CHUYEN DE TINH TONG THEO QUY LUAT

[r]

chủ đề 1: toán tính tổng theo quy luật

3 4=

1

3−

1 4

999 1000=

1

999 −

1 1000

3 4=

1

3−

1 4

3 4=

1

3−

1 4

.

1 (n −1) n=

3 4=

1

3−

1 4

VËy S = 1

2 (S1 - S2)= 1

2(n −1 n −

n n+1)= 1

Gi¶iC¸ch 1:Ta cã: S = 1+ 2+ 3+ 4+ +n

b=0 c=−1

6x +d (d tuú ý)

- cx2 + 2cx – c – dx + d - e <=> x3 = 4ax3 + (3b – 6a)x2 + (4a – 3b + 2c)x – a + b – c + d

2x

3 + 1

4 x

2 +e (e tuú ý)

+ 4 3 + +n 3

=(14n

4 + 1

2n

3 + 1

4n

2 +e)−(41 0

4 + 1

2 0

3 + 1

4 0

2 +e)= 1

4n

4 + 1

2n

3 + 1

4n2

Bµi 16: TÝnh tæng: S = 13 + 33 + 53 + + (2n - 1)3

Gi¶i:

<=>8x3 – 12x2 + 6x -1 = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e – ax4 + 4ax3 – 6ax2 + 4ax – a – bx3 + 3bx2 – 3bx + b - cx2 + 2cx – c – dx + d - e

<=> 8x3 – 12x2 + 6x -1 = 4ax3 + (3b – 6a)x2 + (4a – 3b + 2c)x – a + b – c + d

<=>8x3 = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e – ax4 + 4ax3 – 6ax2 + 4ax – a – bx3 + 3bx2 – 3bx + b -

cx2 + 2cx – c – dx + d - e

<=> 8x3= 4ax3 + (3b – 6a)x2 + (4a – 3b + 2c)x – a + b – c + d

<=> x4 = ax5+ bx4 + cx3 + dx2 + ex – ax5 + 5ax4 – 10ax3 +10ax2 -5ax + a – bx4 + 4bx3 - 6bx2 + 6bx – b – cx3 + 3cx2 – 3cx + c – dx2 + 2dx – d – ex + e

<=> x4 = 5ax4 + (4b – 10a)x3 + (10a -6b + 3c)x2 + (6b – 5a - 3c + 2d)x + a – b + c – d + e

+ 2 4 +3 4

+ 4 4 + +n4

= 1

5n

5 + 1

2n

4 + 1

3n

3−1

2n

2 + 8

15 n+g−(15 0

5 + 1

2 0

4 + 1

3 0

3−1

2 0

2 + 8

15 0+g)

S=1

5n

5 + 1

2n

4 + 1

3 +n2+ 2

3n+d)−d S=1

n3 +n2 +2 n 2 +2 n

n2 (n+1)+2n (n+1)

3(1+3+32)=3 13 ⋮13

¿

34(1+3+32)=34.13 ⋮13 .

1 (x +2)(x+3)+ +

1 (x+99)(x +100)

Gi¶i:

1 (x+2)(x +3)+ .+

1 (x+99)( x+100)

1 (x +2)(x+3)+

1 (x+3)( x+4)+

1 (x+4)(x +5)

1 (x +2)(x+3)+

1 (x+3)(x +4)+

1 (x+4)(x +5)

A=1 −√2006

2006 =

2006 −√2006 2006

9 S

2 =10

1 +102+ 103+ +10n − n

9 S

2 +n=10

1 +102+103+ +10n(∗)

Vây, bất đẳng thức thứ nhất đợc chứng minh.

Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức còn lại Hiển nhiên ta có:

áp dụng (*) ta có:

4 3 < 1

3 4 5

1

n3<

1 (n −1) n (n+1)

1 4 1

n3 < 1 (n −1) n (n+1)

Bài 44: Tìm tỉ số của A và B biết rằng:

Bài 45: Chứng minh rằng bất đẳng thức sau với n ∈ N , n ≥2

3 4=

1

3−

1 4 .

8 4 +4

18 4 + 4

20 4 + 4

8 4 +4

18 4 + 4

20 4 + 4=

(3 2 +1)(1 2

+ 1)(5 2 +1)(7 2

+ 1) (17 2 +1)(19 2

+ 1) (3 2 +1)(5 2

+ 1)(7 2 + 1)(9 2 + 1) (19 2 +1)(21 2

b> Cho xyz = 1 H·y tÝnh tæng sau: 1

Bµi 51: §Ò thi häc sinh giái líp 8 huyÖn TÜnh Gia n¨m häc 2009 – 2010

Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ≥1 ta cã:

1

¿

¸p dông (*) ta cã:

1

2 2 + 3 2 < 1

n2 + ¿

2003 +

5

2004 −

5 2005

2002+

3

2003−

3 2004

4013 2 +1 4

=

2 4

4013 2 +1 4

4013 2 +1

Bµi 58: T×m x (§Ò thi HSG huyÖn TÜnh Gia – Líp 7)

c) a< b a.c < b.c (víi c > 0)

a< b a.c > b.c (víii c < 0)

Bài toán áp dụng:

Bài 1 Chứng minh rằng, nếu a>b và ab> 0 thì:

⇔

¿ 1

2(a+b+c )>a1

2(a+b+c)>b1

2(a+b+c )>c

⇔

¿a+b+c >2 a a+b+c>2b a+b+c>2 c

⇔

¿b+c >a a+c>b a+b>c

¿ { {

¿

(luôn đúng – bất đẳng thức tam giác - đfcm)

Cách 2: Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

4 ≥ a

2

b3a+c+

b (a+c)

4 ≥ b

2

c3b+a+

2 +b2 +c2 )−1

2[a2 +b2 +c2]=a2

+b2 +c2

1 2

2ab + 2ac + 2bc

⇔ (a2 - 2ab + b2) + (a2 -2ac + c2) + (b2 – 2bc + c2)

a3b+c+

a(b+c)

4 ≥ a

2

b3a+c+

b (a+c)

4 ≥ b

2

c3b+a+

2 +b2 +c2 )−1

2[a2 +b2 +c2]=a2+b2+c2

1 2

0

⇔ (a - b)2 + (a - c)2 + (b - c)2

a3b+c+

a(b+c)

4 ≥ a

2

b3a+c+

b (a+c)

4 ≥ b

2

c3b+a+

2 +b2 +c2 )−1

2[a2 +b2 +c2]=a2

+b2 +c2

1 2

(√a+2+√a+4)2=2 a+6+2√(a+2)(a+4)=2 a+6+2√a2 +6 a+8

(√a+√a+6)2=2 a+6+2√a (a+6)=2a+6+2√a2+6 a

Do: 2√a2+6 a+8>2√a2+6 a nªn:

(√a+2+√a+4)2>(√a+√a+6)2

⇔√a+2+√a+4>√a+√a+6

Bµi 5: Chøng minh r»ng a> 0, b> 0 th×:

a b a b Chøng minh:

Bài 6: Chứng minh rằng, nếu a 0,b 0 thì a3b3ab a b(  )

đẳng thức xảy ra khi nào?Chứng minh:

(a+b)¿

(2) đúng nên: a3b3ab a b(  )

(đfcm)Dấu “=” xảy ra khi a = b

Bài 7: Chứng minh rằng: a2 ab b 2 0  với mọi số thực a, b

a4b4 a b b a3  3

(®fcm)Bµi 9: Chøng minh r»ng a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c th×: a2 + b2 + c2 < 2(ab +bc + ac)

(ax+by)  (a b )(x y ), x y a b R, , , 

Chøng minh:

4 ⇔2 ax+2 by ≥ ax+ay+bx +by

⇔ax +by − ay − bx ≥0 ⇔ a(x − y )− b(x − y)≥ 0 ⇔( x− y)(a −b )≥ 0

+b2d2 + 2abcd

c a+b<2

Do a, b, c lµ ba c¹nh cña tam gi¸c nªn: a>0; b>0 ; c> 0

= -3a2b – 3ab2 = -3ab(a + b) = -3ab.(-c) = 3abc (®fcm)

Bµi 28: Cho abc = 1 vµ a3>36

Chøng minh r»ng:

a2

3 +b

2 +c2> ab+bc+ca

Chøng minh:

a2

3 +b

2 +c2> ab+bc+ca

⇔ a2

3+b

2 +c2−ab − bc − ca>0

x2 +y2

4 +b

2 +c2− ab+ac − 2 bc ≥ 0

c b+c+d+

d a+c +d<2

Chøng minh:

Víi a ;b ;c ;d+¿ ∈ Z¿ th×:

a a+b+c +d<

a a+b+c<

a a+b

¿

b a+b+c+d<

b a+b+d<

b a+b c

a+b+c+d<

c b+c +d<

c c+d d

a+b+c+d<

d a+c+d<

d c+d

c b+c+d+

d a+c+d<1+1=2 (dfcm)

Bµi 38: Gi¶i ph¬ng tr×nh:

x y z    4 2 x 2 4  y 3 6  z 5

(1)Gi¶i:

2 ab+

1 2ab+

ac abc +√

ab abc )≤ 1

Bµi 48: Cho 0 ≤ a , b≤ 1 Chøng minh r»ng:

¿

b√(a − 1).1 ≤ b a −1+1

ab 2

−c b+c+

− a

c +a+3b

a+b>

b a+b+c

¿

c b+c>

c a+b+c a

c +a>

a a+b+c

c b+c+

a

c +a)<−1 ⇔−(a+v b +

c b+c+

a c+a)+3<− 1+3=2 { {

áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:

P≤(a+b+c3 )3.(a+b +b+c+c+a3 )3=(13)3(23)3= 8

729(dfcm)Bài 52:Cho a2+b2=1 CMR: a√b+1+b√a+1 ≤√2+√2

áp dụng bất đẳng thức (1) cho vế trái ta đợc:

a√b+1+b√a+1 ≤√(a2+b2)(a+b+2)=√1 a+.1 b+2 ≤√2+√(12+ 12)(a2+b2)=√2+√2(dfcm)Bài 53: Cho 3 số thực a, b, c sao cho: a2 + b2 + c2 =1 Chứng minh rằng:

b+c − a¿2≤ a2b2c2

(∗) a+c −b¿2¿

Do đó (*) ⇔(a+b − c)(b+c −a)(c +a − b)≤ abc (dfcm)

Bài 56: Chứng minh rằng nếu: a2 + b2 = c2 + d2 =1995 thì

4≥ b(2)

c2 + 1

4≥ c (3)

d2+ 1

4≥ d(4)

Cộng các đẳng thức (1); (2); (3) và (4) ta đợc: a2 +b2+ c2 + d2 + 1 a + b + c + d (dfcm)Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=d =1

2Bài 59: Chứng minh rằng nếu: a

b+c+

b

c +a+

c a+b=1 thì a

b c b

a) Cho a>c; b>c; c>0 Chứng minh rằng: √c (a − c)+√c (b −c )≤√ab

b) Cho a>0; b>0 Chứng minh rằng: 2√ab

√a+√b ≤√√abChứng minh:

(x3

+y3 )+(z3 +xyz)≥2 xy√xy +2 z2

√xy=2√xy (xy+z2

)≥ 4√xy z√xy=4 xyz

⇔ x3 +y3+z3+xyz ≥ 4 xyz ⇔ x3

Bài 66: Cho a>0; b>0; c>0 Chứng minh bất đẳng thức:

c +a

4 ≥ 2√b2(c +a)

4 (c +a)=b

c2a+b+

c2a+b)(a+b+c)≥ (a+b+c )2

c2

c +a ≥

a+b+c

2 với các số dơng a, b, c (Cách chứng minh tơng tự bài 66)

Bài 68: Cho a>0; b>0; c>0; d>0 Chứng minh rằng:

a2

a+b+

b2b+c+

c2

c +d+

d2d+a ≥

a+b+c+d

2 (Cách chứng minh tơng tự bài 66)

Bài 69: Chứng minh bất đẳng thức sau với các số dơng a, b, c, d:

√(a+b)(c +d )≥√ac+√bd

Do a, b, c lµ ba c¹nh cña tam gi¸c nªn:

√c2 +a2

<√b2 + 2 ac (6)

Bµi 71: Cho |x|,|y| <1 CMR:

− y 1+ y ⇔ x

1+x ≥

y 1+ y(dfcm)(∗)

Ta cã: a

b ≤ 1⇒ a

b ≤

a+m b+m ;(m ≥0) ¸p dông:

Bµi 74: Cho a, b, c lµ 3 sè d¬ng vµ a2

+b2 +c2≥ 1 CMR:

S= a

3

b+c+

b3c+a+

c3a+b ≥

1 2

Chứng minh:

áp dụng bất đẳng thức cosi

a3b+c+

a(b+c)

4 ≥ a

2

b3a+c+

b (a+c)

4 ≥ b

2

c3b+a+

2 +b2 +c2 )−1

2[a2 +b2 +c2]=a2

+b2 +c2

1 2

√abbc+

4 4

c

d +2 a+3 b+

d a+2 b+3 c

Taco :

a b+2 c +3 d+

b+2 c +3 d

36 a ≥ 2√36 a a(b+2 c+3 d)=

1 3

b c+2 d+3 a+

c +2 d+3 a

36 b ≥ 2√b(c+2 d +3 a)

1 3

d a+2 b+3 c+

a+2 b+3 c

36 d ≥2√d (a+2 b+3 c )

1 3