chuong 1 dai so 8

Giaùo vieân : Baûng phuï vieát saün baûy haèng ñaúng thöùc ñaùng nhôù, phieáu hoïc taäp.. GV giôùi thieäu baøi hoïc , treo baûng phuï vieát saün baûy haèng ñaúng thöùc.. HOAÏT ÑOÄNG CU[r]

Trang 1

Tuaàn : 1 Tieỏt : 1 NS : ND :

CHệễNG I : PHEÙP NHAÂN VAỉ PHEÙP CHIA CAÙC ẹA THệÙC

NHAÂN ẹễN THệÙC VễÙI ẹA THệÙC

A/ Muùc tieõu : Qua tieỏt hoùc naứy caực em caàn ủaùt :

Kieỏn thửực: HS hieồu ủửụùc quy taộc nhaõn ủụn thửực vụựi ủa thửực

Kĩ năng : Vận dụng đợc tính chất phân phối của phép nhân:

A(B + C) = AB + ACtrong đó: A, B, C, D là các số hoặc các biểu thức đại số

Thaựi ủoọ : Thaựi ủoọ hoùc taọp nghieõm tuực, Suy luaọn hụùp lyự, tớnh toaựn chớnh xaực, vaọn duùng

linh hoaùt

B/ Chuaồn bũ :

Giaựo vieõn : giaựo aựn, phieỏu hoùc taọp,

Hoùc sinh: oõn laùi quy taộc nhaõn 1 soỏ vụựi 1 toồng

C/ Tieỏn trỡnh daùy hoùc :

1/ OÅn ủũnh :

2/ Kieồm tra baứi cuừ :

Hs1 leõn baỷng : Haừy phaựt bieồu quy taộc nhaõn moọt soỏ vụựi 1toồng tửứ ủoự vieỏt coõng thửực toồng quaựt ?

HS1: -Phaựt bieồu ủửụùc

Coõng thửực toồng quaựt: a(b + c) = ab + bc vụựi moùi a,b,c thuoọc R

HS2 leõn baỷng: haừy nhaộc laùi ủũnh nghúa ủụn thửực vaứ ủa thửực, cho vớ duù veà moọt ủụn thửực,moọt ủa thửực

Hs2 traỷ lụứi: traỷ lụứi ủửụùc ủũnh nghúa, coự theồ cho vớ duù nhử sau:

3x vaứ 2x2 + x – 1

Giaựo vieõn nhaọn xeựt,

3/ Baứi mụựi :

Gớaựo vieõn ủaởt vaỏn ủeà: ụỷ lụựp 7 caực em ủaừ ủửụùc hoùc ủụn thửực , ủa thửực laứ gỡ? Caực

pheựp tớnh coọng trửứ caực ủa thửực Leõn lụựp 8 caực em seừ ủửụùc tỡm hieồu theõm moọt soỏpheựp toaựn nửừa treõn ủa thửực ủoự laứ pheựp nhaõn vaứ pheựp chia caực ủa thửực

Trửụực heỏt ta seừ tỡm hieồu veà pheựp nhaõn ủụn thửực vụựi ủa thửực xem coự gỡ khaực so vụựinhaõn moọt soỏ vụựi moọt toồng hay khoõng ?

GV phaựt phieỏu hoùc taọp 1

Hoaùt ủoọng cuỷa thaày Hoaùt ủoọng cuỷa hoùc sinh Noọi dung

Hoaùt ủoọng1 :Lụựp chia

thaứnh 4 nhoựm thửùc hieọn

?1 sau trong 3phuựt

?1

Haừy nhaõn ủụn thửực vụựi

tửứng haùng tửỷ cuỷa ủa thửực

ụỷ phaàn kieồm tra baứi cuừ

roài coọng caực tớch vửứa tỡm

Lụựp chia nhoựm vaứ laứm ?1

3x(2x2 + x – 1)= 3x.2x2+3x.x + 3x(-1)

= 6x3 + 3x2 – 3x

Trang 2

Hoạt động của thầy Hoạt động của học sinh Nội dung

được lại vối nhau

-Giáo viên thu bài và cho

học sinh nhận xét,đánh

giá bài làm của từng

nhóm

- Giáo viên chỉnh sửa và

chốt lại cách làm

GV hỏi : hãy cho biết

6x3 + 3x2 – 3x gọi là gì

trong phépnhân

3x và (2x2 + x – 1)

Hoạt động 2: Hình thành

quy tắc nhân đơn thức với

đa thức

? Từ bài tập trên em nào

có thể cho biết muốn

nhân một đơn thức với

một đa thức ta làm như

thế nào

-Nếu hs1 phát biểu sai,

gv uốn nắn và cho hs

khác phát biểu lại

-Giáo viên khẳn g định

đó chính là quy tắc nhân

đơn thức với đa thức

? Vậy em nào có thể hình

thành công thức tổng

quát của phép nhân đơn

thức với đa thức

Hoạt động 3: Aùp dụng:

Ví du: Làm tính nhân:

-Cho hs cả lớp cùng làm

-Gv chỉnh sửa và cho hs

sửa vô vở

Cho cả lớp cùng làm

?2

Làm tính nhân:

Học sinh nhận xét

6x3 + 3x2 – 3x gọi là tích của 3x và (2x2 + x – 1)

Học sinh suy nghĩ và trả lời:

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích lại với nhau

Hai hs khác nhắc lại

Với A là 1đơn thức va

ø (B + C) là 1 đa thức bất kỳta có:

Trang 3

Hoạt động của thầy Hoạt động của học sinh Nội dung

-Gíáo viên chỉnh sửa

* Giáo viên chốt lại :

Khi thực hiện nhân đơn

thức với đa thức ta có thể

nhân nhẩm đơn thức với

từng hạng tử của đa

thức(nếu có thể) và viết

ngay tích của phép nhân

đó

Hoạt động4 :

GV phát phiếu học tập 2

Cả lớp chia thành 4

nhóm cùng làm ?3 sgk

trang 5 (trong 4 phút)

? Hãy nhắc lại công thức

tính diện tích hình thang

* Sau đó giáo viên thu

bài, lấy bài của 1 nhóm

bất kỳ đưa lên cho cả lớp

cùng nhận xét, góp ý

* Gíáo viên chỉnh sửa và

đưa đáp án

* Các nhóm còn lại học

sinh tự nhận xét và cho

lớp chia nhóm cùng làm:

-Viết biểu thức tính diên tích mảnh vườn nói trên theo x và y

1 ( 2 ).( ) ( 2 ).( )

Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung

Yêu cầu HS chốt lại

phiếu học tập 1

Trang 4

Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung

Gọi 2 HS yếu lên

bảng

GV nhận xét và chốt

lại

Gọi HS lên bảng

lại : Khi tính giá trị

của một biểu thức

trước hết ta phải rút

gọn biểu thức ( nếu

có thể ) sau đó mới

thay các giá trị của ẩn

vào tính toán

Phát phiếu học tập 3

cho các nhóm

lại : Khi gặp bài toán

tìm x trước hết ta

phải biết thực hiện

các phép toán ( nếu

có thể) để bài toán

trở nên gọn hơn, dễ

lảm hơn

Cả lớp làm vào vở

Nhận xét bài của bạn

Cả lớp làm vào vở

Các nhóm thực hiện Đại diện hai nhóm lên bảng

Các nhóm khác nhận xét

1

2 5

Trang 5

Bài 3/ áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức vừa học đối với vế trái, rút gọn ta có:

Bài 4/ Nếu gọi x là số tuổi , theo các bước trong bài toán ta có:

[2(x + 5) + 10]5-100 = 10xNhư vậy kết quả cuối cùng gấp 10 lần x, nên ta có thể đọc ngay số tuổi cần tìm

Bài 5/ kết quả:

a/ x2 – y2 b/ xn - yn

PHỤ LỤC :

PHIẾU HỌC TẬP 1 : Phép nhân đơn thức với đa thức xem có gì khác so với nhânmột số với một tổng hay không ?

PHIẾU HỌC TẬP 2 : ( nhóm )

?3 Một mảnh vườn hình thang có hai đáy bằng (5x +3) mét và (3x + y) mét , chiều cao bằng 2y mét

-Hãy viết biểu thức tính diện tích mảnh vườn nói trên theo x và y

-Tính diện tích mảnh vườn nói trên nếu cho x = 3 mét và y = 2 mét

PHIẾU HỌC TẬP 3 :

Tìm x biết : 3x ( 12x – 4 ) – 9x ( 4x – 3) = 30

Rút kinh nghiệm :

Trang 6

Tuaàn : 1 Tieỏt : 2 NS : ND : NHAÂN ẹA THệÙC VễÙI ẹA THệÙC

Kieỏn thửực: hoùc sinh hiểu ủửụùc quy taộc nhaõn ủa thửực vụựi ủa thửực

Kú naờng : Vận dụng đợc tính chất phân phối của phép nhân:

(A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD,

trong đó: A, B, C, D là các số hoặc các biểu thức đại số

linh hoaùt

Giaựo vieõn : giaựo aựn, phieỏu hoùc taọp,

Hoùc sinh: oõn laùi quy taộc nhaõn ủụn thửực vụựi ủa thửực

Hs1 laứm Keỏt quaỷ : (5x2)(2x2 +3x -5) = 10x4 + 15x3 -25x2

Hs2 laứm Keỏt quaỷ : 2(2x2 +3x -5) = 4x2 + 6x -10

GV nhaọn xeựt, ủaựnh giaự

Gớao vieõn ủaởt vaỏn ủeà: Neỏu coõ coọng ủụn thửực cuỷa caực pheựp nhaõn treõn ta coự ủa thửực

(5x2 +2) Vaọy tớch cuỷa ủa thửực (5x2 +2) vaứ ủa thửực (2x2 +3x -5) seừ nhử theỏ naứo hoõm nay chuựng ta seừ cuứng tỡm hieồu qua baứi nhaõn ủa thửực vụựi ủa thửực ?

Hoaùt ẹoọng Cuỷa Thaày Hoaùt ẹoọng Cuỷa Troứ Noọi Dung

Hoaùt ủoọng1:

Phaựt phieỏu hoùc taọp 1 :

Lụựp chia thaứnh 4 nhoựm

laứm baứi taọp sau: (trong

Bửụực 1: Nhaõn moói haùng tửỷ

cuỷa ủa thửực x-3vụựi ủa thửực

Lụựp chia nhoựm cuứng laứm:

(x-3)( 5x2 -2x + 3)

= x(5x2 -2x + 3) -3(5x2-2x + 3)

= 5x3 -2x2 + 3x -15x2 +6x -9

= 5x3 -17x2 + 9x - 9

1/ Quy Taộc:Muoỏn nhaõn moọt ủa

thửực vụựi moọt ủa thửực , ta nhaõn moói haùng tửỷ cuỷa ủa thửực naứy vụựi tửứng haùng tửỷ cuỷa ủa thửực kia roài coọng caực tớch laùi vụựi nhau

Trang 7

Hoạt Động Của Thầy Hoạt Động Của Trò Nội Dung

5x2 -2x + 3

Bước 2:Hãy cộng các kết

quả vừa tìm được lại (lưu ý

dấu các hạng tử)

Thu bài và kiểm tra kết

quả

? Qua bài tập trên em nào

có thể cho biết muốn nhân

đa thức với đa thức ta làm

như thế nào

* Gíao viên nhấn mạnh đó

chính là quy tắc nhân đa

thức với đa thức

? Một cách tổng quát

(A + B)(C + D) = ?

*Gíáo viên cho học sinh

nhận xét tích của 2 đa

cho hs nhận xét 2kết quả

Lưu ý cho hs cách này phải

sắp xếp đa thức trước

Qua bài tập hs có thể rút ra

được chú ý

Hoạt động 2

Tổ chức cho lớp thành 4

nhóm làm trên phiếu học

tập cá nhân :

(làm trong 3 phút)

Nhóm 1,2 làm ?2 câu a

Nhóm 3,4 làm ?2 câu b

Học sinh trả lời được

2 hs khác nhắc lại

(A + B)(C + D)

= AC + AD + BC + BD

Tích của 2 đa thức là một đa thức

2 kết quả của 2 cách tính như nhau

Hs phát biểu được chúý

Nhóm 1,2:

a/ (x+3)(x2 + 3x – 5) = x.x2+x.3x–x.5

+3.x2+3.3x -3.5

= x3 +3x2 - 5x +3x2+9x – 15

= x3 +6x2 - 5x + 9x – 15

= x 3 +3x 2 - 5x +3x 2 +9x – 15

= x 3 +6x 2 - 5x + 9x – 15 b/(xy-1)(xy+5) =

xy.xy + xy.5 – 1.xy – 1.5 =

Trang 8

Gíao viên thu bài và chỉnh

sửa, chấm điểm

Hoạt Động 3

Tổ chức làm toán nhanh ở

?3 lấy điểm cộng

b/(xy-1)(xy+5) = xy.xy + xy.5 – 1.xy – 1.5 =

x2y2 + 5xy – xy - 5học sinh nhận xét chéo bài làm của nhóm khác

?3

Biểu thức tính diện tích hình chử nhật theo x và y:

(2x + y)(2x – y) = 4x2 – y2

Khi x = 2,5m và y = 1m thì diện tích của hcn là

4(2,5)2 = 4.6 = 24(m2)

x 2 y 2 + 5xy – xy - 5

?3

Biểu thức tính diện tích hình chử nhật theu x và y:

(2x + y)(2x – y) = 4x2 – y2Khi x = 2,5m và y = 1m thì diện tích của hcn là

4(2,5)2 = 4.6 = 24 (m2)

4/ Củng cố :

GV phát phiếu học tập 3

GV nhận xét và chốt lại:

Nhân 2 đa thức trước rồi

mới thay số vào

Học sinh thực hiện nhóm vào bảng nhóm

Các nhóm nhận xét lẫn nhau

Bài 9 / SGK

5/ Hướng dẫn học ở nhà:

Bài 7 a/ áp dụng quy tắc

7b/ áp dụng quy tắc ta có –x4+7x3-11x2+6x-5  (x3-2x2+x-1)(x-5) = x4-7x3+11x2-6x+5

*Làm các bài tập còn lại 7,8,.và phần luyện tập 10-15

PHỤ LỤC :

Phiếu học tập 1 :

Hãy nhân đa thức x-3 với đa thức 5x2 -2x + 3 bằng các bước sau:

Bước 1: Nhân mỗi hạng tử của đa thức x-3với đa thức 5x2 -2x + 3

Bước 2:Hãy cộng các kết quả vừa tìm được lại (lưu ý dấu các hạng tử)

Làm tính nhân :

Nhóm 1,2:

Trang 10

Tuần : 2 Tiết : 3 NS : ND :

LUYỆN TẬP

A/ Mục tiêu : Qua tiết học này các em cần đạt :

Kiến thức : Củng cố về các kiến thức nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức

với đa thức

Kỹ năng :Học sinh thực hiện thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, đa

thức với đa thức

Thái độ : Thái độ học tập nghiêm túc, Suy luận hợp lý, tính toán chính xác, vận

dụng linh hoạt

B/ Chuẩn bị :

Giáo viên : giáo án, phiếu học tập,

Học sinh : ôn lại quy tắc và các bài tập về nhân đơn thức với đa thức, đa thức

với đa thức,

C/ Tiến trình dạy học :

1/ Ổn định :

2/ Kiểm tra bài cũ :

HS1 lên bảng : Hãy phát biểu quy tắc nhân đơn thức với đa thức? Làm bài tập

Rút gọn biểu thức x(x – y) + y(x – y)

HS2 lên bảng: hãy phát biểu quy tắc nhân đơn thức với đa thức? Làm bài tập

Gíao viên đặt vấn đề: ở các tiết trước chúng ta đã tìm hiểu về quy tắc của phép

nhân đơn thức với đa thức , đa thứ với đa thức Hôm nay chúng ta sẽ thực hành cácbài tập về các quy tắc đã học

Gv: Chúng ta thấy rõ ràng muốn

thực hiện thành thạo phép nhân đa

thức với đa thức ta phải thực hiện

Trang 11

HOẠT ĐỘNG DẠY VÀ HỌC NỘI DUNG GHI

nhuần nhuyễn phép nhân đơn thức

2x 

b/ (x2 – 2xy + y2)(x – y)

Hs nhận xét, đánh giá, chỉnhsửa

Gv kiểm tra kết quả và chốt lại

cách làm

Hoạt động 2

Gv : Đ ối với bt 11/8 gv hướng dẫn :

sau khi thự c hiên rút gọn , kết quả

cuối cùng nếu còn có biến thì biểu

thức gọi là phụ thuộc vào biến , nếu

không còn biến thì gọi là không phụ

thuộc vào biến

Một học sinh lên làm

Cả lớp cùng làm

Hoạt Động3

Gv : Tổ chức nhóm học tập làm bài

tập 12/8

Mỗi nhóm làm 1 truờng hợp

Lớp tiến hành làm trong 4 phút

Hết giờ gv thu bài, hs nhận xét và

đánh giá điểm chéo nhau

Hoạt động 4: phiếu học tập:

làm trong 3 phút

bài tập : Tìm 3 số tự nhiên chẵn

liên tiếp, biết tích của 2 số saulớn

Dạng thực hiện phép nhân Bài tâp 10/8

Dạng tính giá trị biểu thức : Bài tập 12/8

Ta có(x2 – 5)(x + 3) + (x + 4)(x – x2)

= x2(x + 3) -5(x + 3) + x(x – x2) + 4(x – x2)

= x3 + 3x2 – 5x – 15 + x2 – x3 + 4x – 4x2

= - x -15a/ x = 0 ta có –x -15= 0 -15 = -15b/ x = 15 tacó –x – 15 = 15 – 15 = 0c/ x = - 15 ta có –x -15 = -15 – 15 = -30d/ x = 0,15 tacó –x -15 = 0,15 -15 = 15,15

Dạng toán tìm số Bài tập 14/9

Gọi 3 số tự nhiên chẵn liên tiếp lần lược là ;

n, n+2, n + 4 Ta có:

(n + 2)(n + 4) – n(n + 2) = 192

Trang 12

HOẠT ĐỘNG DẠY VÀ HỌC NỘI DUNG GHI

hơn tích của 2 số đầu là 192? n2 + 4n + 2n + 8 – n2 -2n = 192

4n = 192 – 8 4n = 184

n = 184 : 4

n = 46Vậy các số tự nhiên chẵn liên tiếp là : 46, 48, 50

4/ Củng cố :

5/ Hướng dẫn học ở nhà

Bài tập:13/9 : tìm x

Aùp dụng qy tắc nhân đa thức với đa thức , kết quả x = 1

Bài tập 15/9: Aùp dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức , kết quả

Về nhà xem lại các bài tập đã sữa , làm các bài còn lại ở sgk

Xem trước bài học “những hằng đẳng thức đáng nhớ “

PHỤ LỤC : PHIẾU HỌC TẬP

Tìm ba số tự nhiên chẵn liên tiếp biết tích hai số sau lớn hơn tích hai số đầu là 192Rút kinh nghiệm :

Trang 13

Tuaàn : 2 Tieỏt : 4 NS : ND :

NHệếNG HAẩNG ẹAÚNG THệÙC ẹAÙNG NHễÙ

Kieỏn thửực :HS hieồu ủửụùc caực haống ủaỳng thửực: bỡnh phửụng cuỷa moọt toồng, bỡnh

phửụng cuỷa moọt hieọu, hieọu hai bỡnh phửụng

Kyừ naờng : Hieồu vaứ vaọn duùng ủửụùc caực haống ủaỳng thửực:

(A  B)2 = A2  2AB + B2,

A2  B2 = (A + B) (A  B),trong đó: A, B là các số hoặc các biểu thức đại soỏ

linh hoaùt

Giaựo vieõn : giaựo aựn, phieỏu hoùc taọp, 1 bỡa cửựng coự hỡnh vuoõng

Hoùc sinh : oõn laùi quy taộc vaứ caực baứi taọp veà nhaõn ủụn thửực vụựi ủa thửực, ủa thửực vụựi ủa

thửực,

HS1 leõn baỷng : Laứm baứi taọp 15/8

Trang 14

Giáo viên đặt vấn đề: Chúng ta thấy rằng để thực hiện phép nhân đa thức với đa

thức ta thường áp dụng quy tắc của nó Vậy ngoài cách trên ta còn cách nào khác không, hôm nay chúng ta sẽ cùng tìm hiểu bài học : “ những hằng đẳng thức đáng nhớ”

Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung

Gv : vận dụng cách

viết luỹ thừa hãy

viết tích (a+b)(a+b)

dưới dạng luỹ thừa?

Vậy theo phép nhân

bởi diện tích các

hình vuông và các

hình chữ nhâït như

sau:

(gv chuẩn bị 1 bìa

cứng có hình vuông

có độ dài cạnh là

a+b, sau đó cho học

sinh tự điền điện

(a+b)2 = a2+2ab + b2 ( 1)

1/ Bình phương của một tổng

Với mọi A , B tuỳ ý, ta có:(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

Trang 15

( làm trong 3 phút)

Câu c/: Gv gợi ý

sau đó cho 2 hs lên

làm

Hoạt động3: GV

phát phiếu học tập 2

Tổ chức nhóm làm

?2 Học sinh trả lời được Nhóm 1,2 :

a/ ( a + 1)2 = a2 + 2a.1 + b2 = a2 + 2a + b2Nhóm 3,4 :

b/ x2 + 4x + 4 = x2 + 2.x.2 + 22 = (x + 2)2

c/

*/ 512 = (50 + 1)2 = 502 + 2.50.1.+ 1 2 = 2500 + 100 + 1 = 2601

*/ 3012 = (300 + 1)2 = 3002 + 2.300.1 + 12 = 90000 + 600 + 1 = 90601

[a + (-b)]2 = a2 + 2a(-b) + (-b)2 = a2 - 2ab + b2[a + (-b)] = a - b

Vậy (a – b)2= a2 - 2ab + b2 (2)

Bình phương của một hiệu

Học sinh trả lời được

Aùp dụng :

a/( a + 1)2 = a2 + 2a.1 + b2 = a2 + 2a + b2b/ x2 + 4x + 4 = x2 + 2.x.2 + 22 = (x + 2)2

c/

*/ 512 = (50 + 1)2 = 502 + 2.50.1.+ 1 2 = 2500 + 100 + 1 = 2601

*/ 3012 = (300 + 1)2 = 3002 + 2.300.1 + 12 = 90000 + 600 + 1 = 90601

2/Bình phương của một hiệu:

Với hai biểu thức tuỳ ý A , B ta có:

(A + B)2 = A2+ 2AB + B2

Trang 16

?3(làm trong 3 phút)

*/?4Yêu cầu học

sinh trả lời

* / Aùp dụng : Mỗi

học sinh làm 1 câu

cho 1hs làm câu a, 1

hs làm câu c.Câu b/

các em tự

làm( tương tự)

Aùp dụng a/

4x2 – 12xy + 9y2c/ 992 = (100 – 1)2

= 1002-2.100.1 + 12 = 10000 – 200 + 1 = 9801

(a + b)(a – b)= a2 –ab + ab –

b2 = a2 – b2Hiệu của hai bình phương

trả lời được a/

(x+ 1 )(x – 1) = x2 -1c/

56.64 = (60 – 4)(60 + 4) = 602

- 42 = 3600 – 16 = 3584

Hoạt động nhóm và trả lời

4x2 – 12xy + 9y2c/ 992 = (100 – 1)2

= 1002-2.100.1 + 12 = 10000 – 200 + 1 = 9801

3/ Hiệu hai bình phương

A2 – B2 =(A + B)(A – B)

Aùp dụng :

a/

(x+ 1 )(x – 1) = x2 -1b/

(x – 2y)(x + 2y) = x2 – (2y)2 = x2 – 4y2c/

56.64 = (60 – 4)(60 + 4) = 602 -

42 = 3600 – 16 = 3584

Trang 17

GV phát phiếu học

tập 3 Trả lời : Cả hai bạn Đức và Thọ đều đúng

* Nhận xét rút ra : Đó là hằng đẳng thức : (A – B)2 = (B – A)2

Cả hai bạn Đức và Thọ đều đúng

* Nhận xét rút ra : Đó là hằng đẳng thức : (A – B)2 = (B – A)2

4/ Củng cố luyện tập :

Gọi HS lên bảng làm

bài

GV nhận xét chốt lại

Theo dõi bài làm của bạn

Nhận xét bài làm của bạn

Bài 16: Viết các biểu thức sau dưới

dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu

5/ Hướng dẫn học ở nhà

Làm các bài tập 16-19 trang 11,12 và phần luyện tập trang12

PHỤ LỤC :

Phiếu học tập 1 : Với a ,b là hai số bất kì , thực hiện phép tính ( a + b) (a + b)

Phiếu học tập 2 : Với a ,b là các số tùy ý ,Hãy tính a ( )b 2

Phiếu học tập 3 : Ai đúng ? Ai sai ?

Đúc viết : x2  10x 25 (  x 5) 2

Thọ viết : x2  10x 25 (5   x) 2

Hương nêu nhận xét : Thọ viết sai Đúc viết đúng

Sơ nói : Qua ví dụ trên mình rút ra được một hằng đẳng thức rất đẹp ? Hãy nêu ý kiếncủa em Sơn đã rút ra hằng đẳng thức nào ?

RÚT KINH NGHIỆM :

Tuần : 3 Tiết : 5 NS : ND :

Trang 18

LUYỆN TẬP

Kiến thức : Ôn tập các kiến thức về các hằng đẳng thức bình phương của một tổng ,

bình phương của một hiệu , hiệu hai bình phương

Kỹ năng :Hiều và vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức trên vào giải toán

Thái độ : Thái độ học tập nghiêm túc, Suy luận hợp lý, tính toán chính xác, vận

dụng linh hoạt

Giáo viên : Làm các Bài tập SGK

Học sinh: ôn lại các hằng đẳng thức đã học

1/ Ổn định :

HS1 lên bảng : Hãy viết các hằng đẳng thức đáng nhớ đã học

HS1:trả lời: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2

(A -B)2 = A2 - 2AB + B2

A2 – B2 = (A +B)(A – B)

Giáo viên cho hs nhận xét,sau đó ghi điểm

3/ Bài mới :

Giáo viên đặt vấn đề: Sau khi đã học được 3 hằng đẳng thức đáng nhớ các em sẽ

vận dụng nó giải quyết 1 số bài toán sau :

Hãy viết các đa thức sau dưới

Dạng trả lời đúng, sai Bài tập 20

Nhận xét : sai vì: Nếu xem x như A và 2y như B thì 2xy không = 2AB

Dạng viết hằng đẳng thức theo chiều ngược

lại

Bài tập 21:

a/ (9x2 -6x +1) = (3x – 1)2b/ (2x + 3y)2 +2(2x +3y) + 1 = [(2x + 3y) + 1]2

Bài tương tự

Hãy viết các đa thức sau dưới dạng bình phương

Trang 19

Hoạt động của thầy và trò Nội dung

dạng bình phương của 1 tổng hay

47 và 53 thua , hơn 50

bao nhiêu đơn vị ?

? Để chứng minh đẳng thức trên

ta làm như thế nào

HS : Ta biến đổi vế phải bằng vế

trái

Tương tự đối với câu b

2 hs lên làm , mỗi hs làm một

câu chứng minh và 1 câu áp

dụng

GV Nhận xét , chỉnh sửa

Bài 24: Tính gái trị của biểu thức

của 1 tổng hay 1 hiệu a/ 4x4 + 12x2y + 9y2b/ ( x + 2z)2 – 2( x + 2z) +1

Dạng tính nhanh Bài tập 22

a/ 1012 = (100 + 1)2 = 1002 +2.100.1 + 12 = 10000 + 200 + 1 = 10201c/ 47.53 = (50 – 3)(50 + 3) = 502 – 32 = 2500 –

= 2491

Dạng chứng minh Bài tập 23:

a/ ( a + b)2 = (a – b)2 + 4ab

Ta thấy (a – b)2 + 4ab = a2 – 2 ab +b2 + 4ab =

a2 + 2 ab +b2 = (a + b)2Vậy(a + b)2 = (a – b)2 + 4ab (đpcm)

b/ ( a - b)2 = (a + b)2 - 4ab

Ta thấy (a + b)2 - 4ab = a2 + 2 ab +b2 - 4ab = a2 -

2 ab +b2 = (a - b)2Vậy(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab (đpcm)

Aùp dụng

a/ tinh ( a – b)2 biết a + b = 7 , a.b = 12

Ta có :(a - b)2 = (a + b)2 - 4ab (cmt) = 72 – 4.12 = 49 – 48 = 1b/ Tính ( a +b)2 biết a -b = 20;a.b = 3

Ta có ( a - b)2 = (a + b)2 - 4a (cmt) = 20 2 – 4.3

= 400 – 12 = 388

Dạng tính giá trị biểu thức Bài tập24:

Tính gía trị của biểu thức 49x2 – 70x +25

a/ Với x = 5

Trang 20

Hoạt động của thầy và trò Nội dung

49x2 – 70x +25

? Trước khi thaygiá trị của biến

vào làm gì trước

HS: Rút gọn biểu thức trước

Một hs lên làm

Bài 25:

Gv hướng dẫn:

(a+b+c)2 = [(a+b)+c]2

Xem (a+b) như A c như B =>

[(a+b)+c]2 = (a+b)2 + 2(a+b)c + c2

hs lên làm tiếp

Tương tự đối với câu b, c

= a2 + b2 + c 2 -2ac - 2bc + 2ab

4/ Củng cố :

Xem trước bài $ 4

RÚT KINH NGHIỆM :

Tuần 3 Tiết 6 NS : ND :

Trang 21

NHệếNG HAẩNG ẹAÚNG THệÙC ẹAÙNG NHễÙ (tt)

Kieỏn thửực : HS hieồu ủửụùc caực haống ủaỳng thửực: laọp phửụng cuỷa moọt toồng, laọp phửụngcuỷa moọt hieọu.

K yừ naờng : Hieồu vaứ vaọn duùng ủửụùc caực haống ủaỳng thửực:

(A  B)3 = A3  3A2B + 3AB2  B3,

trong đó: A, B là các số hoặc các biểu thức đại số

linh hoaùt

Giaựo vieõn : giaựo aựn, phieỏu hoùc taọp, baỷng phuù

Hoùc sinh : oõn laùi 3 haống ủaỳng thửực ủaựng nhụự ủaừ hoùc, baỷng nhoựm

Hs1 : Tớnh : (x – 3y)(x + 3y)

Traỷ lụứi : (x – 3y)(x + 3y) = x2 – (3y)2 = x2 - 9y2

Hs2: Vieỏt bieồu thửực sau dửụựi daùng tớch

2xy2 + x2y4 + 1

Traỷ lụứi : 2xy2 + x2y4 + 1 = x2y4 + 2xy2 + 1 = (xy2 + 1)2

Cho hs nhaọn xeựt,sau ủoự ghi ủieồm

Giaựo vieõn ủaởt vaỏn ủeà: Sau khi ủaừ hoùc 3 haống ủaỳng thửực, hoõm nay ta cuừng tieỏp tuùc

hoùc nhửừng haống ủaỳng thửực ủaựng nhụự tieỏp theo

Hoaùt ủoọng cuỷa thaày Hoaùt ủoọng cuỷa troứ Noọi dung

Hoaùt ủoọng 1: GV phaựt

phieỏu hoùc taọp 1

Chia nhoựm lụựp laứm ?1

Gv : vaọn duùng caựch vieỏt

luyừ thửứa haừy vieỏt tich

(a+b)(a+b)2 dửụựi daùng

Caực nhoựm khaực nhaọn xeựt

(a+b)(a+b)2

= (a + b)(a2 + 2ab + b2)

= a(a2 + 2ab + b2) + b(a2 + 2ab + b2)

= a3 + 2a 2b + ab2 + a2b

/ Laọp phửụng cuỷa moọt toồng

Vụựi moùi A , B tuyứ yự, ta coự:

Aựp duùng :

a/(x+1)3 = x3 +3x2 + 3x + 1

(A B ) A  3A B 3AB B

Trang 22

lời

Hoạt động 2: Aùp dụng

Tổ chức nhóm học tập

Nhóm 1,2 : làm câu a

Nhóm 3,4 : làm câu b

( làm trong 3 phút)

Hoạt động3:Tổ chức

nhóm làm ?3(làm trong 3

phút)

[a + (-b)] viết cách khác

=?

Vậy (a – b)3 = ?

Tươngtự như trên đẳng

thức (5) ta gọi tên là gì?

*/?4Yêu cầu học sinh trả

lời

* / Aùp dụng : Mỗi học

sinh làm 1 câu , câu a,

+ 2ab2+ b3

= a3 + 3a2b + 3ab2(a + b)3

(a+b)3 = a3+3a2b + 3ab2 + b3 (4)a/

(x+1)3 =x3 +3x2 +3x+1b/

(2x + y)3

= (2x)3 + 3.(2x)2y + 3.2xy2 + y3

Thực hiện theo nhóm Cử đại diện nhóm lên bảng trình bày kết quả

[a + (-b)] = (a – b)(a – b)3 = [a + (-b)]3

= a3+3a2(-b) + 3a(-b)2+ (-b)3

= a3- 3a2b + 3ab2 - b3 (5)

?4 Học sinh trả lời được

b/ (2x + y)3

= (2x)3 + 3.(2x)2y + 3.2xy2 + y3

2/Lập phương của một hiệu:

Trang 23

câu b

* Câu c cho hs làm trên

phiếu học tập (trong

1

3 + 3x(

1

3)2– (

Gọi 2 HS lên bảng

GV nhận xét, chốt

lại : Lưu ý khi A

hoặc B là những đơn

thức có từ hai nhân

tử trở lên khi lũy

thừa chúng lên ta

phải bỏ chúng vào

trong dấu ngoặc đơn

Trang 24

Trò chơi toán học

Chia lớp thành 2

nhóm

Và 2 bảng phụ , mỗi

nhóm lên điền vào

bảng , nhóm nào

điền nhiều kết quả

đúng nhất trong 3

phút , nhóm đó sẽ

Trò chơi toán học :

Bài tập 29: Đáp án : NHÂN HẬU

PHỤ LỤC : Phiếu học tập1 : Tính (a +b)(a+b)2 ( với a , b là hai số tùy ý)

Tính [a + (-b)]3 ( với a , b là hai số tùy ý)

Bài ?2c) : Trong các khẳng định sau , khẳng định nào đúng ?

Trang 25

Tuaàn 4 Tieỏt 7 NS : ND :

NHệếNG HAẩNG ẹAÚNG THệÙC ẹAÙNG NHễÙ (tt)

Kieỏn thửực : Hieồu ủửụùc caực haống ủaỳng thửực : toồng cuỷa hai laọp phửụng hieọu hai laọp

phửụng

K yừ naờng : Hieồu vaứ vaọn duùng ủửụùc caực haống ủaỳng thửực:

A3 + B3 = (A + B) (A2  AB + B2),

A3  B3 = (A  B) (A2 + AB + B2),

trong đó: A, B là các số hoặc các biểu thức đại số

linh hoaùt

Giaựo vieõn : giaựo aựn, phieỏu hoùc taọp, baỷng phuù

Hoùc sinh : oõn laùi 5 haống ủaỳng thửực ủaựng nhụự ủaừ hoùc, baỷng nhoựm

Hs1 : Haừy vieỏt caực haống ủaỳng thửực ủaựng nhụự ủaừ hoùc

ẹaựp aựn :

Hs2: Tớnh giaự trũ cuỷa bieồu thửực x3 – 6x2 + 12x - 8

ẹaựp aựn : x3 – 6x2 + 12x – 8 = (x – 2) 3 vụựi x = 22 => (x – 2)3 = (22 – 2)3 = 203 = 8 Cho hs nhaọn xeựt,sau ủoự ghi ủieồm

Gớaựo vieõn ủaởt vaỏn ủeà: Sau khi ủaừ hoùc 5 haống ủaỳng thửực, hoõm nay ta cuừng tieỏp tuùc

hoùc nhửừng haống ủaỳng thửực ủaựng nhụự tieỏp theo

Hoaùt ủoọng 1:Chia

nhoựm lụựp laứm ?1

Laứm ?1 theo nhoựm Cửỷ ủaùi dieọn nhoựm trỡnh baứy:

(a+b)(a2 – ab + b2 ) = a.(a2 – ab + b2 ) +b.(a 2 –

ab + b2 )

= a3 – a 2b + ab2 + a2b –

ab2 + b3

= a3 + b3

1/ Toồng hai laọp phửụng

Vụựi moùi A , B tuyứ yự, ta coự:

3 B3  (A B A )( 2  AB B 2 ) A

Trang 26

Gv : Vậy theo phép

Hoạt động 2: Aùp dụng

Gọi 2 hs lên làm, cả lớp

cùng làm

Hoạt động3:Tổ chức

nhóm làm ?3(làm trong

3 phút)

(a- b ) )(a2+ab + b2 )

Tươngtự như trên đẳng

thức (7 ta gọi tên là gì?

a3 + b3 = (a+b)(a2 – ab +

b2 )

A3 + B3 = (A+B)(A2 – AB + B2 )

A2 – AB + B2 khác với bình phiơng của một hiệu

ở –AB ,còn Bình phuơng của 1 hiệu là -2AB

a/

x3 + 8 = (x + 2)(x2 – 2x + 4)

b/

(x+ 1)(x2- x + 1) = x3 + 1Làm ?1 theo nhóm Cử đại diện nhóm trình bày:

(a- b ) )(a2+ab + b2 ) =a.(a2 +ab + b2 )-b.(a 2+ab +

b2 )

= a3 +a 2b + ab2 - a2b – ab2

- b3

= a3 - b3Các nhóm nhận xét Hiệu hai lập phương

A3 - B3 = (A-B)(A2 + AB

Aùp dụng :

a/

x3 + 8 = (x + 2)(x2 – 2x + 4)b/

(x+ 1)(x2- x + 1) = x3 + 1

2/ Hiệu hai lập phương

Với hai biểu thức tuỳ ý A , B ta có

Trang 27

GV : Với A , B là các

Gọi 3 HS lên bảng

Mỗi em tthực hiện một

* Aùp dụng :

a/

(x – 1)(x2 + x + 1) = x3 – 1b/

8x3 – y3 = (2x)3 – y3

= (2x – y)(4x2 + 2xy + y 2)c/ đánh dấu x vào ô x3 + 8

4/ Củng cố :

GV đưa đề bài lên

bảng phụ

Phát phiếu học tập

cho cá nhân HS

GV treo bảng ghi sẵn

Điền vào chỗ trống để có một hằngđẳng thức đúng

TÓM LẠI TA CÓ BẢY HẰNG ĐẲNG

Trang 28

5/ Hướng dẫn học ở nhà: làm các bài tập còn lại trang 16,17 Tiết sau Luyện tập PHỤ LỤC :

Phiếu học tập 1 : Tính (a + b)( a2 – ab + b2) (Với a , b là các số tùy ý)

Phiếu học tập 2 : Tính (a - b)( a2 + ab + b2) (Với a , b là các số tùy ý)

Phiếu học tập 3 : Điền vào chỗ trống để có một hằng đẳng thức đúng

Trang 29

LUYỆN TẬP

Kiến thức: HS củng cố kiến thức về bảy hằng đẳng thức đáng nhớ.

Dùng HĐT triển khai hoặc rút gọn được các biểu thức đơn giản

Kỹ năng :Hiểu và vận dụng các hằng đẳng thức để giải bài tập

Thái độ : Thái độ học tập nghiêm túc, Suy luận hợp lý, tính toán chính xác, vận dụng

linh hoạt

Giáo viên : Bài tập sgk , bảng phụ , 14 tấm bìa hoặc mê ca ghi sẵn các vế của các hằng đẳng thức đã học

Học sinh: ôn lại các hằng đẳng thức đã học

1/ Ổn định :

HS1 lên bảng : Hãy viết các hằng đẳng thức đáng nhớ đã học

Đáp án : 1/ (A + B)2 = A2 + 2AB + B2

2/ (A - B)2 = A2 - 2AB + B2

3/ A2 – B2 = (A + B)(A – B)4/ (A + B)3 = A3+ 3A2B + 3AB2 + B35/ (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B36/ A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)7/ A3 - B 3 = (A - B)(A2 + AB + B2)Giáo viên cho hs nhận xét,sau đó ghi điểm

3/ Bài mới :

Gíáo viên đặt vấn đề:

Sau khi đã học được 7 hằng đẳng thức đáng nhớ các em sẽ vận dụng nó giải quyết 1 số bài toán sau :

Trang 30

Hoạt động của thầy và trò Nội dung

 Các bài tập trên có dạng

của những hằng đẳng thức

nào? (nói rõ từng câu sẽ

áp dụng HĐT nào)

 Hs trả lời được

Gọi mỗi hs lên làm 1 câu

Hs Nhận xét , chỉnh sửa

Bài tập 34:

Hs đọc đề

Rút gọn biểu thức

a/ (a + b)2 – (a – b)2

* Ta có thể áp dụng HĐT

nào để rút gọn?

Hs: HĐT “hiệu hai bình

phương “ hoặc “bình phương

của một tổng và bình phương

của một hiệu “

 Hs lên làm

b/(x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x

+ y) + (x + y)2

* Ta có thể áp dụng HĐT

nào để rút gọn?

Hs: “Bình phương của một

tổng “

 Vì sao?

 Nếu đặt (x + y + z ) = A

(x + y) = B

thì biểu thức trên có dạng

:HĐT “bình phương của một

e/ (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) = (2x)3 – y3 = 8x3 - y 3

Dạng rút gọn biểu thức :

Bài tập 34:

a/

(a + b)2 – (a – b)2 = (a + b + a – b)(a + b –a+ b) = 2a.2b

= 4ab

b/(x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2 = [(x + y + z) - (x + y)]2

= ( x + y + z – x – y) = z

Trang 31

Hoạt động của thầy và trò Nội dung

Nhận xét và chỉnh sửa

Phiếu học tâp :

Làm bài tập 37: (trong 4

phút)theo nhóm

Trò chơi toán học :ĐÔI BẠN

NHANH NHẤT: Gv tổ chức

như SGK hướng dẫn

Dạng tính nhanh :

Bài tập 35:

Tính nhanh : a/ 342 + 662 + 68.66

= 342 +2.34 + 662 = (34 + 66)2 = 1002 = 10000

Nhận dạng hằng đẳng thức :

Bài tập 37SGK

4/ Củng cố :

Xem trước bài “Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung

PHỤ LỤC :

Phiếu học tập : Dùng bút chì nối các biểu thức sao cho chúng tạo thành hai vế của

một hằng đẳng thức :

x3 + y3

x3 - y3

x2 + 2xy + y2

x2 – y2(y – x)2

x3 –3x2y+3xy2-y3(x + y)3(x-y)(x2+xy+y2)(x + y)(x – y)

x2 – 2xy + y2(x + y)2(x + y)( x2-xy+y2)

y3+3xy2 + 3x 2y + x3

(x – y)3

Trang 32

Ruùt kinh nghieäm :

x3 + y3

x3 - y3

x2 + 2xy + y2

x2 – y2(y – x)2

x3 –3x2y+3xy2-y3(x + y)3

(x-y)(x2+xy+y2)(x + y)(x – y)

X2 – 2xy + y2(x + y)2(x + y)( x2-xy+y2)

y3+3xy2 3x 2y + x3

(x – y)3

roài

Trang 33

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG

Kiến thức : Hs thông hiểu thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử, phân tích đa

thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung

K ỹ năng : Vận dụng được phương pháp cơ bản phân tích đa thức thành nhân tử:

Phương pháp đặt nhân tử chung.

Thái độ : Thái độ học tập nghiêm túc, Suy luận hợp lý, tính toán chính xác, vận dụng linh hoạt

Hệ số là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử

Các luỹ thừa bằng chử có mặt trong mọi hạng tử với số mũ của mỗi luỹ thừa là sốmũ nhỏ nhất của nó

Giáo viên : SGK, bảng phụ, phiếu học tập

Học sinh : Xem trước bài ở nhà

1/ Ổn định :

3/ Bài mới :GV phát phiếu học tập 1

Hoạt động 1:

Tính : 34.76 + 34.24

Có nhận xét gì về 2 hạng

tử của biểu thức trên?

Cô đưa 34 ra ngoài gọi là

đặt nhân tử chung , ta có:

bao nhiêu hạng tử

? Hãy phân tích các hạng

tử trên thành tích

?Sau khi phân tích thành

Cả 2 hạng tử đều có chung thừa số 34

Gồm 2 hạng tử

2x2 = 2.x.x4x = 2.2.xThừa số giống nhau là2x

1/ Ví dụ :

Hãy phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a/ 2x2 – 4xb/ 15x3 + 5x2 + 10xBài giải:

a/

Trang 34

tích các hạng tử trên có

thừa số nào giống nhau

? Tương tự như ví dụ trên

hãy đặt nhân tử chung cho

đa thức

 Như vậy ta đã viết đa

thức trên thành tích các

đa thức có nghĩa là ta đã

phân tích đa thức thành

nhân tử

? Vậy phân tích đa thức

thành nhân tử là gì ?

? Tương tự : hãy phân tích

đa thức sau thành nhân tử

15x3 + 5x2 + 10x

 Làm như các ví dụ trên

gọi là phân tích đa thức

thành nhân tử bằng

phương pháp đặt nhân

tử chung

Hoạt Động 2

Làm ?1

Hãy phân tích các đa thức

sau thành nhân tử

a/ x2 – x

b/ 5x2(x – 2y) – 15x(x –

2y)

c/ 3(x – y) - 5x(y – x)

hs lên làm câu 2a, b

? trong đa thức ở câu c các

hạng tử đã có thừa số

đa thức thành tích các

đa thức 15x3 + 5x2 + 10x

= 3.5.x.x2 + 5x.x + 2.5x

= 5x( 3x2 + x + 2)

a/ x2 – x = x(x – 1)b/ 5x2(x – 2y) – 15x(x – 2y)

= 5x(x – 2y)(x – 3)chưa có

(có thể hs không trả lời được )

2x2 – 4x = 2x(x + 2)b/

2/ Áp dụng :

?1 Phân tích các đa thức sau

thành nhân tửa) x2 – x = x (x – 1)b) 5x2 (x – 2y) – 15x (x – 2y) = 5x(x – 2y)(x – 3)c/ 3(x – y)- 5x(y – x) = 3(x – y) + 5x(x – y) = (x – y)(3 + 5)

= 8(x – y)

Trang 35

? Qua câu c ta thấy đôi khi

để làm xuất hiện nhân tử

chung ta phải làm gì ?

3x2 – 6x = 0 3x(x – 2) = 0

2 0

x x





  

vậy x = 0 và x = 2 thì 3x2 – 6x = 0

 C hú ý :

Đôi khi ta phải đổi dấu để

làm xuất hiện nhân tử chung

?2:

Tìm x saso cho 3x2 – 6x = 03x2 – 6x = 0

3x(x – 2) = 0

2 0

x x





  

vậy x = 0 và x = 2 thì 3x2 – 6x = 0

4/ Củng cố :

Chốt lại phiếu học tập 1

Nhận xét bài làm của bạn

Bài tập 39 :

a) 3x – 6y = 3(x – 2y)b)

-e) 10x(x – y) – 8y(y- x) = 10x(x – y) + 8y(x- y) = 2(x – y)(5x + 4y)

Trang 36

5/ Hướng dẫn học ở nhà : làm các bài tập còn lại trang19.

Hướng dẫn làm bài tập 42/19: Viết 55n + 1 – 55 = 54.55n luôn chia hết cho 54 với mọi nlà số tự nhiên

Xem trước bài “ phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức”

PHỤ LỤC :

Phiếu học tập 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử là gì ?

Tìm x sao cho 3x2 – 6x = 0

Gv gợi ý : trước hết hãy phân tích đa thức 3x2 – 6x thành nhân tử đưa bài toán về dạng

a.b = 0 => a = 0 hoặc b = 0 từ đó tìm x

Phiếu học tập 3: Tìm x biết : x3 – 13x = 0

RÚT KINH NGHIỆM :

Tiêu đề	Phép Nhân Và Phép Chia Các Đa Thức
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	bài giảng
Năm xuất bản	N/A
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	72
Dung lượng	1,19 MB