SKKN mot so dang toan ve duong tron

V- Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy: Phơng pháp: Để chứng minh ba đờng thẳng đồng quy ta thờng sử dụng các ph¬ng ph¸p sau: - Dựa vào tính chất các đờng đồng quy trong tam giác: ba đờng [r]

có quy luật , có phơng pháp Vì vậy đòi hỏi ngời thầy một sự lao động sángtạo, biết tìm tòi những phơng pháp để dạy cho học sinh trau dồi t duy lôgicgiải các bài toán đặc biệt các tài toán hình học.

Là một giáo viên dạy toán ở trờng THCS, trực tiếp bồi bỡng, phụ đạo

và ôn luyện vào THPT, tôi nhận thấy việc giải các bài tập hình học ở chơngtrình THCS không chỉ là nêu và trình bày lời giải, đó mới là điều kiện cầnnhng cha đủ Muốn giỏi hơn thế học sinh phải biết định dạng các bài tập và

từ đó tìm ra phơng pháp giẩi một cách hợp lí nhất, điều này đối với học sinhTHCS còn rất mơ hồ nhất là phần hình học

Trong chơng trình THCS hình học là một nội dung cần thiết phải rènluyện và trong các đề thi chuyển cấp, thi học sinh giỏi luôn có một tỉ lệ nhất

định dành cho hình học, đặc biệt phần đờng tròn là một trong những nộidung cơ bản không thể thiế trong các đề thi đó Hình học là công cụ để rènluyện trí thông minh, t duy sáng tạo, t duy lôgic và phát triển trí tởng tợng.Vì vậy nó là nền móng vững chắc để hộc nhứng môn khoa học khác

Các dạng toán về hình học nói chung và về phần đờng tròn nó riêng rất

đa dạng và phong phú Song khi giải các bài toán này học sinh thờng gặpkhông ít khó khăn, phức tạp Từ thực tế giảng dạy tôi thấy học sinh rất bế tắctrong việc đình dang, kĩ năng vẽ hình, trình bày còn yếu nhất là phần đờngtròn Nên trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm này tôi xin nêu ra một sốdạng toán về đờng tròn

Từ những thuận lợi, khó khăn và yêu cầu thực tiễn giảng dạy Tôi đãmạnh dạn lựan chon và viết sáng kiến kinh nghiệm “ Một số dạng toán cơbản về đờng tròn” Với hi vọng thông qua chuyên đề này có thể giúp họcsinh có kĩ năng định dạng, kĩ năng giải và hứng thú hơn trong học môn Toán

Trong quá trình viết sáng kiến kinh nghiệm, do điều kiện và kinhnghiệm còn hạn chế nên không tránh khỏi khiếm khuyết Rất mong đợc sự

đóng góp, bổ sung ý kiến của các bạn bè đồng nghiệp để sáng kiến kinhnghiệm đợc áp dung một cách hiệu quả

- Kĩ năng trình bày khoa học logic

- Phát huy trí lực của học sinh để tìm ra nhiều hớng giải hay

- Giúp học sinh có kiến thức và tự tin khi giải toán hoặc thi cử

III- Nhiệm vụ.

- Nhắc lại các kiến thức cơ bản về đờng tròn

- Phân dạng toán, nêu ra phơng pháp giải và hớng dẫn học sinh địnhdạng một bài toán

- áp dụng đề tài vào tiết luyện tập, ôn tập, phụ đạo và bồi dỡng

B Giải quyết vấn đề.

Nội dung cơ bản của hình học phẳng lớp 9 có thể nói là hình họcvề ờng tròn Có rất nhiều bài toán hay và khó về chủ đề này Sự phong phú, đadạng về thể loại cũng nh sự linh hoạt trong suy luận của bài toán về đờngtròn luôn cuốn hút môn học này

đ-Chơng I: Các kiến thức cơ bản:

I- Sự xác định và tính chất cơ bản của đờng tròng:

I.1- Định nghĩa: Tập hợp ( hay còn gọi là quỹ tích)

các điểm O cho trớc một khoảng không đổi R>0 đợc

gọi là đờng tròn tâm O bán kính R Ta kí hiệu (O;R)

R O

I.2- Hình tròn là tập hợp các điểm ở bên trong một đờng tròn và các

điểm của chính đờng tròn đó.

I-3- Một đờng tròn hoàn toàn đợc xác định bởi một đờng kính của nó Nừu AB là một đoạn thẳng cho trớc thì đờng tròn đờng kính AB là tập hợp các điểm M sao cho AMB = 90 0 Khi đó tâm O sẽ là trung điểm của AB, còn bán kính 2

I.5- Đờng kính vơng góc với một dây cung thì chia

dây cung ấy ra làm hai phần bằng nhau Ng’ ợc lại,

đờng kính đi qua trung điểm của một dây không đi

qua tâm thì vuông góc với dây ấy

O

I.6- Trong một đờng tròn, hai dây cung bằng nhau

khi và chỉ khi chúng cách đều tâm Ngợc lại, trong

hai dây cung không bằng nhau, dây cung lớn hơn

M D

Một số bài toán về đơng tròn

a) Gọi F là trung điểm của BC

áp dụng tính chất đờng trung tuyến ứng với

cạnh huyền đối với tam giác vuông BEC,

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD có B D  900.

a) Chứng minh rằng bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộcmột đờng tròn b) Chứng minh rằng BDAC Tứ giác ABCD có thêm điều kiệngì để BD=AC.

Giải:

a) Gọi K là trung điểm của AC

áp dụng tính chất đờng trung tuyến ứng với cạnh

huyền đối với tam giác vuông ADC, ABC ta có:

b) Trong đờng tròn (K) nói trên, có AC là đờng kính, BD là dây cungkhông đi qua tâm nên BD < AC

Để BD=AC  BD phải là đờng kính của đờng tròn (K)  A C 900

ABCD là hình chữ nhật

Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD có hai đờng chéo AC và BD vuông góc với nhau Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm của AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đờng tròn.

đ-a) Điểm M chạy trên đờng nào?

b) K o dài BC một doạn CD=CB Điểm D chạy trên đ ð ờng nào?

Giải:

a) Xét OMB và OHC có:

OM=OH (gt)

MOB chung  OMB =OHC (c.g.c)

OB=OC (cùng là bk của đờng tròn (O))

A B

Ta có SOI=SOJ SI=SJ

Do AI=CJ nên từ đó suy ra SA=SC

II- Tiếp tuyến của đờng tròn:

II.1- Một đờng thẳng đợc gọi là tiếp tuyến của

đ-ờng trònnếu nố chỉ có một điểm chung duy nhất

với đờng tròn đó Điểm chung duy nhất ấy đợc

gọi là tiếp điểm.

Ax là tiếp tuyến

A là tiếp điểm

A

O x

II.2- Tiếp tuyến của đờng tròn vuông góc với bán

kính tại tiếp điểm Ngợc lại, đờng thẳng vuông

góc với bái kính tại giao điểm của bán kinh với

đ-ờng tròn là tiếp tuyến của đđ-ờng tròn đó.

Ax là tiếp tuyến của  OAAx

và

1 2

II.4- Đờng tròng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đờng tròn nội tiếp tam giác đó Tâm của đờng tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đờng phân giác trong của tam giác.

Ví dụ 1: Cho đờng tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đờng tròn Kẻ các riếp tuyến AM, An với đờng tròn ( M, N là các tiếp điểm ).

b) Vẽ đờng kính NOC Chứng minh MC//AO.

c) Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN biết OM=3cm, OA=5cm.

Giải

a) AM, AN là tiếp tuyến của đờng tròn (O) nên ta

có:

AM=AN và AO là phân giác của MAN

Suy ra AOMN (1)(Đờng phân giác hạ từ đỉnh của

C

N

M A

 CMN là tam giác vuông tại M  NMMC (2)

Một số bài toán về đơng tròn

Từ (1), (2) suy ra MC//AO

c)áp dụng định lí Pytago vào tam giác AMO vuông tại M, ta có:

AO2=AM2+MO2  AM2=AO2-MO2  AM2=25-9=16

Tơng tự: By là tiếp tuyến của đờng tròn (O)

Gọi E là tiếp điểm của tiếp tuyến MN của (O)

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau có:

OM là phân giác của góc AOE

ON là tia phân giác của góc EOB

c)Ta thấy tam giác MON vuông tại O (theo cmt)

Ví dụ 3: Cho đoạnthẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ các tia Ax và

BY sao cho Ax//By.

a) Nêu cách dựng đờng tròn tâm i tiếp xúc với AB, Ax và By.

b) Gọi D, E là các tiếp điểm của đờng tròn (i) với Ax, By Chứng minh tổng AD+BE không phụ thuộc vào vị trí Ax, By.

c) Tìm quỹ tích các tâm i khi Ax, By thay đổi.

Giải;

Một số bài toán về đơng tròn

a) Giả sử (i) tiếp xúc với cả ba đờng Ax,

Byvà AB đã dựng đợc Các tiếp điểm là D,

E, H

Do DI=HI nên i nằm trên tia phângiác góc

xAB Tơng tự i nằm trên tia phân giác góc

yBA Vởy i là giao điểm của hai tia phân

A B  xAB yBA xAByBA 

Do đó AIB  900 VậY ĐIúm i nằm trên nửa đờng tròn đờng kính AB(không kể hai điểm A, B)

III- Vị trí tơng đối của hai đờng tròn:

III.1-Giả sử hai đờng tròng (O,R) và (O ,r) có R.r, và d=OO là khoảng’ ’

cách giữa hai tâm Khi đó mỗi vị trí tơng đối giữa hai đờng tròn ứng với một hệ thức giữa R, r và d theo bảng sau:

Vị trí tơng đối Hình vẽ Số chung điểm Hệ thức R, r và d

1) Hai đờng

tròn cắt nhau

R r

d

O O'

A O' O

B O O'

A O' O

Nên OO’ là đờng phân giác của góc AOB

Mà AOB cân tại O

Suy ra OO’ là đờng trung trực của AB

Ví dụ 2: Hai đờng tròn (O) và (O ) cắt nhau tại A và B Từ A vẽ đ’ ờng kính AOC và AO D Chứng minh rằng:’

a) Ba điểm B, C, D thẳng hàng

b) AB vuông góc với CD.

Giải:

a) Gọi Ilà giao điểm của AB và OO’, suy ra i là

trung điểm của AB

Trong ABC có OI là đờng trung bình, nên

b) Vì AB OO’ (hai đờngảtòn cắt nhauthì đờng

nối tâm là đờng trung trực của dây chung)

 ABCD

I O' O

D

C

B A

Ví dụ 3: Cho hai đờng tròn (O;R) và (O ;r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A.’

Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC (B thuộc đờng tròn (O), C thuộc đờng tròn (O )).’

a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông.

b) Tính số đo góc OMO’

c) Tính diện tích tứ giác BCO O theo R và r.’

MA=MB (tính chất haitiếp tuyến cắt nhau)

MA=MC (tính chất haitiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra MA=MB=MC=

1

2 BC

Tức là, tam giác ABC có trung tuyến AM ứng với

cạnh BC bằng nửa cạnh đó nên là tam giác

vuông

H

I

M C B

A O' O

b)Theo tính chất haitiếp tuyến cắt nhau, ta có:

MO là tia phân giác của góc AMB

MO’ là tia phan giác của góc AMC  OMO ' 900

Vậy BC là tiếp tuyến của đờng tròn (I;IM)

Ví dụ 4: Cho hai đờng tròn (O) và (O ) tiếp xúc ngoài Chứng minh rằng’

tiếp tuyến chung ngoài của hai đờng tròn đó cũng là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính OO ’

Giải:

Giả sử AA’ là tiếp tuyến chung ngoài của

hai đờng tròn (O) và (O’) Gọi i là trung

điểm của OO’ Kẻ IE vuông góc với AA’

Khi đó do AA’EI nên AA’ là tiếp tuyến

với đờng tròn đờng kính OO’ với tiếp điểm

Một số bài toán về đơng tròn

IV.1- Góc nội tiếp:

a) Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đờng tròn và hai

cạnh của góc cắt đờng tròn.

BAC là góc nội tiếp chắn cung BmC

b) Trong một đờng tròn số đo của góc nội tiếp bằng nửa

số đo của cung bị chắn.

m C

- Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông.

- Trong một đờng tròn, một góc nội tiếp không quá 90 0 có số đo bằng nửa

số đo góc ở tâm cùng chắn một cung.

IV.2- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây:

a) Tia tiếp tuyến Ax và dây AB của đờng tròn (O)

tạo nên một góc gọi là góc tạo bởi tia tiếp tuyến

Ax và dâyAB.

xABlà góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây chắn

cung AmB

b) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và một dây cung đi

qua tiếp điểm có số đo bằng nửa số đo của cung

IV.3- Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đờng tròn:

a) Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn có số đo

bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn giữa

hai cạnh của góc và các tia đối của hai cạnh ấy.

 1(

2

AKB 

sđAnB sđCmD )

b) Góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn có số đo

bằng nửa hiệu của số đo hại cung bị chắn giữa

hai cạnh của góc ấy.

D C

B A O

n

m O

C B D

Một số bài toán về đơng tròn

Nối B với C

*Nếu AB//CD thì AC BD

Vì AB//CD BC (So le trong)

Mà góc B là góc nội tiếp chắn cung AC, góc C là góc

nội tiếp chắn cung BD

Suy ra AC BD

*Nếu ACBD thì AB//CD

O D

Ví dụ 2: Cho A là một điểm cố định trên đờng tròn (O) và M là một điểm

di động trên đờng tròn đó N là giao điểm của AM với đờng kính cố định

BC Chứng minh giao điểm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác OMN là cố

định.

Giải:

Gọi giao của đờng tròn (O) với đờng tròn ngoại tiếp tam

giác OMN là P Tia PO cắt đờng tròn (O) tại D

O B

M

Hai góc này là hai góc đồng vị nên DA//BC Điều này chứng tỏ D cố định và

do đó P cố định

Ví dụ 3: Trên đờng tròn (O) lấy ba điểm A, B, C Gọi M, N, P theo thứ tự

là điểm chính giũa của các cung AB (không chứa C), BC (không chứa A)

và AC (không chứa B) Gọi i là giao điểm của BP và AN, F là giaođiểm của AB với MN Chứng minh rằng:

a) BNI là tam giác cân.

O M

P

N

C B

A

Tức là tam giác BIN cân tại N

Do đó EI=EB và vì vậy tam giác EIB cân tạiE

Suy ra EBI EIB

Mặt khác, do AP PC nên EBI IBC Bởi vậy EIB IBC

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên EI//BC

d) Hai tam giác BND và ANB có chung góc ANB Mặt khác,

Giải:

Ta thấy A, D cùng thuộc đờng tròn đờng kính OD ( vì

goc OAD vuông) nên:

BDOCAO (cùng chắn cung OB)

Bốn điểmO, A, E, C cùng thuộcđờng tròn đờng kính

D

A B

E C

Ví dụ 5: Từ một điểm M ở ngoài đờng tròn (O) kẻ cát tuyến MBA và hai tiếp tuyến MC, MD Phân giác của góc ACB cắt AB tại E Chứng minh: a) MC=ME.

b)DE là phân giác của góc ADB.

BF 

sđFC MCE

B

E C

D M

A F

Vậy tam giác MEC cân nên MC=ME

b)Ta thấy MD=MC nên MD=ME suy ra tam giác MED can tại M nên:

Một số bài toán về đơng tròn

Mặt khác: EAF BDM (cùng chắn cung BD) (2)

Từ (1), (2)ta cóMED  EAF MDE  BDM HAY EDA EDB

Suy ra DE là phân giác của góc ADB

V- Quỹ tích cung chứa góc:

a) Qũy tích những điểm M nhìn đoạn thẳng AB cố định dới một góc

 không đổi là hai cung đối xứng nhau qua AB, gọi là cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng AB.

b) Dựng tâm O của cung chứa góc  dựng trên

đợn thẳng AB.

- Dựng đờng trung trực d của đoạn thẳng AB.

- Dựng tia Ax tạo với AB một góc , sau đó

dựng AyAx.

O là giao điểm của Ay với d.

y d

B

x

O A

Ví dụ :Cho cung Ab cố định tạo bởi bán kính OA và OB vuông góc với nhau, Điểm I chuyển động trên cung AB Trên tia OI lấy điểm M sao cho

OM bằng tổng các khoảng cách từ i đến OA và OB Tìm quỹ tích các điểm M.

Tg (1), (2) suy ra OM=OE+BE, do đó EM=EB

Tam giác EMB vuông nên EMB  450

Điểm M nhìn OB cố định dới góc 450 nên M di động

trên cung chứa góc 450 dựng trên OB

m E

M I H A

K B O

Giới hạn: Vì M chỉ nằm trong góc vuông AOB nên M chỉ di chuyển trêncung AmB một phần cung chứa góc 450 dựng trên OB (phần nằm trong gócAOB)

Một số bài toán về đơng tròn

a) Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đờng tròn đợc gọi

là tứ giác nội tiếp đờng tròn, còn đờng tròn đợc

gọi là ngoại tiếp tứ giác.

b) Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc

đối diện bằng 180 0 Ngợc lại, một tứ giác có

tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 thì tứ giác

đó nội tiếp đờng tròn.

BAD BCD  1800 Tứ giác ABCD nội tiếp

c) nếu hai điểm A,B cùng nhìn đoạn thẳng MN

d-ới cùng một góc thì tứ giác ABNM nội tiếp.

C B

A

O D

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC, các đờng phân giác trong bóc B, C cắt nhau tại S các đờng phân giác ngoài góc B, C cắt nhau tại P.

a) Chứng minh tứ giác BSCP nội tiếp.

b) Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BSCP.

c) Gọi N là giao điểm của BG và SP Chứng minh SN.PN=BN.NC

Giải:

a)Vì BS là tia phân giác của góc ABC

BP là tia phân giác của góc CBx

SBPSCP suy ra tứ giác BSCP nội tiếp

b)Do tứ giác BSCP nội tiếp

P

N

S

C B

SBCSPC (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung SC)

suy ra hai tam giác BNS, PNC đồng dạng:

a) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp.

b) Chứng minh SO là phân giác góc ASB.

c) DE và CF kéo dài cắt (O) lần lợt tại M, N chứng minh SO vuông góc với MN.

Giải:

sđDCB sđ

1 ) 2

Suy ra tứ giác DFEC nội tiếp

b)Do SA SB  SASB hay tam giác SAB cân tại S

Ví dụ 3 : Cho hai đoạn thẳng AC và BD cát nhau tại E Biết

AE.EC=BE.ED chứng ninh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một

Suy ra bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đờng tròn

Ví dụ4: Cho ba đờng tròn cùng đi qua điểm P Gopị các giao điểm khác P của hai trong ba đờng tròn đó là A, B, C Từ một điểm D (khác điểm P) trên đờng tròn (PBC) kẻ tia DB, DC cắt đờng tròn (PAB), (PAC) lần lợt tại

C

A

N M

D

a) Chứng minh rằng MP vuông góc với NQ.

b) Gọi giao điểm của DC với PA, PB theo thứ tự là E, F Chứng minh tứ giác ABFE nội tiếp.

AP 

sđAD sđPC ) PEC

O I

F E

Q D

N

B

M A

Từ đó PEC FEA  1800  FBA FEA  1800

Do đó tứ giác ABFE nội tiếp

- Chứng minh tổng hai góc đối diện có tổng bằng 180 0 để làm

đ-ợc điều này ta đi tính hai góc đối diện hoặc chứng minh góc này bằng góc kề bù với góc kia.

- Chứng minh có hai điểm nhìn hai điểm cò lại dới cùng một góc

và và ở về cùng một phía đối với đờng nối hai điểm này.

Bài tập I.1: Cho tam giác cân ABC với đáy BC có A  200 Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C lấy D sao cho DA=DB và DAB  400 Gọi

E là giao điểm của AB va DC.

a) Chứng minh tứ giác ADBC nội tiếp.

b) Tính AED .

Giải:

C B

Bài tập I.2: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB C là một điểm nằm giữa hai

điểm O và A Đờng thẳng kẻ qua C vuông góc với AB cắt đờng tròn (O) ở

P và Q Tiếp tuyến của đờng tròn(O) tại điểm D trên cung nhỏ BP cắt ờng thẳng PQ ở F Chứng minh:

đ-a) Tứ giác BCFD nội tiếp.

Do vậy tứ giác BDFC nội tiếp

b) ta thấy:ABD ADE (=

Q

A P

E

Lại có ADB DFE (Cùng bù với góc CFD)

Suy ra EDF DFE  FED cân

Bài tập I.3: Hai đờng tròn (O) và (O ) cắt nhau tậihi điểm A và B Gọi è là’

một tiếp tuyến chung của chúng và AB cắt EF tại I.

a) Chứng minh hai tam giác IEA và IBE đồng dạng.

b) Chứng minh I là trung điểm của EF.

c) Gọi C là điểm đối xứng của B qua I Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp.

A

B I

E

tơng tự hai tam giác IFA và IBF đồng dạng

suy ra IF2=IA.IB (2)

Từ (1), (2) suy ra IE=IF hay i là trung điểm của EF

c) Vì IE=IF và IB=IC nên tứ giác EBFC là hình bình hành

Suy ra CFE FEB (so le trong)

Mà EAB BEI

Suy ra CFE CAE

Dò, A cùng nhìn EC dới một góc nên bốn điểm A, E, C, F cùng thuộc một ờng tròn

đ-Bài tập I.4: Cho đờng tròn (O) và một điểm C ở ngoài đờng tròn Từ C kẻ hai tiếp tuyến CE, CF và cát tuyến CMN tới đờng tròn đờng thẳng nối C với O cắt đờng tròn tại hai điểm A và B Gọi i là giao điểm của AB với EF Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm O, I, M, N cùng thuộc một đờng tròn.

Nên hai tam giác CEM và CNE đồng dạng

nên AB EF

M'

I O M

N E

F

B A

C

Trong tam giác vuông CEO có EI là đờng cao:

CE2=CI.CO (2)

Vậy AIMAIM ' BIN

Bài toán I.5: Cho đờng tròn (O) và hai tiếp tuyến SA, SB Kẻ dây cung

BC Đờng kính vuông góc với dây AC cắt BC tại I Chứng minh:

a) Bốn điểm S, A, i, B cùng thuộc một đờng tròn.

b) Tứ giác SAOI nội tiếp.

c) SI//AC.

Giải:

a) *Trờng hợp I nằm trong đoạn BC (h a)

Ta có SAB ACB (cùng chắn cung AB)

Vì SA=SB (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt

nhau)

Nên tam giác SAB cân tại S

Tam giác AIC có IO vừa là đờng cao vừa là

đ-ờng trung tuyến nên tam giác AIC cân tại i

Suy ra ASB AIC

Do đó ASBAIB AIC AIB 1800

BSA AIC hay BSA AIB

Suy ra S và I cùng thuộc cung chứa góc dựng

trên đoạn AB, nghĩa là bốn điểm S, A, I, B cùng

thuộc một đờng tròn

b)*Trờng hợp I nằm trong đoạn BC:

I O B

C A

S

O

A S

Do tứ giác SAIB nội tiếp nên SIB SIA  SI là phân giác góc BIA

Mặt khác, OI là phân giác góc AIC

OI SA

  hay A và I cùng thuộc đờng tròn đờng kính SO

*Trờng hợp I nằm ngoài đoạn BC

Do tứ giác SAIB nội tiếp  AISABS (cùng chắn cung SA)

Trong đờng tròn (O) ta có:

Một số bài toán về đơng tròn

 

ABS ACB (cùng chắn cung AB)

Vì tam giác AIC cân nên ta có:ACBIAC

Do đó OIA AISOIA IAC 900

Nh vậy A và I thuộc đờng tròn đờng kính SO

P

C B

X t tam giác ABK ta có:ð

2 2

A B AKE ABKBAK  

b) AE, AF là tiếp tuyến của đờng tròn (O).

Giải:

C B

K A

b) đặt EMK KFO  Ta có AOE FOA 900 ,AME 900  

Do đó tứ giác AOME nội tiếp (2)

Từ (1), (2) suy ra năm điểm A, E, M, O, F cùng thuộcmột đờng tròn, đờngkính của đờng tròn là OA

90

   tức là AF và AE là tiếp tuyến của đờng tròn (O)

II- Chứng minh đờng thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn:

Phơng pháp: Có hai phơng pháp thờng dùng để chứng minh mộtđờng

thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn.

- Chứng minh đờng thẳng đã cho vuông góc với bán kính của ờng tròn tại đầu mút của nó.

đ Để chứng minh đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) tại

điểm A ta chứng minh góc tạo bởi đờng thẳng d với dây AB nào

đó bằng góc nội tiếp chắn cung AB.

Bài tập II.1: Chotam giác ABC cântịA, các đờng cao AD, BE cắt nhau tạiH Vẽ đờng tròn (O) có đờng kính AH Chứng minh rằng:

a)Điểm E nằm trên đờng tròn (O).

b)DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O).

Giải:

a)vì góc AEH vuông, nên E nằm trên đờng tròn

(O) (*)

b) Tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến

Suy ra ED=DB do đó tam giác BDE cân tại D

A

B

Mà HBD BHD 900 (5)

Từ (1), (4), (5)  OHE HED  90 hay 0EDE(**)

Từ (*), (**) suy ra DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O)

Một số bài toán về đơng tròn

Bài toán II.2: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB và hai tiếp tuyến Ax và By Một đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn tại C (C khác A, B) cắt Ax, By lần lợt tại E, F Chứng minh rằng:

a) OE vuông góc với OF.

b) Tam giác EOF đồng dạng với tam giác ACB.

c) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác EOF tiếp xúc với AB.

Giải:

a)AE, BF là haitiếp tuyến của đờng tròn (O)

nên:

OE là phân giác của góc AOC

Tơng tự OF là phan giác của BOC

F

B A

Suy ra tam giác ACB vuông tại C

Ta thấy tứ giác FCOB nội tiếp (FOC OBF 900)

Do đó hai tam giác vuông EOF và ACB đồng dạng

điều này chứng tỏ AB tiếp xúc với đờng tròn ngoại tiếp tam giác FEO

Bài toán II.3: Từ mộtđiểm A ở ben ngoài đờng tròn (O, R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn Đờng thẳng vuông góc với OC tại O cắt tia

AB tại M.

a) Chứng minh tứ giác AMON là hình thoi.

b) Điểm A phải cách O một khoảng bao nhiêu để cho MN là tiếp tuyến của (O).

Giải:

a)Xét tứ giác AMON, ta có:

AM//ON (cùng vuông góc với OB)

AN//OM (cùng vuông góc với OC)

    OM=ON (hai cạnh tơng ứng) (2)

Từ (1), (2) suy ra tứ giác AMON là hình thoi

b)Để MN tiếp xúc với (O, R) cần điều kiện là:

d(O,MN)=R  OI=R AO=2.R

vậy với AO=2.R thì MN là tiếp tuyến của (O, R)

Một số bài toán về đơng tròn

Bài tập II.4: Cho đờng tròn đờng kính AB Trên cùng một nửa mặt phẳng

bờ AB lấy hai điểm C, D thuộc đờng tròn AC và AD cắt tiếp tuyến Bx của

đờng tròn lần lợttại E, F.

a) Chứng minh ABD BFA ACB , AEB .

b) Chứng minhtws giác CDFE nội tiếp.

c) Gọi I là trung điểm của FB, chứng minh DI là tiếp tuyến của ờng tròn.

đ-d) giả sử CD cắt Bx tại G, phân giác của góc CGE cắt AE, AF lần lợt tại M, N Chứng minh tam giác AMN cân.

ECDABD (cùng bù vớ góc ACD)

Theo câu a) taosuy ra ECD DFB

Do vậy ECD DFE DFB DFE 1800

Điều này chứng tỏ tứ giác CDFE nội tiếp

c)Xét tam giác ABF có OI là đờng trung bình, do đó

N

E

F G I B A

Vậy tam giác AMN cân tại A

Bài tập II.5: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) và E là điểm chính giữa cung AB Haidây CE, ED cắt AB theớth tự tại P, Q Các dây AD và

EC kéo dài cắt nhau tại I Các dây BC và ED kéo dài cắt nhau tại K Chứng minh rằng:

a) Tứ giác CDIK nội tiếp.

b) Tứ giác CDQP nội tiếp.

c) IK//AB.

d) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AQD tiếp xúc với EA tại A.

Giải: