Nh÷ng ®Þnh lý vÒ tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm nhít vµ c«ng thøc biÓu diÔn nghiÖm trong tr−êng hîp ph−¬ng tr×nh Hamilton-Jacobi ®o ®−îc chøng minh.. Ch−¬ng 9 dµnh cho viÖc nghiªn cøu s©u h¬[r]
Sự xuất hiện của phương trình đạo hàm riêng
Phương trình ĐHR được phát hiện lần đầu vào giữa thế kỷ 18 bởi các nhà toán học như Euler, Dalambert, Lagrange và Laplace, đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả các mô hình vật lý và cơ học.
Phương trình ĐHR đã được nghiên cứu từ lâu và vẫn là một trong những nội dung cơ bản của lý thuyết toán học Đến giữa thế kỷ 19, đặc biệt qua các công trình của Riemann, phương trình này đã trở thành công cụ quan trọng trong nhiều lĩnh vực toán học khác Sự phát triển của lý thuyết phương trình ĐHR không chỉ ảnh hưởng tích cực đến toán học lý thuyết mà còn đóng vai trò quan trọng trong các ứng dụng thực tiễn Nhà toán học Poincare đã chỉ ra rằng nhiều bài toán trong các lĩnh vực như thuỷ động học, điện học, nhiệt học, quang học và lý thuyết đàn hồi có thể được nghiên cứu bằng phương trình ĐHR Từ khi xuất hiện, phương trình ĐHR đã trở thành cầu nối giữa toán học và ứng dụng, thúc đẩy sự phát triển của các ý tưởng toán học trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
Các ví dụ tiêu biểu
Các ph−ơng trình ĐHR
a Ph−ơng trình tuyến tính
1 Ph−ơng trình Laplace đ−ợc Laplace đ−a ra vào khoảng năm 1780
2 Ph−ơng trình Helmholtz đ−ợc Helmholtz nghiên cứu vào năm 1860
3 Ph−ơng trình chuyển dịch tuyến tính ut+ n i=1 b i ux i= 0.
4 Ph−ơng trình Liouville, đ−ợc Liouville nghiên cứu vào khoảng năm 1851 ut− n i=1
5 Ph−ơng trình truyền nhiệt (hoặc khuyếch tán) đ−ợc Fourier đ−a ra trong công tr×nh ”ThÐorie analytique de la chaleur” (1810-1822) ut−∆u= 0.
6 Ph−ơng trình Schrodinger đ−ợc Schrodinger nghiên cứu vào năm 1926 iut+ ∆u= 0.
7 Ph−ơng trình Kolmogorov đ−ợc Kolmogorov đ−a ra vào năm 1938 ut− n i,j=1 a ij ux i x j + n i=1 b i ux i = 0.
8 Ph−ơng trình Fokker-Plank ut− n i,j=1
9 Ph−ơng trình truyền sóng đ−ợc Dalambert đ−a ra vào năm 1752 utt−∆u= 0.
10 Ph−ơng trình truyền sóng tổng quát utt− n i,j=1 a ij ux i x j + n i=1 b i ux i = 0.
11 Ph−ơng trình điện báo utt+dut−∆u= 0.
12 Ph−ơng trình Airy ut+uxxx= 0.
13 Ph−ơng trình Beam utt+uxxxx= 0. b Ph−ơng trình phi tuyến
2 Ph−ơng trình Poisson phi tuyến
3 Ph−ơng trìnhp-Laplace div(|Du| p−2 Du) = 0.
4 Ph−ơng trình mặt cực tiểu đ−ợc nghiên cứu bởi Lagrange vào năm 1760 div Du
5 Ph−ơng trình Monge-Ampere đ−ợc Monge đ−a ra vào năm 1775 det (D 2 u) =f.
6 Ph−ơng trình Hamilton-Jacobi đ−ợc nghiên cứu từ những năm 20 của thế kỷ 19 và Jacobi xét đến vào năm 1837 ut+H(x, Du) = 0.
7 Định luật bảo toàn đơn ut+ divF(u) = 0.
8 Phương trình Burger sửa đổi ut+uux= 0.
9 Phương trình khuếch tán-phản ứng đơn ut−∆u=f(u).
10 Ph−ơng trình môi tr−ờng tổ ong ut−∆(u ν ) = 0.
11 Ph−ơng trình truyền sóng phi tuyến utt−∆u=f(u), utt− diva(Du) = 0.
12 Ph−ơng trình Korteweg-de Vries (KdV) lần đầu đ−ợc nghiên cứu vào năm 1896 ut+uux+uxxx= 0.
Hệ ph−ơng trình ĐHR
1 Hệ phương trình cân bằng của đàn hồi tuyến tính, Navier (1821) à∆u+ (λ+à)D(divu) = 0.
2 Hệ phương trình tiến hoá của đàn hồi tuyến tính u tt −à∆u−(λ+à)D(divu) = 0.
3 Hệ ph−ơng trình Maxwell xuất hiện vào năm 1864
B t = -curlE divB = divE= 0. b Hệ phi tuyến
1 Hệ các định luật bảo toàn ut+ divF(u) = 0.
2 Hệ ph−ơng trình khuếch tán-phản ứng ut−∆u=f(u).
3 Hệ ph−ơng trình Euler đ−ợc nghiên cứu lần đầu tiên vào năm 1775 u t +u.Du=−Dp, divu= 0.
4 Hệ ph−ơng trình Navier-Stokes xuất hiện vào khoảng 1822-1827 ut+u.Du−∆u=−Dp,divu= 0.
Những điều cần chú ý khi nghiên cứu ph−ơng trình ĐHR
Bài toán đặt chỉnh Nghiệm cổ điển
Khi phân tích một bài toán liên quan đến phương trình ĐHR, như bài toán biên, bài toán điều kiện ban đầu hay bài toán điều kiện hỗn hợp, chúng ta thường gặp nhiều khả năng khác nhau về nghiệm Một bài toán được coi là đặt chỉnh nếu
(a) Tồn tại nghiệm của bài toán;
(b) Nghiệm này là duy nhất;
(c) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện của bài toán.
Hai điều kiện đầu tiên đảm bảo sự tồn tại của một nghiệm duy nhất trong bài toán, trong khi điều kiện thứ ba rất quan trọng cho các bài toán thực tế: chúng ta mong muốn rằng nghiệm sẽ ít thay đổi khi các dữ kiện của bài toán cũng có sự biến động nhỏ.
Để giải bài toán của phương trình ĐHR, cần thỏa mãn cả ba điều kiện (a)-(c) Tuy nhiên, chúng ta chưa có định nghĩa chính xác về nghiệm Một cách tự nhiên, nghiệm của phương trình ĐHR bậc k cần phải là một hàm số k lần khả vi liên tục, đảm bảo sự tồn tại và tính liên tục của tất cả các đạo hàm xuất hiện trong phương trình Những nghiệm có độ trơn như vậy được gọi là nghiệm cổ điển.
Tuy nhiên, đối với nhiều phương trình ĐHR nghiệm cổ điển không phải bao giờ cũng tồn tại.
Nghiệm yếu Tính chính quy
Trong thực tế, các phương trình ĐHR có nghiệm cổ điển, đặc biệt là nghiệm toàn cục, rất hiếm Do đó, việc tìm kiếm "nghiệm" cho các phương trình không có nghiệm cổ điển là cần thiết để giải thích các hiện tượng thực tế mà chúng mô tả Ví dụ, định luật bảo toàn được thể hiện qua phương trình 0 ut + F(u)x = 0.
Phương trình này, xuất hiện trong thủy động học, mô tả nhiều hiện tượng vật lý, đặc biệt là hình thành và truyền dẫn sóng sốc, được định nghĩa là đường cong của các điểm gián đoạn của nghiệm u Để nghiên cứu định luật bảo toàn và giải thích các hiện tượng vật lý liên quan, cần cho phép nghiệm u không khả vi hoặc không liên tục Thông thường, định luật bảo toàn không có nghiệm cổ điển, nhưng phương trình này có thể được đặt chỉnh nếu xem xét nghiệm suy rộng hoặc nghiệm yếu của nó.
Trong thực tế, nhiều phương trình có cấu trúc đơn giản nhưng việc tìm nghiệm lại rất phức tạp Để giải quyết vấn đề này, ta thường tìm nghiệm trong một lớp ứng cử viên đủ rộng để đảm bảo thỏa mãn các điều kiện cần thiết Như V P Maslov đã nhấn mạnh, nếu phương trình có ý nghĩa thì luôn tồn tại nghiệm, vấn đề chỉ là xác định lớp nghiệm phù hợp Khi lớp ứng cử viên quá lớn, ta cần thu hẹp nó bằng cách nhúng vào lớp có tính chất tốt hơn, thường chú trọng đến độ trơn Việc tìm lớp nghiệm thỏa mãn các điều kiện là một bài toán khó Ngay cả với các phương trình có nghiệm cổ điển, việc tìm nghiệm yếu và chứng minh tính đủ độ trơn để trở thành nghiệm cổ điển còn dễ hơn so với việc tìm nghiệm cổ điển trực tiếp Trong tương lai, công việc sẽ được tách thành hai phần: tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện trong một lớp hàm và nghiên cứu tính chính quy hay độ trơn của lớp hàm đó, từ đó kích thích sự phát triển của các định lý nhúng không gian hàm khác nhau.
Khi nghiên cứu ph−ơng trình ĐHR ta sẽ thấy những điều sau đây:
Phương trình phi tuyến phức tạp hơn nhiều so với phương trình tuyến tính, và độ khó càng tăng khi phần phi tuyến bao gồm các đạo hàm bậc cao nhất của phương trình.
(2) Hệ ph−ơng trình sẽ phức tạp và khó hơn một ph−ơng trình.
(3) Ph−ơng trình bậc cao hơn sẽ khó hơn ph−ơng trình bậc thấp hơn.
Phương trình ĐHR với nhiều biến độc lập thường phức tạp hơn so với các phương trình có ít biến Hầu hết các phương trình ĐHR không thể tìm được nghiệm tường minh Để tiện cho việc tra cứu, chúng tôi đã biên soạn danh mục Từ khóa ở cuối sách Các danh từ riêng được giữ nguyên theo tiếng gốc, trừ các danh từ riêng tiếng Nga được phiên âm theo chuẩn tiếng Anh, nhằm giúp bạn đọc làm quen với tài liệu khoa học bằng tiếng nước ngoài.
Ký hiệu và kiến thức phụ trợ
Ký hiệu
Ký hiệu đối với ma trận
(i) Ta viÕtA= (aij) để ký hiệu một ma trậnAdạng mìnvớiaij là phần tử thứ(i, j) Ma trận đ−ờng chéoAđ−ợc ký hiệu là diag(d1, , dn).
(ii) M mìn = không gian các ma trận thực mìn S nìn = không gian các ma trận đối xứng thựcnìn.
(iii) trA=vết của ma trậnA, tức là tổng các phần tử ở trên đ−ờng chéo chính. (iv)detA=định thức của ma trận A.
(v) CofA=ma trận phần phụ đại số củaA.
(vi) A T =chuyển vị của ma trậnA.
(vii) NÕuA= (aij) vàB= (bij) là hai ma trận mìn, thì
(viii) Nếu A ∈S nìn và x= (x1, , xn) ∈R n , khi đó dạng toàn phương tương ứng là xAx n i,j=1 aijxixj.
(ix) NÕu A∈S n×n , ta viÕtA≥θI, nÕuxAx≥θ|x| 2 , ∀x∈R n
(x) Đôi khi ta sẽ viếtyA thay choA T y vớiA∈M mìn vày∈R m
Ký hiệu hình học
(i)R n là không gian Euclide thực nchiều,R=R 1
(ii) ei= (0, ,0,1,0, ,0) =véc tơ tọa độ đơn vị thứi.
(iii) Một điểm trong R n làx= (x1, , xn) Trong tr−ờng hợp cụ thể có thể coix nh− là một véc tơ hàng hoặc véc tơ cột.
(iv) R n + = {x = (x1, , xn) ∈ R n |xn > 0} là nửa không gian mở phía trên;
(v) Một điểm bất kỳ trongR n+1 th−ờng đ−ợc ký hiệu(x, t) = (x1, , xn, t)và ta thường dùngt=xn+1 là biến thời gian Một điểmx∈R n đôi khi được viết x= (x , xn)víix = (x1, , xn−1)∈R n−1
(vi) U, V vàW th−ờng ký hiệu các tập mở củaR n Ta viết
V ⊂ ⊂U nếuV ⊂V ⊂U, V là compắc và ta nóiV đ−ợc chứa compắc trongU.(vii) ∂U là biên của U, U=U∪∂U là bao đóng củaU.
(ix)ΓT =UT −UT làbiên paraboliccủaUT.
(x)B 0 (x, r) ={y∈R n |x−y|< r}là hình cầu mở trong R n với tâmxvà bán kÝnhr >0.
(xi)B(x, r)là hình cầu đóng với tâmxbán kínhr.
(xii)C(x, t, r) ={y∈R n , s∈R|x−y|r, t−r 2 st}là hình trụ đóng với tâm đỉnh(x, t), bán kínhr, chiều caor 2
(xiii)α(n)là thể tích của hình cầu đơn vịB(0,1)trongR n và α(n) = π n/2 Γ( n 2 + 1). nα(n)là diện tích mặt cầu đơn vị∂B(0,1)trong R n
(xiv) Nếua= (a1, , an)vàb= (b1, , bn)thuộcR n ab n i=1 aibi, |a|= n i=1 a 2 i 1/2
(xv)C n là không gian phứcnchiều, Clà mặt phẳng phức Nếu z∈Cta ký hiệuRe(z)là phần thực củazvà Im(z)là phần ảo củaz.
Ký hiệu các hàm số
Ta nóiulàtrơnnếuulà khả vi vô hạn.
(ii) Nếuuvàv là hai hàm, ta viếtu≡v có nghĩa làuđồng nhất bằng v Ta đặt u:=v để nói rằng uđ−ợc định nghĩa bằngv Giá của hàm uký hiệu là sptu.
(iii)u + = max(u,0), u − =−min(u,0), u=u + −u − , |u|=u + +u − Hàm dấulà hàm sgn(x)
Hàmu k là thành phần thứ kcủau(k= 1, , m).
(v) NếuΣlà mặt trơn(n−1)chiều trongR n , ta viết Σ f dS để ký hiệu tích phân của f trên Σ với độ đo(n−1) chiều Nếu C là một đ−ờng cong trongR n , ta ký hiệu
C f dl là tích phân củaf trênC với độ dài cung.
B(x,r) f dy làtrung bình củaf trên hình cầuB(x, r), và
∂B(x,r) f dS làtrung bình củaf trên mặt cầu∂B(x, r).
(vii) Hàm đặc tr−ngcủaE là χE(x) 1 nÕux∈E
(viii) Hàmu:U →Rđ−ợc gọi làliên tục Lipschitznếu
|u(x)−u(y)|C|x−y| với hằng sốC nào đó và với mọix, y∈U Ta viết
|x−y| (ix) Tích chập của các hàm f, gđ−ợc ký hiệu : f ∗g
Ký hiệu đạo hàm
(x) = lim h→0 u(x+hei)−u(x) h , nếu giới hạn này tồn tại.
(ii) Ta th−êng viÕtux i thay cho ∂u
(iv)Ký hiệu đa chỉ số :
(a) Một véc tơ có dạngα= (α1, , αn), trong đó mỗi thành phầnαi là một số nguyên không âm, đ−ợc gọi là một đa chỉ số bậc
|α|=α1+ã ã ã+αn. (b) Cho tr−ớc một đa chỉ sốα, ký hiệu
(c) Nếuk là số nguyên không âm
D k u(x) :={D α u(x)|α|=k} là tập tất cả các đạo hàm riêng bậck Ta có thể coiD k u(x)là một điểm trongR n k
. (e) Các trường hợp đặc biệt : Nếuk= 1, ta coi
Du= (ux 1 , , ux n )làvéc tơ gradient.
Nếuk= 2, ta coi các phần tử củaD 2 uđ−ợc sắp trong ma trận
(v) ∆u n i=1 ux i x i= tr(D 2 u)làtoán tử Laplacecủau.
(vi) Thỉnh thoảng ta dùng chỉ số dưới gắn với các ký hiệuD, D 2 , để ký hiệu các biến đ−ợc lấy đạo hàm Chẳng hạn nh−: nếuu=u(x, y) (x∈R n , y ∈
R m ), th×Dxu= (ux 1, , ux n), Dyu= (uy 1, , uy m).
Các không gian hàm
C k (U) ={u:U →R|ulà liên tục khả viklần}
C k (U) ={u∈C k (U)|D α ulà liên tục đều với mọi|α|k}
Do đó: nếuu∈C k (U) thìD α uthác triển liên tục tới U với mọi đa chỉ số α, |α|k.
(ii) C ∞ (U) ={u:U →R|ulà khả vi vô hạn} ∞ k=0
(iii) Cc(U), C c k (U), ,ký hiệu các hàm trongC(U), C k (U), ,với giá compắc.
(iv) L p (U) ={u:U →R| ulà đo đ−ợc Lebesgue, uL p (U)