Định nghĩa vectơ đối: hai vectơ được gọi là đối nhau khi tổng của chúng bẳng 0 Vectơ đối của
Trang 11 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898
BÀI 2 – TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
1 Tổng hai vectơ: Cho hai vectơ 𝑎 ; 𝑏 Từ điểm A bất kỳ, vẽ 𝐴𝐵 = 𝑎 , tiếp theo vẽ 𝐵𝐶 = 𝑏 Khi đó 𝑐 = 𝐴𝐶 được gọi là tổng của hai vectơ 𝑎 ; 𝑏 Kí hiệu: 𝒄 = 𝒂 + 𝒃
Áp dụng 1: Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶, hãy xác định các vectơ tổng sau:
① AB + CB =
② AC + BC =
③ BA + BC =
Áp dụng 2: Cho hình bình hành 𝐴𝐵𝐶𝐷 Với 𝑀, 𝑁 là trung điểm của 𝐵𝐶 và 𝐴𝐷 Tìm các vectơ tổng sau
① NC + MC =
② AM + CD =
③ AD + NC =
2 Các tính chất:
Tính chất giao hoán: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
Tính chất kết hợp: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
Tính chất của vectơ – không: 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎
3 Các quy tắc cần nhớ:
a Quy tắc ba điểm: Với ba điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶 bất kỳ ta có: 𝑨𝑩 + 𝑩𝑪 = 𝑨𝑪
Áp dụng 3: Cho bốn điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 Chứng minh rằng:
① BA + CD + AC = BD
② AB + CD + BC + DA = 0
③ AD + CB = AB + CD
Áp dụng 4: Cho năm điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 Chứng minh rằng: AB + CD + EA = CB + ED
A
D
A
N
𝒂 + 𝒃 ≤ 𝒂 + 𝒃 , ∀𝒂 ; 𝒃
CHÚ Ý
𝑎 ; 𝑏 cùng hướng ⇔ 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏
𝑎 ; 𝑏 ngược hướng ⇔ 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 − 𝑏
𝑎 ; 𝑏 vuông góc ⇔ 𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎 2+ 𝑏 2
A 𝒃
𝒂
Trang 2
2 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898
Áp dụng 5: Cho sáu điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 Chứng minh rằng: AD + BE + CF = AE + BF + CD
Áp dụng 6: Cho ∆𝐴𝐵𝐶 Gọi 𝐴′ là điểm đối xứng với 𝐵 qua 𝐴, 𝐵′ là điểm đối xứng với 𝐶 qua 𝐵, 𝐶′ là điểm đối xứng với 𝐴 qua 𝐶 CMR: với điểm 𝑂 bất kỳ, ta có: OA + OB + OC = OA′ + OB′ + OC′
b Quy tắc trung điểm 1: Với M là trung điểm AB, ta có: 𝐌𝐀 + 𝐌𝐁 = 𝟎
Áp dụng 7: Gọi 𝑂 là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành 𝐴𝐵𝐶𝐷 CMR: OA + OB + OC + OD
Áp dụng 8: Cho hình bình hành 𝐴𝐵𝐶𝐷 Hai điểm 𝑀, 𝑁 lần lượt là trung điểm của 𝐵𝐶 và 𝐴𝐷 CMR AM + AN = AB + AD
c Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành 𝐴𝐵𝐶𝐷, ta có: 𝑨𝑩 + 𝑨𝑫 = 𝑨𝑪
Áp dụng 9: Cho hình bình hành 𝐴𝐵𝐶𝐷, tâm O Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? ① AB + AD = BD
② AB + BD = BC
③ OA + OB = OC + OD
④ 𝐵𝐷 + 𝐴𝐶 = 𝐴𝐷 + 𝐵𝐶
Áp dụng 10: Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 đều, có cạnh bằng 𝑎 Tính độ dài vectơ tổng 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶
d Quy tắc trọng tâm 1: Với G là trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐶, ta có: 𝐆𝐀 + 𝐆𝐁 + 𝐆𝐂 = 𝟎
Áp dụng 11: Chứng minh quy tắc trọng tâm 1
D
A
N
D
A
O
D
A
O
.G
A
A
B
C
Trang 33 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898
4 Hiệu hai vectơ:
a Định nghĩa vectơ đối: hai vectơ được gọi là đối nhau khi tổng của chúng bẳng 0
Vectơ đối của 𝑎 , kí hiệu là −𝑎 là vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ 𝑎
Áp dụng 12: Cho hình bình hành 𝐴𝐵𝐶𝐷, tâm 𝑂 Hãy tìm vectơ đối của các vectơ sau: 𝐴𝐵 ; 𝐴𝐶 ; 𝑂𝐵
b Tính chất: 𝑎 + −𝑎 = −𝑎 + 𝑎 = 0 Vectơ đối của vectơ 𝐴𝐵 là vectơ 𝐵𝐴 , ta viết: −𝐴𝐵 = 𝐵𝐴
I là trung điểm 𝐴𝐵 ⇔ 𝐼𝐴 = −𝐼𝐵
c Hiệu hai vectơ: Cho hai vectơ 𝑎 ; 𝑏 Hiệu của hai vectơ 𝑎 ; 𝑏 được kí hiệu là 𝑎 − 𝑏 và định nghĩa bởi: 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + −𝑏
Tính chất “chuyển vế đổi dấu”: 𝑎 − 𝑏 = 𝑐 ⇔ 𝑎 = 𝑏 + 𝑐 d Quy tắc ba điểm: với ba điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶 bất kỳ, ta có: 𝑨𝑩 − 𝑨𝑪 = 𝑪𝑩
Áp dụng 13: Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 Các điểm 𝑀, 𝑁, 𝑃 lần lượt là trung điểm 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 và 𝐵𝐷 Tìm hiệu: ① AM − AN =
② MN − NC =
③ MN − PN =
④ BP − CP =
Áp dụng 14: Cho bốn điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 CMR: 𝐴𝐷 + 𝐶𝐵 = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷
Áp dụng 15: Cho hình thoi 𝐴𝐵𝐶𝐷 có 𝐵𝐴𝐷 = 60𝑜 và cạnh là 𝑎 Gọi 𝑂 là giao điểm hai đường chéo Tính: ① AB + AD
② BA − BC
③ OB − DC
5 Luyện tập:
Chứng minh hệ thức vectơ Phương pháp: sử dụng quy tắc 3 điểm (cộng, trừ), quy tắc về các tính chất hình vẽ (hình bình hành,
trung điểm 1, trọng tâm 1), tính chất các phép toán vectơ để biến đổi:
Vế này thành vế kia
Hệ thức tương đương với hệ thức đúng
Hai vế cùng bằng một biểu thức trung gian
Hiệu hai vế bằng 0 hoặc vectơ 0
D
A
O
M
A
N
P
A
B
C
D
O
Trang 44 GV LÊ HẢI HẠNH – 093.7777.898
Ví dụ 1: CMR với bốn điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 bất kỳ ta có:
① 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 = 𝐴𝐷 + 𝐶𝐵 ② 𝐴𝐵 − 𝐶𝐷 = 𝐴𝐶 − 𝐵𝐷
Ví dụ 2: Cho hình bình hành 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑂 là giao điểm hai đường chéo Chứng minh rằng: ① CO − OB = BA
② AB − BC = DB
③ DA − DB = OD − OC
④ DA − DB + DC = 0
Ví dụ 3: Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 Dựng các hình bình hành 𝐴𝐵𝐼𝐽, 𝐵𝐶𝑃𝑄, 𝐶𝐴𝑅𝑆 nằm phía ngoài tam giác đó Chứng minh rằng: 𝑅𝐽 + 𝐼𝑄 + 𝑃𝑆 = 0
Tính độ dài của một vectơ tổng, vectơ hiệu Phương pháp: biến đổi vectơ tổng, vectơ hiệu đã cho thành một vectơ duy nhất 𝑢 Tính độ dài của vectơ 𝑢 , từ đó suy ra độ dài vectơ tổng, vectơ hiệu Và ta thường đưa 𝑢 về độ dài các cạnh của tam giác, tứ giác hay các đường đặc biệt như: trung tuyến, trung bình, đường cao,… Ví dụ 1: Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐴, biết 𝐴𝐵 = 𝑎; 𝐴𝐶 = 2𝑎 Tính độ dài vectơ tổng 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶
Ví dụ 3: Cho hình chữ nhật 𝐴𝐵𝐶𝐷 tâm 𝑂, 𝐴𝐵 = 4 𝐴𝐷 = 3 Tính: ① AO − CD =
② AB − OC − DA =
③ Qua B, kẻ đường thẳng vuông góc AC tại H và cắt AD tại K Tính AB − AK
A
B
C
D
A
O
A
B
C
C
D
O