CHUONG 1 Tĩnh Học Vật Rắn

Không gian mang tính đ ồng nhất, đẳng hướng nên nó thỏa mãn các tính chất của không gian Ơclít, trong đó các tiên đ ề và định lý của hình học Ơclít được nghiệm đúng.Thời gian cũng được q

Không gian trong cơ h ọc lý thuyết được quan niệm không phụ thuộc v ào thời gian mà vật thể chuyển động trong đó Không gian mang tính đ ồng nhất, đẳng hướng nên nó thỏa mãn các tính chất của không gian Ơclít, trong đó các tiên đ ề và định lý của hình học Ơclít được nghiệm đúng.

Thời gian cũng được quan niệm không phụ thuộc v ào không gian, vào vật thể chuyển động, trôi đều từ quá khứ, qua hiện tại, đến t ương lai, đối với mọi hệ quy chiếu.

Không gian và thời gian như vậy được gọi là không gian tuyệt đối và thời gian tuyệt đối,

nó là dạng lý tưởng hóa của không gian v à thời gian thực.

Cơ học lý thuyết được xây dựng trên phương pháp tiên đề, dựa trên hệ tiên đề do Isaac Newton đưa ra lần đầu tiên trong tác phẩm nổi tiếng “Cơ sở toán học của triết học tự nhi ên” viết vào năm 1687 Do đó cơ h ọc lý thuyết còn được gọi là cơ học Newton.

Cơ học Newton chỉ khảo sát đối với các vật thể có kích th ước hữu hạn và chuyển động với vận tốc nhỏ hơn nhiều lần so với vận tốc ánh sáng C ơ học của các vật thể có kích th ước

vô cùng bé được nghiên cứu trong cơ lượng tử, vật thể chuyển động với vận tốc vô c ùng lớn

cỡ vận tốc ánh sáng được khảo sát trong cơ học tương đối của Albert Einstein.

Cơ học lý thuyết hình thành và phát triển gắn liền với sự phát triển sản xuất v à tri thức của nhân loại, đặc biệt nó gắn liền với sự phát triển của kỹ thuật v à công nghệ.

Cơ học lý thuyết là cơ sở cho xuất phát điểm của nhiều môn học nh ư cơ học vật liệu (sức bền vật liệu), lý thuyết đ àn hồi, thuỷ khí động lực học, động lực học máy… v à một số chuyên môn khác trong chương tr ình đào tạo các ngành thuộc khối kỹ thuật và công nghệ.

Cơ học lý thuyết đã có lịch sử phát triển lâu đời do công lao của nhiều thế hệ các nh à khoa học Ngay từ thời cổ đại ng ười ta đã biết áp dụng những quy luật của c ơ học ví như quy luật đòn bẩy, quy luật mặt phẳng nghi êng… để xây dựng các công tr ình đồ sộ còn tồn tại cho đến ngày nay.

Lịch sử phát triển của C ơ học lý thuyết gắn liền với nhiều nh à bác học thiên tài, người đầu tiên đặt nền móng cho ngành khoa học có thể kể đến nhà bác học người Italia Leonardo

da Vinci (1452-1519) Ông là một nhà hình học và là kỹ sư có tài, có nhiều khảo sát trong lĩnh vực cơ cấu máy và ma sát trong máy móc và chuy ển động trên mặt phẳng nghiêng Cùng thời cũng cần phải kể đến nh à bác học người Ba Lan nổi tiếng Nicolai Copernic (1473-1543), người đã xây dựng lý thuyết chuyển động của các h ành tinh trong thái dương h ệ và là người đầu tiên quan niệm rằng trái đất quay quanh mặt trời Dựa vào các công trình nghiên c ứu của Nicolai Copernic và các kết quả nghiên cứu của mình, nhà thiên văn học người Đức Johannes Kepler (1571-1630) đã phát hiện ra ba định luật nổi tiếng của chuyển động các hành tinh và là cơ sở cho Newton tìm ra định luật vạn vật hấp dẫn vũ trụ nổi tiếng.

Các nghiên cứu có tầm quan trọng thúc đẩy cho sự phát triển c ơ học là các các công trình của Galileo Galilei (1564-1642) Nhà bác học người Italia này đã đề cập đến các định luật chuyển động dưới tác dụng của lực, tức phần động lực học Định luật nổi tiếng của động

lực học một trong những phát minh vĩ đại nhất của con ng ười là định luật quán tính do Galileo Galilei tìm ra Ông cũng là những người đầu tiên của nhân loại đề cập đến lý thuyết

về độ bền của công trình.

Các công trình của Newton đã hoàn tất thời kỳ đầu của khoa học tự nhi ên cũng như là người xây dựng hoàn chỉnh các cơ sở lý thuyết cho môn c ơ học cổ điển Newton đã thống nhất, mở rộng và xây dựng một hệ thống các định luật m à ngày nay chúng ta gọi là hệ tiên đề động lực học mang tên Ông- Newton.

Trên cơ sở các định luật có tính hệ thống v à chặt chẽ của Newton, cơ học lý thuyết đã chuyển sang một giai đoạn phát triển hết sức mạnh mẽ cho đến ng ày nay.

Quá trình phát triển này đã đưa đến việc xuất hiện lý thuyết t ương đối hiện đại của Albert Einstein.

Đóng góp vào sự phát triển của cơ học lý thuyết sau thời hậu Newton phải kể đến các nhà bác học như Jean le Rond D'alembert (1717-1783) người đã đưa ra lý thuyết cân bằng trong chuyển động tương đối và được gọi là nguyên lý D'alembert, viện sĩ viện hàn lâm khoa học Nga người đã có nhiều công lao trong việc sử dụng các ph ương pháp giải tích để nghiên cứu các bài toán động lực học của vật rắn.

Hướng giải tích hóa để giải các b ài toán cơ học mà ngày nay được gọi là cơ học giải tích đã được nhà khoa học lớn người Pháp Louis Joseph Lagrange đề xướng, trong đó cơ học

đã được trình bày dựa vào phương pháp giải tích, không cần minh họa bằng h ình vẽ nào Cơ học giải tích phát triển gắn liền với các công trình nghiên c ứu của các nhà khoa học như William Rowan Hamilton (1805-1865), Abraham Jacobi (1804-1851), Carl Friedrich Gauss (1777-1855)…

Ngày nay cơ học lý thuyết phát triển gắn liền với các vấn đề của vật lý v à kỹ thuật hiện đại như cơ học vũ trụ, điều khiển tự động, kỹ thuật robot…

PHẦN I

TĨNH HỌCNỘI DUNG:

 Tĩnh học là phần đầu của cơ học lý thuyết khảo sát sự cân bằng của vật thểdưới tác dụng của lực

 Hai bài toán cơ bản trong phần này là: Khảo sát tác dụng của hệ lực l ên vậtrắn và tìm điều kiện cân bằng để giải quyết các b ài toán kỹ thuật

 Phương pháp nghiên c ứu trong phần tĩnh học l à phương pháp tiên đ ề kếthợp phương pháp mô hình

 Các kết quả nghiên cứu trong tĩnh học sẽ đ ược áp dụng để giải thích cáchiện tượng thực tế, đồng thời làm cơ sở ban đầu để học các môn sức bềnvật liệu và cơ học kết cấu

CHƯƠNG 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ HỆ TIÊN ĐỀ

TĨNH HỌC

NỘI DUNG:

 Các khái niệm cơ bản

 Mô men của lực

1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

1.1.1 Chất điểm, hệ chất điểm, vật rắn tuyệt đối, vật rắn cân bằng v à hệ quy

Là thước đo tác dụng tương hỗ về cơ học giữa các vật

thể mà kết quả của nó là làm thay đổi hình dáng và kích

thước (biến dạng) hoặc trạng thái chuyển động của các vật

thể Hay nói một cách vắn tắt: Lực là nguyên nhân gây ra s ự

biến đổi chuyển động và biến dạng của các vật thể Lực là một

đại lượng được đặc trưng bởi:

* Điểm đặt: Là điểm mà vật nhận được sự tác dụng tương hỗ từ vật khác.

* Phương, chiều: Biểu thị phương hướng chuyển động hay khuynh h ướng chuyển động

của vật thể khi bị lực tác dụng

* Độ lớn: Là thước đo sự tác dụng mạnh yếu của lực v à được biểu thị là bội số của lực

lấy làm đơn vị

Do đó có thể dùng véctơ để biểu diễn các đặc trưng của lực, ví dụ như: F Q , ,

Điểm đặt của véctơ là điểm đặt của lực, phương chiều của véctơ biểu diễn phương chiềucủa lực, độ dài của véctơ biểu diễn cường độ của lực Giá của véct ơ được gọi là đường tácdụng của lực

F

A

Hình 1.1 : Cách biểu diễn lực

Là hệ lực khi tác dụng lên một vật rắn cân

bằng mà không làm mất trạng thái cân bằng của nó

1.2 MÔ MEN CỦA LỰC.

Đại lượng véctơ đặc trưng cho tác dụng cơ học làm vật thể quay

1.2.1 Mô men của lực đối với một điểm.

a Định nghĩa:

Mô men của lực F

đối với một điểm là một véctơ, ký hiệu m O( )F

(hoặc MO), có cácđặc trưng sau đây:

* Phương: Vuông góc với mặt phẳng

chứa lực F

và điểm O

* Chiều: Nếu nhìn từ điểm ngọn của

véctơ thấy lực quay ngược chiều kim

đồng hồ (hay nhìn thấy véctơ quay

một góc nhỏ nhất theo chiều ngược

kim đồng hồ) tới trùng véctơ biểu

diễn lực

Hình 1.3 : Minh họa mô men

F 1

F 2 A

F n B

F 3

C D

Hình 1.2 : Hệ lực tác dụng lên vật rắn

Hình 1.4 : Cách biểu diễn mô men

* Giá trị: Bằng tích độ lớn của lực nhân với khoảng cách từ lực tới điểm O.

Hình 1.5 : Mô men đối với 3 trục tọa độ

b Các tính chất của mô men:

* Mô men của một lực với một điểm nằm trên đường tác dụng của nó th ì bằng 0.

Từ biểu thức véctơ xác định mô men:

nên tích của nó bằng không

* Mô men của hai lực trực đối nhau th ì triệt tiêu.

Giả sử hai lực F F1

(trực đối nhau), thì:

Điều cần chứng minh đã được làm rõ.

* Hợp mô men của nhiều lực đối với cùng một điểm được thực hiện bằng phương pháp cộng véctơ.

c Mô men của các lực đối với một điểm

cùng nằm trong mặt phẳng:

Khi các lực nằm trong cùng mặt phẳng

với điểm O thì véctơ mô men của các lực đối

với điểm O sẽ song song với nhau, khi đó ta

sẽ dùng khái niệm mô men là một lượng đại

số để đơn giản trong tính toán và được định

nghĩa như sau:

Mô men của lực 

F đối với điểm cố định

A không nằm trên đường tác dụng của nó l à

đại lượng đại số có giá trị bằng tích s ố giữa

giá trị của lực 

F và khoảng cách từ đường tác dụng của lực đến điểm A.

1 Mô men của một lực với một điểm nằm tr ên đường tác dụng của nó th ì bằng 0.

2 Mô men của hai lực trực đối nhau th ì triệt tiêu.

3 Muốn hợp các mô men cùng nằm trên mặt phẳng ta dùng phép cộng đại số.

1.2.2 Mô men của lực đối với một trục.

a Định nghĩa:

Mômen của lực 

F đối với trục  ký hiệu là m F( ) 

là mômen đại số của lực ,

F



đối với điểm O, với F,

là hình chiếu của lực 

F lên mặt phẳng  vuông góc trục  O là giao điểm giữa trục  và mặt phẳng .

,( ) O( )

y

MO(F) = dF

Mô men của lực đối với một trục có giá trị d ương khi quay ngược chiều kim đồng hồnếu nhìn đầu mút của trục và ngược lại có giá trị âm.

Hợp mô men của các lực đối với c ùng một trục có thể thực hiện bởi ph ương pháp cộngđại số

đưa ra khái niệm này.

1.2.3 Quan hệ giữa mô men của lực đối với một điểm cố định với mô men của lực đối với trục đi qua điểm cố định đó

Quan hệ giữa mô men của một lực đối với một điểm v à mô men của nó đối với trục điqua điểm đang xét được mô tả qua định lý

a Định lý:

Mô men của lực F

đối với trục  bằng hình chiếu lên của mô men lực F

đối với điểm bất kỳ nào đó trên trục .

(*)Chiếu (*) lên trụcta được:  m O( )F   /   r   F 1  /   r   F 2  /

Rõ ràng:   r   F 2  /  0

và   r   F 1  /   r  F 1

.Như vậy: m( )F  r  F1   mO( )F    /

(đpcm)

Hình 1.8

1.2.4 Quan hệ giữa mô men của lực đối với một điểm cố định với mô men của lực đối với 3 trục vuông góc đi qua điểm cố định đó

Vận dụng định lý trên ta có mối quan hệ:

* Phân tích các lực tác dụng lên hệ như hình vẽ

* Hai lực gây mô men tại điểm P đó là:W1

vàW2

* Lấy mô men tại P ta được:

Hình 1.10

c Ví dụ 3:

Một lực F = 400 N tác dụng v ào khung gỗ tạo

với phương ngang một góc  = 200 như hình vẽ

Hãy xác định mô men của lực F gây ra tại điểm A

Giải:

* Phân tích lực F thành 2 thành phần Fx và Fy:

0 0

* Lấy mô men của hai lực Fx và Fy quanh

Hình 1.11

Hình 1.12

Lúc này ta có:

4 2 4(460) 2(386) 2610

* Trượt lực F dọc theo đường tác dụng của nó về

điểm B, sau đó phân tích lực F l àm 2 thành phần Fx và Fy,

trong đó thành phần Fy không gây ra mô men tại O (vì Fy

qua O) Do đó mô men tại O sẽ là: M O F d x 1

Vậy: Tổng mô men của 4 lực tác dụng l ên điểm O là M O 334 N.m Dấu – chứng tỏ

nó quay cùng chiều kim đồng hồ

Hình 1.13

1.3 NGẪU LỰC.

1.3.1 Khái niệm về ngẫu lực.

Ngẫu lực là cặp lực song song trái chiều v à có

cùng cường độ Trong hệ lực không gian ngẫu lực

được quy ước như một đại lượng véctơ và có các đặc

trưng như sau:

* Phương: Vuông góc với mặt phẳng chứa các

lực

* Chiều: Đứng từ đầu ngọn thấy ngẫu l àm vật

quay ngược chiều kim đồng hồ

* Cường độ: M = d.F (d: khoảng cách giữa

hai đường tác dụng của hai lực ngẫu, F: giá trị của lực)

* Thứ nguyên: N.m, kN.m

1.3.2 Các tính chất của ngẫu lực.

a Tính chất 1:

Mô men đối với điểm bất kỳ nào đó của cặp ngẫu lực

luôn luôn không đổi và bằng véctơ mô men của ngẫu lực.

b Tính chất 2:

Véctơ mô men của ngẫu lực bằng véct ơ mô men của lực

thành phần thứ nhất đối với điểm bất kỳ n ào đó trên đường

c Tính chất 3: Hai ngẫu lực có véctơ mô men bằng nhau thì tương đương với nhau.

Sự chuẩn xác của nhận xét tr ên được minh chứng bởi hai tính chất sau:

* Hai ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng, có c ùng chiều, và cùng giá trị thì tương đương nhau.

Hình 1.15 : Minh họa tính chất 1, 2 của ngẫu lực Hình 1.14 : Minh họa ngẫu lực

* Tác dụng của ngẫu lực không thay đổi khi ta dời ngẫu lực trong mặt phẳng hay đến mặt phẳng song song với chính nó.

Từ đây ta có thể suy ra:

* Ngẫu lực là véctơ tự do.

* Tác dụng của ngẫu sẽ không thay đổi nếu ta thực hiện các phép biến đổi m à không làm thay đổi phương chiều và cường độ của véctơ mô men.

d Tính chất 4:

Hợp hai ngẫu lực được một ngẫu lực có

véctơ mô men bằng tổng các véctơ mô men của

hai ngẫu lực đã cho.

1.3.3 Ví dụ.

a Ví dụ 1:

Khối trụ chịu tác dụng của một ngẫu lực gồm hai lực

song song ngược chiều và có độ lớn 100 N Để thay thế ngẫu

lực này người ta tác dụng vào khối trụ hai lực P và –P, mỗi lực

có độ lớn 400 N Hãy xác định góc trong trường hợp này

Trên hình vẽ chúng ta thấy khoảng cá ch các

cặp ngẫu lực lần lượt là d1, d2, d3 Chọn chiều

dương ngược chiều kim đồng hồ, chúng ta có:

1 1 2 2 3 3-200(4) 450(3) - 300(5) -950 lb.ft

tỏ nó quay cùng chiều kim đồng hồ

Hình 1.17 : Minh họa tính chất 4 của ngẫu lực

Hình 1.18

Hình 1.19

1.4 HỆ TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC.

Toàn bộ lý thuyết của phần tĩnh học đ ược xây dựng trên 6 tiên đề dưới đây:

1.4.1 Tiên đề 1: (Hệ hai lực cân bằng)

Điều kiện cần và đủ để hai lực cân bằng là

chúng có cùng đường tác dụng, hướng ngược chiều

Tác dụng của một lực sẽ không thay đổi khi ta

thêm vào hay bớt đi hai lực cân bằng.

Có thể mở rộng cho hệ lực:

Tác dụng của hệ lực sẽ không thay đổi khi th êm

hay bớt một hệ lực cân bằng

Hệ quả 1: Khi ta trượt lực trên đường tác dụng

của nó thì tác dụng của lực lên vật thể không

Hai lực tác dụng lên một vật rắn tại cùng một

điểm sẽ tương đương với một lực đặt tại điểm chung

đó và có giá trị phương và chiều được biểu diễn

bằng véctơ tổng hai véctơ biểu diễn hai lực thành

F

x y

Hình 1.20 : Hình minh họa tiên đề 1

Hình 1.21 : Hình minh họa tiên đề 2

1.4.4 Tiên đề 4: (Tác dụng và phản tác dụng)

Lực tác dụng tương hỗ giữa hai vật thể

bao giờ cũng có cùng đường tác dụng, cùng

độ lớn và ngược chiều nhau.

F F

 

(1-18)Lực tác dụng và phản tác dụng không

phải là hai lực cân bằng nhau vì chúng được

đặt lên hai vật khác nhau

1.4.5 Tiên đề 5: (Hóa rắn)

Vật biến dạng ở trạng thái cân bằng khi hoá rắn nó vẫn cân bằng.

Tiên đề này cho phép chúng ta ph ần nào đó đơn giản hoá trong khi giải các b ài toán củavật biến dạng Tuy nhiên khi áp dụng tiên đề này cần chú ý: Các điều kiện cân bằng của vậtrắn tuyệt đối chỉ là điều kiện cần khi xét cân bằng của vật biến dạng

1.4.6 Tiên đề 6: (Giải phóng liên kết)

Vật rắn chịu liên kết cân bằng có thể xem l à vật tự do cân bằng khi thay thế các li ên kếtbằng các lực liên kết, khi đó các lực tác dụng v à các lực liên kết tác dụng lên vật rắn sẽ là hệlực cân bằng

1.4.7 Ví dụ.

a Ví dụ 1:

Một cái móc đinh vít chịu tác dụng của 2 lực F1

và F2 như hình 1.27a Hãy xác định độ lớn và hướng

của hợp lực tác dụng lên đinh vít

* Dựa vào tiên đề 3 ta xác định được hợp lực như hình 1.28b.

* Áp dụng định lý Sin trong tam giác nh ư hình 1.28c ta có:

200

245 lbsin 60 sin 45

Hãy xác định góc  hợp bởi thanh A và tấm tôn

như hình 1.29a để cho hợp lực FR của hai lực FA và FB

có phương nằm ngang và chiều hướng sang phải?