Bai so 3 - giải tích 3 BKHN

Tài liệu học tập môn Giải tích 3. Các em vào bằng máy tính sẽ dễ dàng nhận tài liệu hơn nha. Em nào chưa biết truy cập tài liệu thì xem video ad ghim ở đầu trang nhé

2 Các tính chất của chuỗi lũy thừa

Giả sử chuỗi lũy thừa có bán kinh HT là

TC1: Chuỗi lũy thừa HT đều trên

TC2: liên tục trên

TC3: Với mọi nằm trong khoảng thì

TC4: Tại mọi ta có

=

3 Ứng dụng tính tổng của chuỗi

VD: Tính tổng (1)

Giải: Đặt f

Ta có

Khoảng HT

• HT theo Leibnitz.

• FK Miền HT

•

$4 Chuỗi Taylor, chuỗi Maclaurent

1 Chuỗi Taylor

1.1 ĐN i) Giả sử hàm có đạo hàm vô hạn lần trong lận cận của , ký hiệu là

( chuỗi

(1)

Gọi là chuỗi Taylor của hàm lân cận của

ii) Nếu (1) HT và có tổng đúng bằng gọi là khai triển được thành chuỗi Taylor trong lân cận của

Ta biết

+

trong đó là điểm nằm giữa

Đặt

•

1.2 Điều kiện khai triển được thành chuỗi Taylor

Định lý 1 Giả sử hàm số có đạo hàm vô hạn lần trong lân cận của khi đó hàm khai triển được thành chuỗi Taylor lân cận đó khi và chỉ khi

Định lý 2 Nếu trong lân cận của hàm có đạo hàm vô hạn lần và tồn tại sao cho thì khai triển được thành chuỗi Taylor trong

2 Chuỗi Maclaurent Khi thì chuỗi Taylor gọi là chuỗi Maclaurent

(2)

3 Khai triển một số hàm sơ cấp cơ bản thành chuỗi lũy thừa

3.1 Hàm

Với a có và < Vậy có thể khai triển thành chuỗi Taylor trong khoảng mà tùy ý nên có thể khai triển thành chuỗi Taylor trên R

•

3 Khai triển một số hàm sơ cấp cơ bản thành chuỗi lũy thừa (tiếp)

3.2 Hàm

có thể khai triển thành chuỗi Maclaurent

Ta có

+

3.3 Hàm

có thể khai triển thành chuỗi Maclaurent

Ta có

cos+

•

3 Khai triển một số hàm sơ cấp cơ bản thành chuỗi lũy thừa (tiếp)

3.4 Hàm số

;

không thỏa mãn đk của Đinh lý 2

với

với

+ với

3.5 Hàm số

với

với

•

3 Khai triển một số hàm sơ cấp cơ bản thành chuỗi lũy thừa (tiếp)

3.6 Hàm số

Chuỗi Maclaurent củaHT về :

VD: Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa của

Giải: với

•

$4 Chuỗi Fourier

1 Chuỗi lượng giác, chuỗi Fourier

ĐN: gọi là chuỗi lượng giác

ĐN: i) Giả sử hàm xác định, khả tích trên đoạn , tuần hoafn chu kỳ Khi đó các hệ số

gọi là các hệ số Fourier của và chuỗi

(1) gọi là chuỗi Fourier của

ii) Nếu chuỗi Fourier (1) của HT và có tổng bằng thì hàm số gọi là khai triển được thành chuỗi Fourier Khi đó

•

Chuỗi Fourier (tiếp)

Nhận xét: Nếu là hàm chẵn thì Khi đó chuỗi Fourier của hàm chỉ có các hàm số cosine:

(khai triển Fourier hàm chẵn)

Nếu là hàm lẻ thì Khi đó chuỗi Fourier của hàm chỉ có các hàm sin: (khai triển Fourier hàm lẻ)

2 Các Định lý

Định lý 1(Dirichlet) : Nếu là hàm số tuần hoàn chu kỳ và liên tục từng khúc trên thì chuỗi

Fourier của HT trên và có tổng

Định lý 2 Nếu là hàm số tuần hoàn chu kỳ liên tục và liên tục từng khúc trên thì chuỗi

Fourier của HT đều trên và có tổng đúng bằng

•

VD Khai triển thành chuỗi Fourier hàm tuần hoàn chu kỳ xác định bởi

khoảng

Giải: là hàm lẻ

Nhận xét:

•

3 Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn chu kỳ

tuần hoàn chu kỳ 2l khả tích trên

Dùng phép đổi biến tuần hoàn chu kỳ

•

VD Khai triển thành chuỗi Fourier hàm tuần hoàn  

Giải: là hàm chẵn

Thay vào ta có

•