SKKN - mot so dang toan ve tinh chat chia het trong N

Các bài toán về chia hết nếu chỉ đơn thuần làm các bài tập nh SGK thì rất dễ nhng các bài toán nâng cao thì rất khó, đa dạng và không có một quy tắc chung nào để giải, phải sử dụng các p

Phần một : đặt vấn đề

Chúng ta đều biết rằng toán học là cơ sở của mọi ngành khoa học, vì thế môn toán đóng một vai trò quan trọng trong nhà trờng Thông qua môn toán, học sinh nắm vững các kiến thức toán học, từ đó dễ dàng học tập các môn học khác để ứng dụng những kiến thức đã học vào các ngành khoa học kĩ thuật, ứng dụng trong lao

động, trong quản lý kinh tế, trong việc tự học, tự nghiên cứu khoa học Để giúp

HS học tốt môn toán đòi hỏi ngời thày giáo phải có sự lao động sáng tạo nghiêm túc

Một vấn đề lớn trong chơng trình toán THCS là vấn đề chia hết Vấn đề này

đợc đa vào từ lớp 5, phát triển ở lớp 6, lớp 7 và đợc đề cập trong những bài toán nâng cao dành cho học sinh giỏi ở lớp 8, lớp 9 Trong các kì thi học sinh giỏi các cấp, đặc biệt là ở lớp 6 thì vấn đề chia hết là một nội dung hay đề cập đến và th ờng

là những bài khó Các bài toán về chia hết nếu chỉ đơn thuần làm các bài tập nh SGK thì rất dễ nhng các bài toán nâng cao thì rất khó, đa dạng và không có một quy tắc chung nào để giải, phải sử dụng các phơng pháp khác nhau một cách linh hoạt, sáng tạo Trong khi năng lực t duy, khả năng phân tích tổng hợp của HS còn hạn chế nên HS thờng bế tắc trong việc tìm ra cách giải cho loại toán này Vấn đề

đặt ra trong việc giải toán là phải biết nhận dạng bài toán và lựa chọn phơng pháp thích hợp để giải Hơn nữa để giải đợc các bài tập nâng cao về tính chia hết thì ngoài việc nắm kiến thức cơ bản có trong chơng trình, HS còn phai nắm vững một

số kiến thức bổ sung mở rộng, những kiến thức này không đợc phân phối trong các tiết học nên HS ít đợc vận dụng và rèn luyện trừ khi gặp những bài tập khó.Vì thế

kỹ năng vận dụng các kiến thức đó cha đợc thành thạo, nhạy bén, HS thờng mắc sai lầm nh : Khi thấy một tổng chia hết cho m thì vội vã kết luận các số hạng chia hết cho m ; hoặc khi thấy a⋮m và a⋮n thì kết luận ngay là a⋮mn mà không xem xét xem m,n có nguyên tố cùng nhau hay không

Để giúp HS gải quyết những khó khăn đó, đồng thời bổ sung một số kiến thức về tính chia hết, làm tài liệu tham khảo trong công tác bồi dỡng HS giỏi, góp phần vào việc “đào tạo và bồi dỡng nhân tài” Tôi xin trình bày kinh nghiệm “Hớng dẫn HS lớp 6 giải một số dạng toán nâng cao về tính chia hết trong N” Đây là sự

đúc rút kinh nghiệm nhằm cung cấp cho HS phơng pháp nhận dạng các bài toán về tính chia hết và hớng dẫn phơng pháp phân tích để có lời giải hợp lý

Phần hai : Giải quyết vấn đề

A Vấn đề cần giải quyết :

Để làm đợc các bài tập nâng cao về tính chia hêt HS phải nắm đợc định nghĩa, các tính chất cơ bản về số nguyên tố, hợp số, các em phải nắm đợc tính chất chia hết có liên quan đến số nguyên tố nh thế nào Các em còn cần đợc mở rộng một ssó dấu hiệu chia hết, bổ sung một số kiến thức về ƯCLN, BCNN Từ đó các

em phải nắm đợc phơng pháp cơ bản để giải bài toán về tính chất chia hết và các bài tập có liên quan

Ngoài ra HS cần nắm đợc một số dạng toán điển hình về chia hết và có

ph-ơng pháp giải quyết phù hợp đối với mỗi dạng Có đợc kỹ năng này các em sẽ làm

đợc các bài tập một cách nhanh gọn, linh hoạt

Để giải quyết đợc những vấn nêu trên HS cần phải phát huy tính tích cực, t duy sáng tạo Còn giáo viên là ngời thiết kế, hớng dấn các em, khơi dậy t duy, tạo hứng thú học tập Có nh vậy chơng trình dạy và học mới đạt hiệu quả cao

B Các biện pháp tiến hành :

I Hệ thống lại các kiến thức cần ghi nhớ :

Để HS thuận lợi trong việc giải toán về tính chất chia hết cần củng cố cho các em những kiến thức cơ bản về tính chia hết và những kiến thức có liên quan, đó là:

1/ Định nghĩa :

cho hai số tự nhiên a và b (b ≠ 0) Ta nói a chia hế cho b nếu tồn tại số tự nhiên q sao cho a = b.q Ta còn nói a là bội của b hoặc b là ớc của a, hoặc a chia hết cho b

2/ Các tính chất về chia hết :

* Tính chất chung :

a) Số 0 chia hết cho mọi số b ≠ 0

b) Mọi số a ≠ 0 đều chia hết cho chính nó

c) Tính chất bắc cầu : Nếu a⋮b, b⋮c thì a⋮c

+ Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu

d) Nếu a⋮m, b⋮m thì tổng a + b⋮m, a - b⋮m

+ Hệ quả :

e) Nếu a⋮m, b⋮m thì a + b⋮m, a - b⋮m ;

Nếu a⋮m, b⋮m thì a + b⋮m, a - b⋮m

f) Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m

g) Nếu a⋮m, b⋮n thì ab⋮mn

h) Nếu A⋮B thì mA +nB⋮B , mA – nB⋮B

i) Nếu một tích chia hết cho một số nguyên tố p thì tồn tại một thừa số của tích chia hết cho p

j) Nếu ab⋮m, b và m, n guyên tố cùng nhau thì a⋮m

k) Nếu a⋮m, a⋮n thì a⋮BCNN(m,n)

+ Hệ quả :

chia hết cho tích của chúng

3/ Bổ sung một số dấu hiệu chia hết :

Ngoài các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9 mà HS đã đợc học trong chơng trình SGK, cần bổ sung thêm một số dấu hiệu sau:

a) Dấu hiệu chia hết cho 4, cho 25 :

Một số chia hết cho 4 (hoặc cho25) khi và chỉ khi số đó có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 ( hoặc cho 25)

b) Dấu hiệu chia hết cho 8, cho 125 :

Một số chia hết cho 8 (hoặc cho125) khi và chỉ khi số đó có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 ( hoặc cho 125)

c) Dấu hiệu chia hết cho 10:

Một số chia hết cho 10 khi và chỉ khi số đó có chữ số tận cùng là 0

d) Dấu hiệu chia hết cho 11 :

Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các số đứng ở vị trí lẻ

và tổng các chữ số đứng ở vị trí chẵn (kể từ phải sang trái) chia hết chia 11

4/ Bổ sung kiến thức về ƯCLN và BCNN :

a) Thuật toán Ơclit :

+ Nếu a⋮b thì ƯCLN(a,b) = b

+ Nếu a⋮b thì ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,r)

(r là số d trong phép chia a cho b)

b) ƯCLN(a,b) BCNN(a,b) = ab

5/ Số nguyên tố, hợp số, số nguyên tố cùng nhau :

+ Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, có hai ớc là 1 và chính nó

Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất

+ Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ớc

+ Hai hay nhiều số đợc gọi là hai số nguyên tố cùng nhau nếu ƯCLN của chúng bằng 1

II Phân loại một số dạng toán điển hình và cách giải:

Bài tập về tính chia hết rất phong phú và đa dạng Trong phần này tôi chỉ đề cập đến một số dạng toán điển hình, có thể phân loại nh sau :

1/ Các bài toán áp dụng các tính chất chia hết và các dấu hiệu chia hết :

* Dạng 1:

Chứng minh một biểu thức chia hết cho một số: Để chứng minh một biểu thức chia hết cho một số nào đó, ngoài việc sử dụng các tính chất chia hết và các dấu hiệu chia hết đã biết rồi còn phải tuỳ theo từng trờng hợp cụ thể để kết hợp với một số kiến thức khác nh :Các tính chất của các phép toán, phép luỹ thừa, tìm chữ

số tận cùng của luỹ thừa, phép chia có d, cấu tạo số, số nguyên tố cùng nhau Cụ thể là :

a) Kết hợp với các kiến thức về luỹ thừa và tìm chữ số tận cùng của luỹ thừa :

Ví dụ 1:

- Phơng pháp : Chia tổng A thành từng nhóm thích hợp để biến đổi về dạng

A = 31.Q rồi áp dụng tính chất :

Giải:

A = (2 + 22 + 23 + 24 + 25) + (26 + 27 + 28 + 29 + 210) +

+ (296 + 297 + 298 + 299 + 2100)

= 2(1 + 2 + 22 + 23 + 24) + 26(1 + 2 + 22 + 23 + 24) +

+ 296(1 + 2 + 22 + 23 + 24)

Vậy A⋮31

Ví dụ 2 :

- Phơng pháp : Tìm chữ số tận cùng của 34n + 1 + 2 rồi sử dụng dấu hiệu chia hết cho 5

Giải :

34n + 1 + 2 = (34)n 3 + 2 = 81n .3 + 2

Những số có chữ số tận cùng là 1 thì khi nâng lên bất kỳ luỹ thừa nào khác 0

Ví dụ 3:

Giải :

33 chữ số 0 32 chữ số 0

Số 10 08 có chữ số tận cùng là 8 nên ⋮2, có tổng các chữ số

33 chữ số 0 là 9 nên⋮9

b) Kết hợp với kiến thức về phép chia có d :

Ví dụ 4 :

d thì hiệu của chúng chia hết cho c

- Phơng pháp: Sử dụng kiến thức về phép chia có d để biểu diễn a, b rồi tìm

hiệu của chúng.

Giải :

b = cq2 + r (0 ≤ r < c)

= c(q1- q2)

Vậy a – b⋮c

- Khai thác bài toán :

Ta biết rằng số tự nhiên và tổng các chữ số của nó có cùng số d trong phép chia cho 3, cho 9 (theo cách chứng minh dấu hiệu chia hết cho 3, cho9) Từ đó rút

ra nhận xét :

Hiệu của số tự nhiên và tổng các chữ số của nó chia hết cho 3, cho9

(Yêu cầu HS ghi nhớ nhận xét này để vận dụng giải bài tập).

Ví dụ 5:

Cho n∊N Chứng minh rằng : n(n + 1)(2n + 1) ⋮6

Giải :

+ Trong 2 số tự nhiên liên tiếp luôn có một số là bội của 2

Do đó n(n + 1)(2n + 1) ⋮2

+ Ta cần chứng minh n(n + 1)(2n + 1) ⋮3 thì n(n + 1)(2n + 1) ⋮6

(Vì 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau)

Xét hai trờng hợp :

Khi n = 3k + 1 thì 2n + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 3⋮3

⇒ n(n + 1)(2n + 1)⋮3⇒ n(n + 1)(2n + 1)⋮6

Khi n = 3k + 2 thì n + 1 = (k + 2) + 1 = 3k + 3⋮3

⇒ n(n + 1)(2n + 1)⋮3⇒ n(n + 1)(2n + 1)⋮6

Vậy :Trong mọi trờng hợp ta luôn có n(n + 1)(2n + 1)⋮6

c) Sử dụng cấu tạo số để biến đổi:

Ví dụ 6:

Cho biết abc chia hết cho 7, chứng minh rằng: 2a + 3b + c chia hết cho 7

- Phơng pháp: Sử dụng kiến thức về cấu tạo số để phân tích abc thành tổng

của hai số hạng: một số hạng là bội của 7, một số hạng là 2a + 3b + c

Giải:

Ta có abc = 100a + 10b + c = 98a + 2a + 7b + 3b + c

= (98a + 7b) + (2a + 3b + c)

= 7(14a + b) + (2a + 3b + c)

Mà 7(14a + b) chia hết cho 7

Do đó (2a + 3b +c) chia hết cho 7

Ví dụ 7:

Với a, b là những chữ số ≠ 0 Hãy chứng minh:

a) aaabbb chia hết cho 37

b) (abab – baba) chia hết cho 9 và 101 (a > b)

- Phơng pháp: Dùng cấu tạo số để biến đổi về dạng A = BQ

Giải: a, aaabbb = 1000 aaa + bbb = 1000.111a + 111b

= 111(1000a + 6) = 337 (1000a +b)

Vậy aaabbb chia hết cho 37

d Toán về chia hết có liên quan đến hai số nguyên tố cùng nhau:

Ví dụ 8:

Cho biết 3a + 2b chia hết cho 17 (a,b ∊ N), chứng minh rằng 10a + b chia hết cho 17

Giải: Đặt 3a + 2b = X, 10a + b = Y

Ta có: 2Y – X = 2 (10a + b) – (3a +2b)

= 20a + 2b – 3a – 2b = 17a

Do đó 2Y – X chia hết cho 17, mà X chia hết cho 17 nên 2Y chia hết cho 17 (hệ quả của tính chất 4) Mặt khác 2 và 17 nguyên tố cùng nhau nên Y chia hết cho 17 (tính chất 10) hay 10a + 6 chia hết cho 17

Ví dụ 9:

Cho một số chia hết cho 7 gồm 6 chữ số Chứng minh rằng nếu chuyển chữ

số tận cùng lên đầu tiên ta vẫn đợc số chia hết cho 7

Giải: Gọi số chia hết cho 7 gồm 6 chữ số là: X = abcdeg

Nếu chuyển chữ số tận cùng lên đầu tiên ta đợc số: Y = gabcde

Đặt abcde = n thì X = 10n + g, Y = 100000g + n

Ta có: 10Y – X = 10(100000g +n) – (10n + g)

= 1000000g + 10n – 10n – g = 999999g ⋮7

10 Y – X chia hết cho 7, X chia hết cho 7 nên 10Y ⋮7

Mà 10 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau nên Y⋮ 7 hay abcdeg ⋮7

e/ Sử dụng một số tính chất khác:

Ví dụ 10:

- Phơng pháp: biến đổi 10n + 18n – 1 thành tổng các số hạng đều chia hết cho 27

Giải: Ta có 10n + 18n – 1 = 10n – 1 – 9n + 27n

= 99 9 – 9n + 27n

n

= 9 (11 1 – n) + 27n

n

Dựa vào nhận xét ở ví dụ 4 ta có :

Số 11 1 và tổng các chữ số của nó (bằng n) có cùng số d trong

n

phép chia cho 3 nên hiệu của chúng chia hết cho 3, nghĩa là :

11 1 – n chia hết cho 3, do đó 9(11 1 – n) chia hết cho 27

n n

Vậy 9(11 1 – n) + 27n chia hết cho 27

n

Ví dụ 11:

Chứng minh rằng số gồm 27 chữ số 1 thì chia hết cho 27

- Phơng pháp: biến đổi số đó thành tích của hai thừa số, một thừa số chia hết

cho 9, một thừa số chia hết cho 3 rồi áp dụng tính chất 7

Giải: Gọi A là số gồm 27 chữ số 1, B là số gồm 9 chữ số 1.

Tổng các chữ số của B là 9 nên B⋮9 (1)

Lấy A chia B đợc thơng là: 100 0100 0 (d 0)

8 chữ số 0 8 chữ số 0

Ta viết đợc A = B.C

Tổng các chữ số của C bằng 3 nên C⋮3 (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra B.C⋮27 hay A⋮7

* Dạng 2 :

Tìm các chữ số theo điều kiện về chia hết.

Ví dụ 12:

Thay dấu * bởi các chữ số thích hợp để A = 52*2* chia hết cho 36

- Phơng pháp : Xét điều kiện để A⋮4 và cho 9 từ đó tìm ra các chữ số

Giải :

Để A⋮34 thì A⋮4 và 9 ⇒ hai chữ số tận cùng của A tạo thành số chia hết cho 4, nghĩa là 2*⋮4 ⇒ 2*∊ {20 ; 24 ; 28}

- Trờng hợp 1 : A = 52*20 Để A⋮9 thì 5 + 2 + * + 2 + 0 phải chia hết cho 9, tức

là 9 + * phải chia hết cho 9, do đó * ∊{ 0 ; 9 }

- Trờng hợp 2 : A = 52*24 Lập luận tơng tự nh trên ta có * = 5

- Trờng hợp 3 : A = 52*28, ta có * = 1

Thay dấu * bởi các chữ số thích hợp vừa tìm ở trên, ta tìm đợc các số :52020 ;

52920 ; 52524 ; 52128 đều chia hết cho 36

Ví dụ 13 :

Tìm các chữ số a và b sao cho a – b = 4 và 7a5b1⋮3

Giải :

Vì 13 : 3 d 1 ⇒ a + b : 3 d 2 (1)

Do a, b là chữ số và a – b = 4 nên :

4≤ a ≤ 9 và 0≤ b ≤ 5 ⇒ 4≤ a + b ≤ 14 (2)

Do a – b là số chẵn nên a + b cũng là số chẵn (3)

Từ (1),(2),(3) ⇒ a + b ∊ {8 ; 14}

Với a + b = 8 , a – b = 4 ⇒ a = 6, b =2

Với a + b = 14, a – b = 4 ⇒ a = 9, b = 5

Ta đợc các số 76521 ; 79551 ⋮ 3

Ví dụ 14:

Tìm chữ số a để 1aaa1⋮11

Giải :

Tổng chữ số hàng lẻ là 1 + a + 1 = a + 2

Tổng chữ số hàng chẵn là a + a = 2a

- Nếu 2a ≥ a + 2, ta có 2a – (a + 2) = a - 2

để 1aaa1⋮11 thì a - 2⋮11, mà 2 – a < 2 ⇒ 2 – a = 0 ⇒ a = 2

- Nếu 2a < a + 2, ta có a + 2 – 2a = 2 - a

để 1aaa1⋮ 11 thì 2 - a⋮ 11 mà 2 – a < 2 ⇒ 2 – a = 0 ⇒ a = 2

Vậy với a = 2 thì ta đợc số 12221⋮11

Ví dụ 15 :

Tìm chữ số a, biết rằng 20a20a20a⋮7

Giải :

Ta có 20a20a20a = 20a.20a.1000 + 20a

= (20a.1000 + 20a).1000 + 20a

= 1001.20a.1000 + 20a

= 7.143.20a.1000 + 20a⋮7

mà 7.143.20a.1000⋮7⇒20a⋮7

20a = 200 + a = 196 + 4 + a = 196 + (4 + a)⋮7

mà 196⋮7 ⇒ 4 + a⋮7 Vì a là chữ số ⇒ a = 3 Ta đợc số 203203203⋮7

* Dạng 3 : Tìm số tự nhiên theo điều kiện cho trớc

Ví dụ 16:

Tìm các số tự nhiên x và y sao cho:

(2x + 1)(y – 3) = 10

- Phơng pháp : Xét các ớc của 10

Giải :

x và y là các số tự nhiên nên 2x + 1 và y – 3 là các ớc của 10 (y>3) Các ớc của 10

là 1 ; 2 ; 5 ; 10 Vì 2x + 1 là số lẻ nên 2x + 1 ∊ {1 ; 5}

Ta có bảng sau :

Ví dụ 17 :

Tìm số tự nhiên n sao cho n + 6 ⋮ 2n – 1

Giải :

n + 6 ⋮ 2n – 1 ⇒ [2(n+6) – (2n – 1)] ⋮2n – 1

⇒ (2n + 12 – 2n + 1) ⋮ 2n – 1

⇒ 13⋮2n – 1

⇒ 2n – 1 là ớc của 13 ⇒ 2n – 1 ∊ {1; 13}

Ta có bảng sau:

Ví dụ 18:

Giải:

Nếu n⋮5 ⇒n có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5

Nếu n - 1⋮5 ⇒ n có chữ số tận cùng là 1 hoặc 6 Do đó n có thể có chữ số tận

96

Ví dụ 19 :

Tìm số tự nhiên n sao cho 18n + 3 ⋮7

Giải :

18n + 3 ⋮7 ⇒ 21n – (18n + 3) ⋮7 ⇒ 21n – 18n - 3⋮7 ⇒ 3n - 3⋮7 ⇒ 3(n – 1)⋮7

Vì 3, 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên n – 1 ⋮7

⇒ n = 7k + 1 (k∊ N)

Ví dụ 20 :

Tìm số có hai chữ số biết rằng số đó chia hết cho tích các chữ số của nó

Giải :

Gọi số có hai chữ số phải tìm là ab, theo bài ra ta có ab ⋮ab

ab = 10a + b⋮ab (1)

⇒ 10a + b ⋮a mà 10a ⋮a ⇒ b⋮a

⇒ b = ka (2) (k∊N; k<10)

Thay (2) vào (1) ta có: 10a + ka⋮aka

⇒ 10a + ka⋮ka ⇒ 10a ⋮ka ⇒ 10⋮ka ⇒ k ∊ {1; 2; 5} (vì k < 10)

+ Nếu k = 1 ta có b = a Thay vào (1) đợc :

+ Nếu k = 2 ta có b = 2a

Lần lợt xét các số có hai chữ số, chữ số hàng đơn vị gấp đôi chữ số hàng chục là: 12; 24; 36; 48 ta thấy các số 12; 24; 36 thoả mãn đầu bài

+ Nếu k = 5 ta có b = 5a Ta thấy số 15 thoả mãn đầu bài

Vậy có 5 số thoả mãn là: 11; 12; 15; 24; 36

Ví dụ 21:

Tìm số có ba chữ số nh nhau biết rằng số đó có thể viết đợc dới dạng tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1

Giải:

Gọi số cần tìm là aaa Theo bài ra ta có:

Vì n (n+1)⋮37 nên tồn tại một trong hai thừa số ⋮37 Mà:

là số có 3 chữ số nên (n + 1) và n đều nhỏ hơn 74

⇒ n = 37 hoặc n + 1 = 37

Vậy số phải tìm là 666

2/ Các bài toán về số nguyên tố, hợp số, số nguyên tố cùng nhau :

* Dạng 1 :

Chứng minh một số là số nguyên tố, hợp số.

Ví dụ 22 :

Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n ≠ 0 thì số

2.3.37a 1)

n(n 2.111.a

1) n(n 111a

2

1)n (n

2

1)n (n n

3 2 1

aaa

































2

1)n (n 

mãn) (thoả

666 2

36.37 aaa

có ta , 36 n 37 1

n

Nếu

703(loại) 2

37.38 2

1)n (n aaa có

ta 38, 1 n 37

n

Nếu





























11 1211 1 là hợp số

n n

- Phơng pháp : Phân tích số đã cho thành tích của hai thừa số lớn hơn 1.

Giải :

n n n + 1 n n + 1 n + 1

hai thừa số lớn hơn 1

Vậy tích đã cho là hợp số

Ví dụ 23:

Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 1 cũng là số nguyên tố thì 4p + 1 là số nguyên tố hay hợp số

- Phơng pháp: Xét các khả năng có thể xảy ra của p rồi thay vào 4p + 1

Giải:

p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p⋮3 Do đó p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2

Với p = 3k + 1 ⇒ 2p + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 3 ⋮3 nên là hợp số, trái với đề bài cho 2p + 1 là số nguyên tố

Do đó p = 3k + 2, khi đó 4p + 1 = 4(3p + 2) + 1 = 12k + 9 ⋮9 và 12k + 9 > 3 Vậy 4p + 1 là số nguyên tố

* Dạng 2:

Tìm số nguyên tố theo các điều kiện của nó

Ví dụ 24 :

Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2, p + 4 cũng là số nguyên tố

Giải :

Xét các trờng hợp :

Với p = 2 thì p + 2, p + 4 đều là hợp số, không thoả mãn

Với p = 3 thì p + 2 = 5, p + 4 = 7 đều là các số nguyên tố, thoả mãn

Với p > 3, do p là số nguyên tố nên p⋮3 ⇒ p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2

Nếu p = 3k + 1 ⇒ p + 2 = 3k + 3 là hợp số, không thoả mãn

Nếu p = 3k + 2 ⇒ p + 4 = 3k + 6 là hợp số, không thoả mãn

Vậy p = 3 là giá trị duy nhất phải tìm

* Dạng 3:

Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau

Ví dụ 25:

Chứng minh rằng 2n + 1 và 3n + 1 (n∊N) là hai số nguyên tố cùng nhau

Giải:

Gọi d là ớc chung của 2n + 1 và 3n + 1

Ta có: 2n + 1 ⋮ d; 3n + 1⋮d

⇒[3(2n+1) – 2(3n + 1)]⋮d

⇒ 6n + 3 – 6n - 2⋮d

⇒ 1⋮d ⇒ d = 1

Vậy 2n + 1 và 3n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau

Ví dụ 26 :