Do đó, mọi phân số có tử lớn hơn 1 đều được viết dưới dạng tổng các phân số có tử bằng 1 và mẫu khác nhau.. Có lẽ Ấn Độ là nơi đầu tiên xuất hiện cách viết phân số như ngày nay.[r]
Trang 1Chủ đề 2: ĐƯỜNG THẲNG – TAM GIÁC ! I-ĐƯỜNG THẲNG VUễNG GểC – ĐƯỜNG THẲNG SONG
SONG.
1-Hai gúc đối đỉnh: là hai gúc mà mỗi cạnh của gúc này là tia đối của
một cạnh của gúc kia
Hai đờng thẳng cắt nhau tạo thành hai cặp góc đối đỉnh
Hình 1
**Tớnh chất: 2 gúc đối đỉnh thỡ bằng nhau.
2-Hai đường thẳng vuụng gúc: Hai đờng thẳng xx’ và yy’ cắt nhau và
trong các góc tạo thành có một góc vuông đợc gọi là hai đờng thẳng vuông góc Kí hiệu: xx’yy’.
*Tính chất: Có một và chỉ một đờng thẳng a’ đi qua O
và vuông góc với đờng thẳng a cho trớc
3-Đ ờng trung trực của đoạn thẳng: Đờng thẳng vuông góc với một
đoạn thẳng tại trung điểm của nó đợc gọi là đờng trung trực của đoạn thẳng
ấy
4-Cỏc gúc tạo bởi một đường thẳng cắt 2 đường thẳng.
Gúc so le trong –gúc đồng vị
-
A1 và B 3; A 4 và B 2 đợc gọi là hai góc so le
trong
-
A1 và B 1; A 2 và B 2; A 3 và B 3; A 4 và B 4 đợc
gọi là hai góc đồng vị
***Tính chất: Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng thẳng a và b và trong các góc
tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì:
a) Hai góc so le trong còn lại bằng nhau
b) Hai góc đồng vị bằng nhau
5-Hai đường thẳng song song:
-Nếu hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song -Nếu hai góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song
*** Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song :
Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau ) thì a và b song song với nhau
Ký hiệu : a // b.
Tiên đề Ơ-Clit : Qua một điểm ở ngoài một đờng thẳng chỉ có một đờng
thẳng song song với đờng thẳng đó
***Tính chất của hai đ ờng thẳng song song:
Nếu một đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song thì:
a) Hai góc sole trong bằng nhau
b) Hai góc đồng vị bằng nhau
c) Hai góc trong cùng phía bù nhau
GT a//b, c cắt a tại A, cắt b tại B
KL A 4 = B 2; A 3 = B 1;A 4 = B 4; A 3 = B 3;A 2 = B 2; A 1 = B 1;
A4 + B 1 = 1800;
A3 + B 2 = 1800
Quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song :
GT ac
KL a) nếu bc => a//b
b) nếu a//b => bc
Trang 2x O y
m
z
n
**Tớnh chất: -Hai đường thẳng phõn biệt cựng vuụng gúc với một đường thẳng thứ 3 thỡ chỳng song
song với nhau
-Một đường thẳng vuụng gúc với một trong hai đường thẳng song song thỡ nú cũng vuụng gúc với đường thẳng kia
7 Ba đ ờng thẳng song song.
Hai đờng thẳng phân biệt cùng song song với một đờng thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau
8.
Định lí: là một khẳng định suy ra từ những khẳng định đợc coi là đúng.
**Chứng minh định lí: là dựng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận
VD: Chứng minh định lý: Gúc tạo bởi hai tia phõn giỏc của hai gúc kề bự là một gúc vuụng.
Giải:
GT
xOz¿ = zOy¿ kề bự
Om : tia phõn giỏc của xOz¿
On : tia phõn giỏc của zOy¿
KL
mOn¿ =90o Ch
ứ ng minh:
Ta cú: mOz¿ =1
2xOz
¿
(1) (Vỡ Om là tia phõn giỏc của xOz¿ )
zOn¿ =1
2zOy
¿
(2) (Vỡ On là tia phõn giỏc của zOy¿ ).
Do đú, từ (1) và (2), ta cú mOz¿ +zOn¿ =1
2(xOz
¿
+zOy¿ )
(3)
Vỡ tia Oz nằm giữa hai tia Om, On và vỡ xOz¿ và zOy¿ kề bự (theo giả thiết), nờn từ (3) ta cú :
mOn¿ =1
2ì180
o
=90o
II-TAM GIÁC
1-Tổng ba góc của một tam giác:
Định lý:Tổng ba góc của một tam giác bằng 180.
a)Tam giác vuông: là tam giác có một góc vuông
Định lí: Trong một tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.
b)Góc ngoài của tam giác: Góc ngoài của một tam giác là góc kề bù với một
góc của tam giác ấy ACx¿ Mỗi gúc ngoài của tam giỏc bằng tụ̉ng hai gúc
trong khụng kề với nú
VD: Tính x, y trên hình vẽ
⇒x=900−500=400
Δ ABC có: ^A=900 ⇒ y=900−500=400
Trang 3B E
2) Ta cã M ^D I lµ gãc ngoµi cña Δ MND nªn x=430+700=1130
⇒ y=1800− ( 430+1130)
⇒ y=240
2-Hai tam gi¸c b»ng nhau: lµ hai tam gi¸c cã c¸c c¹nh t¬ng øng b»ng nhau, c¸c gãc t¬ng øng
b»ng nhau
ABC = A’B’C’
-Hai tam giác ABC và A’B’C’ như trên được gọi là hai tam giác bằng nhau
-Hai đỉnh A và A’, B và B’, C và C’ gọi là hai đỉnh tương ứng
Hai góc A và A’, B và B’, C và C’ gọi là hai góc tương ứng
Hai cạnh AB và A’B’, AC và A’C’, BC và B’C’ gọi là hai cạnh tương ứng
a)Tr êng hîp b»ng nhau c¹nh - c¹nh - c¹nh (c.c.c): nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của
tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau
VD:
H×nh 68:
XÐt ACB vµ ADB cã:
AC = AD (c)
BC = BD (c)
AB: c¹nh chung (c)
=> ACB = ADB (c.c.c)
H×nh 69:
XÐt MNQ vµ PQM cã:
MN = QP (c)
NQ = PM (c) MQ: c¹nh chung (c) => MNQ = QPM (c.c.c)
b)
Tr êng hîp b»ng nhau c¹nh - gãc - c¹nh (c.g.c): Nếu hai cạnh
và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó
bằng nhau
NÕu ABC vµ A’B’C’ cã
AB=A ' B '
B¿=B '¿ BC=B' C '}⇒Δ ABC= ΔA' B ' C '
(c g c )
Hệ quả: (Hệ quả cũng là một định lý, nó được suy ra trực tiếp từ một định lý hoặc một tính chất được
thừa nhận).
-Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau
c)
Tr êng hîp b»ng nhau gãc-c¹nh-gãc (g.c.g): Nếu một cạnh và hai
góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác
kia thì hai tam giác đó bằng nhau
VD: Δ ABC và Δ A’B’C’ có:
B¿= B'¿ ;BC=B' C ';C¿= C '¿
Th× Δ ABC = Δ A’B’C’ (g.c.g)
HÖ qu¶:
của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và
một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì
hai tam giác vuông đó bằng nhau
A
B ’ C ’
A ’
Trang 4A C B
2-Nếu cạnh huyền và một gúc nhọn của tam giỏc vuụng này bằng cạnh huyền và một gúc nhọn của tam giỏc vuụng kia thỡ hai tam giỏc vuụng đú bằng nhau
VD: Cho Δ ABC có B= ^C ^ Tia phân giác ^B cắt AC ở D, tia phân giác ^C cắt AB ở E
So sánh: BD và CE
Giải:
GT Δ ABC , B= ^C ^ , phân giác BD và
CE, ( D∈AC , E∈AB )
KL So sánh: BD và CE
Ch
ứng minh:
Xét Δ BEC và ΔCDB có:
^
B= ^C (giathiet )
^C1= ^ B1( ^ C1= 1
2 ^C , ^B1= 1
2 ^B)
BC chung
⇒ΔBEC=ΔCDB (g c g )
⇒BD=CE
3- Tam giác cân: là tam giác có hai cạnh bằng nhau
ABC cân tại A (AB=AC)
Ta gọi: AB và AC là cỏc cạnh bờn, BC là cạnh đỏy, gúc B và C là cỏc gúc ở đỏy,
gúc A là gúc ở đỉnh
**Tớnh chất:
-Trong một tam giỏc cõn, hai gúc ở đỏy bằng nhau
-Nếu một tam giỏc cú hai gúc bằng nhau thỡ tam giỏc đú là tan giỏc cõn
4-Tam giỏc vuụng cõn: là tam giỏc vuụng cú hai cạnh gúc vuụng bằng nhau.
5-Tam giỏc đều: là tam giỏc cú 3 cạnh bằng nhau.
**Tớnh chất:
-Trong một tam giỏc đều, mỗi gúc bằng 60o
-Nếu một tam giỏc cú 3 gúc bằng nhau thỡ tam giỏc đú là tam giỏc đều
-Nếu một tam giỏc cõn cú một gúc bằng 60o thỡ tam giỏc đú là tam giỏc đều
VD:
KOM cân tại M vì MO=MK
ONP cân tại N vì ON=NP
Δ ONM là tam giỏc đều, vỡ OM = ON = MN
6- Định lí Py-ta-go: Trong một tam giỏc vuụng, bỡnh phương của
cạnh huyền bằng tụ̉ng cỏc bỡnh phương của hai cạnh gúc vuụng
**Định lí Py-ta-go đảo:Nếu một tam giỏc cú bỡnh phương của một cạnh bằng tụ̉ng cỏc bỡnh phương
của hai cạnh kia thỡ tam giỏc đú là tam giỏc vuụng
Định lí Py-ta-go:
GT ABC vuông tại A
Định lí Py-ta-go đảo:
GT ABC có
BC2=AC2+AB2
Trang 5KL BC2=AB2+AC2 KL ABC vu«ng t¹i A
VD:
GT
ABC, AH BC, AC = 20 cm
AH = 12 cm, BH = 5 cm
KL Chu vi ABC (AB+BC+AC)
Chøng minh:
* XÐt AHB, theo định lý Py-ta-go ta cã:
→
→
* XÐt AHC theo định lý Py-ta-go ta cã:
Chu vi cña ABC lµ:
C¸c tr êng hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c vu«ng:
a) Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (theo trường hợp: cạnh –góc – cạnh)
b) Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (theo trường hợp: góc –cạnh –góc)
c) Trường hợp bằng nhau về cạnh huyền và góc nhọn: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau
d) Tr ư ờng hợp bằng nhau về cạnh huyền và cạnh góc vuông: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai
tam giác vuông đó bằng nhau.VD:
GT ABC ( A¿ =900), DEF ( D¿ =
900)
BC = EF ; AC = DF
GT A ¿ a:AB = AC( B,C ¿ a )
DB = DC ( D ¿ a )
KL AD ¿ a Chứng minh:
AB AH BH
2
2
HC
13 21 20 54
Trang 6KL ABC = DEF
Ch
ứ ng minh:
Ta cã: ABC ( A¿ = 900)
BC2 = AB2 + AC2
AB2 = BC2 - AC2
DEF ( D¿ = 900)
ED2 = EF2 - DF2
Mµ BC = EF (giả thiết);
AC = DF (giả thiết)
VËy AB = ED
ABC = DEF (c-c-c)
- Xét Δ ABD và Δ ACD có :
AB = AC ( giả thiết ) ;
BD = CD ( giả thiết)
AD cạnh chung ⇒ Δ ABD và Δ ACD ( c.c.c )
⇒ DÂB =DÂC ( 2 góc tương ứng )
- Xét Δ AHB và Δ AHC có :
AB = AC ( giả thiết) DÂB =DÂC ( chứng minh trên )
AH chung
⇒ Δ AHB = Δ AHC ( c.g.c )
⇒ AHB¿ = AHC¿
Mà AHB¿ + AHC¿ = 1800 ( 2 góc kề bù )
⇒ AHB¿ = AHC¿ = 900 ⇒ AD ¿ a
VUI TOÁN HỌC !
PHÂN SỐ AI CẬP LÀ GÌ? Cách đây khoảng 4000 năm, người Ai Cập đã hiểu được phân số và biết các phép tính về phân số Tuy nhiên, người
cổ Ai Cập chỉ thừa nhận các phân số có tử bằng 1 Do đó, mọi phân số có
tử lớn hơn 1 đều được viết dưới dạng tổng các phân số có tử bằng 1 và mẫu khác nhau Chẳng hạn:
3
4 =
1
4 +
1
2 ;
5
6 =
1
3 +
1
2 ;
7
12 =
1
3 +
1
4 ;
7
8 =
1
2 +
1
4 +
1 8 Sau này, người ta thường gọi các phân số dạng
1
n là phân số Ai Cập.
Trong các tài liệu cổ ở Ba-bi-lon, người ta thấy các phân số có mẫu là lũy thừa của 60 Có lẽ Ấn Độ là nơi đầu tiên xuất hiện cách viết phân số như ngày nay Danh từ “ phân số” được đưa vào châu Âu từ Ả - rập qua tác phẩm của nhà bác học Ý Lê – ô – nác – đô Pi-xa- nô (1202) Cách gọi “tử số” và “mẫu số” là của nhà bác học Mác –xim Pla- nút (cuối thế kỷ XIII), người
xứ Bi- dăng – xơ (thuộc Hy Lạp)