Mình xin gửi mọi người phần tổng hợp các tiêu chuẩn, định lý, tính chất cơ bản về chuỗi số trong Giải Tích 3. Để kiến thức được chuẩn thì trong đây đều là kiến thức mình Latex lại từ giáo trình thầy Bùi Xuân Diệu. Có sai sót thì mong mọi người thông cảm.
Trang 1CÁC TIÊU CHUẨN VÀ ĐỊNH LÝ VỀ CHUỖI
LATEX by Trần Thành Luân - CLB Hỗ trợ học tập
Định lý 1 (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ)
Nếu chuỗi số
∞
∑
n=1
là hội tụ thì lim
n→∞an= 0
I Chuỗi số dương
1 Tiêu chuẩn tích phân
Định lý 2 Cho f (x) là một hàm số liên tục, dương, giảm trên đoạn [1, ∞) và an= f (n) Khi chuỗi số
∞
∑
n=1
anvà
tích phân suy rộng
∞
ˆ
1
f(x)dx có cùng tính chất hội tụ hoặc phân kỳ Nói cách khác,
• Nếu
∞
ˆ
1
f(x)dx là hội tụ thì
∞
∑
n=1
ancũng là hội tụ
• Nếu
∞
ˆ
1
f(x)dx là phân kỳ thì
∞
∑
n=1
ancũng là phân kỳ
2 Các tiêu chuẩn so sánh
Định lý 3 Cho hai chuỗi số dương
∞
∑
n=1
anvà
∞
∑
n=1
bncó an≤ bnvới mọi n hoặc kể từ một số n nào đó Khi đó
• Nếu
∞
∑
n=1
bnlà hội tụ thì
∞
∑
n=1
ancũng là hội tụ
• Nếu
∞
∑
n=1
anlà phân kỳ thì
∞
∑
n=1
bncũng là phân kỳ
Định lý 4 Cho hai chuỗi số dương
∞
∑
n=1
anvà
∞
∑
n=1
bnthoả mãn
lim
n→∞
an
bn
= c > 0
Khi đó
∞
∑
n=1
anvà
∞
∑
n=1
bncó cùng tính chất hội tụ hoặc phân kỳ
3 Tiêu chuẩn d’Alambert
Định lý 5 Giả sử tốn tại lim
n→∞
an+1
an
= L Khi đó
• Nếu L < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ
• Nếu L > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ
Trang 24 Tiêu chuẩn Cauchy
Định lý 6 Giả sử tốn tại lim
n→∞
n
√
an= L Khi đó
• Nếu L < 1 thì chuỗi đã cho hội tụ
• Nếu L > 1 thì chuỗi đã cho phân kỳ
II Chuỗi với số hạng có dấu bất kỳ
1 Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ
Định lý 7 Nếu
∞
∑
n=1
|an| là hội tụ thì
∞
∑
n=1
cũng là hội tụ
Định nghĩa 1 Hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ Chuỗi
∞
∑
n=1
anđược gọi là
• Hội tụ tuyệt đối nếu
∞
∑
n=1
|an| là hội tụ
• Bán hội tụ nếu
∞
∑
n=1
anhội tụ còn
∞
∑
n=1
|an| phân kỳ
2 Chuỗi đan dấu
∞
∑
n=1
(−1)nan
!
Định lý 8 Xét chuỗi đan dấu
∞
∑
n=1
(−1)nan, Nếu {an}∞
1 là một dãy số dương, giảm và lim
n→∞an= 0 thì
∞
∑
n=1
(−1)nanhội tụ, và
∞
∑
n=1
(−1)nan< a1
3 Chuỗi đặc biệt
∞
∑
n=1
anbn
!
Tiêu chuẩn 1 (Tiêu chuẩn Dirichlet) Nếu
• Dãy các tổng riêng của chuỗi
∞
∑
n=1
anbị chặn
• bnlà dãy đơn điệu hội tụ đến 0
thì
∞
∑
n=1
anbnhội tụ
Tiêu chuẩn 2 (Tiêu chuẩn Abel) Nếu
•
∞
∑
n=1
anhội tụ
• bnlà một dãy đơn điệu bị chặn
thì chuỗi số
∞
∑
n=1
anbnhội tụ
Trang 3III Chuỗi hàm số
∞
∑
n=1
un(x)
1 Chuỗi hàm số hội tụ
Định nghĩa 2 Cho dãy các hàm số {an(x)},
• Chuỗi hàm số
∞
∑
n=1
un(x) được gọi là hội tụ tại x = x0nếu chuỗi số
∞
∑
n=1
un(x0) hội tụ
• Chuỗi hàm số
∞
∑
n=1
un(x) được gọi là phân kỳ tại x = x0nếu chuỗi số
∞
∑
n=1
un(x0) phân kỳ
Tập hợp các điểm hội tụ của
∞
∑
n=1
un(x) được gọi là miền hội tụ
2 Chuỗi hàm số hội tụ đều
Định nghĩa 3 Chuỗi hàm số
∞
∑
n=1
un(x) hội tụ đều đến S(x) trên tập X nếu ∀ε > 0, ∃n(ε) ∈ N :
|Sn(x) − S(x)| < ε, ∀n > n(ε), ∀x ∈ X
• n(ε) chỉ phụ thuộc vào ε mà không phụ thuộc vào x
• Ý nghĩa hình học: với n đủ lớn thì Sn(x) nằm hoàn toàn trong dải (S(x) − ε, S(x) + ε) , x ∈ X
Định lý 9 (Tiêu chuẩn Cauchy) Cho chuỗi hàm số
∞
∑
n=1
un(x) hội tụ đều trên tập X nếu ∀ε > 0, ∃n(ε) ∈ N:
Sp(x) − Sq(x) < ε, ∀p, q > n, ∀x ∈ X
Định lý 10 (Tiêu chuẩn Weierstrass) Nếu:
• |un(x)| ≤ an, ∀n ∈ N, ∀x ∈ X
• chuỗi số
∞
∑
n=1
anhội tụ
thì chuỗi hàm số
∞
∑
n=1
un(x) hội tụ tuyệt đối và đều trên X
3 Các tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều
Định lý 11 (Tính liên tục) Nếu
• un(x) liên tục trên X với mọi n
• chuỗi
∞
∑
n=1
un(x) hội tụ đều về S(x) trên X thì S(x) liên tục trên X , ví dụ:
Trang 4Định lý 12 (Tính khả vi) Nếu
• un(x) khả vi liên tục trên (a, b) với mọi n
• chuỗi
∞
∑
n=1
un(x) hội tụ về S(x) trên (a, b)
• chuỗi
∞
∑
n=1
u0n(x)hội tụ đều trên (a, b) thì S(x) khả vi trên (a, b) và
S0(x) =
∞
∑
n=1
un(x)
!0
=
∞
∑
n=1
u0n(x)
IV Chuỗi luỹ thừa
∞
∑
n=1
anxn
!
Định lý 13 (Định lý Abel) Nếu chuỗi luỹ thừa
∞
∑
n=1
anxn hội tụ tại x 6= 0, thì nó cũng hội tụ tại mọi điểm mà
|x| < |x0|
Định lý trên dẫn tới các hệ quả:
Hệ quả 1 Nếu chuỗi luỹ thừa
∞
∑
n=1
anxnphân kỳ tại x06= 0, thì nó cũng phân kỳ tại mọi điểm x mà |x| < |x0|
Hệ quả 2 Với mỗi chuỗi luỹ thừa
∞
∑
n=1
anxncho trước, chỉ có 3 khả năng sau có thể xảy ra:
• Chuỗi hội tụ tại điểm duy nhất x = 0
• Chuỗi hội tụ tại mọi điểm x ∈ R
• Tồn tại một số thực R sao cho chuỗi đã cho hội tụ nếu |x| < R và phân kỳ nếu |x| > R
Chú ý Về cách tìm bán kính nội tụ R ta áp dụng tiêu chuẩn d’Alambert hoặc tiêu chuẩn Cauchy để giải.
1 Các tính chất của chuỗi luỹ thừa.
Định lý 14 Giả sử rằng chuỗi luỹ thừa
∞
∑
n=1
anxncó bán kính hội tụ bằng R > 0 và đặt f (x) =
∞
∑
n=1
anxnvới |x| < R Khi đó
• Chuỗi luỹ thừa hội tụ đều trên mọi đoạn [a, b] ⊂ (−R, R)
• f (x) là hàm số liên tục trên (−R, R)
• f (x) là hàm số khả vi (và do đó liên tục) trên khoảng (−R, R) và
f0(x) =
∞
∑
n=0
d
dxanx
ndx
= a1+ 2a2x+ · · · + nanxn−1+ · · ·
Trang 5• f(x) là hàm số khả tích trên mọi đoạn [a, b] ⊂ (−R, R) và
ˆ x
0
f(t)dt = a0x+ a1x
2
2 + · · · + an
xn+1
n+ 1+ · · ·
...IV Chuỗi luỹ thừa
∞
∑
n=1
anxn
!
Định lý 13 (Định lý Abel) Nếu chuỗi. .. X
• chuỗi số
∞
∑
n=1
anhội tụ
thì chuỗi hàm số
∞
∑
n=1...
• chuỗi
∞
∑
n=1
un(x) hội tụ S(x) (a, b)
• chuỗi
∞
∑
n=1
