Tuy nhiên trong chương trình toán Tiểu học thì các bài “Tính nhanh’’ còn rất ít, hơn nữa lại chưa có phương pháp tổng hợp nên hầu hết các em chưa nắm vững cách giải, thậm chí giáo viên[r]
Trang 1PHẦN 1 : ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong hệ thống các môn học ở bậc Tiểu học, cùng với các môn học khác như Tiếng việt, Tự nhiên xã hội, môn Toán có một vị trí vô cùng quan trọng Nó trang
bị cho học sinh một số kiến thức cơ bản, hiện đại và những kĩ năng cần thiết để giúp các em học tốt các môn học khác Qua học toán, tạo điều kiện để các em được phát triển tư duy lô gic, bồi dưỡng và phát triển trí tuệ, rèn luyện phương pháp suy nghĩ, suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề có căn cứ khoa học, toàn diện, chính xác góp phần giáo dục những đức đức tính tốt đẹp như: cần cù, nhẫn nại, có ý thức vượt khó, phát triển khả năng suy luận
Để giúp học sinh tiếp cận được với trình độ giáo dục của các nước đang phát triển trong khu vực thì những học sinh khá, giỏi ở bậc Tiểu học cần được nâng cao chất lượng học toán ngay từ mỗi bài giảng, từ mỗi cách hình thành kiến thức
Trong quá trình dạy Toán ở Tiểu học tôi nhận thấy việc giải các bài toán dạng
“Tính nhanh” có vai trò hết sức quan trọng đối với việc phát triển năng lực tư duy,
óc sáng tạo và khả năng tính toán của các em
Tuy nhiên qua thực tế giảng dạy tôi cũng nhận thấy hệ thống các bài toán tính nhanh được trình bày ở sách giáo khoa còn ít, các bài toán chưa được nhóm về từng dạng và phương pháp giải chưa tối ưu Chính vì vậy trong quá trình giảng dạy tôi đã tìm tòi, dành nhiều thời gian đầu tư nghiên cứu, tìm phương pháp, giải pháp phù hợp
để dạy các bài Toán “ Tính nhanh” ở bậc Tiểu học nói chung và đặc biệt là lớp 4 và
5 nói riêng để giúp học sinh có khả năng học toán đạt chất lượng và hiệu quả cao
hơn Từ những yêu cầu nói trên, tôi đã đưa ra một vài kinh nghiệm nhỏ về “Phương pháp hướng dẫn học sinh lớp 4,5 giải các bài toán tính nhanh” xin được trao đổi
cùng bạn bè đồng nghiệp
PHẦN II : GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ :
I CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA ĐỀ TÀI
1 Cơ sở lí luận :
Trang 2Bậc tiểu học là bậc nhằm cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản ban đầu
về đọc, viết, tính toán Đây là bậc học đặt nền móng cho sự làm quen tiến tới phát triển khả năng tư duy và học tập bộ môn toán của học sinh Bên cạnh việc đọc, viết, tính toán thành thạo thì việc đi sâu mở rộng, khai thác, tìm tòi thêm những bài toán
để làm phong phú thêm các dạng toán cũng đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy, rèn luyện cách học, cách tiếp cận tri thức Nhờ đó mà khi vận dụng vào thực tế học sinh sẽ thực hiện có hiệu quả hơn, linh hoạt hơn với các tình huống gặp phải Ngoài ra, làm tốt các yêu cầu này sẽ giúp học sinh nắm chắc kiến thức, tạo điều kiện học tốt hơn bộ môn toán nói chung và các môn khoa học tự nhiên nói riêng ở bậc học THCS sau này
2 Cơ sở thực tiễn:
Từ thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 4, 5 và qua tìm hiểu các đề toán trong báo toán tuổi thơ, qua các đề thi học sinh giỏi các cấp tôi nhận thấy rằng: khi tiếp xúc với những bài toán đơn giản về tính nhanh học sinh có thể tiếp thu và thực hiện được nhưng khi có sự mở rộng, thay đổi chút ít thì các em lại lúng túng hoặc áp dụng một cách máy móc, rập khuôn, thiếu tính sáng tạo Điều đó chứng tỏ học sinh còn xem nhẹ việc quan sát, nhận xét yêu cầu của đề bài, cũng như việc liên
hệ giữa kiến thức đã có và kiến thức mới chưa nhuần nhuyễn Điều này đặt ra cho người giáo viên trong quá trình dạy học phải chú ý đến việc cũng cố, liên hệ giữa các kiến thức và đặc biệt cần chú trọng đến việc hình thành “thuật toán” (dạng toán) cho các em Từ ý nghĩa thực tế đó tôi đã tìm tòi, suy nghĩ và thực nghiệm đề tài này nhằm hạn chế bớt những khó khăn trên
II.THỰC TRẠNG:
Như chúng ta đã thấy, dạng toán “Tính nhanh” là một dạng toán khó Nó đòi hỏi
khả năng tư duy lô gíc, óc sáng tạo, khả năng suy luận ở người học rất lớn
Tuy nhiên trong chương trình toán Tiểu học thì các bài “Tính nhanh’’ còn rất ít,
hơn nữa lại chưa có phương pháp tổng hợp nên hầu hết các em chưa nắm vững cách giải, thậm chí giáo viên có thể hướng dẫn rồi nhưng các em lại rất mau quên Bên cạnh
Trang 3đó, do bài tập ít, các bài tập lại mang tính chất lồng ghép rải rác trong các tiết luyện tập nên nhiều giáo viên đã rất xem nhẹ kiến thức này Vì thế cần phải trang bị cho học sinh một hệ thống kiến thức toàn diện mà không hề quá tải Ở Tiểu học các em rất thích tìm tòi, ham sáng tạo và luôn muốn khám phá những điêù mới mẻ Bởi vậy phần đa các em đều thích học toán hơn những môn học khác nhất là những em có tư chất thông minh, tiếp thu bài nhanh thì việc được nâng cao, mở rộng kiến thức là một nhu cầu hết sức thiết yếu:
Bởi vậy, người giáo viên cần phải có phương pháp khoa học, biết hệ thống các
bài toán Tính nhanh và có thể khắc sâu, nâng cao thêm kiến thức này để giúp các em
nắm vững bài học hơn Từ đó có khả năng phát triển cao hơn khi gặp những bài toán dạng này
Các bài toán tính nhanh ở Tiểu học đều được sắp xếp theo cấu trúc đồng tâm: từ
dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp theo trình độ phát triển của bậc học Các bài toán
“Tính nhanh” đều rất đa dạng, phong phú về hình thức ra đề nhưng hầu hết nó cùng
đều có chung một số dấu hiệu bản chất là:
1 Dựa vào tính chất của các phép tính để tính nhanh
2 Vận dụng các thủ thuật nhân, chia để tính nhanh
3 Vận dụng quy luật của dãy số để tính nhanh
4 Vận dụng mối quan hệ giữa hiệu và tỷ số để tính nhanh tổng của một biểu thức phân số
5.Vận dụng tính chất của phân số để tính nhanh
Đứng trước thực trạng này, tôi thấy sự cần thiết phải có giải pháp Khoa học để giúp học sinh nắm được các bài tập tính nhanh này một cách có hệ thống Trên cơ sở đó
sẽ giúp các em dễ dàng phát hiện các bài tập tính nhanh Từ đó có thể vận dụng cách giải, thủ thuật giải cho phù hợp với từng dạng bài
Qua quá trình nghiên cứu, tìm tòi chương trình và sách giáo khoa, sách nâng cao, sách bồi dưỡng môn toán các lớp 4 và 5 ở bậc Tiểu học tôi đã hệ thống được một số
dạng bài tập “Tính nhanh” khác nhau Sau đây tôi xin trình bày một số dạng bài tập
Trang 4“Tính nhanh”đơn giản ở các lớp 4, 5 và phương pháp hướng dẫn học sinh giải các bài
toán “Tính nhanh” theo từng dạng đó.
III GIẢI PHÁP CỤ THỂ
1 Hệ thống các bài toán “Tính nhanh” ở các lớp 4, 5 theo từng dạng.
Để giúp học sinh hiểu và nắm vững các dạng bài tập “Tính nhanh”, bản thân tôi khi
giảng dạy đã giúp học sinh hệ thống các bài tập này theo các dạng như sau:
Dạng 1: Dựa vào tính chất của các phép tính (như tính chất giao hoán, tính chất
kết hợp, tính chất: Nhân một tổng với một số; Nhân một hiệu với một số; một tổng chia cho một số; một hiệu chia cho một số; tính chất phân phối; nhân với số 0,…
Ví dụ
Bài 1: Tính nhanh:
a) 125 95 3 125 125 2 b) 1999 997 2 1999 1999
c) 1008 999 999 7 999 d)
155 818 45 182
999 77 301 23
Bài 2: Tính nhanh
a) (9 ×11− 100+1)×1995 ×1997 ×1999
b) 1996 : 4 101 102 (3 0, 4 7,5)
Dạng 2: Vận dụng các thủ thuật về nhân, chia; biến đổi tử số (hoặc mẫu số), rút gọn
biểu thức…để tính nhanh
Bài 1: Tính nhanh giá trị biểu thức phân số sau:
a)
48 × 0,5+16 ×0 , 25+20 :10 1000× 0 , 06 b)
5,6 0,5 16 0, 25 4 0,75
4900 0,02
c) 2005 ×2003 −8 1995+2003 ×2004 d) 1991× 1993− 1 1990+1991× 1992
e) 50 −(0,5× 20 ×8 ×0,1 ×10 × 0 ,25)−301+3+5+7 + +1999
Dạng 3: Vận dụng quy luật của dãy số để tính nhanh.
Ví dụ:
Bài 1: a) Tính nhanh tổng sau: 1+2+3+ +1999+2000
b) Tìm x trong dãy tính: (x+1)+(x+4)+(x +7)+ +(x+28)=215
Trang 5Bài 2: Tính nhanh tổng của 100 số lẻ liên tiếp đầu tiên.
Bài 3: Tính nhanh giá trị biểu thức sau
1 - 3 + 5 - 7 +… -97 + 99
Dạng 4: Vận dụng mối quan hệ giữa hiệu và tỉ số để tính nhanh.
Ví dụ:
Bài 1: Tính nhanh: A = 12 + 14 + 18 + 161 + 321 + 641 + 1281 Bài 2: Tính nhanh A = 13 + 61 + 121 + 241 + 481 + 961
Dạng 5 : Vận dụng tính chất của phân số để tính nhanh.
Ví dụ :
Bài 1: Tính nhanh A = 12 + 61 + 121 + 201 + 301 + 421
Bài 2 : Tính nhanh A = 13 + 151 + 351 + 631 + 991
2- Phương pháp hệ thống hướng dẫn học sinh giải các bài toán tính nhanh:
Để giúp học sinh hiểu và nắm được các bài toán “Tính nhanh”, giáo viên phải
giúp học sinh nắm được dấu hiệu bản chất, quy luật chung của từng dạng toán Từ chỗ học sinh biết nhận dạng, giáo viên hướng dẫn phương pháp giải từng dạng cụ thể trên cơ sở vừa kết hợp lý thuyết và thực hành để giúp học sinh khắc sâu kiến thức theo từng dạng
Cụ thể:
a) Đối với dạng 1:
*Phương pháp chung:
Dạng toán này chủ yếu nhằm vận dụng các tính chất cơ bản của các phép tính để
giải Bởi vậy để giúp học sinh giải tốt các bài toán “Tính nhanh” ở dạng này thì trong
quá trình chỉ giảng dạy hướng dẫn giáo viên cần đặc biệt chú ý đến các tính chất và công thức tổng quát sau:
-Sử dụng tính chất giao hoán của phép cộng, phép nhân:
a + b = b + a
a b = b a
-Sử dụng tính chất kết hợp của phép cộng, phép nhân:
Trang 6( a + b ) + c = a + ( b + c)
( a b) c = a ( b c)
-Sử dụng tính chất nhân một tổng với một số hoặc nhân một hiệu với một số:
( a + b ) c = a c + b c
( a - b ) c = a c - b c
hay chia một tổng cho một số, chia một hiệu cho một số:
( a + b) : c = a : c + b : c
( a - b) : c = a : c - b : c
-Sử dụng tính chất cộng, trừ, nhân, chia với số 0
a + 0 = 0 + a = a
a - a = 0 ; a - 0 = a
a 0 = 0 a = 0
0 : a = 0 (a khác 0)
-Sử dụng tính chất nhân, chia với số 1
a 1= 1 a = a
a : 1 = a
a : a = 1 (a khác 0)
-Sử dụng linh hoạt một số tính chất cơ bản khác như:
( a : b) : c = a : ( b c)
a: ( b: c) = ( a :b) :c
a (b: c) = a: c b = a b : c
*Cách giải một số ví dụ ở dạng 1:
Bài 1a; b; c
-Vận dụng tính chất nhân một tổng với một số, nhân một hiệu với một số -Tính tổng (hoặc hiệu) trong ngoặc trước
-Thực hiện phép tính
Ví dụ:
a) 125 ×95+3 ×125+125× 2
¿ (95+3+2)×125
¿100× 125=12500
b) 1999× 997+2 ×1999+1999
¿ (997+2+1)×1999
¿1000× 1999=1999000
c) 1008× 999 −999 × 7− 999
¿ (1008 −7 − 1)×999
¿1000× 999=999000
Trang 7Bài 1d: Vận dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng, phép trừ:
155+818+45+182999 −77+301 −23 ¿ (155+45)+(818+182)
(999+301)−(77+23) ¿
200+100
1300− 100=
1200
1200=1
Bài 2a, b:
Tìm cách phân tích để tìm ra dấu hiệu nhân với số 0 Từ đó xác định nhanh kết quả của biểu thức
Ví dụ:
a) (9 ×11− 100+1)×1995 ×1997 ×1999
¿ (99− 100+1)×1995 ×1997 × 1999
¿ (99+1− 100)×1995 ×1997 × 1999
¿ (100 −100)×1995 ×1997 ×1999
= 0 A ¿ 0
b) 1996 :4 × 101× 102×(3 :0,4 −7,5)
¿1996 :4 × 101×102 ×(7,5 −7,5)
¿1996 :4 × 101×102 × 0
= A 0 ¿0
b) Đối với dạng 2:
*Phương pháp chung:
Đối với các bài toán dạng này chủ yếu giúp học sinh phát hiện các thủ thuật nhân, chia để tìm nhanh kết quả của phép tính mà không cần tính toán…Hoặc tìm cách biến đổi tử số (hoặc mẫu số) trên cơ sở đó tìm cách để rút gọn dần kết quả: + ở dạng này giáo viên cần giúp học sinh nhớ lại và khắc sâu các thủ thuật nhân (với), chia (cho) 0,2; 0,02; … ; 0,25; 2,5; … ; 0,4; 0,5; 0,05;…; 0,125; 1,25; 0,00125;… ; 0,1; 0,01; 0,001, … 10; 100; 1000, …
*Cách giải một số ví dụ ở dạng 2:
Ví dụ:
Bài 1a: 48 × 0,5+16 ×0 , 25+20 :10 1000× 0 , 06
- Giáo viên ghi đề bài lên bảng
- Gọi học sinh nêu yêu cầu của bài toán
-Yêu cầu học sinh tìm cách giải, phát hiện thủ thuật để tính nhanh
Trang 8+ Muốn nhân nhẩm một số với 0,5 ta chỉ cần lấy số đó chia cho 2.
+ Muốn nhân nhẩm một số với 0,25 ta chỉ cần lấy số đó chia cho 4
+ Muốn nhân nhẩm một số với 0,06 ta chỉ cần lấy số đó nhân với 6 rồi nhân với 0,01 + Muốn nhân một số với 10; 100; 1000;…ta chỉ việc viết thêm vào bên phải số đó một; hai; ba ;…chữ số 0
- Học sinh làm bài, chữa bài
- Giáo viên hướng dẫn, chốt lại lời đúng
Lưu ý: Với bài tập này học sinh có thể tách riêng tử số và mẫu số để biến đổi Sau đó
kết hợp cả tử số và mẫu số lại để tìm kết quả Cũng có thể làm trực tiếp trên biểu thức như đề bài đã nêu
Bài giải:
Vận dụng các thủ thuật nhân nhẩm với 0,5; 0,25; 0,01; chia 1 số cho 10 ta có:
+Tử số: 48 × 0,5+16 ×0 , 25+20 :10 ¿ 48 :2+16 :4 +2
¿24+4+2¿30
+Mẫu số: 1000× 0 , 06 ¿1000× 6 ×0 , 01
6000 0,01 60
+Kết hợp cả tử số và mẫu số ta có:
48 × 0,5+16 ×0 , 25+20 :10 1000× 0 , 06 = 48 :2+16 :4 +2
1000× 6 ×0 , 01=
24+4+2
6000× 0 , 01=
30
60=
1
2=0,5
Bài b: Tương tự cách giải với bài 1a:
4900 × 0 ,02 5,6 × 0,5+16 ×0 , 25+4 ×0 , 75
Bài 1 c; d: Tìm cách biến đổi tử số (hoặc mẫu số) để có được các thừa số bằng nhau ở
cả tử và mẫu Trên cơ sở đó tìm cách rút gọn dần kết quả
Cụ thể bài c:
2005 ×2003 −8 1995+2003 ×2004
- Giáo viên ghi đề lên bảng
-Yêu cầu học sinh nêu yêu cầu bài toán
-Yêu cầu học sinh nhận xét về tử số và mẫu số, so sánh để tìm ra những dấu
hiệu giống và khác nhau (có thừa số 2003 ở cả tử số và mẫu số
2005 = 2004 + 1; 2004 = 2005 -1) Từ đó tìm cách biến đổi để tính nhanh
Trang 9- Học sinh làm bài.
- Giáo viên cùng học sinh chữa bài
-Giáo viên nhận xét, chốt lại lời giải đúng
Bài giải:
Cách 1: Biến đổi tử số và giữ nguyên mẫu số ta có:
2005 ×2003 −8 1995+2003 ×2004= (2004 +1)×2003 − 8
1995+2003 ×2004
¿2004 ×2003+2003− 8
1995+2003 ×2004
¿2004 ×2003+1995
1995+2003 ×2004=1
(Khi tử số bằng mẫu số thì giá trị của phân số bằng 1)
Cách 2: Giữ nguyên tử số, biến đổi mẫu số
(tách 2004 = 2005 - 1) ta có:
2005 ×2003 −8 1995+2003 ×2004=2005 ×2003 − 8
1995+2003 ×(2005 −1)
¿2005 ×2003 −8
1995+2003 ×2005 −2003
¿2005 ×2003 −8
2003 ×2005 −2003+1995
2005 2003 8
1
2003 2005 8
(Khi tử số băng mẫu số thì giá trị của phân số bằng 1)
Đáp số: 1
Bài d : Cách giải tương tự như bài c.
Bài e: Vận dụng các thủ thuật nhân nhẩm với 0,5; 0,25; với 0,1; với 10 và các thủ thuật
khác của phân số để tìm nhanh kết quả
50 −(0,5× 20 ×8 ×0,1 ×10 × 0 ,25)−30
1+3+5+7 + +1999 Bài giải:
Xét tử số ta thấy:
50 −(0,5× 20 ×8 ×0,1 ×10 × 0 ,25)−30
¿50 −(20 × 0,5 ×8 ×0 , 25 ×0,1 ×10)−30
50 (20 : 2 8 : 4 0,1 1) 30
¿50 −(10 × 2× 1)−30
Trang 10¿50 −20 −30 ¿ 0
Tử số bằng 0 Vậy giá trị của phân số trên sẽ bằng 0 Suy ra giá trị của biểu thức trên cũng bằng 0
Tức: 50 −(0,5× 20 ×8 ×0,1 ×10 × 0 ,25)−30
1+3+5+7 + +1999 =0
c)Đối với dạng 3:
*Phương pháp chung:
* Đối với dạng này yêu cầu học sinh phải có kiến thức cơ bản về dãy số, biết vận dụng quy luật các bài toán về dãy số mới giải được các bài toán này Tuy nhiên các bài toán về dãy số thì ở Sách giáo khoa hoàn toàn rất ít, vì vậy buộc các em phải tìm tòi, sáng tạo
Đặc biệt phải nắm được tính chất của dãy số tự nhiên liên tiếp, dãy số chẵn, dãy số
lẻ, dãy số cách đều và biết sử dụng linh hoạt các tính chất đó vào các bài tập cụ thể Cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản về dãy số để phục vụ cho việc giải toán, cụ thể:
1 Cách tìm số số hạng :
- Nếu là dãy tăng thì : số số hạng = ( số cuối -số đầu ): khoảng cách + 1
- Nếu là dãy giảm thì : số số hạng = (số đầu -số cuối): khoảng cách + 1
2 Cách tìm tổng
- Nếu số số hạng là một số chẵn thì số cặp = số số hạng : 2
Lúc đó tổng = số cặp x ( số đầu + số cuối)
- Nếu số số hạng là số lẻ thì ta bớt số đầu của dãy để đưa về dạng số số hạng là số chẵn
Lúc đó tổng = số cặp x ( số thứ 2 + số cuối) + số đầu
Chú ý ở dạng toán này có những bài ta phải đảo ngược dãy mới thực hiện được
* Một số ví dụ cụ thể :
Bài 1: Tính nhanh tổng sau:
1+2+3+ +1999+2000
- Giáo viên ghi đề lên bảng
- Bài toán yêu cầu chúng ta
làm gì?
- Đây là dãy số gì?
- Nêu quy luật của dãy số tự
nhiên liên tiếp?
- Tính nhanh tổng của dãy số
- Dãy số tự nhiên liên tiếp
- Hai số tự nhiên liên tiếp hơn kém nhau 1 đơn vị