Skkn một số dạng toán về phương trình và bất phương trình vô tỷ

Lý do chọn đề tài: Trong chương trình THPT nói chung và lớp 10 nói riêng, học sinhthường gặp nhiều khó khăn trong việc giải các phương trình và bất phươngtrình vô tỷ, mặc dù phần lí thuy

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO GIA LAI TRƯỜNG THPT PHAN BỘI CHÂU

Họ và tên người viết : Phạm Văn Thành.

Chức vụ : Giáo viên.

Năm 2015.

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài:

Trong chương trình THPT nói chung và lớp 10 nói riêng, học sinhthường gặp nhiều khó khăn trong việc giải các phương trình và bất phươngtrình vô tỷ, mặc dù phần lí thuyết đơn giản nhưng một số bài toán phươngtrình và bất phương trình vô tỷ trong các kì thi Đại học thường khá phức tạp.Phương trình và bất phương trình vô tỷ rất đa dạng và không thể có phươngpháp chung nào để giải mọi phương trình nên học sinh thường lúng túng và

dễ mắc sai lầm trong việc phân tích, lựa chọn cách giải phù hợp, ngắn gọn

Để giúp học sinh phần nào trong việc định hướng và lựa chọn phương pháp

giải phù hợp, tôi đã nghiên cứu đề tài : “Một số dạng toán về phương

trình và bất phương trình vô tỷ”.

2 Mục tiêu nghiên cứu:

Với đề tài: “Một số dạng toán về phương trình và bất phương

trình vô tỷ” tôi muốn giúp học sinh hệ thống được các phương pháp thường

dùng khi giải phương trình và bất phương trình vô tỷ Ở dạng toán này họcsinh thường gặp lúng túng khi khử dấu căn hoặc điều kiện của căn thức Đưa

ra phương pháp tối ưu trong việc giải quyết các bài toán liên quan phươngtrình và bất phương trình vô tỷ

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

Trước hết là thực hiện đổi mới phương pháp giảng dạy Toán, làm chohọc sinh sáng tạo tìm những lời giải mới, lời giải hay trên một “bài toánkhó”, giúp bản thân nắm vững hơn nữa về phương trình và bất phương trình

vô tỷ, đồng thời trao đổi và học tập kinh nghiệm ở quý thầy cô giảng dạymôn Toán trung học phổ thông.

4 Các phương pháp nghiên cứu:

* Phương pháp tổng hợp: thông qua một số bài toán, nhận xét rút ranhững kinh nghiệm, mở ra các hướng mới

* Phương pháp phân tích : phân tích giúp học sinh nắm thật rõ bảnchất vấn đề, lựa chọn được phương pháp giải cho phù hợp, tối ưu nhất

PHẦN II NỘI DUNG

I CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

Dạng 1 : Phương pháp nâng hai vế lên lũy thừa

Bài 1 : Giải các phương trình sau :

a) 2x 1 2 x   ;

b) x  3 2x 8   7  x

Giải :

a) Xét phương trình 2x 1 2 x  

 2  2

2 0 2x 1 2

7 0

x

x x

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 5; x = 6

Bài 2: Giải các phương trình sau :

a) 4 3 10 3x    x 2(HSGQG-2000); b) x  1 5x 1   3x 2  ;c) 3 x 2   3 2x 3 1   ; d) x 2 7  x  2 x 1  x2  8x 7 1  

Phương trình đã cho được viết lại : x  1 3x 2   5x 1  , bình phương hai

vế của phương trình ta được x  1 5x 1   5x 1 3x 2       3x 2 

x x x

Suy ra không có giá trị nào của x thỏa bài toán

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

* Nhận xét : Học sinh thường mắc sai lầm ở những điểm sau:

- Nếu học sinh không chú ý đến điều kiện x 1, nên lấy nghiệm 2

3 3

3 2

2 2x 3 3 2 2x 3 2 2x 3 1 3x 5 3 2 2x 3 1

 x  1 x 2 Thử lại ta thấy x = 2 thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 2

phương trình thường xuất hiện nghiệm ngoại lai Học sinh thường mắc sailầm, giải xong không thử lại nghiệm mà kết luận phương trình có 2 nghiệm

x = 1, x = 2 Tuy nhiên giả trị x = 1 không thỏa mãn phương trình

Vậy phương ttrình đã cho có hai nghiệm x = 5, x = 4

* Nhận xét: Phương trình trên có thể giải bằng cách đặt ẩn phụ

Nên x2  3x 2   x2  3x=4  x=1 hoặc x 4(thỏa (*)).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x 1; x 4 b) Điều kiện 2x 1 0 1

t

  Phương trình đã cho trở thành t4  4t2  4t 1 0 

 t 12t2  2 1t     0 t 1 hoặc t  2 1  (thỏa t 0)Với t = 1 ta tìm được x = 1 (thỏa điều kiện (*))

Với t  2 1  ta tìm được x  2 2(thỏa điều kiện (*))

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm : x 1; x  2 2

4 3 2

3 5 3 5 3x-1 0

2 2 2x 1 3x-1

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm : x 1; x  2 2.

Bài 2: Giải các phương trình sau :

2x 1 4x

x x

+ Với u 1 ta được 1  x  1 x 2(thỏa (*))

+ Với u  2 ta được 1  x  23  x  1 2 2(thỏa (*))

+ Với u  2 ta được 1  x 2 3  x  1 2 2(thỏa (*))

Vậy phương trình có ba nghiệm là x 2,x  1 2 2, x  1 2 2

c) Đặt y 3 3x 2  suy ra y 3 3x 2 

Khi đó phương trình đã cho trở thành:

3 3

4 4

2

4 4x 4 0 2 04

x x

x

 

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x  2

x x

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x 5

* Nhận xét: Đối với phương trình trên ta có thể giải bằng phương pháp

x x không là nghiệm của phương trình đã cho.

Xét hàm số f x   3x 1   6  x 3x 2  14x 8  liên tục trên khoảng 1; 6

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x 5

Bài 2: Giải các phương trình sau :

Khi đó, từ phương trình trên suy ra x 0, nên ta chỉ xét x 0.

Vì 2x 2   x 6 x2  x 3 x2   3 0 nên:

2 3 3

2x 6 3

x x

 x 2 hoặc 7x 3  30x 2  36x 72 0   (vô nghiệm do x 0)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x 2

Kết hợp (4) với phương trình (*) ta được x2  x    2 x 1 x 12 0

Đẳng thức xảy ra khi x 1 (Thỏa điều kiện (1))

Thay giá trị vào phương trình đã cho thấy x 1là nghiệm duy nhất củaphương trình (*)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x 1

Bài 3: Giải các phương trình sau :

a) 1  1  x2 x1 2 1   x2;

  )

1 6

2 1 2

u

x x u

Bài 4: Giải các phương trình sau :

đến phương theo t là t2  9t 0 ; Hoặc đặt t 2  x 2 2  x dẫn đến phương

trình theo t là t2  3t 0ta vẫn tìm được nghiệm 6

x x

   

 

 

 

 

3 0 1 1

2x 3 x

  

 

Nên phương trình (2) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là x 3

Dạng 4 : Một số bài toán có chứa tham số của phương trình

Giải :

Cách 1 :

Đặt

2 3 3

  1 8 6 0 47 1 47 6 8 2 8 6 0 m m S m m P                         +(*) có hai nghiệm trái dấu t1   0 t2  6  m  0 m 6 Kết hợp tất cả các điều kiện trên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm khi 47 8 m  Cách 2: Điều kiện : x 3 Phương trình đã cho tương đương m 2x- x 3 Xét hàm số yf x  2x- x 3, x3;   Ta có ' '  2 1 2 3 y f x x     ; '  0 49 16 f x   x Bảng biến thiên

x 3 49

16 

y’ - 0 +

y 6

47 8

Từ bảng biến thiên ta có phương trình có nghiệm khi 47

8

m 

* Nhận xét : Đối với học sinh lớp 10 thì nên dùng cách 1 còn học sinh lớp 12

nên dùng đạo hàm để giải dạng toán này nhanh hơn và ít sót điều kiện

Bài 2 : Tìm m để phương trình

m 1 x2  1  x2  2  2 1  x4  1 x2  1  x2 có nghiệm thực

(Trích đề thi Đại học Khối B – năm 2004).

4 ' 0, 0; 2

Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 2 1   m 1

Bài 3 : Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai

nghiệm thực phân biệt : 4 2x  2x 2 6  4  x 2 6  x m m,  

Đặt  

,

2x 6

x x



Ta thấy u 2 v 2   0 f ' 2   0 Hơn nữa u x v x ,   cùng dương trên khoảng 0; 2 và cùng âm trên khoảng 2; 6

Ta có bảng biến thiên của hàm số f x  như sau :

x 0 2 6

f’(x) + 0 -

f(x) 3 2 6 

2 6 2 6  4 4 12 2 3 

Từ bảng biến thiên ta có giá trị của m cần tìm là :2 6 2 6  4 m 3 2 6  * Nhận xét: Đối với bài này, chúng ta có thể xét    3  3 4 4 1 1 1 1 ' 2x 6 2 2x 6 f x x x      

2

              

Khi đó '  0 41 4 1 2

2x 6

x

    



Sau đó lập bảng biến thiên như trên Tuy nhiên học sinh gặp khó khăn trong việc đặt nhân tử chung và xét dấu đạo hàm

Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

1 2014,

Giải :

Điều kiện : 0  x 1

Xét hàm số f x   x 1  x x, 0; 1

Ta có  

1 1 1 '

Bài 3: Tìm giá trị của tham số m để các phương sau có đúng hai nghiệm

A B

A B

2 2

3 4 7

3x 10 0

6 0 3x 10 6

6 0 3x 10 6

x x

9 46

9

x x

x x

a) Điều kiện :

2 2 2

3x 2 0

1 4x 3 0

4 5x 4 0

x

x x

x x

* Với x 1 bất phương trình đã cho luôn thỏa mãn

* Với x 4 bất phương trình đã cho tương đương

Ta thấy với mọi x 4 thì (1) luôn đúng

* Với x 1 bất phương trình đã cho tương đương

2 x 3 x 4 x 4 x

        (2)

Ta thấy với mọi x 1 thì (2) vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là T  1 4 ; .b) Điều kiện: x 0 Ta có

t 12    0 t 1 Ta vẫn tìm được nghiệm của bất phương trình.

Dạng 2: Giải bất phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ Bài 1: Giải các bất phương trình sau:

Đặt 2

2 2

0 2x 8

1 13; 2 4;1 13

  b) Điều kiện

2

2x 4x 6 , 1

2 2x 1 0

      Bất phương trình đã cho tương đương

b) Điều kiện x2  4 0   x  2.

 Nếu x 2 bất phương trình đã cho tương đương

2

2

5 25x 100 0 4

5 25

x

x x

x x

x

x



      ;b) 3x 2  14x 23 2   x 1 x2  6x 13 

a) Ta có 3x2 4 3 2

2x 7x 3x 3 2 2

* Nhận xét : Trong bất phương trình trên nếu học sinh đặt ẩn phụ sẽ gặp khó

khăn với biểu thức trong căn bậc hai Để ý rằng 2x 2  x  1 0, x2   3 0 nên ta

áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì bài toán giải gọn hơn

Vậy x = 3 là nghiệm của bất phương trình đã cho

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

Vậy 2

2

x  là nghiệm của bất phương trình đã cho

Bài 3: Giải các bất phương trình sau:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là T     ; 1  1;  

* Nhận xét : Đối với bất phương trình trên việc đặt ẩn phụ gặp nhiều khó

khăn để đưa bài toán theo ẩn phụ Tuy nhiên đối với học sinh lớp 12 nêndùng hàm số để giải, bài toán trở nên đơn giản hơn

Bài 4: Giải các bất phương trình sau:

a) x  1 x2  4x 1 3   x (Trích đề thi Đại học Khối B – năm 2012) ;b) x 1 x  2 x 6 x 7 x2  7x 12 

(Trích đề thi Đại học Khối D – năm 2014)

Giải :

a)Điều kiện 0   x 2 3 hoặc x  2 3(*)

Nhận xét : x 0 là nghiệm bất phương trình đã cho

Với x 0 bất phương trình đã cho tương đương

1 1

4 3

x x

Bài 2 : Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm :

2 2 ' 0, 1; 2

Do đó bất phương trình x m  4  x2 vô nghiệm  m 2 2.

Trên đây là một số dạng toán về Phương trình và bất phương trình vô

tỷ Thực tế cho thấy học sinh rất hứng thú khi được học những dạng toántrên, đặc biệt những bài toán trong các kì thi tuyển sinh vào Đại học Vậndụng các phương pháp giải trên, giúp học sinh đỡ vất vả trong việc giải cácbài toán về phương trình và bất phương trình vô tỷ, tìm giá trị tham số m đểphương trình hoặc bất phương trình có nghiệm,

Qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân ở trường THPT vớinội dung và phương pháp nêu trên đã giúp được phần nào cho học sinh giảitốt hơn về phương trình và bất phương trình vô tỷ, đồng thời cũng kích thíchđược học sinh tìm tòi giải quyết bài toán theo nhiều chiều hướng tốt, tối ưuhơn.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong nghiên cứu đề tài “Một số dạng

toán về phương trình và bất phương trình vô tỷ” song những điều viết ra

có thể không tránh khỏi sai sót, hạn chế, rất mong nhận được sự góp ý củacác đồng nghiệp cùng bạn đọc nhằm nâng cao hiệu quả giảng dạy và họctập

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Bồi dưỡng học sinh giỏi ĐẠI SỐ 10; Ths Nguyễn Trọng Tuấn ,

Ths.Đặng Phúc Thanh, Nguyễn Tấn Siêng; Nhà xuất bản Đại học Quốc gia

Hà Nội

2 Bộ đề và phương pháp giải môn Toán tuyển sinh vào Đại học và

Cao đẳng; ThS Nguyễn Văn Nho; Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội

3 Các dạng toán trong những kì thi tuyển sinh vào Đại học hiên

nay;ThS Nguyễn Văn Nho; Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội

4 Các chuyên đề Đại số ; Phạm Trọng Thư; Nhà xuất bản Đại học sư

phạm

5 Đại số 10 Nâng cao; Đoàn Quỳnh(Tổng chủ biên); Nhà xuất bản

Giáo dục

6 Phương pháp giải toán chuyên đề Phương trình , bất phương trình,

hệ phương trình, bất đẳng thức ; Nguyễn Phú Khánh, Nguyễn Tất Thu; Nhà

xuất bản Đại học sư phạm

7 Học và thực hành theo chuẩn kiến thức, kĩ năng Giải tích 12;

Nguyễn Tài Chung, Đặng Phúc Thanh, Nguyễn Túy; Nhà xuất bản Giáo dụcViệt Nam

MỤC LỤC

Trang