Tích phân suy rộng và lời giải chi tiết giải tích 1 HUST

các câu tích phân điển hình trong dạng bài tập khảo sát sự hội tụ và phân kì bài tập tích phân suy rộng do sinh viên đại học bách khoa hà nội biên soạn. các dạng tích phân thường gặp ở đề thi các năm gần đây và rất sát với đề chúc các bạn ôn thi thật tốt và đạt kết quả cao

TÍCH PHÂN SUY RỘNG Câu 1: Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng:

2

6

x dx x





 phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh 2

Câu 2: Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng:

11

sinx dx

x x

 



Giải

11

sinx dx

x x

 





 hội tụ tuyệt đối theo tiêu chuẩn so sánh 1

Câu 4: Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng:  

2

7 1

1

 



Giải:



Giải:

x

x x

Chọn   12

,2

7 33

7 3.3 13

7 33

 hội tụ, vì p 2 1 Vậy K hội tụ

Câu 8: Tích phân suy rộng

 phân kỳ theo tiêu chuẩn so sánh giới hạn

Câu 9: Khảo sát sự hội tụ của tích phân:

3 6 1



 hội tụ nên

3 6 1

x dx





Giải

x dx

 hội tụ do   4 1 nên I2 hội tụ (TCSS1) Kết luận: I hội tụ

Câu 12: Khảo sát sự hội tụ của tích phân sau:

Câu 13: Khảo sát sự hội tụ của tích phân sau: 2  

1

11

x ln x

dx x

x ln x

dx x

5 2

1 25

  

Từ  1 và  2  Jhội tụ (theo tiêu chuẩn so sánh 2)

Câu 18: Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng:

1

11

 hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 2

Câu 21: Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng:

2

4 1

1.1









 hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh 2

Câu 22: Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng: 2

sinx dx x

2

2

11

 TP hội tụ khi và chỉ khi  2

Vậy tp đã cho HT khi và chỉ khi  2

Câu 28: Tính tích phân suy rộng: 1  

Hàm f x   0, x (0; 2] Ta sẽ so sánh khi x0.Lưu ý: Không nhận xét f dương thì trừ điểm

 

2 3 4 2 3

1

2 : f x ~ x

x x

    TP phân kỳ

 

2 3 2

1

.1

dx I





 Tính tích phân khi   2Giải

Ta thấy 2 cận của tích phân làm cho biểu thức dưới dấu tích phân không xác định Nên ta tách ra thành 2 tích phân suy rộng loại 2 như sau:

dx I





Xét khi x0:

Tổng hợp lại thì với  1 thì I1 hội tụ!

Xét tích phân

1 2

1 4

22

Câu 32: Tìm  để tích phân sau hội tụ 2 2

Đây là tích phân suy rộng loại 1

Như vậy khi m0 thì ta thấy m  1 1 I2hội tụ (do đây là tích phân suy rộng loại 1)

Kết luận: + Do I1 hội tụ nên để I hội tụ thì chỉ phụ thuộc vào I2 Suy ra, I hội tụ khi m0 Tính tích phân khi m2 :

Khi m2, tích phân đã cho trở thành:

Khi x  ta xét các trường hợp của x  như sau:

Khi m0, ta xét hàm dương sau:

Khi m0 : không xét vì làm hàm số không xác định  Ikhông có tích phân

* Khi m0, ta có:

~2

Như vậy khi m0 thì ta thấy m  1 1 I2hội tụ

Kết luận: + DoI1 hội tụ nên để I hội tụ thì chỉ phụ thuộc vào I1 Suy ra, I hội tụ khi m > 0

3

12

14

2

t x

1

dx

x 



Suy ra 𝐼 cùng bản chất với

1 1

dx x

Theo dấu hiệu tích phân Dirichle tích phân đã cho hội tụ

Câu 39: Xét sự hội tụ của tích phân:

a

sinx dx x



 hội tụ Tuy nhiên, tích phân

a

sinx dx x



 không hội tụ

Tích phân thứ nhất phân kì, tích phân thứ hai hội tụ Vậy tích phân

2

a

sin x dx x

1'

12

t x

t x

2

dx

x 



Câu 42: Tìm  để tích phân sau hội tụ:

2 1 0

11

sinxcosx



Giải:

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng:

2

5 1

14

3 21





 Tìm  để tích phân hội tụ và tính tích phân khi  1

Câu 6: Tìm  để tích phân sau hội tụ :  

5

2 0





 Tìm m điều kiện về m để tích phân suy rộng này

hội tụ Tính giá trị tích phân này khi 7

x

f x lim

g x



 nhận giá trị hữu hạn Với b vừa tìm được, hãy tính giá trị giới hạn trên

Câu 11: Khảo sát sự hội tụ của 2

Câu 12: Tìm  để tích phân sau hội tụ  

1

11

11