Chứng minh rằng: luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng mà 3 đỉnh của tam giác đó đôi một cùng màu hoặc khác Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều đượ[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC
2011-2012 Môn thi: TOÁN Ngày thi: 06/04/2012
Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
1 Cho f(x)=x31−3x+3x2 Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A=f(12012)+f(22012)+ +f(20102012)+f(20112012)
2.Cho biểu thức:
P=x−2x√xx√−1+x√+1xx√+x+x√+1+2x−2x√x2−x√
Tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn (x+y)3=(x−y−6)2
Cho a,b,c,d là các số thực thỏa mãn điều kiện:
abc+bcd+cda+dab=a+b+c+d+2012−−−−√ Chứng
minh rằng:
(a2+1)(b2+1)(c2+1)(d2+1)≥2012
Bài 4 (3,0 điểm)
Cho 3 đường tròn (O1),(O2) và (O) Giả sử (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài với
Trang 2nhau tại I và cùng tiếp xúc trong với (O) tại M1,M2 Tiếp tuyến của (O1) tại I cắt
(O) tại A,A′ AM1 cắt lại (O1) tại điểm N1,AM2 cắt lại (O2) tại điểm N2
1 Chứng minh rằng: tứ giác M1N1N2M2 nội tiếp và OA vuông góc với
N1N2
2 Kẻ đường kính PQ của (O) sao cho PQ vuông góc với IA (điểm P nằm trên cung AM1 không chứa điểm M2) Chứng minh rằng: Nếu PM1 và QM2 không song song thì AI,PM1 và QM2 đồng quy
Bài 5 (1,0 điểm)
Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, trong đó mỗi điểm được tô bởi 1 trong
3 màu xanh, đỏ, tím Chứng minh rằng: luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân, có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng mà 3 đỉnh của tam giác đó đôi một cùng màu hoặc khác màu