.1 Ảnh hưởng của ý thức học tập, khát vọng hiểu biết của người

học và động cơ nhận thức của bản thân HS

Ý thức là một trong hai phạm trù thuộc vấn đề cơ bản của triết học Nó

là hình thức cao của sự phản ánh của thực tại khách quan, hình thức mà riêngcon người mới có Ý thức của con người là cơ năng của cái “khối vật chất đặcbiệt phức tạp mà người ta gọi là bộ óc con người” (Lênin) Tác động của ýthức học tập đối với chất lượng học tập là vô cùng to lớn Nó không những làkim chỉ nam cho hoạt động mà còn là động lực của thực tiễn Sự trưởng thànhhay sai sót của HS phụ thuộc vào vai trò chỉ đạo của ý thức

Ý thức học tập, khát vọng hiểu biết và động cơ nhận thức có ý nghĩaquyết định trong quá trình hình thành và phát triển năng lực phát hiện phươngpháp giải toán của HS Suy cho cùng, chất lượng học tập phải là kết quả trựctiếp của sự nỗ lực của chính bản thân người học Nếu người học không xácđịnh được vai trò quyết định của mình trong sự thành bại của sự học thì khôngbao giờ thành công Chỉ khi đã xác định được mục đích và động cơ học tậpđúng đắn, HS mới có thể phát huy được "nội lực" trong học tập, từ đó kết hợpcác yếu tố "ngoại lực" khác để tổ chức các hoạt động diễn ra một cách hợp lý

và thu được kết quả cao

1.1.4.2 Ảnh hưởng của vốn tri thức hiện có của bản thân HS, đặc biệt là

tri thức phương pháp

Tri thức là cơ sở để rèn luyện kỹ năng và thực hiện các nhiệm vụ khác

Cơ sở không nên hiểu là quan trọng hơn các nhiệm vụ khác mà chỉ có nghĩa

là nếu HS không vốn tri thức tương đối thì không thể thực hiện được cácnhiệm vụ khác Tuy nhiên chúng ta tránh tình trạng gia tăng khối lượng trithức quá nhiều, nhồi nhét tri thức cho HS Để việc học có hiệu quả thì ngườihọc dưới sự dẫn dắt của người thầy phải tự trang bị cho mình vốn kiến thứctối thiểu đủ để có thể tự nghiên cứu các vấn đề liên quan đến phương phápgiải Toán

Với tư cách là cơ sở của giáo dục toán học, tri thức có quan hệ mật thiếtvới việc thực hiện các nhiệm vụ môn toán Đặc biệt những tri thức phươngpháp liên quan chặt chẽ với việc rèn luyện kỹ năng, những tri thức giá trị(đánh giá vai trò của một hoạt động, tầm quan trọng của một tri thức…) nhiềukhi có liên hệ với việc gây động cơ hoạt động, điều đó cũng ảnh hưởng tớiviệc rèn luyện kỹ năng, phát triển năng lực trí tuệ

“Tri thức phương pháp liên hệ với hai loại phương pháp khác nhau về

bản chất: Những phương pháp có tính chất thuật toán (ví dụ phương pháp giảiphương trình bậc hai) và những phương pháp có tính chất tìm đoán (chẳnghạn phương pháp tổng quát của Pôlia để giải bài tập toán học)”

1.1.4.3 Ảnh hưởng của năng lực trí tuệ và tư duy

GS TS Nguyễn Cảnh Toàn đã từng phát biểu trong cuốn Tạp chí cho

HS làm quen dần với nghiên cứu Toán học (1992, tr.5): "Ở những điểm "nốt"

có thể xuất hiện những khái niệm mới lạ, có khi người làm Toán cần tư duyhình tượng, cần một trí tưởng tượng thật bay bổng, thật táo bạo như là vớimột nhà văn viết chuyện viễn tưởng hay thần thoại Để phát hiện ra vấn đề,nhiều khi người làm Toán cũng cần có óc thẩm mỹ để thưởng thức cái đẹptrong Toán học, và từ chỗ thưởng thức cái đẹp đó mà có ý muốn đi sâu vàocái thâm thía bên trong"

1.1.4.4 Ảnh hưởng của phương pháp dạy của GV

Theo Nguyễn Bá Kim [12, tr.6], "Phương pháp dạy học là cách thức

hoạt động và ứng xử của thầy gây nên những hoạt động và giao lưu của trònhằm đạt được các mục đích dạy học" Do đó, có thể thấy rằng phương pháp dạyhọc của GV có ảnh hưởng rất lớn đến sự hình thành và phát triển năng lực pháthiện phương pháp giải toán của HS

- Không ai khác, GV chính là người truyền lửa đam mê đến các em HS,hướng dẫn, định hướng HS cách học từ việc nắm vững các khái niệm, pháthiện và chứng minh các định lí, phát hiện phương pháp giải và giải các bàitoán…, điều này làm cho HS ý thức được những mục đích đặt ra và tạo đượcđộng lực bên trong giúp HS học tập tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo

“… Nếu người thầy khêu gợi được trí tò mò của HS bằng cách ra cho HSnhững bài tập hợp trình độ, giúp họ giải các bài toán bằng cách đặt ra nhữngcâu hỏi gợi ý hợp lý, thì người thầy có thể mang lại cho họ cái hứng thú của

sự suy nghĩ độc lập và những phương tiện để đạt được kết quả” – G.Pôlia [21,tr.6] "Anh không thể dạy cho con người bất kỳ điều gì, mà anh chỉ có thểgiúp người ấy tự tìm ra chân lý" (Galilê)

- Chúng ta có thể xem quá trình dạy và học thông qua ba tầng tiếp thucủa HS như sau:

+ Tầng 1, tiếp nhận thông tin Khi ấy thầy giảng, trò nghe và ghi nhớ.

Trò cần học thuộc với hy vọng sử dụng kiến thức đó để làm những bài tập

gần sát với những điều thầy dạy

+ Tầng 2, sự trao đổi thông tin và tạo thông tin mới Khi ấy thầy và

trò có sự trao đổi trong quá trình dạy và học nhằm bám sát những kiến thứctrọng tâm, giúp trò sau này dễ dàng vận dụng được những điều đã học vào

những môi trường (những bài toán mới, những dạng toán mới…) hết sức đa

Như vậy, điều hết sức quan trọng mà thầy cần rèn cho trò là phươngpháp tiếp cận thông tin, quan sát và nhận dạng vấn đề, hình thành những nhậnthức mới

1.1.4.5 Ảnh hưởng của phương pháp học tập của HS

Phương pháp học của HS là một hệ thống những kỹ năng mang tính cánhân cao Tính cá nhân ở đây bị chi phối bởi nhân cách, mục đích học, tươngquan của HS đó với môi trường xã hội Đây là yếu tố làm cho phương pháp

học không thể rập khuôn từ HS này sang HS khác "Phương pháp học tốt giúp

ta phát huy được tài năng vốn có, phương pháp học không tốt sẽ cản trở pháttriển tài năng" (Penne, nhà sinh lý học người Pháp)

Thuyết phát triển mac-xit cho rằng con người không phải là khách thể thụ

động của những yếu tố phát triển của nó, không phải là kết quả cơ học của ditruyền bẩm sinh, của môi trường hay của sự phát triển chung của hai yếu tố đó

Theo thuyết này, con người tự tạo ra nhân cách của mình chủ yếu là bằng hoạt động tương tác tích cực với các điều kiện bên ngoài Nhưng các điều kiện này

không tác động trực tiếp mà tác động gián tiếp thông qua hoạt động của cá nhânlàm hình thành nên nhân cách và từng thuộc tính của nhân cách đó.

Theo A.D La Garandrie (dẫn theo Bùi Văn Nghị (2003), Đổi mới cách viết sách giúp người tự học tích cực" Tạp chí GD, (50), tr.123) mỗi người có

thể có một vài hoặc tất cả các hoạt động trí óc Có người có thể học thuộclòng dễ dàng chỉ sau một vài lần lặp lại, nhưng có người dù lặp lại nhiều lầnnhưng mỗi lần cần đến kiến thức đó lại phải tra cứu lại Ngược lại có ngườituy không nhớ máy móc được nhưng lại có óc lôgíc khá nhạy, họ có thể hayquên các công thức nhưng mỗi lần cần nhớ đến, họ có thể suy ra từ các côngthức đã nhớ khác để nhớ lại công thức này, các thói quen này ảnh hưởng rất lớnđến việc học tập của mỗi người

Vì vậy, trong quá trình dạy học, đặc biệt là hoạt động dạy HS giải toán,

người thầy không nên ép buộc HS phải suy nghĩ theo thói quen suy nghĩ củamình Mặt khác, cần chú ý bồi dưỡng, phát triển các thói quen chưa có haycòn yếu (như: thói quen gợi lại những cái cụ thể đã gặp, thói quen ghi nhớ,thói quen suy luận lôgíc, thói quen tưởng tượng sáng tạo…) của các em, từ đócũng góp phần hình thành phương pháp học tập nói chung, phương pháp giảitoán nói riêng cho các em

1.2 Lý luận về dạy học giải bài tập toán học

1.2.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán Thông qua giảibài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhậndạng và thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những hoạtđộng Toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học,những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim trong [12] thì vai trò của bài tập Toánđược thể hiện trên các bình diện sau:

+ Thứ nhất, trên bình diện mục tiêu dạy học, bài tập toán học ở trường

phổ thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó

thể hiện mức độ đạt mục tiêu Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện nhữngchức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học mônToán, cụ thể là:

- Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở những khâu khácnhau của quá trình dạy học, kể cả kỹ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn

- Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy, hìnhthành những phẩm chất trí tuệ

- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩmchất đạo đức của người lao động mới

+ Thứ hai, trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập toán học là

giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, là một phương tiệncài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri thức nào đó đãđược trình bày trong phần lí thuyết

+ Thứ ba, trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập toán học là giá

mang hoạt động để người học kiến tạo những tri thức nhất định và trên cơ sở

đó thực hiện các mục tiêu dạy học khác Khai thác tốt các bài tập như vậy sẽgóp phần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tựgiác, tích cực, chủ động và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giaolưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khácnhau về phương pháp dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làmviệc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra, Đặc biệt là về mặt kiểm tra,bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làmviệc độc lập và trình độ phát triển của học sinh, Và một bài tập cụ thể có thểnhằm vào một hay nhiều dụng ý trên

1.2.2 Các chức năng của bài tập toán

Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học cho học sinh,trong đó giải bài tập toán là hình thức chủ yếu Do vậy, dạy học giải bài tậptoán có tầm quan trọng đặc biệt và từ lâu đã là một vấn đề trọng tâm của

phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông Đối với học sinh có thể coiviệc giải bài tập toán là một hình thức chủ yếu của việc học Toán, vì bài tậptoán có những chức năng sau:

1) Chức năng dạy học:

Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo những vấn đề về lýthuyết đã học Trong nhiều trường hợp giải toán là một hình thức rất tốt đểdẫn dắt học sinh tự mình đi đến kiến thức mới Có khi bài tập lại là một định

lý, mà vì một lí do nào đó không đưa vào lý thuyết Cho nên qua việc giải bàitập mà học sinh mở rộng được tầm hiểu biết của mình

2) Chức năng giáo dục:

Thông qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế giới quan duyvật biện chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới Quanhững bài toán có nội dung thực tiễn, học sinh nhận thức đúng đắn về tính chấtthực tiễn của Toán học, giáo dục lòng yêu nước thông qua các bài toán từ cuộcsống chiến đấu và xây dựng tổ quốc Đồng thời, học sinh phải thể hiện một sốphẩm chất đạo đức của người lao động mới qua hoạt động Toán mà rèn luyệnđược: đức tính cẩn thận, chính xác, chu đáo, làm việc có kế hoạch, kỹ luật,năng suất cao, khắc phục khó khăn, dám nghĩ dám làm, trung thực, khiêm tốn,tiết kiệm, biết được đúng sai trong Toán học và trong thực tiễn

3) Chức năng phát triển:

Giải bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt

là phát triển tư duy sáng tạo, hình thành những phẩm chất tư duy khoa học

4) Chức năng kiểm tra:

Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng họcToán và trình độ phát triển của học sinh cũng như khả năng vận dụng kiếnthức đã học Trong việc lựa chọn bài tập toán và hướng dẫn học sinh giải bàitập toán, giáo viên cần phải chú ý đầy đủ đến tác dụng về nhiều mặt của cácbài tập toán đó

Thực tiễn sư phạm cho thấy, giáo viên thường chưa chú ý đến việc pháthuy tác dụng giáo dục của bài toán, mà thường chú trọng cho học sinh làmnhiều bài tập toán Trong quá trình dạy học, việc chú ý đến chức năng của bàitập toán là chưa đủ mà giáo viên cần quan tâm tới lời giải của bài tập toán.Lời giải của bài tập toán phải đảm bảo những yêu cầu sau:

- Lời giải không có sai lầm

Học sinh phạm sai lầm trong khi giải bài tập thường do ba nguyênnhân sau:

+ Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái niệm, giả thiết hay kết luận của định lý,

+ Sai sót về phương pháp suy luận.

+ Sai sót do tính sai, sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai.

- Lời giải phải có cơ sở lý luận

- Lời giải phải đầy đủ

- Lời giải đơn giản nhất

1.2.3 Phân loại bài tập toán

Đứng trước một bài toán, hầu hết những người làm toán thường đặt racâu hỏi: “Bài toán này thuộc kiểu nào?”, và từ đó dẫn tới câu hỏi: “Có thể ápdụng biện pháp nào để giải bài toán kiểu này?” Điều đó nói lên sự cần thiếtphải phân loại các bài toán, vạch ra sự khác biệt giữa các bài toán theo từngkiểu, có thể giúp ích cho ta khi giải toán

1 G.Polya trong [21] đã phân loại các bài toán theo nghĩa rộng thành

hai kiểu: những bài toán tìm tòi và những bài toán chứng minh Các bài tập

toán về phương trình và bất phương trình thuộc kiểu bài toán tìm tòi

a, Những bài toán tìm tòi: Mục đích cuối cùng của những bài toán tìm

tòi là tìm ra (dựng, thu được, xác định…) một đối tượng nào đó, tức là tìm ra

ẩn số của bài toán

Ẩn có thể thuộc những phạm trù hết sức khác nhau Trong các bài toánhình học về dựng hình, thì ẩn là một hình, trong khi giải phương trình đại số,

thì ẩn là một số, là nghiệm của phương trình đó Một bài toán được phát biểurành mạch phải chỉ rõ phạm trù (tập hợp) chứa đựng ẩn, và ngay từ đầu, taphải biết ẩn định tìm thuộc loại nào.

Khi ta xem xét các bài toán, ta thường dùng “dữ kiện” để chỉ tất cả cácđối tượng cho trước, hay toàn bộ tập hợp đối tượng đó liên hệ với ẩn như các

điều kiện Nếu bài toán có nội dung là dựng một tam giác theo các cạnh a, b,

và c của nó thì các đoạn a, b, c là các dữ kiện Nhưng nếu bài toán có nội dung là giải một phương trình bậc hai x2 + ax + b = 0 thì hai số a và b là các

dữ kiện

Ta gọi ẩn, điều kiện và dữ kiện là những phần chính của một bài toántìm tòi Thật vậy, ta không thể hi vọng giải được một bài toán mà ta khônghiểu Mà muốn hiểu bài toán thì phải biết và biết rất rõ cái gì là ẩn, cái gì là

dữ kiện và điều kiện như thế nào Như vậy là, trong quá trình giải một bàitoán, cần phải đặc biệt chú ý đến các phần chính đó

b, Những bài toán chứng minh: Mục đích cuối cùng của một bài toán

chứng minh là xác định xem một kết luận nào đó là đúng hay sai, là xác nhậnhay bác bá kết luận đó

Khi cần chứng minh hay bác bỏ một mệnh đề toán học phát biểu dướihình thức tự nhiên nhất, ta gọi điều kiện (giả thiết) và kết luận của nó là phầnchính của bài toán Và quả thật các phần chính đáng được chú ý đặc biệt.Muốn chứng minh một mệnh đề, cần phải khám phá ra khâu lôgíc liên hệ cácphần chính của nó, tức là điều kiện (giả thiết) và kết luận; muốn bác bỏ mộttrong hai phần chính - tức là điều kiện, không dẩn tới phần kia - tức là kết luận

2 Đứng trên quan điểm môn học thì ta có thể phân chia các bài tập toán

trong chương trình phổ thông thành ba loại: Các bài tập toán đại số sơ cấp; các bài tập toán giải tích và các bài tập toán hình học sơ cấp

Theo tác giả Đậu Thế Cấp trong [3] thì Đại số sơ cấp nghiên cứu vềcác phép toán sơ cấp, các biểu thức sơ cấp, các phương trình và bất phươngtrình sơ cấp, với công cụ sơ cấp là các phép toán về số và biểu diễn trong mặt

phẳng toạ độ Các bài tập toán trong chương trình phổ thông nói chung và cácbài tập toán về phương trình và bất phương trình nói riêng đều sử dụng công

cụ đó

Các bài tập toán giải tích trong chương trình toán Trung học phổthông, phần lớn được đưa ra mức độ áp dụng lý thuyết Không có các bài tậpquá khó hay các bài tập mang tính chất “mẹo” hay “bẩy” học sinh Cả lýthuyết và bài tập đều được trình bày theo hướng giảm nhẹ đến mức tối đa tínhhàn lâm, điều đó là phù hợp với yêu cầu đổi mới về phương pháp dạy họchiện nay

Các kiến thức hình học được xây dựng theo hệ tiên đề, với các đốitượng là các hình biểu diễn, các con số và các phép biến đổi Vì vậy các bàitập hình học trong trường phổ thông đều có cách giải theo các phương pháp:tổng hợp; véc tơ; toạ độ; các phép biến hình

3 Nếu theo tiêu chí về số lượng các đại lượng thay đổi trong một bàitập toán, thì ta có thể chia các bài tập tập toán trong chương trình toán phổ

thông thành hai dạng: dạng toán không chứa tham số và dạng toán có chứa tham số.

Trong các bài tập toán không chứa tham số, từ các điều kiện và dữ kiệncho trước, qua các bước biến đổi thì ta sẽ tìm được “giá trị” của các ẩn Trongkhi đó, với các bài toán có chứa tham số, có nghĩa là ngoài các giá trị cần tìm

là ẩn của bài toán, còn có giá trị tham số thay đổi Thông thường ở các bài tậptoán trong bậc phổ thông, yêu cầu người giải bài tập toán đó phải căn cứ vào

sự biến thiên của tham số để tìm được “giá trị” của ẩn số tương ứng

4 Nếu theo tiêu chí thuật giải thì ta lại có thể chia các bài tập toán

thành hai loại: Loại các bài tập toán đã có quy trình giải và loại các bài tập toán không có quy trình giải (không có quy trình giải theo nghĩa là không được trình bày trong sách giáo khoa hiện hành).

Trong các bài tập toán đã có thuật giải, việc cần thiết để các em họcsinh có thể làm được các bài tập đó là: nắm vững quy trình; nhớ được ý nghĩa

từng bước trong quy trình; nhận dạng đúng và áp dụng phù hợp quy trình đó.

Vì vậy, có nhiều em học sinh nhớ và vận dụng tốt các thuật toán để giải đượcnhiều bài tập toán, nhưng không vì thế mà tư duy của các em, trong đó có tưduy sáng tạo, đã được phát triển

Trong các bài tập toán không có thuật giải, học sinh muốn tìm ra hướnggiải quyết, đòi hỏi học sinh phải huy động kiến thức để phân tích bài toán, tìmkiếm các kiến thức liên quan, phải xoay từ hướng này sang hướng khác đểtìm ra được phương pháp giải tối ưu, và thông qua đó sẽ phát triển được tưduy sáng tạo cho bản thân mình Do đó trong phạm vi Luận văn này, tác giảkhông đi sâu nghiên cứu các bài toán đã có thuật giải hay tựa thuật giải, màchỉ đi sâu vào việc định hướng tìm tòi lời giải của các bài tập toán không cóquy trình giải

Các cách phân loại trên đây chỉ mang tính chất tương đối, bởi vì vớicác tiêu chí khác nhau sẽ có sự phân loại khác nhau, và trong các cách phânloại đó sẽ có sự giao thoa trong các bài tập toán cụ thể Vì vậy, trong quá trìnhdạy cho các em giải bài tập toán, tuỳ vào từng thời điểm mà giáo viên có thểnói bài tập toán này thuộc dạng này hay dạng kia, thậm chí để các em khắcsâu một kiến thức nào đó, ta có thể tăng thêm nội hàm để chia ra nhỏ hơn cácdạng bài tập toán

1.2.4 Dạy học giải bài tập Toán học

1.2.4.1 Bài tập toán và dạy học giải bài tập toán

Theo nghĩa rộng, bài tập toán (trong khuôn khổ của Luận văn này, taxem bài toán theo nghĩa là bài tập toán học) đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếmmột cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới mục đích trông thấy rõràng nhưng không thể đạt được ngay Giải toán tức là tìm ra phương tiện đó

Thế nào là nắm vững môn Toán? Đó là phải biết giải toán khôngnhững chỉ những bài toán thông thường mà cả những bài toán đòi hỏi tư duyđộc lập nhất định, có óc phán đoán, tính độc đáo và sáng tạo nữa Đối vớihọc sinh, có thể coi việc giải toán là hoạt động chủ yếu của một hoạt động

toán học Vì vậy, việc tổ chức ứng dụng có hiệu quả việc dạy giải bài tậptoán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán.

Một trong những chức năng của bài tập toán mà ta phải quan tâm đó làchức năng phát triển: Bài tập toán phát triển năng lực tư duy cho học sinh,đặc biệt là rèn luyện tư duy sáng tạo, từ đó hình thành những phẩm chất tưduy khoa học Và ngoài ra nó còn chức năng dạy học và chức năng kiểm tra

Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên chỉ đơn thuầncung cấp cho học sinh lời giải bài toán Biết lời giải bài toán không quantrọng bằng biết cách làm thế nào để giải được bài toán Để tăng hứng thúhọc tập cho học sinh, phát triển tư duy, rèn luyện kỹ năng và hoạt động độclập sáng tạo cho họ, thầy giáo phải hình thành cho học sinh quy trình chung,các phương pháp tìm tòi lời giải một bài toán

Mỗi bài toán mà học sinh đã giải, dạy cho họ kỹ năng hướng về nhữngtình huống có vần đề khác nhau, biết phân biệt tình huống, biết lựa chọn mộthoạt động, một hướng đi để giải quyết vấn đề Khi làm Toán, trí tuệ của conngười được huy động tới mức tối đa, khả năng phân tích, tổng hợp được rènluyện, các thao tác tư duy từ đó trở nên nhanh nhạy hơn Có thể nói kỹ nănggiải toán là tài sản đặc trưng của tư duy toán học

1.2.4.2 Dạy học sinh phương pháp giải bài tập toán

Trong dạy học giải toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹnăng quan trọng, mà việc rèn luyện các thao tác tư duy là một thành phầnkhông thể thiếu trong dạy học giải Toán Trong tác phẩm [22] của G Pôlyaông đã đưa ra 4 bước để đi đến lời giải bài toán

1) Hiểu rõ bài toán:

Để giải một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán và hơn nữa còn phải

có hứng thú giải bài toán đó Vì vậy điều đầu tiên người giáo viên cần chú ýhướng dẫn học sinh giải Toán là khêu gợi trí tò mò, lòng ham muốn giảiToán của các em, giúp các em hiểu bài toán phải giải, muốn vậy cần phải:Phân tích giả thiết và kết luận của bài toán: Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện? Đâu

là điều kiện? Điều kiện, dữ kiện này liên quan tới điều gì? Có thể biểu diễnbài toán dưới một hình thức khác được không? Như vậy, ngay ở bước

“Hiểu rõ đề Toán” ta đã thấy được vai trò của tư duy sáng tạo trong việc

định hướng để tìm tòi lời giải

2) Xây dựng chương trình giải:

Trong bước thứ 2 này, ta lại thấy vai trò của tư duy sáng tạo được thểhiện rõ nét hơn qua việc phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơngiản hơn Biến đổi bài toán đã cho, mò mẫm và dự đoán thông qua xét cáctrường hợp đặc biệt, xét các bài toán tương tự hay khái quát hoá hơn vv thông qua các kỹ năng sau bằng cách đặt các câu hỏi:

- Huy động kiến thức có liên quan:

* Bài toán này có thuật giải hay không?

* Em đã gặp bài toán này hay bài này ở dạng hơi khác lần nào chưa?

Em có biết một bài nào liên quan không? Một định lý có thể dùng được không?.

* Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tương tự?.

* Có thể sử dụng một bài toán nào đó mà em đã có lần giải rồi hoặc sử dụng kết quả của nó không?

- Dự đoán kết quả phải tìm:

* Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Em

có thể giải một phần của bài toán?

* Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết điều kiện chưa?

Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

* Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xác định đến chừng mực nào và biến đổi thế nào?

- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm hướng giải quyết vấn đề

Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để được nhữnggợi ý trên thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng tìm lời giải chocác bài toán Tuy nhiên để đạt được điều này thì giáo viên phải thực hiện kiêntrì tất cả các giờ dạy Toán, đồng thời học sinh phải được tự mình áp dụng vàohoạt động giải toán của mình

3) Thực hiện chương trình giải:

Khi thực hiện chương trình giải hãy kiểm tra lại từng bước Em đã thấy

rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Em có thể chứng minh là nó đúng không?

4) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm được:

Học sinh phổ thông thường có thói quen khi đã tìm được lời giải củabài toán thì thoả mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu sót gìkhông, ít quan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải Vìvậy trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh thường xuyênthực hiện các yêu cầu sau:

- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận

- Xem xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra của bài toán

- Tìm cách giải khác của bài toán: Một bài toán thường có nhiều cáchgiải, học sinh thường có những suy nghĩ khác nhau trước một bài toán, và kếtquả là có nhiều lời giải độc đáo và sáng tạo Vì vậy, giáo viên cần lưu ý đểphát huy tính sáng tạo của học sinh trong việc tìm lời giải gọn, hay của mộtbài toán Tuy nhiên cũng không nên quá thiên về lời giải hay, làm cho họcsinh trung bình và kém chán nản

Tìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp giải bài toán này cho mộtbài toán khác, đề xuất bài toán mới: Có thể yêu cầu này là quá cao đối với họcsinh yếu kém, nhưng có thể coi là một phương hướng bồi dưỡng học sinhgiỏi Tuy nhiên, trong một số trường hợp đơn giản, dễ hiểu, giáo viên có thểcho học sinh toàn lớp thấy được việc phân tích lời giải của bài tập toán để ápdụng vào bài toán khác hoặc đề xuất ra bài toán mới

1.3 Một số vấn đề cần truyền thụ và bồi dưỡng để phát huy năng lực giải Toán cho HS

1.3.1 Truyền thụ tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp

Sau mỗi quá trình học tập, người học không chỉ đơn thuần thu đượcnhững tri thức khoa học (khái niệm mới, định lí mới, ) mà còn phải nắm

được những tri thức phương pháp (dự đoán, giải quyết, nghiên cứu ) Đó

chính là những tri thức phương pháp, vừa là kết quả vừa là phương tiện củahoạt động tạo cho HS một tiềm lực quan trọng để hoạt động tiếp theo

Các dạng tri thức thường gặp:

Tri thức sự vật: Những hiểu biết về hiện thực khách quan mà con người

đã tích lũy được Trong môn toán đó là: khái niệm, định lí, phương pháp giảiToán, có khi là một yếu tố lịch sử

Tri thức phương pháp: Gồm có hai loại, phương pháp có tính chất thuật

toán và phương pháp có tính chất tìm đoán

Tri thức chuẩn: Những kiến thức có liên quan đến chuẩn mực đạo đức (ít

gặp ở môn Toán)

Tri thức giá trị: Có nội dung là những mệnh đề đánh giá Ví dụ như:

"Khái quát hóa là một thao tác trí tuệ cần thiết cho mọi khoa học" hay "phéptương tự có lẽ là có mặt trong mọi phát minh và trong một số phát minh nóchiếm vai trò quan trọng hơn cả" (theo G.Polya)

Trong những dạng tri thức kể trên thì tri thức phương pháp đúng một vai

trò quan trọng trong việc tổ chức hoạt động vì đó là cơ sở định hướng cho hoạt động

Những tri thức phương pháp thường gặp trong dạy học toán:

- Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoạt động toán học có thể như cộng hai số hữu tỉ, giải phương trình bậc hai…

- Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoạt động toán học phức tạp như định nghĩa, chứng minh…

- Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoạt động trí tuệ phổ biến như tư duy hàm, phân chia các trường hợp

- Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoạt động trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, tương tự,

- Những tri thức về phương pháp tiến hành những hoạt động ngôn ngữ

logic như lập mệnh đề đảo, liên kết các mệnh đề như các phép nối logic, điều

kiện cần và đủ,

Để tổ chức hoạt động có hiệu quả, người GV cần nắm được tất cả nhữngkiến thức phương pháp thích hợp có thể có chứa đựng trong nội dung bài dạy

để chọn lựa cách thức, mức độ truyền thụ phù hợp Bởi vì, những tri thức quá

chung như lược đồ dựng hình 4 bước sẽ ít tác dụng hướng dẫn nhưng nếu quáchi tiết thì khó áp dụng cho các tình huống khác

Các mức độ truyền thụ tri thức phương pháp:

-Truyền thụ tường minh những tri thức phương pháp đã quy định trongchương trình

- Thông báo tri thức phương pháp trong quá trình tiến hành hoạt động

- Tập luyện những hoạt động ăn khớp với những tri thức phương pháp

1.3.2 Bồi dưỡng tư duy cho HS trong quá trình DH Toán

"Tư duy Toán học không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạtđộng Toán học của HS, nó còn là thành phần mà nếu thiếu sự phát triển mộtcách có phương hướng thì không thể đạt được hiệu quả trong việc truyền thụ cho

HS hệ thống các kiến thức và kỹ năng Toán học" – dẫn theo

1.3.2.1 Bồi dưỡng cho HS các thao tác tư duy Toán học

- Khái quát hóa Theo Nguyễn Bá Kim [12, tr.31], khái quát hóa là

chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tậphợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm chung của các phần

tử của tập hợp xuất phát Theo G.Pôlya [22, tr.21], khái quát hóa là chuyển từ

việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp

lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu Đặc biệt hóa là việc chuyển từ việc

nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp nhỏhơn, chứa trong tập hợp đã cho.

Như vậy, đặc biệt hóa là thao tác tư duy ngược lại của khái quát hóa

- Phân tích và tổng hợp Theo Nguyễn Bá Kim [12, tr.31], phân tích là

tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách một vật thành những

bộ phận riêng lẻ Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành

một vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống Theo Nguyễn Cảnh Toàn [81,

tr 122], phân tích là thao tác tư duy nhằm chia một chỉnh thể thành nhiều bộphận để đi sâu vào các chi tiết trong từng bộ phận Tổng hợp là thao tác tưduy bao quát lên một chỉnh thể gồm nhiều bộ phận, tìm các mối liên hệ giữacác bộ phận của chỉnh thể đó

- So sánh và tương tự Theo G.Pôlia [22, tr.22], tương tự là một kiểu giống

nhau nào đó Những đối tượng giống nhau phù hợp với nhau trong một quan hệ

nào đó So sánh có hai mục đích: phát hiện những đặc điểm chung và những

đặc điểm khác nhau ở một số đối tượng, sự kiện Mục đích thứ nhất dẫn đến

tương tự và đi đến với khái quát hóa Tương tự là thao tác tư duy dựa trên sự

giống nhau về tính chất và quan hệ của những đối tượng Toán học khác nhau

- Trừu tượng hóa Theo Nguyễn Bá Kim [12, tr.31], trừu tượng hóa là

tách những đặc điểm bản chất khái những đặc điểm không bản chất Đươngnhiên sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây mang ý nghĩa tươngđối, nó phụ thuộc vào mục đích hành động

- Tưởng tượng: là một quá trình nhận thức phản ánh cái chưa từng có

trong kinh nghiệm của cá nhân bằng cánh xây dựng những hình ảnh mới trên

cơ sở những hình ảnh đã có Do đó, không thể xem tưởng tượng là thao tác tưduy dựa vào ý thức và không tuân theo yêu cầu kỹ thuật nhất định, tuy rằng

có thể hình dung trình tự, từ hình tượng đã có đến biểu tượng mới Tuy nhiên

có thể xem tưởng tượng như là "Thao tác tư duy của tiềm thức", với những kỹthuật tiềm ẩn Trí tưởng tượng đúng vai trò to lớn trong sáng tạo Toán học, gắnliền với tư duy trực giác, mầm mống của nhiều phát minh khoa học

1.3.2.2 Bồi dưỡng cho HS một số loại tư duy

a) Bồi dưỡng năng lực tư duy biện chứng duy vật cho HS

Theo Nguyễn Thanh Hưng (2008), Phát triển tư duy biện chứng của học sinh trong dạy học hình học ở trường trung học phổ thông, Luận án tiến sĩ giáo dục học: “Tư duy biện chứng là phương thức tư duy xét xét sự vật trong

sự thống nhất và mâu thuẫn, trong sự vận động và phát triển, trong mối liên

hệ và phụ thuộc với các sự vật khác”

Tư duy biện chứng duy vật đòi hỏi chủ thể không chỉ phản ánh đúng những mối liên hệ, sự vận động và phát triển của sự vật, hiện tượng trong thế giới khách quan, mà còn phải nắm vững và vận dụng nhuần nhuyễn những phương pháp, nguyên tắc của phép biện chứng duy vật vào nhận thức và hoạt động thực tiễn Nó có những đặc trưng cơ bản, như tính khách quan, tính

toàn diện, tính lịch sử - cụ thể, tính thống nhất giữa lý luận và thực tiễn;không chỉ phản ánh trạng thái hiện tồn, mà còn dự báo xu hướng phát triểncủa sự vật, hiện tượng Tư duy biện chứng duy vật có vai trò to lớn trong nhậnthức và hoạt động thực tiễn của con người nói chung và HS nói riêng Cụ thểlà:

Thứ nhất, tư duy biện chứng duy vật giúp HS, một mặt, khắc phục được

lối tư duy siêu hình, phiến diện, chiết trung, nguỵ biện; mặt khác, xem xétđánh giá vấn đề một cách toàn diện, đúng đắn Quan điểm duy vật biện chứngkhẳng định rằng, mọi sự vật và hiện tượng đa dạng, phong phú trong thế giớikhách quan luôn có mối liên hệ biện chứng, có ảnh hưởng, tác động qua lại vànằm trong một chỉnh thể thống nhất; nhận thức chỉ đạt đến chân lý khi nóphản ánh đúng đắn bản chất của thế giới khách quan Bản thân các sự vật,hiện tượng rất phức tạp, chúng là kết quả do nhiều nguyên nhân gây ra và vậnđộng, biến đổi qua nhiều giai đoạn khác nhau mà người ta thường chỉ quan sátđược kết quả cuối cùng của nó Chính vì vậy, khi chưa được trang bị tri thứctriết học Mác - Lênin thì khả năng tư duy trong quá trình học tập và nhận thứckhoa học của HS còn nhiều hạn chế Họ thường gặp nhiều khó khăn và dễ

mắc sai lầm trong việc phân tích để tìm ra đâu là nguyên nhân cơ bản trong vô

số những nguyên nhân tác động tới một sự vật, hiện tượng, hoặc tỏ ra lúngtúng không xác định được mối quan hệ chủ yếu, bản chất của vấn đề đangnghiên cứu để tập trung giải quyết Nói cách khác, do ít được rèn luyện nănglực tư duy biện chứng, hầu hết HS thường rơi vào thế thụ động; tư duy của họchưa đi sâu vào bản chất, cũng như các mối quan hệ của vấn đề Trên thực tế,

họ ít có khả năng nhìn nhận, đánh giá các vấn đề cả trong học tập lẫn thựctiễn cuộc sống một cách đúng đắn, khoa học; trái lại, tư duy của họ còn siêuhình, cứng nhắc, thường quá đề cao hoặc tuyệt đối hoá lĩnh vực này, xem nhẹlĩnh vực khác V.I.Lênin đã từng khẳng định: “Muốn thực sự hiểu được sựvật, cần phải nhìn bao quát và nghiên cứu tất cả các mặt, tất cả các mối liên hệ

và “quan hệ gián tiếp” của sự vật đó Chúng ta không thể làm được điều đómột cách hoàn toàn đầy đủ, nhưng sự cần thiết phải xét tất cả mọi mặt sẽ đềphòng cho chúng ta khái phạm phải sai lầm và sự cứng nhắc” (V.I.Lênin,Toàn tập, t.42 Nxb Tiến bộ, Mátxcơva, 1981, tr.364) Vì vậy, theo chúng tôi,quán triệt nguyên tắc toàn diện của tư duy biện chứng duy vật là giải pháp cơbản nhất để khắc phục những hạn chế trong tư duy của HS ở nước ta hiện nay.Nguyên tắc này giúp cho HS trong quá trình nhận thức, nghiên cứu biết đithẳng vào vấn đề, xem xét và phân tích đối tượng một cách chính xác, đầy đủ,toàn vẹn; khắc phục được cách đánh giá đơn giản, một chiều

Nếu nắm vững phương pháp tư duy biện chứng duy vật, HS sẽ có được

sự nhận thức một cách khoa học, cụ thể là xem xét sự vật, hiện tượng trong sựtương tác giữa các mặt, đặt chúng trong các mối liên hệ biện chứng, chi phốilẫn nhau trong một thể thống nhất Thông qua nguyên tắc này, HS biết xâuchuỗi vấn đề, phát hiện sự liên hệ giữa chúng chứ không đánh giá sự vật, hiệntượng một cách rời rạc, lẻ tẻ và biệt lập khái các mối quan hệ đa dạng vốn có;

từ đó, tìm ra được cốt lõi, bản chất và những mối liên hệ cơ bản nhất để tậptrung giải quyết một cách có hiệu quả

Thứ hai, tư duy biện chứng duy vật giúp cho HS khắc phục được tư tưởng bảo thủ, trì trệ và thái độ định kiến với cái mới Thiếu nguyên tắc phát

triển của tư duy biện chứng duy vật, HS dễ mắc phải sai lầm khi nhận thứccác vấn đề, thường rơi vào duy tâm, siêu hình, không thấy rằng động lực nộitại của sự phát triển chính là sự giải quyết mâu thuẫn bên trong của sự vật vàhiện tượng V.I.Lênin đã từng khẳng định: “ lôgíc biện chứng đòi hỏi phảixét sự vật trong sự phát triển, trong "sự tự vận động",… trong sự biến đổi của

nó” (V.I.Lênin, Toàn tập, t.42 Nxb Tiến bộ, Mátxcơva, 1981, tr.364) Thật vậy, chỉ khi nắm được nguyên tắc phát triển của tư duy biện chứng duy vật,

HS mới có thể xem xét và hiểu đúng bản chất của vấn đề, mới có thể tìm vàphân tích các mâu thuẫn bên trong của nó để có cách giải quyết phù hợp, đúngđắn Có như vậy, họ mới có phương pháp luận, cơ sở khoa học để hiểu rằng

sự phát triển của các sự vật, hiện tượng không diễn ra theo đường thẳng tắp

mà theo xu hướng quanh co, phức tạp, đôi lúc có bước thụt lùi tạm thời; rằng,chúng phải có sự tích luỹ dần về lượng để dẫn đến thay đổi về chất Tư duybiện chứng duy vật giúp HS chống tư tưởng nóng vội, chủ quan duy ý chí,hoặc tư tưởng hữu khuynh, bảo thủ, không mạnh dạn từ bỏ cái cũ, lỗi thời đểđón nhận cái mới, tốt đẹp

Thứ ba, tư duy biện chứng giúp HS tránh những sự sai lầm, mò mẫm, pháng đoán thiếu cơ sở khoa học và nguy cơ rơi vào ảo tưởng Khi chưa được

trang bị tư duy biện chứng duy vật, nhất là nguyên tắc lịch sử cụ thể, HSthường nhìn nhận và đánh giá sự vật một cách chung chung, hoặc tuyệt đốihoá những kết luận nào đó mà không gắn với những điều kiện, hoàn cảnh cụthể; họ dễ rơi vào tình trạng thụ động, thiếu sáng tạo

Nguyên tắc lịch sử cụ thể đòi hỏi chủ thể trong quá trình nhận thức vànghiên cứu phải đi tìm nguồn gốc, nguyên nhân của quá trình vận động và pháttriển của sự vật trong những hoàn cảnh, điều kiện cụ thể; phân tích và nắm bắtđược những đặc tính vốn có, cũng như sự thay đổi của từng thuộc tính trongnhững tình huống nhất định để nhận thức xu hướng vận động, biến đổi, phát

triển của sự vật một cách chính xác Nguyên tắc này còn giúp cho HS thấyđược tính lịch sử của tri thức khoa học để từ đó, có thái độ học tập, nghiên cứumột cách khoa học, đúng đắn và nghiêm túc, tránh tuyệt đối hoá tri thức khoahọc đã có trong mọi hoàn cảnh; ngược lại, luôn bổ sung những tri thức mới phùhợp với sự vận động của thực tiễn cuộc sống

Thứ tư, tư duy biện chứng duy vật giúp cho HS nhìn nhận sự vật, hiện tượng một cách khách quan và khoa học, khắc phục sai lầm chủ quan Thiếu

nguyên tắc khách quan của tư duy biện chứng duy vật, việc nhận thức tronghọc tập và nghiên cứu của HS sẽ gặp nhiều hạn chế Tư duy biện chứng duyvật đòi hỏi HS khi phản ánh, nhận thức đối tượng phải bảo đảm nguyên tắckhách quan, nắm được quy luật vận động, biến đổi, phát triển của nó; phải tôntrọng và dựa vào quy luật khách quan để rút ra những kết luận đúng đắn Khinắm vững nguyên tắc này, HS có thể đạt được sự nhận thức khoa học: nghiêncứu và giải quyết vấn đề phải xuất phát từ bản thân sự vật, quan sát tỉ mỉchính xác để nắm bắt các thuộc tính của sự vật và đi sâu phân tích, khảo sát,khái quát hoá rút ra những kết luận khoa học; đồng thời bổ sung và kiểmnghiệm kết quả của quá trình nhận thức qua thực tiễn

b) Phát triển năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho HS

“Phát triển tư duy lôgic cho HS trong quá trình giảng dạy Toán là một nhiệm

vụ đáng được đặc biệt quan tâm đối với GV và các nhà phương pháp”

“Nhưng tư duy không thể tách rời ngôn ngữ, nó phải diễn ra dưới hìnhthức ngôn ngữ, được hoàn thiện trong sự trao đổi ngôn ngữ của con người, vàngược lại, ngôn ngữ được hình thành như có tư duy”

Năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của HSđầu cấp Trung học phổ thông được đặc trưng bởi các thành tố sau đây [80,tr.43]:

1) Năng lực suy luận chính xác và chặt chẽ tuân theo các quy luật và quytắc suy luận của Lôgic hình thức;

2) Năng lực phân chia các trường hợp riêng từ những sự kiện tổng quát,nhằm xem xét (xử lý, biện luận ) vần đề với mức độ trọn vẹn và hoàn chỉnh;3) Năng lực kết hợp hữu cơ giữa dự đoán và suy diễn Nói riêng là, biết

dự đoán những quan hệ, những tính chất, những đặc điểm, … trên cơ sở quansát, xem xét một số trường hợp cụ thể; hơn nữa, biết sử dụng bước dự đoán đểlàm điều gợi ý cho các thao tác như biến đổi, thêm, bớt… theo cách thích hợpvới bài toán cần giải;

4) Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn, biết sử dụng những kiếnthức toán học để giải quyết một số bài toán thực tế;

5) Năng lực diễn đạt một sự kiện toán học theo những cách khác nhau,đặc biệt, biết hướng tới cách diễn đạt có lợi cho vấn đề đang cần giải quyết,hoặc cách diễn đạt mà như đó sẽ cho phép nhận thực vấn đề một cách chínhxác hơn nhằm tránh những sai lầm, thiếu sót trong suy luận và tính toán;

6) Năng lực hiểu đúng nghĩa và sử dụng chính xác những thuật ngữ và

ký hiệu toán học Đặc biệt hiểu đúng và sử dụng đúng các phép biến đổi hệquả hoặc biến đổi tương đương khi giải quyết các vấn đề về phương trình vàbất phương trình;

7) Năng lực ý thức được sự khác nhau trong cách hiểu đối với một sốcách nói phổ biến trong tiếng Việt và những mệnh đề (có cấu trúc tương tựnhư thế) trong Toán học; đồng thời, biết sử dụng một số thuật ngữ và ký hiệucủa lôgic toán để diễn đạt các mệnh đề toán học

Phát triển năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán họccho HS và phát triển năng lực phát hiện phương pháp giải toán có mối quan hệbiện chứng, song hành với nhau trong quá trình giảng dạy Phát triển năng lực

tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho HS thì sẽ phát triểnnăng lực phát hiện phương pháp giải toán và ngược lại Một số biện phát sưphạm nhằm phát triển năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữtoán học

c) Phát triển năng lực tư duy thuật toán cho HS

Thuật toán, còn gọi là giải thuật, là một tập hợp hữu hạn của các chỉ thịhay phương cách được định nghĩa rõ ràng cho việc hoàn tất một số sự việc từmột trạng thái ban đầu cho trước; khi các chỉ thị này được áp dụng triệt để thì

sẽ dẫn đến kết quả sau cùng như đã dự đoán

Nói cách khác, thuật toán là một bộ các qui tắc hay qui trình cụ thể nhằmgiải quyết một vấn đề trong một số bước hữu hạn, hoặc nhằm cung cấp mộtkết quả từ một tập hợp của các dữ kiện đưa vào

“Thuật toán được hiểu như một quy tắc mô tả những chỉ dẫn rõ ràng vàchính xác để người (hay máy) thực hiện một loạt thao tác nhằm đạt đượcmục

Khi một thuật toán đã hình thành thì ta không xét đến việc chứng minhthuật toán đó mà chỉ chú trọng đến việc áp dụng các bước theo sự hướng dẫn

sẽ có kết quả đúng Việc chứng minh tính đầy đủ và tính đúng của các thuậttoán phải được tiến hành xong trước khi có thuật toán Nói rõ hơn, thuật toán

có thể chỉ là việc áp dụng các công thức hay qui tắc, qui trình đã được côngnhận là đúng hay đã được chứng minh về mặt toán học

Phát triển tư duy thuật toán trong nhà trường phổ thông là cần thiết vìnhững lí do sau đây

Thứ nhất, tư duy thuật toán giúp HS hình dung được việc tự động hóa

trong những lĩnh vực khác nhau của con người, góp phần khắc phục sự ngăncách giữa nhà trường và xã hội tự động hóa Nó giúp cho HS thấy được nềntảng của tự động hóa, cụ thể là nhận thức rõ đặc tính hình thức, thuần tuý máymóc của quá trình thực hiện thuật toán

Thứ hai, tư duy thuật toán giúp HS làm quen với cách làm việc khi giải

bài toán bằng máy tính điện tử

Thứ ba, tư duy thuật toán giúp HS học tập tốt những môn học ở nhà

trường phổ thông, rõ nét là môn toán Nó tạo điều kiện thuận lợi cho HS lĩnhhội kiến thức và rèn luyện kỹ năng, kĩ xảo khi học các phép tính trên nhữngtập hợp số, giải phương trình bậc nhất, bậc hai…