6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; M là trung điểm SB; G là trọng tâm ∆SAD a Tìm giao điểm I của GM với ABCD và chứng minh I nằm trên đường thẳng CD và IC = 2ID ?..[r]
Trang 1PHẦN I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
I CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN
1 Hai cung đối nhau: -x và x
6 Công thức cộng lượng giác
21
Trang 2Trường THPT Cò Nòi Bài tập Toán khối 11
A CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
I/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Cho sin 3 < < 3 .Tính cos ,tan ,cot
Bài 2: Cho 5cosa + 4 = 0 (180 < a < 270 o o).Tính sina , tana, cota
Bài 3: Cho tan15o= −2 3 Tính sin15 ,cos15 ,cot15 o o o
Bài 4: Tính A tan x cot x
c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx
Bài 6: Chứng minh các đẳng thức sau:
a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx =
1+sinx cosxsin x.cos x 1-sin x
sinx 1+cosx 2 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosx
1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx
1 tan x-tan y sin x-sin yi/ 1-cosx 1+cot x = ; j/ =
1+cosx tan x.tan y sin x.sin y
Bài 7: * Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:
A=2 sin x+cos x -3 sin x+cos x ; B=cos x 2cos x-3 +sin x 2sin x-3
C=2 sin x+cos x+sin xcos x - sin x+cos x ; D=3 sin x-cos x +4 cos x-2sin x +6sin x
sin x+cos x-1 E= sin x+4cos x + cos x+4sin x ; F= ;
sin x+cos x+3cos x-1 H=cosx 1-sinx 1-cosx 1-sin x +sinx 1-cosx 1-sinx 1-cos x ;(x 0; )
Trang 3A sin a sin 2 a sin 3 a sin 100 a
B cos 1710 x 2sin x 2250 cos x 900 2sin 720 x cos 540 x
sin x cos x 99 2
III/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Bài 8: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 15 ,75 ,105 ,285 ,3045 o o o o o
Bài 9: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 7 13 19 103 299, , , ,
Trang 4Trường THPT Cò Nòi Bài tập Toán khối 11
Bài 14: Tínhtan
4
π α
tan 25 tan 20 1 tan15
1 tan 25 tan 20 1 tan15
3 tan 225 cot81 cot 69
Bài 17: Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x:
d /sin a sin a 2 sina
Bài 19: Loại 5: Hệ thức lượng trong tam giác
Cho tam giác ABC.Chứng minh:
1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB
2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC
Công thức biến đổi:
Bài 20: BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG
d / 2sin x.sin 2x.sin3x; e /8cos x.sin 2x.sin3x;
f / sin x sin x cos 2x; g / 4cos a b cos b c cos c a
Trang 5( ) ( ) ( )
a / cos 4x cos3x; b / cos3x cos 6x; c / sin 5x sin x
d / sin a b sin a b ; e / tan a b tan a; f / tan 2a tan a
Bài 22: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau :
11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC
12/ cos2A + cos2B + cos2C = 1
4cosA.cosB.cosC13/ sin A + sin B + sin C = 2 1 +cosA.cosB.cosC
14/ cos A + cos B + cos C = 1 - 2cosA.cosB.cosC
15/ sinA + sinB - sinC = 4 sin sin cos
( tiếp theo Loại 5- Trang 8)
Bài 23: Chứng minh ∆ ABC vuông nếu:
sin B C sin B C
C tan B sin B
a / tan A.tan B.tan 1; b / ; c /
2 tan C sin C sin B sin C sin B sin C
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau
2
x x
Trang 6Trường THPT Cò Nòi Bài tập Toán khối 11
II Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác
Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx
sin2(-x) = [sin(-x)]2= (-sinx)2 = sin2x
Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐD ; Kiểm tra x D∈ ⇒ − ∈x D x, ∀
Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) Có 3 khả năng
Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau
4) y = 1
III Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác
Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2
Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng (−π +k2 ; 2 π k π)
Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng (k2 ; π π +k2 π)
Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ π + π ; k )
Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số
Trang 7Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K ⇒y = A.f(x) +B
Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số
1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn [−π π ; ]
IV Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
Chú ý : − ≤ 1 s inx 1 ; -1 cosx 1 ≤ ≤ ≤ ; 0 ≤sin2 x ≤1 ; A2 + B ≥B
m f x = f b f x = f a
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [a b; ] thì
[ a ; ax ( ) ] ( ) ; min ( ) [ a ; ] ( )
b b
π2
2
k v u
k v u
( k ∈ Z ) cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π ( k ∈ Z ) tanu = tanv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z ) cotu = cotv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z )
2/ Phương trình đặc biệt :
2
π + k π , cosx = 1 ⇔ x = k2π , cosx = -1 ⇔ x = π + k2π
3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a2 + b2 ≠ 0
ϕ
−+b x
2 2
cos
b a
a
+
=
ϕ
Trang 8Trường THPT Cị Nịi Bài tập Tốn khối 11
ϕ++b x
2 2
cos
b a
Xét phương trình với x = π + kπ , k ∈ Z
Với x ≠ π + kπ đặt t = tan
2
x ta được phương trình bậc hai theo t : (c + b)t2 – 2at + c – a = 0
Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm ⇔ a2 + b2 - c2 ≥ 0
Bài tập :Giải các phương trình sau:
1 3cosx−sinx= 2 , 2 cosx− 3sinx =−1
3 3sin3x 3cos9x 1 4sin33x
=+
x x
5 cos7x−sin5x= 3(cos5x−sin7x), 6.tanx−3cotx=4(sinx+ 3 cos )x
7 3(1 cos 2 ) cos
2sin
x
x x
4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác :
Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0 với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx
Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0
Bài tập: Giải các phương trình sau:
3 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1
5 sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x 6 x cos2 x
3
4
5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx :
a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin2x +b sinx cosx + c cos2x = 0
Cách 1 :
• Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm
• Xét cosx ≠ chia hai vế của phương trình cho cos0 2x rồi đặt t = tanx
Cách 2: Thay sin2x =
2
1(1 – cos 2x ), cos2x =
2
1(1+ cos 2x) , sinxcosx =
2
1sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tanx sau khi đã xét phương trình trong trường hợp cos x = 0 hay x =
2
π+ kπ ,k∈Z
Bài tập :
1 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2
2 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos2x = 0
3 4sin2x +3 3 sin2x – 2cos2x = 4
4 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx
Trang 95 2 2 1
2
6/ Phương trình dạng : a( cosx ± sinx ) + b sinxcosx + c = 0
Đặt t = cosx + sinx , điều kiện − 2 ≤ t ≤ 2 khi đó sinxcosx =
Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t
Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0
Đặt t = cosx - sinx , điều kiện − 2 ≤t ≤ 2 khi đó sinxcosx =
2
1−t2
Bài tập : Giải các phương trình sau :
1 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0
2 sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12
3 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1
4 sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0
5 cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0
7 Các phương trình lượng giác khác
Bài 1: Giải các phương trình sau :
1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos2x – 9sinx = 0, 4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg2x + 3 =
x
cos
3 , 6/ 4sin4 +12cos2x = 7 Bài 2 : Giải các phương trình sau :
1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) HD : đặt t =sinx
x ) ĐS: sinx =1 v sin
2
x = 1 4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : đặt t = tanx , ĐS : x = -
4
π + k π 5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 =
2
1 7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x
8/ cos 3x – cos 2x = 2
9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan
2
x 10/ sin2x+ 2tanx = 3
11/ sin2x + sin23x = 3cos22x HD :đặt t =cos 2x 12/ tan3( x -
4
π ) = tanx - 1 ĐS : x = kπ v x =
4
π + kπ 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx 14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x =
4
π+ kπ 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
Trang 10Trường THPT Cị Nịi Bài tập Tốn khối 11
II PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX
Giải các phương trình sau :
1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0
2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx
3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ĐS : x=
4
π+2
π
k 5/ sin3(x -
4
π) = 2 sinx ĐS : x =
4
π+kπ 6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = 0 ĐS :x = ±
3
π + kπ v x=
4
π +2
π
k 7/ 3sin4x +5cos4x – 3 = 0
8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx
III PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG
Giải các phương trình sau :
1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 0
1cos
1
=++
2 + 2tan2x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0
9/ 1 + cos3x – sin3x = sin 2x 10/ cos3x – sin3x = - 1
11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx )
IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC
Giải các phương trình sau:
1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x +
4
1 5/ sin4
sincos
1
sincos
=
−+ 11/ sin2
) 4
13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx + 1 4 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan2x + tan2x )
2sin21
3sin3cos(sin
2
x)
Trang 11D TỔ HỢP
Tĩm tắt giáo khoa
I Quy tắc đếm
1 Quy tắc cộng: Giả sử cơng việc cĩ thể tiến hành theo một trong hai phương án A và
B Phương án A cĩ thể thực hiện bởi n cách; phương án B cĩ thể thực hiện bởi m cách Khi đĩ, cơng việc được thực hiện theo n + m cách
2 Quy tắc nhân: Giả sử cơng việc bao gồm hai cơng đoạn A và B Cơng đoạn A cĩ thể thực hiện bởi n cách; cơng đoạn B cĩ thể thực hiện bởi m cách Khi đĩ, cơng việc được thực hiện bởi n.m cách
a Định nghĩa: Cho tập hợp A cĩ n phần tử và số k ∈ ℕ mà 1 k n ≤ ≤ Một tập hợp con của
A cĩ k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử
Trang 12Trường THPT Cò Nòi Bài tập Toán khối 11
Các Dạng bài toán cơ bản Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm
Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A
hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân
Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41 Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau Hỏi X có bao nhiêu cách chọn?
Bài 2: Cho tập A ={0;1; 2;3;4} Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong số các phần tử của A?
Bài 3: Từ tập A ={1, 2,3, 4,5} hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần?
Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị
Phương pháp giải:
• Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: Pn = n! = 1.2.3…n
• Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân
Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt?
Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b) n
Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton:
Trang 13Bài 10: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (11 + x)11
Bài 11: Trong khai triển 3 3 10
2 x x
−
Bài 12: Tìm hệ số của x8 trong khai triển 1 x 1 x+ 2( − )8
Bài 13: Cho khai triển: ( )10 2 10
1 2x + = a + a x a x + + + a x , có các hệ số a , a , a , , a 0 1 2 10 Tìm hệ
số lớn nhất
Bài 14: Tìm số hạng trong các khai triển sau
1) Số hạng thứ 13 trong khai triển (3−x)25
2) Số hạng thứ 18 trong khai triển (2−x )2 25
3) Số hạng không chứa x trong khai triển
12
1xx
Bài 15: Tìm hệ số của số hạng trong các khai triển sau
1) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 4
1
xx
3) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 8 1+x (12 −x)8
4) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 5 (1+x+x2 +x3)10
5) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 3 (x2 −x+2)10
6) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 4 (1+ x+3x )2 10
7) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển: 3
Phương pháp giải: Từ đề bài, ta liên kết với một nhị thức khai triển và cho x giá trị thích hợp, từ đó suy ra kết quả
Trang 14Trường THPT Cị Nịi Bài tập Tốn khối 11
E CẤP SỐ CỘNG
Kiến thức cần nhớ:
1 Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ
số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công sai
Gọi d là công sai, theo định nghĩa ta có: un+1 = un + d (n = 1, 2, )
Đặc biệt: Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số trong đó tất cả các số hạng đều
bằng nhau
Để chỉ rằng dãy số (un) là một cấp số cộng,ta kí hiệu ÷ u1, u2, , un,
2 Số hạng tổng quát
Định lí: Số hạng tổng quát un của một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai
d được cho bởi công thức: un = u1 + (n - 1)d
3 Tính chất các số hạng của cấp số cộng
Định lí: trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai ( và trừ số
hạng cuối cùng đối với cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nó, tức là
4 Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Định lí: Để tính Sn tacó hai công thức sau:
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Xác định số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây:
a/÷ 2 , 5 , 8 , tìm u15
b/ ÷ 2 + 3 , 4 , 2 − 3 , tìmu20
ĐS:
3 18 40 /
44 /
u a
Bài 2: Xác định cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng
=
− + 26
10 6
4
3 5 2
u u
u u u
Tìm số hạng đầu và công sai của nó
Bài 4: Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của
chúng là 165
Bài 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của
chúng là 1140
Bài 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một
cấp số cộng với công sai là 25
Bài 7: Cho cấp số cộng ÷ u1, u2, u3,
Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147
Trang 15Tính u1 + u6 + u11 + u16
Bài 8: Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80
Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó
Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng của chúng là 176 Hiệu của số hạng
cuối và số hạng đầu là 30 Tìm cấp số đó
Bài 10: cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = -3 Tính a10
Bài 11: Tính u1, d trong các cấp số cộng sau đây:
35
19 /
2
129
14 /
u
u
S
u u
31 /
4
2 45
9 /
3
9 4
10 3 6 4
u u
u u S S
Bài 12: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u14 = 18
Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên
Bài 13: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 17, d = 3 Tính u20 và S20
Bài 16: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u4 = 18
Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên ĐS: S20 = 1350
CẤP SỐ NHÂN
Kiến thức cần nhớ:
1 Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), tronh đó kể từ
số hạng thứ hai mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công bội
Gọi q là công bội, theo định nghĩa ta có
un+1 =un.q (n = 1, 2, )
Đặc biệt:
Khi q = 0 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u1, 0, 0, , 0,
Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u1, u1, , u1,
Nếu u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0, ,
Để chỉ dãy số (un) là một cấp số nhân ta thường dùng kí hiệu
u1, u2, , un,
2 Số hạng tổng quát
Định lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức: