Hai trong các góc của nó có Sin bằng nhau nhưng Cosin khác nhau , hơn nữa tứ giác này không nội tiếp được trong đường tròn.. Tính diện tích tứ giác đó.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC ĐT - DAK LAK KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
TRƯỜNG THPT BUÔN MA THUỘT NĂM HỌC 2012 - 3013
MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1 : ( 6 điểm )
1 Cho a , b là hai số thực dương Chứng minh :
1 1
a b
Dấu bằng xảy ra khi nào ? Mở rộng cho n số dương ( không chứng minh )
2 Cho a , b , c là ba số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của
Câu 2 : ( 4 điểm )
Giải hệ phương trình
2011 2011
Cotx Coty x y
Câu 3 : ( 4 điểm )
Các cạnh tứ giác có độ dài là 3 , 3 , 4 và 8 ( theo một thứ tự nào đó ) Hai trong các góc của nó có Sin bằng nhau nhưng Cosin khác nhau , hơn nữa tứ giác này không nội tiếp được trong đường tròn Tính diện tích tứ giác đó
Câu 4 : ( 4 điểm )
Các tâm của các mặt của hình lập phương nối với nhau tạo thành hình bát diện đều Các tâm của các mặt của bát diện đều nối với nhau tạo thành hình lập phương mới a/ Tính tỷ số hai cạnh của hai hình lập phương nói trên
b/ Gọi hình lập phương mới là hình lập phương thứ nhất , quá trình này được lặp lại tạo thành hình lập phương thứ 2 , 3 … Tính tỷ số các cạnh của hình lập phương thứ
1930 và 2012
Câu 5 : ( 2 điểm )
Cho x , y là hai số nguyên dương f(x;y) được xác định như sau :
2 f(x;y) = 0 nếu x < y
3 f(x + 1; y) = y [ f(x;y) + f(x; y - 1) ] Tính f ( 2012 ; 2012 )
- HẾT -
Trang 2ĐÁP ÁN
Câu 1 : ( 6 đ)
1 / Chứng minh mỗi BĐT 0,75 đ Mở rộng đúng 0,75 đ
2 / ( 3 đ)
*
2
3
0,5 đ
* 1 1 1 33 1
a b c abc 0,5 đ
* 6 = a + b + c 33abc3abc 2 0,5 đ
Nên 1
a +
1
b +
1
c 3
2 0,5 đ
Do đó
2 3
2 3
P
0,5 đ
Vậy Min P = 75
4 khi a = b = c = 2 0,5 đ
Câu 2 : ( 4 đ)
* ĐK x , y ≠ k , k Z 0,5 đ
* (1) Cotx - x2011 = Coty - y2011
* Xét f(t) = Cot t - t2011 HS giảm , t D 0,5 đ
Từ f(x) = f(y) x = y 0,5 đ
* Thay vào (2) : x2013 - 2012 x2 + 4024 x - 2013 = 0 x2013 - 2012 (x-1)2 - 1 = 0 (3)
* CM x 1 :
x2013 = 2012 (x - 1)2 + 1 1 , x R
x 1 0,5 đ
Xét g(x) = VT (3)
g’(x) = 2013 x2012 - 4024 ( x - 1)
g” (x) = 2013 2012 x2011 - 4024 > 0 , x 1 0,5 đ
g’(x) tăng [ 1; + ) 0,5 đ
g’(x) g’(1) = 2013 > 0 , x 1
g(x) tăng [ 1; + )
Chứng tỏ (3) có nghiệm duy nhất x = 1 0,5 đ
Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm x = y = 1 0,5 đ
Câu 3 : (4 đ)
Trang 3A B
* Hai góc có Sin bằng nhau , Cos khác nhau nên chúng bù nhau ( khác 900 ) 1,0 đ
* Tứ giác không nội tiếp trong đường tròn nên chúng là hai góc kề nhau
Tứ giác là hình thang không cân ( hình vẽ ở trên ) 1,0 đ
2 3 4 = 6 1,0 đ
* BK EC = BE BC BK = 3.4
5 =
12
5 0,5 đ
dt(AHKB) =3 12
5 =
36
5 Vậy dt(ABCD) =
36
5 + 6 =
66
5 ( đvdt) 0,5 đ
Câu 4 : ( 4 đ )
M
S
Q
A
D
C'
D' A'
B' M
S
P
S'
Q
N
I
J
A1
B1
a/ ( 2 đ)
Gọi a là cạnh của Hlp ABCD A’B’C’D’ , c1 = A1 B1 là cạnh của Hlp mới
* Ta có : c1
IJ =
2
3 c1 = 2
3 IJ 0,5 đ * IJ =
1
2 MP =
1
Nên c1 = 1
3 a 0,5 đ Vậy c1
a =
1
b/ ( 2 đ)
Gọi c1 , c2 , … , c2012 là độ dài cạnh hình lập phương thứ nhất , thứ 2 , … , thứ 2012
* Chứng minh được c2 = 1
3 c1 =
1
9 a 0,5 đ
* Tương tự : c1930 =
1930 1
2012 1
0,5 đ
Trang 4* Vậy c1930
c2012
= 382 0,5 đ
Câu 5 : ( 2 đ)
* f( 1; 1) = 1 0,5 đ
* f( 2;2 ) = 2 [f(1;2) + f(1;1)] = 2.1 = 2 ! 0,5 đ
* f(3;3) = 3 [ f(2;3) + f(2;2) ] = 3 ! 0,5 đ
- HẾT -