Chào các bạn, lại là mình đây Tiếp tục chuỗi series ôn tập của môn Giải tích 3 hàng tuần nhéTuần này sẽ là các vấn đề về CHUỖI LŨY THỪA và CHUỖI FOURIER. Các bạn có thể Chia sẻ về Trang cá nhân hoặc Tải về để tham khảo nha Hàng tuần cũng đều có những bài Hỗ trợ học tập tương tự như vậy nhé.
Trang 1TÀI LIỆU GT3 BÁ VJP PRO NO1
I Chuỗi ∑∞𝒏=𝒏𝟎𝒖𝒏
Điều kiện cần để 1 chuỗi hội tụ: lim
𝑛→∞𝑢𝑛 = 0
→ 𝑁ế𝑢 lim
𝑛→∞𝑢𝑛 ≠ 0 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑡ồ𝑛 𝑡ạ𝑖 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì
( Trước khi làm 1 câu về chuỗi có thể nhẩm nhanh giới hạn này trước khi làm )
1 Chuỗi số
Một số chuỗi số có sẵn
Chuỗi Riemann
𝑛𝛼 { 𝛼 > 1 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 ℎộ𝑖 𝑡ụ
𝛼 ≤ 1 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì
∞
𝑛=1
Chuỗi hình học
∑ 𝑞𝑛 { |𝑞| < 1 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 ℎộ𝑖 𝑡ụ
|𝑞| ≥ 1 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì
∞
𝑛=0
a) Chuỗi số dương
Có 𝑢𝑛 ≥ 0 ∀ 𝑛 ≥ 𝑛0
Các tiêu chuẩn áp dụng cho chuỗi số dương:
Tiêu chuẩn D’ Alembert ( Áp dụng tốt cho hàm có mũ, giai thừa )
lim
𝑛→∞
𝑢𝑛+1
𝑢𝑛 = 𝐷 → {
𝐷 < 1 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 ℎộ𝑖 𝑡ụ
𝐷 > 1 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì
𝐷 = 1 → 𝐾ℎô𝑛𝑔 𝑘ế𝑡 𝑙𝑢ậ𝑛 Note: Cách nhớ là un+1/un < 1 suy ra un+1 < un nghĩa là số đằng sau nhỏ hơn số đằng trước => Dãy cứ giảm dần giảm dần => Hội tụ
Tiêu chuẩn Cauchy ( Áp dụng tốt cho hàm cần hạ bậc n )
lim
𝑛→∞√𝑢𝑛 = 𝐶 → {
𝐶 < 1 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 ℎộ𝑖 𝑡ụ
𝐶 > 1 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì
𝐶 = 1 → 𝐾ℎô𝑛𝑔 𝑘ế𝑡 𝑙𝑢ậ𝑛 Note: Từ cách nhớ của TC D’ Alembert rồi suy ra Cauchy tương tự =))
Trang 2Tiêu chuẩn tích phân
( Theo mình thấy thì TC này thường áp dụng cho dạng dưới đây nên mình không nói TCTP về mặt lí thuyết nữa )
∑ 1
𝑛 𝑙𝑛𝑎𝑛
∞
𝑛=2
𝐶ó 𝑢𝑛 = 1
𝑛 𝑙𝑛𝑎𝑛 > 0 ∀𝑛 ≥ 2 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑙à 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑑ươ𝑛𝑔
𝑋é𝑡 𝑓(𝑥) = 1
𝑥 𝑙𝑛𝑎𝑥 , 𝑥 ≥ 2
𝐶ℎỉ 𝑟𝑎
{
𝑓(𝑥) 𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐, 𝑑ươ𝑛𝑔, đơ𝑛 đ𝑖ệ𝑢 𝑔𝑖ả𝑚 ∀ 𝑥 ≥ 2
lim 𝑥→∞𝑓(𝑥) = 0
𝑥 𝑙𝑛𝑎𝑥𝑑𝑥 = ∫
1
ln𝑎𝑥𝑑(ln 𝑥) = 𝐼
∞
2
∞
2
∞
2
Nếu I hội tụ => ∑ 1
𝑛.𝑙𝑛 𝑎 𝑛
∞ 𝑛=2 ℎộ𝑖 𝑡ụ
I phân kì => ∑ 1
𝑛.𝑙𝑛 𝑎 𝑛
∞ 𝑛=2 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì Tiêu chuẩn so sánh
Đặ𝑡 ∑ 𝑢𝑛 (1) ; ∑ 𝑣𝑛 (2)
∞
𝑛=𝑛0
∞
𝑛=𝑛0
+ TC1 : { 𝑁ế𝑢 𝑢𝑛 ≤ 𝑣𝑛∀𝑛 , 𝑣𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ → 𝑢𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ
𝑁ế𝑢 𝑢𝑛 ≤ 𝑣𝑛∀𝑛 , 𝑢𝑛 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì → 𝑣𝑛 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì
Note: Cách nhớ: chuỗi dài hơn to hơn mà hội tụ thì chuỗi nhỏ hơn cũng phải hội tụ Chuỗi bé hơn nhỏ hơn mà phân kì thì chuỗi lớn hơn cũng phải phân kì
+ TC2 : lim
𝑛→∞
𝑢𝑛
𝑣𝑛 = 𝑘 → {
0 < 𝑘 < +∞ → (1), (2) 𝑐ù𝑛𝑔 𝐻𝑇, 𝑃𝐾
𝑘 = 0 → (2) 𝐻𝑇 → (1) 𝐻𝑇
𝑘 = +∞ → (2) 𝑃𝐾 → (1) 𝑃𝐾 Một dạng khá phổ biến sử dụng TC2
∑ln 𝑛
𝑛𝑎 = ∑ 𝑢𝑛
∞
𝑛=2
∞
𝑛=2 𝑁ế𝑢 𝑎 < 1 → 𝐶ℎọ𝑛 𝑣𝑛 = 1
𝑛𝛼 𝑣ớ𝑖 1 < 𝛼 < 𝑎 𝑁ế𝑢 𝑎 > 1 → 𝐶ℎọ𝑛 𝑣𝑛 = 1
𝑛𝛼 𝑣ớ𝑖 0 < 𝛼 < 1
→ 𝑋é𝑡 lim
𝑛→∞
𝑢𝑛
𝑣𝑛 → 𝑠ử 𝑑ụ𝑛𝑔 𝑇𝐶2
Trang 3b) Chuỗi đan dấu
𝑢𝑛 𝑐ó (−1)𝑛 → 𝐾ℎô𝑛𝑔 𝑝ℎả𝑖 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑑ươ𝑛𝑔 Một số tiêu chuẩn cho chuỗi đan dấu
∑ 𝑎𝑛 =
∞
𝑛=𝑛0
∑ (−1)𝑛 𝑢𝑛 𝑣ớ𝑖 𝑢𝑛 > 0 ∀ 𝑛 ≥ 𝑛0
∞
𝑛=𝑛0 Tiêu chuẩn Leibnitz ( Phát triển từ tiêu chuẩn Dirichlet mục d )
Nếu {
𝑢𝑛+1 ≤ 𝑢𝑛 ∀𝑛 ℎ𝑎𝑦 {𝑢𝑛} 𝑙à 𝑑ã𝑦 đơ𝑛 đ𝑖ệ𝑢 𝑔𝑖ả𝑚 ∀𝑛 ≥ 𝑛0
lim
→ 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 đã 𝑐ℎ𝑜 𝑙à 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 đ𝑎𝑛 𝑑ấ𝑢 ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑡𝑖ê𝑢 𝑐ℎ𝑢ẩ𝑛 𝐿𝑒𝑖𝑏𝑛𝑖𝑡𝑧
Tiêu chuẩn D’ Alembert và Cauchy mở rộng
( Khi sử dụng sẽ loại bỏ được (-1) n nhờ dấu trị tuyệt đối Thường dùng trong các bài xét sự HTTĐ nhưng mình vẫn thấy phù hợp cho chuỗi đan dấu)
lim
𝑛→∞|𝑎𝑛+1
𝑎𝑛 | = 𝑘
lim
𝑛→∞|√𝑎𝑛| = 𝑘
Khi đó {𝑘 < 1 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 ℎộ𝑖 𝑡ụ, ℎơ𝑛 𝑛ữ𝑎 𝑐ò𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑡𝑢𝑦ệ𝑡 đố𝑖
𝑘 > 1 → 𝐶ℎ𝑢ỗ𝑖 ∑ 𝑎𝑛 𝑣à ∑∞ |𝑎𝑛| 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì
𝑛=𝑛0
∞ 𝑛=𝑛0
c) Sự hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ của chuỗi
∑ 𝑢𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑡𝑢𝑦ệ𝑡 đố𝑖 ↔ ∑ |𝑢𝑛| ℎộ𝑖 𝑡ụ
∞
𝑛=𝑛0
∞
𝑛=𝑛0
∑ 𝑢𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑛ℎư𝑛𝑔 ∑ |𝑢𝑛|
∞
𝑛=𝑛0
𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì → ∑ 𝑢𝑛
∞
𝑛=𝑛0
𝑏á𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ
∞
𝑛=𝑛0
→ Đị𝑛ℎ 𝑙í: ∑ |𝑢𝑛| ℎộ𝑖 𝑡ụ → ∑ 𝑢𝑛
∞
𝑛=𝑛0
ℎộ𝑖 𝑡ụ
∞
𝑛=𝑛0
𝑇𝑢𝑦 𝑛ℎ𝑖ê𝑛 𝑛ế𝑢 ∑ |𝑢𝑛| 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì 𝑡ℎì 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑠𝑢𝑦 𝑟𝑎 ∑ 𝑢𝑛
∞
𝑛=𝑛0
𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì đượ𝑐
∞
𝑛=𝑛0
𝑁ℎư𝑛𝑔 𝑛ế𝑢 ∑ |𝑢𝑛| 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑇𝐶 𝐷′𝐴𝑙𝑒𝑚𝑏𝑒𝑟𝑡 ℎ𝑎𝑦 𝐶𝑎𝑢𝑐ℎ𝑦 𝑚ở 𝑟ộ𝑛𝑔
∞
𝑛=𝑛0
→ ∑ 𝑢𝑛
∞
𝑛=𝑛0
𝑐ũ𝑛𝑔 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ì
Trang 4d) Một vài tiêu chuẩn nâng cao ( Sưu tầm by Trần Bá Hiếu ) Tiêu chuẩn Dirichlet và Abel
𝐶ℎ𝑜 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố ∑ 𝑎𝑛
+∞
𝑛=1
𝑏𝑛
−𝐷𝑖𝑟𝑖𝑐ℎ𝑙𝑒𝑡:
+) 𝐷ã𝑦 𝑐á𝑐 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑟𝑖ê𝑛𝑔 𝑐ủ𝑎 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 ∑ 𝑎𝑛
+∞
𝑛=1
𝑙à 𝑏ị 𝑐ℎặ𝑛 +) 𝑏𝑛 𝑙à 𝑑ã𝑦 đơ𝑛 đ𝑖ệ𝑢 ℎộ𝑖 𝑡ụ đế𝑛 0
=> ∑ 𝑎𝑛
+∞
𝑛=1
𝑏𝑛 𝑙à 𝑚ộ𝑡 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố ℎộ𝑖 𝑡ụ
−𝐴𝑏𝑒𝑙:
+) ∑ 𝑎𝑛
+∞
𝑛=1
ℎộ𝑖 𝑡ụ +) 𝑏𝑛 𝑙à 𝑚ộ𝑡 𝑑ã𝑦 𝑠ố đơ𝑛 đ𝑖ệ𝑢 𝑏ị 𝑐ℎặ𝑛
=> ∑ 𝑎𝑛
+∞
𝑛=1
𝑏𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ Tiêu chuẩn chuỗi số mở rộng
𝐶ℎ𝑜 2 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố 𝑑ươ𝑛𝑔 ∑ 𝑎𝑛
+∞
𝑛=1
𝑣à ∑ 𝑏𝑛 +∞
𝑛=1
𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛
+) lim
𝑛→+∞
𝑎𝑛
𝑏𝑛 = 𝑘 ≠ 0
+) 𝐷ã𝑦 𝑠ố {𝑎𝑛
𝑏𝑛}|𝑛=𝑛
0
+∞
𝑙à đơ𝑛 đ𝑖ệ𝑢
=> ∑ 𝑎𝑛
+∞
𝑛=1
𝑣à ∑ 𝑏𝑛 +∞
𝑛=1
𝑐ù𝑛𝑔 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ỳ, ℎ𝑜ặ𝑐 𝑏á𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ, ℎ𝑜ặ𝑐 𝑐ù𝑛𝑔 ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑡𝑢𝑦ệ𝑡 đố𝑖
Trang 5Tiêu chuẩn Raabe
𝐶ℎ𝑜 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố 𝑑ươ𝑛𝑔 ∑ 𝑎𝑛
+∞
𝑛=1
𝑣à lim 𝑛→+∞𝑛 ( 𝑎𝑛
𝑎𝑛+1− 1) = 𝑘 𝑛ế𝑢 𝑘 > 1 𝑡ℎì 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố ℎộ𝑖 𝑡ụ
𝑛ế𝑢 𝑘 < 1 𝑡ℎì 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ỳ
Tiêu chuẩn Bertrand
𝐶ℎ𝑜 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố 𝑑ươ𝑛𝑔 ∑ 𝑎𝑛
+∞
𝑛=1
𝑣à lim 𝑛→+∞ln 𝑛 [𝑛 ( 𝑎𝑛
𝑎𝑛+1− 1) − 1] = 𝑘 𝑛ế𝑢 𝑘 > 1 𝑡ℎì 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố ℎộ𝑖 𝑡ụ
𝑛ế𝑢 𝑘 < 1 𝑡ℎì 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ỳ
Tiêu chuẩn A
𝐶ℎ𝑜 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố 𝑑ươ𝑛𝑔 ∑ 𝑎𝑛
+∞
𝑛=1
𝑣à lim 𝑛→+∞
𝑛
ln 𝑛(1 − √𝑎𝑛
𝑛 ) = 𝑘
𝑛ế𝑢 𝑘 > 1 𝑡ℎì 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố ℎộ𝑖 𝑡ụ
𝑛ế𝑢 𝑘 < 1 𝑡ℎì 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ỳ
Tiêu chuẩn B
𝐶ℎ𝑜 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố 𝑑ươ𝑛𝑔 ∑ 𝑎𝑛
+∞
𝑛=1
𝑣à lim 𝑛→+∞
ln 𝑛 ln(ln 𝑛)[
𝑛
ln 𝑛(1 − √𝑎𝑛
𝑛 ) − 1] = 𝑘
𝑛ế𝑢 𝑘 > 1 𝑡ℎì 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố ℎộ𝑖 𝑡ụ
𝑛ế𝑢 𝑘 < 1 𝑡ℎì 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑠ố 𝑝ℎâ𝑛 𝑘ỳ
2 Chuỗi hàm
𝐶ó 𝑑ạ𝑛𝑔 ∑ 𝑢𝑛(𝑥)
∞
𝑛=𝑛0
a) Sự hội tụ đều
Trang 6Định nghĩa
∑ 𝑢𝑛(𝑥)
∞
𝑛=𝑛0
ℎộ𝑖 𝑡ụ đề𝑢 đế𝑛 𝑆(𝑥) 𝑡𝑟ê𝑛 𝑡ậ𝑝 𝑋 ↔ ∀𝜀 > 0 𝑏é 𝑡ù𝑦 ý
∃ 𝑛0(𝜀) ∈ 𝑁: ∀𝑛 > 𝑛0(𝜀), 𝑡𝑎 𝑐ó |𝑆𝑛(𝑥) − 𝑆(𝑥)| < 𝜀, ∀ 𝑥 ∈ 𝑋
Một vài tiêu chuẩn xét sự hội tụ đều
TC Cauchy
∀𝜀 > 0, ∀𝑥 ∈ 𝐼
∃𝑛0: |𝑆𝑛+𝑝(𝑥) − 𝑆𝑛(𝑥)| < 𝜀, ∀𝑛 > 𝑛0, ∀𝑝 ∈ 𝑁
→ ∑ 𝑢𝑛(𝑥)
∞
𝑛=𝑛0
ℎộ𝑖 𝑡ụ đề𝑢 𝑡𝑟ê𝑛 𝐼
TC Weierstrass (Thường sử dụng)
Nếu {|𝑢𝑛(𝑥) ≤ 𝑎𝑛∀𝑛 ∈ 𝑁, ∀𝑥 ∈ 𝐼
∑∞𝑛=𝑛0𝑎𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ
→ ∑ 𝑢𝑛(𝑥)
∞
𝑛=𝑛0
ℎộ𝑖 𝑡ụ đề𝑢 𝑡𝑟ê𝑛 𝐼
Note: Bài toán tìm miền hội tụ, sử dụng đến tính chất của sự hội tụ đều thường áp
dụng cho dạng đặc biệt của chuỗi hàm đó là chuỗi lũy thừa nên mình không nói sâu về
chuỗi hàm nữa mà nói vào chuỗi lũy thừa luôn
b) Chuỗi lũy thừa
𝐶ó 𝑑ạ𝑛𝑔 ∑ 𝑢𝑛 𝑥𝑛
∞
𝑛=𝑛0
+) 𝐵á𝑛 𝑘í𝑛ℎ ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑅 𝑐ủ𝑎 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑙ũ𝑦 𝑡ℎừ𝑎:
𝑅 = lim
𝑛→∞| 𝑢𝑛
𝑢𝑛+1| ℎ𝑜ặ𝑐 𝑅 = lim𝑛→∞
1
√𝑢𝑛 Khi đó chuỗi lũy thừa hội tụ ∀𝑥 ∈ (−𝑅; 𝑅)
Xét tại các điểm x=R và x=-R => Miền hội tụ
+) 𝐿ú𝑐 𝑛à𝑦 𝑡𝑎 𝑠ử 𝑑ụ𝑛𝑔 𝑡í𝑛ℎ 𝑐ℎấ𝑡 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 𝑙ũ𝑦 𝑡ℎừ𝑎 ℎộ𝑖 𝑡ụ đề𝑢 𝑡𝑟ê𝑛 𝑚𝑖ề𝑛 ℎộ𝑖 𝑡ụ 𝑣à 𝑡í𝑛ℎ 𝑐ℎấ𝑡 𝑐ủ𝑎 𝑚ộ𝑡 𝑐ℎ𝑢ỗ𝑖 ℎộ𝑖 𝑡ụ đề𝑢 𝑡𝑎 𝑐ó:
∫ ( ∑ 𝑢𝑛 𝑥𝑛
∞
𝑛=𝑛0
) 𝑑𝑥 = ∑ (∫ 𝑢𝑛 𝑥𝑛𝑑𝑥
𝑏
𝑎
)
∞
𝑛=𝑛0
𝑏
𝑎
hoặc
𝑑
𝑑𝑥( ∑ 𝑢𝑛 𝑥
𝑛
∞
𝑛=𝑛0
𝑑𝑥(𝑢𝑛 𝑥
𝑛)
∞
𝑛=𝑛0
Trang 7Đây chính là tính chất sử dụng cho dạng bài tính tổng và khai triển Taylor hay Maclaurin Các bài về dạng này thì vô số kể, có thể làm trong đề cương trên Sami là đủ rồi còn muốn MacBook hay HBTN thì mình chịu nhé =))
Bảng khai triển Maclaurin thường gặp
𝑒𝑥 = 1 + 𝑥
1!+
𝑥2 2! +
𝑥3 3! + ⋯ = ∑
𝑥𝑛 𝑛!
∞
𝑛=0
𝑥 ∈ 𝑅
cos 𝑥 = 1 −𝑥
2
2! +
𝑥4 4! − ⋯ = ∑(−1)
𝑛𝑥2𝑛 2𝑛!
∞
𝑛=0
𝑥 ∈ 𝑅
sin 𝑥 = 𝑥 −𝑥
3
3! +
𝑥5 5! − ⋯ = ∑(−1)
𝑛−1 𝑥2𝑛−1 (2𝑛 − 1)!
∞
𝑛=1
𝑥 ∈ 𝑅
1
1 − 𝑥 = 1 + 𝑥 + 𝑥
2+ ⋯ = ∑ 𝑥𝑛
∞
𝑛=0
|𝑥| < 1
ln(1 + 𝑥) = −𝑥 −𝑥
2
2 −
𝑥3
3 − ⋯ = ∑ −
𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
∞
𝑛=0
|𝑥| < 1
arctan 𝑥 = 𝑥 −𝑥
3
3 +
𝑥5
5 + ⋯ = ∑(−1)
𝑛 𝑥2𝑛+1 2𝑛 + 1
∞
𝑛=0
|𝑥| ≤ 1
(1 + 𝑥)𝛼 = 1 + ∑𝛼(𝛼 − 1) … (𝛼 − 𝑛 + 1)
𝑛
∞
𝑛=1
|𝑥| < 1
3 Chuỗi Fourier
Tổng quát
𝑓(𝑥) = 𝑎0
2 + ∑(𝑎𝑛cos 𝑛𝑥 + 𝑏𝑛sin 𝑛𝑥) ∀𝑎𝑛, 𝑏𝑛 ∈ 𝑅
∞
𝑛=1 Một số bổ đề ∀𝑝, 𝑘 ∈ 𝑍
1) ∫ sin 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = 0
𝜋
−𝜋
2) ∫ cos 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = 0, 𝑘 ≠ 0
𝜋
−𝜋
3) ∫ cos 𝑘𝑥 sin 𝑝𝑥 𝑑𝑥 = 0
𝜋
−𝜋
Trang 84) ∫ cos 𝑘𝑥 cos 𝑝𝑥 = { 0 , 𝑘 ≠ 𝑝
𝜋, 𝑘 = 𝑝 ≠ 0
𝜋
−𝜋
5) ∫ sin 𝑘𝑥 sin 𝑝𝑥 = { 0, 𝑘 ≠ 𝑝
𝜋, 𝑘 = 𝑝 ≠ 0
𝜋
−𝜋
Các trường hợp đặc biệt
Hàm số f(x) tuần hoàn với chu kì 2π (Thường gặp)
𝑓(𝑥) = 𝑎0
2 + ∑(𝑎𝑛cos 𝑛𝑥 + 𝑏𝑛sin 𝑛𝑥)
∞
𝑛=1
𝑎0 = 1
𝜋∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
𝑎𝑛 = 1
𝜋∫ 𝑓(𝑥) cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 1,2,3, …
𝜋
−𝜋
𝑏𝑛 = 1
𝜋∫ 𝑓(𝑥) sin 𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 1,2,3, …
𝜋
−𝜋
(*) Định lý Dirichlet:
Cho f (x) tuần hoàn với chu kì 2 , đơn điệu từng khúc và bị chặn trên ;
chuỗi Fourier của nó hội tụ tại mọi điểm trên đoạn ; và có S(x) f (x), tại điểm liên tục của f (x)
Còn tại điểm gián đoạn x c có 𝑆(𝑐) = 𝑓(𝑐+0)+𝑓(𝑐−0)
2
(*) Đẳng thức Parseval:
Nếu f(x) thỏa mãn định lý Dirichlet thì thỏa mãn đẳng thức sau:
1
𝜋∫ 𝑓
2(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎0
2
2 + ∑(𝑎𝑛
2 + 𝑏𝑛2)
∞
𝑛=1
𝜋
−𝜋 Hàm số f(x) tuần hoàn với chu kì 2l bất kì
𝑓(𝑥) = 𝑎0
2 + ∑ (𝑎𝑛cos
𝑛𝜋𝑥
𝑙 + 𝑏𝑛sin
𝑛𝜋𝑥
𝑙 )
∞
𝑛=1
𝑎0 = 1
𝑙 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑙
=𝑙
𝑎𝑛 = 1
𝑙 ∫ 𝑓(𝑥) cos
𝑛𝜋𝑥
𝑙 𝑑𝑥 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 1,2,3, …
𝑙
−𝑙
𝑏𝑛 = 1
𝑙 ∫ 𝑓(𝑥) sin
𝑛𝜋𝑥
𝑙 𝑑𝑥 𝑣ớ𝑖 𝑛 = 1,2,3, …
𝑙
−𝑙
Hàm số f(x) là hàm chẵn
→ 𝑓(𝑥) cos 𝑛𝑥 𝑙à ℎà𝑚 𝑐ℎẵ𝑛 , 𝑓(𝑥) sin 𝑛𝑥 𝑙à ℎà𝑚 𝑙ẻ
Trang 9→ 𝑎𝑛 = 2
𝜋∫ 𝑓(𝑥) cos 𝑘𝑥 𝑑𝑥 ; 𝑏𝑛 = 0 ∀𝑛 ∈ 𝑁
𝜋
0
Hàm số f(x) là hàm lẻ
→ 𝑓(𝑥) cos 𝑛𝑥 𝑙à ℎà𝑚 𝑙ẻ, 𝑓(𝑥) sin 𝑛𝑥 𝑙à ℎà𝑚 𝑐ℎẵ𝑛
→ 𝑏𝑛 = 2
𝜋∫ 𝑓(𝑥) sin 𝑘𝑥 𝑑𝑥 ; 𝑎𝑛 = 0 ∀𝑛 ∈ 𝑁
𝜋
0
II Phương trình vi phân cấp một
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′) = 0 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑦′ = 𝑓(𝑥; 𝑦)
1 Phương trình vi phân khuyết
𝐹(𝑥, 𝑦′) = 0
+) 𝑦′ = 𝑓(𝑥) → 𝑦 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
+) 𝑥 = 𝑓(𝑦′), đặ𝑡 𝑦′ = 𝑡 → 𝑥 = 𝑓(𝑡); 𝑦 = ∫ 𝑡𝑓′(𝑡)𝑑𝑡
𝐹(𝑦, 𝑦′) = 0
+) 𝑦′ = 𝑓(𝑦) →𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑓(𝑦) → 𝑑𝑥 =
𝑑𝑦 𝑓(𝑦) → 𝑥 = ∫
1 𝑓(𝑦)𝑑𝑦 +) 𝑦 = 𝑓(𝑦′), đặ𝑡 𝑦′ = 𝑡 → 𝑦 = 𝑓(𝑡); 𝑥 = ∫𝑓
′(𝑡)
𝑡 𝑑𝑡 +) 𝐹(𝑦, 𝑦′) = 0, đặ𝑡 𝑦 = 𝑓(𝑡) → 𝑦′ = 𝑔(𝑡) → 𝑥 = ∫𝑓
′(𝑡) 𝑔(𝑡) 𝑑𝑡
2 Phương trình vi phân phân li biến số
𝑓(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
→ 𝐹(𝑦) = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
3 Phương trình vi phân đẳng cấp (thuần nhất)
𝑦′ = 𝐹 (𝑦
𝑥) +) Đặ𝑡 𝑣 = 𝑦
𝑥 → 𝑦′ = 𝑣 + 𝑥𝑣′
+) 𝐾ℎ𝑖 đó 𝑝𝑡𝑣𝑝 𝑡𝑟ở 𝑡ℎà𝑛ℎ 𝑝𝑡𝑣𝑝 𝑝ℎâ𝑛 𝑙𝑖
4 Phương trình vi phân tuyến tính
𝑦′ + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥) ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥′ + 𝑝(𝑦)𝑥 = 𝑞(𝑦) Nghiệm tổng quát:
𝑦 = 𝑒− ∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 [∫(𝑞(𝑥) 𝑒∫ 𝑝(𝑥)𝑑𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶 ]
5 Phương trình Bernoulli
𝑦′ + 𝑝(𝑥)𝑦 = 𝑞(𝑥)𝑦𝛼 ℎ𝑜ặ𝑐 𝑥′ + 𝑝(𝑦)𝑥 = 𝑞(𝑦)𝑥𝛼 +) 𝑁ế𝑢 𝛼 = 1 → 𝑦′ + 𝑦[𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥)] = 0 → 𝑃𝑇𝑉𝑃 𝑡ℎ𝑢ầ𝑛 𝑛ℎấ𝑡
Trang 10+) 𝑁ế𝑢 𝛼 ≠ 1 → 𝑦−𝛼 𝑦′ + 𝑝(𝑥)𝑦1−𝛼 = 𝑞(𝑥)
Đặ𝑡 𝑧 = 𝑦1−𝛼 → 𝑧′ = (1 − 𝛼)𝑦−𝛼 𝑦′ → 𝑦−𝛼 𝑦′ = 𝑧
′
1 − 𝛼 𝑇ℎ𝑎𝑦 𝑣à𝑜 𝑃𝑇 𝑡𝑎 đượ𝑐:
1
1 − 𝛼𝑧
′+ 𝑝(𝑥)𝑧 = 𝑞(𝑥) → 𝑧′+ (1 − 𝛼)𝑝(𝑥)𝑧 = (1 − 𝛼)𝑞(𝑥)
→ 𝑃𝑇𝑉𝑃 𝑡𝑢𝑦ế𝑛 𝑡í𝑛ℎ
6 PTVP toàn phần
𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛 𝑄𝑥′ = 𝑃𝑦′
𝑁𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑃𝑇𝑉𝑃 𝑙à:
∫ 𝑃(𝑥, 𝑦0)𝑑𝑥 + ∫ 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 𝐶
𝑦
𝑦0
𝑥
𝑥0
ℎ𝑜ặ𝑐 ∫ 𝑄(𝑥0, 𝑦)𝑑𝑦 + ∫ 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 𝐶 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 đó 𝑥0, 𝑦0 𝑡ù𝑦 𝑐ℎọ𝑛
𝑥
𝑥0
𝑦
𝑦0
(*)Nhân tử tích phân: PT 𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 không phải là PTVP toàn
phần nếu tồn tại hàm số h(x,y) sao cho:
ℎ(𝑥, 𝑦)[𝑃(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦] = 0 𝑙à 𝑃𝑇𝑉𝑃 𝑡𝑜à𝑛 𝑝ℎầ𝑛
[ℎ(𝑥, 𝑦)𝑃(𝑥, 𝑦)]𝑦′ = [ℎ(𝑥, 𝑦)𝑄(𝑥, 𝑦)]𝑥′ → ℎ(𝑥, 𝑦) 𝑔ọ𝑖 𝑙à 𝑛ℎâ𝑛 𝑡ử
(*)Cách tìm nhân tử h(x,y)
𝑇𝐻1: 𝑁ế𝑢𝑃𝑦
′ − 𝑄𝑥′
𝑄 = 𝐼 𝑐ℎỉ 𝑝ℎụ 𝑡ℎ𝑢ộ𝑐 𝑣à𝑜 𝑥 𝑡ℎì ℎ(𝑥) = 𝑒
− ∫ 𝐼𝑑𝑥
𝑇𝐻2: 𝑁ế𝑢𝑃𝑦
′ − 𝑄𝑥′
′ 𝑐ℎỉ 𝑝ℎụ 𝑡ℎ𝑢ộ𝑐 𝑣à𝑜 𝑦 𝑡ℎì ℎ(𝑦) = 𝑒∫ 𝐼′𝑑𝑦
CHÚC MỌI NGƯỜI THI TỐT, FULL A+ <3