CƠ HỌC LÝ THUYẾT - PHẦN 1 TĨNH HỌC VẬT RẮN - CHƯƠNG 5 pdf

Trường hợp hệ lực song có hợp lực, nếu giữ nguyên điểm đặt, cường độ và quan hệ song song giữa các lực thành phần nhưng thay đổi phương chung của chúng một cách tuỳ ý, thì hợp lực cũng

CHƯƠNG 5: TRỌNG TÂM

I TÂM CỦA HỆ LỰC SONG SONG

1 Định lý về hợp lực hệ lực song song

Trường hợp hệ lực song có hợp lực, nếu giữ nguyên điểm đặt, cường độ và quan hệ song song giữa các lực thành phần nhưng thay đổi phương chung của chúng một cách tuỳ

ý, thì hợp lực cũng thay đổi phương theo nhưng luôn đi qua một điểm C cố định Điểm C

đó được gọi là tâm hệ lực song

song

Chứng minh:

Xét hệ lực song song bất kỳ

(F Fur ur1, 2, ,Furn)

trong không gian,

đặt tại các điểm tương ứng

1 2 n

A , A , , A

Ta lần lượt hợp các lực không

tạo thành ngẫu lực từng đôi một

Hợp lực Fr1

và Fur2

ta được Rur1

đặt tại C1 nằm trên A1,A2

1

R =F +1 F và 2 1 1 2

1

1 2

F

C A = −

uuuuur uuuuur (a)

Tiếp tục hợp Rur1

và Fur1

ta được Rur2

đặt tại C2 nằm trên C1A3 Với :

2 1 3 1 2 3

R =R + = + +F F F F và 2 1 3 3

1 1 2

2 3

C C

C A = − = −

+

uuuuur

Tiếp tục hợp lần lượt các lực ta được Rur( n 2 − )

đặt tại C( n 2− ) Tiếp tục hợp lực này với

n

F

ur

ta được hợp lực Rur

của hệ đặt tại điểm C thuộc C( n 2− )Anvới :

n 2 n 1 2 n

R=R − + = + + +F F F L F và ( )

1 2

n

CA

−

= − =

+ + +

uuuuuuur uuuur

L (c) Gọi OAuuuuurK

là vectơ định vị điểm AK và OCuuur

là vectơ định vị điểm C Từ (a) ta có:

1 1 1 1 2 2

C A F+C A F =0

uuuuur uuuuur

⇔ (OAuuuur uuuur1−OC ).F1 1+(OAuuuur uuuur2−OC ).F1 2 =0

⇔ OA Fuuuur1 1+OA Fuuuur2 2 =OC (Fuuuur1 1+F )2

(a’) Biến đổi (b), (c) tương tự ta cũng được :

1 1 2 3 3 2 1 2 3

OC (Fuuuur +F ) OA F+uuuur =OC (Fuuuur +F +F )

(b’)

n 2 1 2 n 1 n n 1 2 n

OCuuuuuur− (F + + +F F ) OA F− +uuuur =OC(Fuuur + + +F F )

Biến đổi (a’) thành: 1 1 2 2

1

1 2

OA F OA F OC

+

=

+

uuuur uuuur uuuur

thay vào (b’) ta được:

1 1 2 2

1 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 1 2 3

1 2

OA F OA F

.(F F ) OA F OA F OA F OA F OC (F F F )

+

Tiếp tục biến đổi tương tự ta được:

OA Fuuuur +OA Fuuuur + +OA Fuuuur =OC(Fuuur +F + +F )

A1

A2

C1

A3

C2

An

C

1

Fr

2

Fr

3

Fr

n

Fr

1

R

R ur

Rõ ràng vị trí điểm C không phụ thuộc vào phương chung của các vectơ thành phần

mà chỉ phụ thuộc giá trị đại số của các lực và điểm đặt của chúng Như vậy định lý đã được chứng minh

2 Tâm h ệ lực song song

Từ (5.1) ta rút ra:

n

k k

k 1 n k

k 1

OA F OC

F

=

=

=∑

∑

uuuur uuur

Nếu gọi rrKlà vectơ định vị điểm A

K và rrC là vectơ định vị điểm C thì : Điểm hình học C

được gọi là tâm của hệ lực song song được xác định theo công thức:

n

k k

k 1

C n

k

k 1

F r r

F

=

=

= ∑

∑

r

Chiếu lên các phương ta được:

II TRỌNG TÂM CỦA VẬT RẮN

1 Định nghĩa trọng tâm của vật

Khảo sát vật rắn nằm gần mặt đất chịu tác dụng của trọng lực Pur

hướng về tâm quả đất Chia vật rắn thành nhiều phần tử nhỏ Mỗi phần tử chịu lực hút của quả đất (trọng lực hướng về tâm quả đất)

Vì khoảng cách từ mỗi phần tử đến tâm quả

đất rất lớn nên có thể coi hệ các trọng lực là hệ lực

song song cùng chiều, giá trị của trọng lực được

gọi là trọng lượng của phần tử

Ký hiệu Mk là một điểm nào đó thuộc phần

tử thứ k, nó có trọng lượng ∆Pk vàrrklà vectơ định

vị của điểm Mk

Từ (5.2) ta có:

n

k k

k 1

C n

k

k 1

P r r

P

=

=

∆

=

∆

∑

∑

r

Theo toán học khi n→∞ thì rr→rrCvà

k

∆ →

∑ Khi đó C được gọi là trọng tâm

của vật rắn và: V

C

r.dP r

P

= ∫r

r

Định nghĩa :Trọng tâm của vật là điểm hình học được xác định bằng công thức:

C

1

P

= ∫

x

y

z

C

xC

yC

k

P

∆ur

P

ur

O rC

r

k

r r

C V

1

P

= ∫ ; C

V

1

P

= ∫ ; C

V

1

P

= ∫ (5.6) (5.5) và (5.6) gọi là các công thức xác định trọng tâm của vật

III TRỌNG TÂM CÁC VẬT ĐỒNG CHẤT:

1 Kh ối đồng chất:

Một khối được gọi là đồng chất nếu thoả mãn: dP conts

dV

ρ = = ⇒ dP=ρ.dV⇒ P=ρ.V Với ρ gọi là trọng lượng riêng của vật

Khi đó: C

V

1

P

= ∫∫∫ ρ

C

V

.V

ρ

=

ρ ∫∫∫

V

1 r.dV

V∫∫∫r (5.7) Hoặc C

V

1

V

= ∫∫∫ ; C

V

1

V

= ∫∫∫ ; C

V

1

V

2 M ặt đồng chất (tấm đồng chất):

Một tấm (mặt) được gọi là đồng chất nếu thoả mãn: dP conts

dS

ρ = = ⇒ dP=ρ.dS⇒ P=ρ.S

Khi đó: C

S

1

S

= ∫∫

r r (5.9), hoặc:

C S

1

S

= ∫∫ ; C

S

1

S

= ∫∫ ; C

S

1

S

= ∫∫ (5.10)

3 Thanh, đường đồng chất:

Một đường (thanh) gọi là đồng chất nếu thoả mãn: dP const

dL

ρ = = ⇒ dP=ρ.dL⇒ P=ρ.L

Khi đó: C

L

1

L

= ∫

r r (5.11), hoặc:

C L

1

L

= ∫ ; C

L

1

L

= ∫ ; C

L

1

L

= ∫ (5.12)

IV: CÁC PP XÁC ĐỊNH TT CỦA VẬT VÀ CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN

1 Ph ương pháp đối xứng

Định lý 1: Nếu vật rắn đồng chất có tâm (trục, mặt phẳng) đối xứng thì trọng tâm

của nó nằm tại tâm (trục, mặt phẳng) đối xứng

Chứng minh: Xét vật có tâm đối xứng O, đồng chất ứng với phần tử MK có trọng lượng ∆PK và vectơ định vị rrK thì có phần tử

K

M′ có trọng lượng ∆PK đối xứng qua tâm O, tức vectơ định vị của nó là −rrk Phân hoạch vật rắn thành từng cặp phần tử đối xứng qua tâm và tính tổng

( )

k k k k C

P

∆ + ∆ −

=∑ r ∑ r =

Xét vật có trục đối xứng, chọn Oz làm trục đối xứng Khi đó ứng với mỗi điểm MK

có toạ độ xK, yK và trọng lượng ∆PK thì có điểm M′Kcó toạ độ -xK, -yK và trọng lượng ∆PK

( )

C

C

P

P





∆ + − ∆





Định lý 2:Nếu vật rắn gồm các phần mà trọng tâm của các phần đó nằm trên một

đường thẳng ( mặt phẳng) thì trọng tâm của vật cũng nằm trên đường thẳng (mặt phẳng)

đó

Chứng minh: Giả thiết vật rắn gồm n phần có trọng lượng là P , P , , P và có trọng 1 2 n tâm tương ứng là C , C , , C Trọng tâm của cả vật khảo sát là tâm của hệ lực song song 1 2 n (P Pur ur1, 2, ,Purn)

nghĩa là:

⇔ C n k k

k 1

1

P =

= ∑ ;

n

k 1

1

P =

= ∑ ;

n

k 1

1

P =

Nếu C , C , , C thuộc đường thẳng 1 2 n ∆ thì chọn đường thẳng ∆ đó làm trục Oz Khi

đó xk=0, yk= 0 thay vào (1) ta có xC = 0, yC= 0 Như vậy điểm C cũng thuộc trục Oz hay C thuộc ∆

Tương tự nếu Ci thuộc mặt phẳng π thì ta chọn π làm mặt phẳng Oxy ⇒ zi = 0 Thay vào (1) ta có zC = 0 Như vậy điểm C thuộc mặt phẳng π

2 Ph ương pháp phân chia thêm bớt

Định lý 1: (Định lý phân chia thêm bớt, vật ghép)

Nếu vật rắn được ghép từ m phần, mỗi phần có trọng lượng P i và trọng tâm C i

(x i ,y i ,z i ) thì trọng tâm của vật được xác định nhờ công thức:

m

i i

i 1

C m

i

i 1

P x x

P

=

=

= ∑

∑ ;

m

i i

i 1

C m

i

i 1

P y y

P

=

=

= ∑

∑ ;

m

i i

i 1

C m

i

i 1

P z z

P

=

=

=∑

Chứng minh: Trọng tâm của vật rắn là tâm của hệ lực song song P , P , , P Từ 1 2 m (5.3) ta có (5.13)

Xét trường hợp vật rắn bị khuyết Khi đó công thức trên vẫn đúng vì phần khuyết được xem như là phần ghép có trọng lượng âm

3 Ph ương pháp tích phân

Xác định qui luật biến thiên của trọng tâm từng phần tử khi phân hoạch Kết hợp với đổi biến số của tích phân ta dùng các công thức (5.7), (5.8), , (5.12) để tìm trọng tâm của vật

4 Ph ương pháp quay – định lý GuynĐanh (Tham khảo)

5 Ph ương pháp thực nghiệm

 Phương pháp cân

 Phương pháp treo

 Phương pháp tâm lắc

V: TRỌNG TÂM CỦA MỘT SỐ VẬT ĐƠN GIẢN

2 Các v ật có dạng hình học cơ bản

Áp dụng phương pháp đối xứng ta dễ dàng nhận thấy trọng tâm của hình bình hành, chữ nhật, hình vuông, khối hộp, khối chữ nhật, khối lập phương đồng chất chính là tâm hình học của chúng

3 Tam giác

Chia tam giác thành các dải mỏng song song với đáy BC

của tam giác Trọng tâm của mỗi dải nằm trên trung điểm của

nó tức sẽ nằm trên trung tuyến AM Như vậy trọng tâm tam giác

nằm trên trung tuyến AM Tương tự chia tam giác theo cạnh

đáy AC ta thấy trọng tâm tam giác phải nằm trên trung tuyến

BN Như vậy trọng tâm tam giác chính là giao của 3 đường

trung tuyến CM=1AM

3 T ứ diện

Phân hoạch tứ diện SABD thành những lát vô cùng mỏng hình tam giác song song với đáy ABD Trọng tâm mỗi tam giác nằm tại giao của các đường trung tuyến Do vậy trọng tâm của tứ diện nằm trên đường SM là đường nối đỉnh tứ diện và trọng tâm đáy tam giác Tương tự

ta cũng chứng minh được trọng tâm tứ diện cũng phải nằm trên đoạn BN Như vậytrọng tâm tứ diện là giao của hai đường SM, BN Theo hình học ta có công thức: CM=1SM

4

4 Hình chóp

Với hình chóp đáy là đa giác ta có thể phân đa giác này thành các tam giác Trọng tâm của các tứ diên này nằm trên một mặt phẳng song song với đáy và khoảng cách từ mặt phẳng này đến đỉnh chóp gấp 3 lần khoảng cách đến đáy Cũng có thể phân hoạch hình chóp thành các lát mỏng song song với đáy, như vậy trọng tâm hình chóp phải nằm trên đường nối giữa đỉnh chóp và trọng tâm đáy đa giác Kết hợp hai phân tích trên ta có trọng tâm hình chóp nằm trên đường nối đỉnh chóp S với trọng tâm của đáy M CM=1SM

4 Với hình chóp đáy là đường cong khép kín ta có thể coi đó là đa giác khi số cạnh tiến đến vô cùng và ta cũng nhận được kết quả tương tự

S

D

B

A

N

M

C

S

A

B

F

M

M

S

A

D

C

M

N

5 Cung tròn

Xét cung tròn đồng chất »AB có góc ở tâm là ·AOB= α2 Theo phương pháp đối xứng ta thấy trọng tâm của cung tròn nằm trên trục đối xứng

Ox Theo công thức (5.12) ta có: C

L

1

L

= ∫ Trong đó: x R.cos= ϕ; L 2 R= α ;dL R.d= ϕ Thay

vào ta có:

C

L

α

−α

α

α (5.14) Nếu là nửa đường tròn thì xC= 2R

π (5.15)

6 Qu ạt tròn

Xét quạt tròn đồng chất AOB có góc ở tâm là ·AOB= α2 Chia hình quạt thành các hình quạt nhỏ với góc ở tâm là dϕ, bán kính R Có thể xem đó là các tam giác có trọng tâm nằm cách tâm 2R

3 , chiều cao là R, đáy là Rdϕ Theo phương pháp đối xứng ta thấy trọng tâm của quạt tròn nằm trên trục đối xứng Ox Theo công thức (5.10) ta có: C

S

1

S

= ∫

Trong đó: x 2R.cos

3

= ϕ; S= α.R2;

2

= ϕ = ϕ Thay vào ta có:

2

S

3

α

α (5.16) Nếu cung tròn là nửa mặt tròn thì xC 4R

3

=

π (5.17)

O

B

M

M′

A

x

C α

α dϕ ϕ