Tóm lại, để học sinh có thể sử dụng thành thạo “phơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng” trong việc giải toán thì việc giúp cho các em hiểu rõ ý nghĩa của từng dạng toán sau đó có thể mô hình h[r]
Trang 1Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
-o0o -Đề tài sáng kiến kinh nghiệm
A Sơ yếu lý lịch
- Họ và tên: Văn Thành Cụng
- Ngày tháng năm sinh: Ngày 11/07/1092
- Năm vào ngành: 2002
- Chức vụ: Giáo viên
- Đơn vị công tác: Giáo viên trờng tiểu học Tiểu học TT Cờ Đỏ 1
- Trình độ chuyên môn: Cử nhõn tiểu học
B Nội dung của đề tài
- Tên đề tài: Giải các bài toán điển hình lớp 4 bằng phơng pháp dùng sơ đồ
đoạn thẳng
Trang 2I Lý do chọn đề tài
Cùng với Tiếng Việt – Toán học là môn học có vị trí và vai trò vô cùng quan trọng ở bậc tiểu học Toán học giúp bồi dỡng t duy lô gíc, bồi d-ỡng và phát sinh phơng pháp suy luận, phát triển trí thông minh, t suy lô gíc sáng tạo, tính chính xác, kiên trì, trung thực
Việc giải toán điển hình bằng phơng pháp dùng cơ sở đoạn thẳng là rất
quan trọng vì Sơ đồ đoạn thẳng“Sơ đồ đoạn thẳng” ” là một phơng tiện trực quan đợc sử dụng trong việc dạy, giải toán ngay từ lớp 1 bởi nó đáp ứng đợc nhu cầu tăng dần mức độ trừu tợng trong việc cung cấp các kiến thức toán học cho học sinh
Phơng tiện trực quan thì có nhiều nhng qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy sơ đồ đoạn thẳng là phơng tiện cần thiết, quan trọng và hết sức hữu hiệu trong việc dạy giải toán (Một kỹ năng cần thiết nhất) ở bậc tiểu học nói chung và ở các lớp cuối cấp nói riêng Trong phạm vi đề tài này tôi xin đề cập đến vấn đề “Sơ đồ đoạn thẳng”ứng dụng phơng pháp giải toán điển hình”
Để giúp học sinh có kỹ năng giải toán nói chung và kỹ năng giải bằng phơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng nói riêng Tôi đã giúp cho học sinh nắm một số bớc cơ bản sau đây:
II Các bớc cơ bản để giải một bài toán bằng “Phơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng”
Bớc 1: Tìm hiểu đề bài
Sau khi phân tích đề toán, suy nghĩ về ý nghĩa bài toán, nội dung bài toán đặc biệt chú ý đến câu hỏi của bài toán
Bớc 2: Lập luận để vẽ sơ đồ
Sau khi phân tích đề, thiết lập đợc mối quan hệ và phụ thuộc giữa các
đại lợng cho trong bài toán đó Muốn làm việc này ta thờng dùng sơ đồ đoạn thẳng thay cho các số (số đã cho, số phải tìm trong bài toán) để minh hoạ các quan hệ đó
Khi vẽ sơ đồ phải chọn độ dài các đoạn thẳng và sắp xếp các đoạn thẳng đó một cách thích hợp để có thể dễ dàng thấy đợc mối quan hệ phụ thuộc giữa các đại lợng, tạo ra một hình ảnh cụ thể giúp ta suy nghĩ tìm tòi cách giải một bài toán
Trang 3Có thể nói đây là một bớc quan trọng vì đề toán đợc làm sảng tỏ: mối quan hệ giữa các đại lợng trong bài toán đợc nêu bật các yếu tố không cần thiết đợc lợc bỏ
Để có thể thực hiện những bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng thì nắm đợc cách biểu thị các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) các mối quan hệ (quan hệ
về hiệu, quan hệ về tỷ số) là hết sức quan trọng Vì nó làm một công cụ biểu
đạt mối quan hệ và phụ thuộc giữa các đại lợng “Sơ đồ đoạn thẳng”Công cụ” này học sinh đã
đợc trang bị từ những lớp đầu cấp nhng cần đợc tiếp tục củng cố, “Sơ đồ đoạn thẳng”mài giũa”
ở các lớp cuối cấp
Bớc 3: Lập kế hoạch giải toán
Dựa vào sơ đồ suy nghĩ xem từ các số đã cho và điều kiện của bài toán
có thể biết gì? có thể làm gì? phép tính đó có thể giúp ta trả lời câu hỏi của bài toán không? trên có sở đó, suy nghĩ để thiết lập trình tự giải bài toán
Bớc 4: Giải và kiểm tra các bớc giải
+ Thực hiện các phép tính theo trình tự đã thiết lập để tìm ra đáp số + Mỗi khi thực hiện phép tính cần kiểm tra xem đã đúng cha? Giải song bài toán phải thử xem đáp số đã tìm đợc có trả lời đúng câu hỏi của bài toán có phù hợp với các điều kiện của bải toán không
Tóm lại, để học sinh có thể sử dụng thành thạo “Sơ đồ đoạn thẳng”phơng pháp dùng sơ
đồ đoạn thẳng” trong việc giải toán thì việc giúp cho các em hiểu rõ ý nghĩa của từng dạng toán sau đó có thể mô hình hoá nội dung từng dạng bằng sơ
đồ đoạn thẳng từ đó tìm ra cách giải bài toán là một việc làm hết sức quan trọng Làm đợc việc này giáo viên đã đạt đợc mục tiêu lớn nhất trong giảng dạy đó là việc không chỉ dừng lại ở việc “Sơ đồ đoạn thẳng”dạy toán” mà còn hớng dẫn học sinh “Sơ đồ đoạn thẳng”học toán sao cho đạt hiệu quả cao nhất”
Để khẳng định cụ thể hơn lợi ích của việc sử dụng sơ đồ đoạn thẳng để dạy giải toán ở tiểu học tôi xin trình bày một số dạng toán cơ bản mà khi giải
có thể sử dụng sơ đồ đoạn thẳng
Dạng 1: Dạng toán có liên quan đến số trung bình cộng
Đối với dạng toán này, học sinh nắm đợc khái niệm số trung bình cộng Biết cách tìm số trung bình cộng của nhiều số Khi giải các bài toán dạng này, thông thờng các em thờng sử dụng công thức
Số trung bình = Tổng : số các số hạng
Trang 41 Tổng = số trung bình cộng x số các số hạng
2 Số các số hạng = tổng : số trung bình cộng
áp dụng kiến thức cơ bản đó học sinh đợc làm quen với rất nhiều dạng toán về trung bình cộng mà có những bài toán nếu không tóm tắt bằng sơ đồ, học sinh sẽ rất khó khăn trong việc suy luận tìm ra cách giải
Ví dụ: An có 20 nhãn vở, Bình có số nhãn vở bằng An Chi có số nhẵn
vở ít hơn trung bình cộng số nhãn vở của 3 bạn là 6 nhãn vở Hỏi chi có bao nhiêu nhãn vở?
Sau khi đọc kỹ đề toán, phân tích mối quan hệ giữa các đại lợng trong bài, học sinh tóm tắt bài toán bằng sơ đồ:
+ Trớc hết vẽ đoạn thẳng:
Biểu thị tổng số nhẵn vở của 3
bạn
+ Dựa vào đó học sinh nêu cách
vẽ đoạn thẳng thể hiện mức
trung bình cộng số nhãn vở của
3 bạn (1/3 tổng trên)
+ Từ đó vẽ đoạn thẳng biểu thị
số nhẵn vở của Chi (ít hơn mức
trung bình cộng là 6 chiếc)
Tổng số nhãn vở Bình + An Chi Trug bình cộng
Nhãn vở của chi
Nhãn vở của An
và Bình Bình + An
Sau khi hớng dẫn tìm hiểu đề và tóm tắt bằng sơ đồ, nhiều học sinh đã biết từng bớc tìm cách giải Những em cha làm đợc bài, sau khi nghe bạn trình bày cách suy luận của sơ đồ các em đều nắm đợc và bết tự giải quyết các bài toán dạng tơng tự
Số nhãn vở của An và Bình là:
20 + 20 = 40 (nhãn vở)
Nhìn vào sơ đồ ta thấy, trung bình cộng số nhãn vở của 3 bạn là
(40 – 6) : 2 = 17 (nhãn vở)
Bạn Chi có số nhãn vở là:
17 – 6 = 11 (nhãn vở)
Trang 5Đáp số: 11 nhãn vở
Ví dụ 2:
Dùng sơ đồ có thể giúp học sinh hiểu hoặc các em có thể giải thích cách làm dạng toán tìm 2 số khi biết hiệu và trung bình cộng của 2 số đó một cách ngắn gọn
Ta thấy: Hiệu
Số lớn:
Số bé:
TBC:
Qua sơ đồ ta có thể tìm ra:
Ví dụ một bài toán cụ thể dạng này:
Trung bình cộng của 2 số tròn chục liên tiếp là 2005 Tìm hai số đó Vì hai số tròn chục liên tiếp kém nhau 10 đơn vị nên ta có sơ đồ:
10
Số lớn:
Số bé:
TBC:
Bài giải:
Số lớn là:
2005 + (10 : 2) = 2010
Số bé là:
2005 – (10 : 2) = 2000
Số lớn = trung bình cộng + (hiệu : 2)
Số bé = Trung bình cộng – (Hiệu :
2)
Trang 6Hoặc 2010 – 10 = 2000
Đáp số: Số lớn 2010
Số bé 2000
Ví dụ 3:
Một tổ công nhân đờng sắt sửa đờng, ngày thứ nhất sửa đợc 15m đờng, ngày thứ 2 sửa đợc nhiều hơn ngày thứ nhất 1m, ngày thứ 3 sửa đợc nhiều hơn ngày thứ nhất 2m Hỏi trung bình mỗi ngày sửa đợc bao nhiêu mét đ-ờng?
Ta có sơ đồ:
15 m Ngày thứ nhất:
1m
2m Ngày thứ ba:
Thông thờng ta giải bài toán nh sau:
Ngày thứ hai sửa đợc là:
15 + 1 = 16 (m) Ngày thứ 3 sửa đợc
15 + 2 = 17 (m) Trung bình mỗi ngày sửa đợc
(15 + 16 + 17) : 3 = 16 (m)
Đáp số: 16 (m)
Nhận xét: Quan sát kỹ sơ đồ ta thấy nếu chuyển một mét từ ngày thứ 3 sang
ngày thứ nhất thì số m đờng sửa đợc trong các ngày đều bằng 16m
15m 1m Ngày thứ nhất:
1m
1m 1m
Trang 7Ngày thứ ba:
Ta thấy ngay trung bình mỗi ngày tổ đó sửa đợc 16m đờng
Nh vậy, sơ đồ giúp ta hình dung rõ khái niệm, đôi khi sơ đồ còn giúp
ta tính nhẩm nhanh kết quả
Dạng 2: Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của chúng
Bài toán: Tổng hai số là 48, hiệu hai số là 12 Tìm hai số đó?
Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ, căn cứ sơ đồ hớng dẫn học sinh tìm ra phơng pháp giải
Sử dụng sơ đồ biểu thị mối quan hệ về hiệu, các em sẽ tóm tắt bài toán bằng sơ đồ dới đây
Số lớn:
12 48
Số bé:
Nhìn vào sơ đồ, yêu cầu học sinh nhận xét:
+ Nếu lấy tổng trừ đi hiệu, kết quả đó có quan hệ nh thế nào với số bé? (Giáo viên thao tác che phần hiệu là 12 trên sơ đồ) từ đó học sinh sẽ dễ dàng nhận thấy phần còn lại là 2 lần số bé
Dựa vào suy luận trên, yêu cầu học sinh nêu cách tìm số bé
Hơn 80% số em nêu đợc tìm số bé là:
(42 – 12) : 2 = 18 Tìm đợc số bé suy ra số lớn là:
18 + 12 = 30 Hay: 48 – 18 = 30
Từ bài toán ta xây dựng đợc công thức tính:
Số bé = (tổng – hiệu) :
2
Số lớn = Số bé + hiệu
Hay = Tổng – số
Trang 8Cách giải vừa nêu trên là dễ nhất với học sinh Tuy nhiên cũng có thể giới thiệu thêm phơng pháp sau đây:
Cũng biểu thị mối quan hệ hiệu nhng sử dụng sơ đồ
Số lớn:
12 48
Số bé:
Suy luận: nếu thêm một đoạn thẳng hiệu (12) vào số bé ta đợc hai
đoạn thẳng bằng nhau tức là hai lần số lớn
Từ đó suy ra:
Số lớn là:
(48 + 12) : 2 = 30 Vậy số bé là: 30 – 12 = 18 Hoặc: 48 – 30 = 18
Sau khi học sinh đã nắm đợc cách giải ta xây dựng công thức tổng quát:
Nh vậy qua sơ đồ đoạn thẳng học sinh nắm
đợc ph- ơng pháp giải dạng toán này và có thể áp dụng để giải các bài tập về tìm hai số khi biết tổng và hiệu ở nhiều dạng khác nhau
Ví dụ 1:
Ba lớp A, B, C mua tất cả 120 quyển vở Tính số vở của mỗi lớp biết rằng nếu lớp 4A chuyển cho lớp 4B 10 quyển và cho lớp 4C 5 quyển thì số
vở của 3 lớp sẽ bằng nhau:
Phân tích nội dung bài toán sẽ vẽ đợc sơ đồ
5 Lớp 4A:
10 Lớp 4B:
Số lớn = (tổng + hiệu) :2
Số bé = số lớn – hiệu
Hay = Tổng – số lớn
Trang 9Lớp 4C:
Dựa vào sơ đồ ta có:
Sau khi lớp 4A chuyển cho hai lớp thì mỗi lớp có số vở là:
120:3 = 40 (quyển)
Lúc đầu lớp 4C có là:
40-5 = 35 (quyển)
Lúc đầu lớp 4B có là:
40-10 = 30 (quyển)
Lúc đầu lớp 4A có là:
40 + 10 + 5 = 55 (quyển)
ĐS: 4A: 55 quyển; 4B: 30 quyển; 4C: 35 quyển
Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và tỉ của chúng
Bài toán: Một đội tuyển học sinh giỏi toán có 12 bạn, trong đó số bạn
gái bằng 1/3 số bạn trai Hỏi có mấy bạn gái, mấy bạn trai trong đội tuyển
đó?
Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ, cắn cứ vào sơ đồ hớng dẫn học sinh tìm
ra phơng pháp giải:
Sử dụng sơ đồ biểu thị mối quan hệ về tỷ số và các em sẽ tóm tắt bài toán bằng sơ đồ dới đây:
Số bạn trai:
12 bạn
Số bạn gái:
Vẽ sơ đồ đoạn thẳng thế này học sinh dễ dàng thấy đợc hai điều kiện của bài toán: cả trai và gái có 12 bạn (biểu thị mối quan hệ về tổng) và có số bạn trai gấp 3 lần số bạn gái (biểu thị mối quan hệ về tỷ)
Sơ đồ trên gợi cho ta cách tìm số bạn gái bằng cách
lấy 12 chia cho 3 + 1 = 4 (vì số bạn gái ứng với 1/4 tổng số bạn)
Cũng dựa vào sơ đồ ta dễ dàng tìm đợc số bạn trai
Bài giải
Trang 10Tổng số phần bằng nhau là
1 + 3 = 4 (phần)
Số bạn gái trong đội tuyển là
12 : 4 = 3 (bạn)
Số bạn trai trong đội tuyển là
3 x 3 = 9 (bạn) Hoặc 12 – 3 = 9 (bạn)
Đáp số: Trai: 9 bạn
Gái: 3 bạn
Từ bài toán cơ bản trên ta xây dụng quy tắc giải bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của 2 số đó
Nam
đ-ợc quy tắc giải học sinh sẽ biết áp dụng để giải nhiều bài toán cùng dạng, học sinh giỏi sẽ biết áp dụng quy tắc để giải các bài toán khó dạng này (đó là các bài toán cùng dạng nh tổng, tỷ đợc thể hiện dới dạng ẩn)
Ví dụ 1:
Hai đội xanh và đỏ có tất cả 45 quả bóng Tính xem mỗi đội có bao nhiêu quả bóng Biết 3 lần số bóng đội xanh bằng 2 lần số bóng đội đỏ
Bớc 1: Vẽ sơ đồ
Bớc 2: Tìm tổng số phần bằng nhau
Bớc 3: Tìm giá trị một phần
Giá trị một phần = Tổng : Tổng số phần bằng nhau Bớc 4: Tìm số bé
Số bé = giá trị 1 phần x số phần của số bé Bớc 5: Tìm số lớn
Số lớn = giá trị 1 phần x số phần của số lớn Hoặc = tổng – số bé
Trang 11Bớc 1: Ta vẽ sơ đồ biểu thị 3 lần số bóng đội xanh = 2 lần số bóng đội
đỏ
2 lần đội đỏ:
3 lần đội xanh:
Nhìn vào sơ đồ ta thấy nếu chia số bóng của đội xanh thành 2 phần và chia số bóng của đội đỏ thành 3 phần thì các phần sẽ bằng nhau Với tỷ số bóng 2 đội là 2/3 Ta có sơ đồ biểu thị số bóng của 2 đội
Đội xanh:
45 quả
Đội đỏ:
Bài giải Tổng số phần bằng nhau là
2 + 3 = 5 (phần)
Số bóng ứng với một phần là
45 : 5 = 9 (quả)
Số bóng đội xanh là
9 x 2 = 18 (quả)
Số bóng đội đỏ là
9 x 3 = 27 (quả)
Đáp số: Đội xanh: 18 quả
Đội đỏ: 27 quả
Ví dụ 2: Tổng số tuổi của 2 anh em hiện nay là 25 tuổi Trớc đây khi
anh bằng tuổi em hiện nay thì tuổi anh gấp hai lần tuổi em Tính tuổi của mỗi ngời hiện nay?
Đây thực sự là bài toán về tìm 2 số khi biêt tổng và tỷ số nhng không ở dạng cơ bản mà đã đợc nâng cao lên bằng cách diễn đạt tỷ số dới dạng ẩn Vì vậy khi nhận đợc đề bài này học sinh rất lúng túng khi xác định đợc cách
Trang 12giải đúng Sau khi gợi ý, phân tích và hớng dẫn từng bớc sơ đồ hoá nội dung bài toán các em nhận ra ngay dạng toán quen thuộc tìm hai số khi biết tổng
bà tỷ số
+ Trớc hết yêu cầu học sinh vẽ sơ đồ biểu thị số tuổi của 2 anh em trớc
đây
Tuổi em trớc đây:
Tuổi anh trớc đây:
Nhận xét: Hiệu số tuổi của hai anh em là 1 “Sơ đồ đoạn thẳng”phần” Hiệu số phần bằng nhau giữa tuổi anh và tuổi em không thay đổi theo thời gian (vì sau cùng một số năm thì 2 anh em cùng tăng một số tuổi nh nhau) Nh vậy tuổi anh hiện nay bằng 3 lần tuổi em trớc đây
Ta có sơ đồ:
Tuổi em hiện nay:
Tuổi anh hiện nay:
Dùng phơng pháp giải bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của 2
số đó học sinh đễ dàng tìm ra đáp số bài toán
TK: Qua các ví dụ trên ta có thể thấy sơ đồ đoạn thẳng không chỉ đơn thuần dùng để tóm tắt bài toán mà còn là một công cụ giúp cho việc suy luận tìm ra cách giải toán Sử dụng sơ đồ ta có thể làm cho các bài toán khó, phức tạp trở thành các bài toán đơn giản theo dạng cơ bản nên có thể dễ dàng giải
đợc
Dạng 4: Tìm hai số khi biết hiệu và tỷ của chúng
Bài toán: Tim hai số tự nhiên biết hiệu của chúng là 27 và số này bằng 2/5
số kia
Học sinh phân tích để vẽ sơ đồ vừa biểu thị mối quan hệ về hiệu, vừa biểu thị mối quan hệ về tỷ số:
Số lớn:
Dựa vào sơ đồ tiến hành tơng tự nh khi dạy dạng toán “Sơ đồ đoạn thẳng”Tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số đó” Học sinh tìm ra cách giải bài toán
Tổng kết thành quy tắc giải dạng toán tìm hai số khi biết hiệu và tỷ số của hai số đó
25 tuổi
Bớc 1: Vẽ sơ đồ Bớc 2: Tìm hiệu số phần bằng nhau Bớc 3: Tìm giá trị một phần
Giá trị một phần = Hiệu : Hiệu số phần bằng nhau Bớc 4: Tìm số bé
Trang 13Nắm vững quy tắc giải học sinh cũng sẽ biết áp dụng để giải các bài toán nâng cao
Việc dùng sơ đồ đoạn thẳng một lần nữa lại thể hiện vai trò vô cùng quan trọng vì sơ đồ chính là chỗ dựa giúp học sinh dễ dàng trong việc suy luận tìm ra cách giải Ta có thể lấy một số bài toán sau đây làm ví dụ
Ví dụ 1: Hiệu hai số là 7, nếu gấp số thứ nhất lên 5 lần và giữ nguyên
số thứ 2 thì hiệu mới là 29 Tìm hai số đó?
Hớng dẫn học sinh sơ đồ hoá nội dung bài toán nh sau:
Trớc hết vẽ hai đoạn thẳng biểu thị hai số mà hiệu của chúng là 7 Tiếp theo kéo dài đoạn thẳng biểu thị số thứ nhất để hiển thị số đó đợc gấp lên 5 lần
Yêu cầu học sinh xác định trên sơ đồ đoạn thẳng chỉ hiệu mới
Sơ đồ bài toán
Số thứ nhất:
7
5 lần số thứ nhất:
39
Số thứ hai:
Với sơ đồ trên học sinh có thể thấy ngay
Bốn lần số thứ nhất là:
39 – 7 = 32
Số thứ nhất là:
Trang 1432 : 4 = 8
Số thứ hai là:
8 – 7 = 1 Vậy hai số đó là 8 và 1
Ví dụ 3: Hiện nay cha gấp 4 lần tuổi con Trớc đây 6 năm tuổi cha gấp
13 lần tuổi con Tính tuổi cha và tuổi con hiện nay?
Đây là một bài toán khó, học sinh sẽ lúng túng vì cả hiệu và tỷ số đều dới dạng ẩn Nhng sử dụng sơ đồ đoạn thẳng các em sẽ có số dựa vào suy luận và đa ra bài toán về dạng điển hình
Sơ đồ bài toán:
Trớc đây 6 năm:
Tuổi con:
Tuổi cha:
Hiện nay: 12 lần tuổi con trớc đây 6 năm
Tuổi con:
Tuổi cha:
12 lần tuổi con trớc đây 6 năm Theo sơ đồ, hiệu số tuổi của cha và con bằng 12 lần tuổi con lúc đó Còn hiệu số tuổi của cha và con hiện nay bằng 3 lần tuổi con hiện nay Vì hiện nay không thay đổi nên 3 lần tuổi con hiện nay bằng 12 lần tuổi con trớc đây
Ta vẽ sơ đồ biểu thị tuổi con trớc đây và tuổi con hiện nay:
Tuổi con trớc đây:
6 năm Tuổi hiện nay:
Bài toán đợc đa ra dạng cơ bản học sinh dễ dàng giải đợc:
Giải
Từ sơ đồ suy ra tuổi con trớc đây là:
6 : (4 – 1) = 2(tuổi) Tuổi con hiện nay là:
2 + 6 = 8 (tuổi)