Nhi thuc NiuTon

vận dụng đợc công thức vào một số ví dụ và bài tËp Kü năng: BiÕt vËn dông c«ng thøc nhÞ thøc Niu-t¬n vµo tìm khai triÓn cña c¸c ®a thøc ax + bn và ax - bn... Giải Theo công thức nhị thức[r]

Niu Tơn

TRƯỜNG THPT PHƯƠNG XÁ

T ổ : Toỏn – Lý – Tin

Giáo viên thực tập: Nguyễn đức Anh

KiÓm tra bµi cò

1- Nªu c«ng thøc tÝnh sè tæ hîp chËp k cña n (0 k

n)

2- Hai tÝnh chÊt c¬ b¶n cña sè





k n

n!

C

k!(n k)!



k n

C

Môc tiªu:

vËn dông ® îc c«ng thøc vµo mét sè vÝ dô vµ bµi tËp

vµo tìm khai triÓn cña c¸c ®a thøc (ax + b)n và (ax - b)n

(a + b)n = ?

(a + b) 4 =

(a + b) 2 =

(a + b) 3 =

(a + b) 5 = C a 50 5 C a b 15 4 C a b 52 3 2 C a b 35 2 3 C ab 54 4 C b55 5

a2+2ab+b2

a3+3a2b+3ab2+b3

a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

HÖ qu¶

1) Víi a=b=1, ta cã:

 n

(1 1)

=

2 n

2 = C C C

2) Víi a=1; b= -1, ta cã:

0 =

 0 n  1 n   k k n   n n n

0 C C (-1) C C (-1)

  1

 n  n 0 n  1 n 1 n   k n k k n   n 1 n n 1  n n n

n n n

C 1

= C 1 0 n n + C 1 1 1 n 1 n  + + C 1 1 k n k k n  + + C 1.1 n 1 n n 1 +

n n n

C (-1)

0 n n

C 1 + C 1 (-1) 1 n 1 n  + + C 1 (-1) k n k n  k + + C 1(-1) n 1 n n 1 +

n

(1- 1) =

 / 0

1

n

k n k k n

k

a b





Quy íc: a b0  0 1

C«ng thøc (1) vµ ® îc gäi lµ 1 / c«ng thøc nhÞ thøc Niu-t¬n

   

- Số các hạng tử là: n + 1

1 n

C C k n C n 1 n C n n

0 n

C a n b 0 + a n-1 b + + a n-k b k + … + a b n-1 + a 0 b n

số mũ của a giảm dần từ n đến 0,

- Các hạng tử có số mũ của b tăng dần từ 0 đến n,

nh ng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng

n (qui ớc a0=b0=1)

- Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử

đầu và cuối thỡ bằng nhau

Chú ý: Trong biểu thức vế phải của công thức (1):

1 k n k k( 0,1,2, , )

T C a b k n

-Số hạng tổng quát có dạng

  1

 n  n 0 n  1 n 1 n   k n k k n   n 1 n n 1  n n n

VÝ d 1: Khai triÓn biÓu thøc: ụ

VÝ d 1: Khai triÓn biÓu thøc: ụ (2x + 3)4

Giải

Theo công thức nhị thức Niu-tơn ta có:

 x  2 y 5 

VÝ dụ 3: Tìm sè h¹ng kh«ng chøa trong khai triÓn

6 2

1

2x

x



x

 6

1 2

k k

k

x

C   

 

Giải

Sè h¹ng tæng qu¸t trong khai triÓn lµ:

 

6

k=2



VËy sè h¹ng kh«ng chøa lµ: C62 6 22   1 2 240

x

Ta phải tìm k sao cho 6-3k=0

Ví dụ 2 : Tính hệ số của x12y13trong khai triển (x+y)25

Giải

k k k

k

y x

y







25

0 25

25

) (

Do đó hệ số của x12y13 là: Ck25 Với 13

13

12

25

















k k

k

Vậy hệ số của x12y13 là: 5200300

! 12

!

13

! 25

13

C

Bài tập củng cố

  1

 n  n 0 n  1 n 1 n   k n k k n   n 1 n n 1  n n n

0

1

n

k n k k n

k

a b



