Có thể xem rằng tại mỗi tiếp điểm, mặt tựa tác dụng lên vật khảo sát một pháp tuyến Nurk và do đó vật khảo sát phải chịu tác dụng một hệ phản lực liên kết Nurk.. Thu gọn hệ lực đó về mộ
Trang 126
CHƯƠNG 4: MA SÁT
I KHÁI NIỆM VÀ PHÂN LOẠI MA SÁT
1 Định nghĩa
Trong thực tế do tính không
tuyệt đối rắn và tuyệt đối nhẵn của hai
mặt tựa nên vật rắn tiếp xúc với mặt
tựa không phải tại một điểm mà tại vô
số điểm
Có thể xem rằng tại mỗi tiếp điểm,
mặt tựa tác dụng lên vật khảo sát một
pháp tuyến Nurk
và do đó vật khảo sát phải chịu tác dụng một hệ phản lực liên kết (Nurk
) Thu gọn hệ lực đó về một điểm A trên mặt tiếp xúc, ta sẽ được phản lực RurA
và ngẫu lực có mômen MuurA
Phân tích RurA
thành 2 thành phần Nur
và Frms
trong đó urN
nằm theo pháp tuyến Anuuur
và ms
Fr
nằm trong mặt phẳng tiếp tuyến π
Mômen MuurA
cũng tách ra thành hai thành phần 1
M
uur
và Muur2
Trong đó Muur1
hướng theo pháp tuyến An
uuur
, Muur2
nằm trong mặt phẳng tiếp tuyến π
Tác dụng của các phản lực thành phần như sau:
- Phản lực pháp tuyến Nur
cản vật khảo sát lún vào mặt tựa (giả thuyết rắn tuyệt đối)
- Phản lực tiếp tuyến Frms
cản chuyển động trượt hay xu hướng trượt của vật khảo sát trên mặt
tựa
- Ngẫu lực Muur1
cản chuyển động xoay hoặc
xu hướng xoay quanh Anuuur
- Ngẫu lực Muur2
cản chuyển động lăn hoặc xu hướng lăn của vật trên mặt tựa
Như vậy: Ma sát là hiện tượng xuất hiện những lực và ngẫu lực có tác dụng cản trở
các chuyển động hoặc các xu hướng chuyển động tương đối của hai vật trên bề mặt của nhau
2 Phân lo ại
a Ma sát tĩnh và ma sát động:
- Ma sát được gọi là tĩnh khi giữa hai vật mới chỉ có xu hướng chuyển động tương đối nhưng còn vẫn ở trạng thái cân bằng tương đối
- Ma sát được gọi là động nếu hai vật tiếp xúc chuyển động tương đối với nhau
b Ma sát trượt và ma sát lăn:
- Nếu xu hướng chuyển động hoặc chuyển động xảy ra giữa hai vật là trượt, ta có ma sát trượt
- Nếu xu hướng chuyển động hoặc chuyển động xảy ra giữa hai vật là lăn, ta có ma sát lăn
c Ma sát khô và ma sát ướt:
- Ma sát được gọi là khô khi hai vật tiếp xúc trực tiếp với nhau
1
N
ur
2 N ur
3
N
ur
4
N
ur
5
N ur
τ
A
n A
R
ur
A M uur
n
π
1
M uur
N ur
A M uur
2
Muur
A
Rur
ms
Fr
Trang 2- Ma sát được gọi là ướt khi hai vật tiếp xúc gián tiếp với nhau thơng qua một màng bơi trơn (dầu, khí…)
Ta chỉ khảo sát ma sát tĩnh và ma sát khơ
II MA SÁT TRƯỢT ĐỊNH LUẬT CULƠNG GĨC VÀ NĨN MA SÁT
1 Ma sát tr ượt
Xét vật rắn trên mặt nằm ngang, chịu lực ép Qur
thẳng gĩc với mặt ngang và chịu lực kéo Pur
theo mặt ngang Ta thấy vật vẫn cân bằng khi trị số của lực Pur
khơng vượt quá giá trị P0 tức là P≤P0 Giá trị P0 tỷ lệ với lực ép Q theo hệ số tỷ lệ f, nghĩa là: P0=f Q
f phụ thuộc: + Vật liệu tạo các mặt tiếp xúc
+ Trạng thái bề mặt tiếp xúc (thô, nhẵn) giữa các bề mặt
Như vậy:
- Ngồi phản lực pháp tuyến Nur
cân bằng với lực ép Qur
cĩn cĩ lực cân bằng với lực kéo Pur
gọi là lực ma sát, ký hiệu Frms
Lực ma sát ngược chiều với lực kéo Pur
nghĩa là ngược chiều với xu hướng trượt
- Giá trị của lực ma sát trượt khơng thể lớn tuỳ ý mà bị hạn chế, giá trị cực đại của nĩ
tỷ lệ với giá trị của lực ép Qur
, nghĩa là tỷ lệ với giá trị của phản lực pháp tuyến Nur
,
2 Định luật Culơng
Lực ma sát trượt xuất hiện khi cĩ xu hướng trượt tương đối, nằm theo tiếp tuyến của mặt tựa tiếp xúc, ngược hướng trượt và cĩ giá trị bị chặn trên
Fms≤ f.N = Fms max (4.1) Dấu bằng xảy ra khi vật sắp bị trượt
Trong đĩ: f: Hệ số ma sát trượt tĩnh, khơ
N: Giá trị của lực pháp tuyến
3 Gĩc và nĩn ma sát
- Gĩc ma sát, ký hiệu là ϕ, được xác định bởi hệ
thức:
ms max
F
N
- Nĩn ma sát là phần giới hạn bởi hai nửa đường
thẳng xuất phát từ điểm tiếp xúc của hai vật và nghiêng với
pháp tuyến một gĩc bằng gĩc ma sát ϕ (nếu f= tgϕ cĩ cùng
giá trị theo mọi hướng trượt thì trong khơng gian cĩ nĩn ma sát trịn xoay)
Cĩ thể biểu diễn hình học định luật Culơng:
ms ms
F
N
tg N
α = (α là tạo bởi Rur
,Nur
)
⇒ tgα ≤ f = tgϕ ⇔α ≤ ϕ (4.3) Dấu bằng xảy ra khi vật sắp bị trượt
4 Bài tốn cân b ằng khi cĩ ma sát trượt
Gồm các bước sau:
- Phân tích hệ lực tác dụng lên vật khảo sát
- Viết hệ phương trình cân bằng cho hệ lực
- Viết phương trình ma sát trượt ở dạng tổng quát hoặc ở dạng tới hạn
- Biện luận tìm kết quả
Qur
Pur ms
FrR
ur Nur
ϕ ϕ
α
Trang 328
Thí dụ: Một vật rắn nằm trên mặt phẳng không nhẵn có hệ số ma sát trượt f, nghiêng
với mặt phẳng ngang một góc α
1 Xác định góc α để vật rắn cân bằng dưới tác dụng của lực Pur
hướng thẳng đứng xuống dưới và có giá trị lớn tuỳ ý
2 Giả sử lực Pur
cho trước và vật chịu tác dụng của lực Qur
nằm ngang: xác định góc α để vật có thể
trượt lên
Bài giải:
1 Vật chịu tác dụng của:
Trọng lực Pur
hướng xuống
Phản lực Nur
hướng vuông góc với mặt tựa
Lực Frms
hướng song song mặt tựa
Như vậy vật chịu tác dụng của hệ lực đồng quy (P, N, Fur ur rms)
Điều kiện cân bằng của vật:
(P, N, Fur ur rms)≡0 kx ms
ky
∑
Từ (1) ⇒Fms=Psinα ⇒ sinα= Fms
P Thay Fms≤f N vào ta được: sinα f N
P
≤ Mặt khác (1)⇒N=P cosα tức sin f P.cos f cos
P
α
Với 0
2
π
≤ α ≤ thì cosα ≥ ⇒0 f sin tg
cos
α
Theo (4.2) thì f = ϕtg nên f = ϕ ≥ α ⇔tg tg α ≤ ϕ
Vậy điều kiện để vật cân bằng là:α ≤ ϕ
Cũng có thể xét theo điều kiện: để vật cân bằng thì phương của lực hoạt động Pur
phải không được nằm ngoài nón ma sát ⇒α ≤ ϕ
2 Vật chịu tác dụng của hệ lực (P, N, F , Qur ur r urms )
Điều kiện cân bằng: (P, N, F , Qur ur r urms )≡0
ky
∑
Ở trạng thái giới hạn: Fms = f.N (2)
Từ (1) ⇒ Fms Q cos P sin
N Q sin P cos
f
Qcos Qsin
α + α ⇒Q (cosα - fsinα) = P (sinα +fcosα)
Vế phải luôn luôn dương do vậy để phương trình có nghiệm thì vế trái cũng phải dương
⇒ (cosα - fsinα) > 0 ⇔ tgα<1
f =cotgϕ⇔
2
π
α < − ϕ
Để vật trượt lên được thì Q P(sin f cos )
cos f sin
≥
α − α
α
ϕ
ϕ
N ur
Qur P
ur ms
Fr
y
x
ϕ ϕ ϕ
N
ur Rur
ms
Fr
P ur
Trang 4III MA SÁT LĂN:
1 Ma sát l ăn: Xét bánh xe có bán kính R, đặt trên mặt bàn nằm ngang chịu lực
nén Qur
thẳng đứng qua tâm, và chịu lực kéo Pur
đặt tại tâm nằm ngang như hình vẽ
Dời // lực Pur
đến tiếp điểm ta được lực Puur′
và một ngẫu lực cùng chiều quay của Pur quanh I có mômen M = P.R Lực Pur
gây trượt và mômen M = P.R gây lăn
Để bánh xe lăn không trượt thì: P ≤ Fms= f.N = f.Q
Để bánh xe không lăn thì M ≤ Ml
Ml được gọi là mômen ma sát lăn Thực nghiệm chứng tỏ rằng mômen ma sát lăn tỷ
lệ với lực nén Qur
, tức là lực Nur
, qua hệ số tỷ lệ k: Ml = k.N k: gọi là hệ số ma sát lăn, có thứ nguyên độ dài, phụ thuộc vào vật liệu tạo thành 2 vật tiếp xúc và trạng thái bề mặt tiếp xúc Thông thường k << f
2 Ng ẫu lực ma sát lăn và định luật ma sát lăn:
Ml gọi là mômen của ngẫu lực ma sát lăn có tác dụng chống lại sự lăn của bánh xe do ngẫu lực M gây lăn sinh ra
Có thể diễn ta khả năng chống lăn bằng cách dời song song lực urN
về phía bánh xe
có xu hướng lăn một đoạn: Ml kN
Vậy khi có ma sát lăn, phản lực pháp tuyến Nur
nằm ở phía vật có xu hướng lăn đến và cách pháp tuyến một
đoạn d≤ k
* Định luật ma sát lăn: Ngẫu lực ma sát lăn xuất
hiện khi có xu hướng lăn tương đối, có chiều ngược với
chiều của xu hướng lăn và có giá trị: Ml ≤ kN
Vì k << f nên trong nhiều trường hợp có thể bỏ qua
3 Bài toán cân b ằng khi có ma sát
l ăn:
Gồm các bước sau:
- Phân tích hệ lực tác dụng lên vật khảo sát
- Viết hệ phương trình cân bằng cho hệ lực
- Viết phương trình ma sát trượt, ma sát lăn ở dạng tổng quát hoặc ở dạng tới hạn
- Biện luận để tìm kết quả
Thí dụ: Trên mặt phẳng nằm ngang có bánh xe đồng chất
tâm O bán kính R, trọng lượng P chịu tác dụng của ngẫu lực Muur
và lực Qur
như hình vẽ Biết hệ số ma sát trượt là f, hệ số ma sát lăn k
xác định trị số của mômen Muur
và của lực Qur
để bánh xe có thể lăn không trượt
Q
Pur
P′
uur ms
Fr
M
l
M
I
I
Q ur
P ur
N ur
ms
P ur
Qur
Trang 530
Bài giải:
Vật chịu tác dụng của hệ lực (P,Q,N,M,Mur ur ur uur uurl)
Điều kiện cân bằng: (P,Q,N,M,Mur ur ur uur uurl)≡0
⇔
X ms
Y
∑
∑
ms
l
=
=
= +
Để vật lăn thì : M Q.R− >Ml =k.N⇔M>k.N Q.R+ =k.P+Q.R
Để vật không trượt thì: Q<Fms=f N=f P
Để vật lăn không trượt thì : M k.P Q.R
Q f P
> +
<
Mặt khác thay (1) vào (3) ta có M=Ml+F Rms Mà Fms≤f N=f Pvà Ml≤k.N=k.P
⇒ M≤k.P f P.R+ =P k( +f R) (5)
Kết hợp (4) và (5) ta có P k( f R) M k.P Q.R
Q f P
<