Phát triển tư duy và ngôn ngữ toán học cho học sinh khá giỏi trong dạy học chủ đề diện tích hình tam giác ở toán 5

Trong bài báo này, chúng tôi trình bày một số cách hướng dẫn cho học sinh tiểu học vận dụng công thức tính diện tích hình tam giác trong sách giáo khoa Toán 5 để chứng minh, mở rộng một

PHáT TRIểN TƯ DUY Và NGÔN NGữ TOáN HọC

CHO HọC SINH KHá GIỏI TRONG DạY HọC CHủ Đề DIệN TíCH HìNH TAM GIáC ở TOáN 5

Thái Huy Vinh (a) Tóm tắt Trong bài báo này, chúng tôi trình bày một số cách hướng dẫn cho học sinh tiểu học vận dụng công thức tính diện tích hình tam giác trong sách giáo khoa Toán 5 để chứng minh, mở rộng một số định lý hình học quan trọng ở Trung học cơ sở

và một số bài toán nâng cao nhằm phát triển tư duy và ngôn ngữ toán học cho học sinh

1 Mở đầu

Hình học ở Tiểu học là hình học trực quan, việc hình thành các biểu tượng hình học và xác định tính chất của các hình chủ yếu dựa trên hình ảnh quan sát trực tiếp, thực hành, thực nghiệm; khác với hình học ở Trung học cơ sở (THCS) là hình học nửa trực giác, nửa suy diễn Tuy nhiên, đối với học sinh (HS) lớp 5, trình độ ngôn ngữ và tư duy toán học của các em đã có bước phát triển; do đó, giáo viên (GV) cần quan tâm đúng mức đến việc phát triển khả năng tư duy và ngôn ngữ toán học (NNTH) cho HS

Trong bài báo này chúng tôi bàn đến cách hướng dẫn HS xuất phát từ công thức tính diện tích hình tam giác trong Toán 5, chứng minh, mở rộng các bài toán

mà thực chất đó là nội dung một số định lí hình học ở THCS và một số bài toán nâng cao bằng công cụ và NNTH “ít ỏi”, “sơ giản” ở Tiểu học để góp phần rèn luyện và phát triển năng lực tư duy lôgic; lập luận có căn cứ; trình bày, diễn đạt chính xác, chặt chẽ, mạch lạc cho HS lớp 5

2 Nội dung các bài toán

2.1 Bài toán 1 Cho M, N, P lần lượt là trung điểm

cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC Chứng tỏ rằng ba đoạn

thẳng AM, BN, CP cắt nhau tại một điểm nằm ở 2

3 của mỗi

đường kể từ đỉnh (Định lí về tính chất ba đường trung tuyến

của một tam giác – Phần Hình học lớp 7 – Tập 2 - NXB Giáo

dục năm 2004) (xem Hình1)

Hướng dẫn (HD) cho HS cách giải: Trước hết GV cần

HD cho HS vẽ hình, hiểu nội dung Bài toán, chú ý cụm từ

“…ở 2

3 mỗi đường kể từ đỉnh”; sau đó GV dùng phương pháp

phân tích đi lên để hướng dẫn HS tìm tòi lời giải; chẳng hạn, GV có thể đặt các câu hỏi: Muốn chứng tỏ AG = 2

3AM ta làm như thế nào? Giả sử AG = 2

3AM thì diện tích tam giác nào bằng 2

3 diện tích tam giác nào?

Nhận bài ngày 27/6/2012 Sửa chữa xong ngày 05/11/2012.

4

3

2

1

G

A

M Hình 1

86

Để chứng tỏ S AGC = 2

3 S AMC ta làm như thế nào? Muốn so sánh diện tích hai tam giác ta căn cứ vào những yếu tố nào? (đáy và chiều cao tương ứng) Hai tam giác này

có cái gì chung rồi? (đường cao hạ từ C); nếu S AGC = 2

3 S AMC thì S AGC bằng mấy lần

SGMC?(hai lần); nếu S AGC = 2 S GMCthì S2, S3, S4 như thế nào? (bằng nhau); nhìn vào hình vẽ trong Bài toán này thì ta thấy S1 và S2,S3 và S4 như thế nào với nhau? (bằng nhau); như vậy, ta chỉ cần so sánh S1 với S3 hoặc S4, hay S2 vớiS3 hoặc S4 (trong trường hợp này ta so sánh S1 với S4); muốn so sánh S1 với S4 ta làm như thế nào? Giả

sử S1 = S4 thì ta có điều gì? (SAMC = SBNC); muốn chứng tỏ SAMC = S BNC ta làm như thế nào? (so sánh diện tích các tam giác này với diện tích tam giác ABC) S AMC và S BNC bằng mấy phần SABC? (bằng 1

2),…Từ đó, dẫn dắt HS tìm ra lời giải

Vấn đề quan trọng nữa là GV cần HD cho HS trình bày lời giải (GV thường dùng phương pháp ngược lại với phương pháp phân tích gọi là phương pháp tổng hợp) Với cách HD như thế này, phát huy rất tốt năng lực tư duy toán học và rèn luyện kĩ năng trình bày, lập luận, biểu đạt cho HS Từ đó, ta có thể HD cho HS trình bày lời giải Bài toán này như sau:

Giả sử AM cắt BN ở G Ta cần chứng tỏ: GA =2

3AM và GB = 2

3BN Kí hiệu

S, S1, S2, S3, S4 lần lượt là diện tích tam giác ABC, BGM, MGC, CGN, NGA Ta có:

S1 = S2 (1) (vì có đáy MB = MC và có chung đường cao hạ từ G),

S3 = S4 (2) (vì có đáy NC = NA và có đường cao chung hạ từ G),

S AMC = 1

2 SABC (vì MB = MC nên MC = BC và có chung đường cao hạ từ A),

S BNC = 1

2SABC (vì NA = NC nên NC = 1

2 AC và có chung đường cao hạ từ B)

Suy ra S AMC = S BNC; nhưng hai tam giác này có phần chung S2 và S3, nên S1 = S4,kết hợp (1) và (2) ta có: S1= S2 =S3 =S4; do đó: S AGC = 2

3 S AMC; mà hai tam giác này có chung đường cao hạ từ C, nên AG = 2

3AM

Từ cách lập luận chứng tỏ AG = 2

3AM, GV hướng dẫn cho HS chứng tỏ BG = 2

3BN và CG = 2

3CP gọi là phép tương tự và HD cho HS cách trình bày (trong trường hợp này được trình bày là: “Tương tự ta có S BGC = 2

3S BNC; do đó, suy ra: BG = 2

3BN”…)

Cái khó của HS lớp 5 ở Bài toán này là làm sao chứng tỏ được AM, BN và CP

cùng đi qua điểm G Muốn chứng tỏ AM, BN và CP cùng đi qua điểm G ta làm thế nào? GV cần HD cho HS tự phát hiện và nêu vấn đề

Giả sử CP cắt AM ở G1,bằng cách tương tự như trên ta có CG1 = 2

3 CP; AG1 = 2

3AM, kết hợp với AG = 2

3AM, suy ra G1 trùng với G Vậy, ba đoạn thẳng AM, BN,

CP cắt nhau tại một điểm nằm ở 2

3 mỗi đường kể từ đỉnh

Từ Bài toán 1, ta có thể HD cho HS các cách phát biểu khác tương đương, chẳng hạn: “Gọi M là trung điểm của cạnh BC, G là điểm sao cho GM = 1

3AM; BG cắt AC tại N chứng tỏ N là trung điểm của cạnh AC; CG cắt AB tại P chứng tỏ P là trung điểm của cạnh AB”

Trong Bài toán 1, hãy nối M với N, N với P, P với M và so sánh diện tích các tam giác APN, CMN, BMP: Dễ thấy SBMP = 1

2 SABM = 1

4 SABC, tương tự ta có: SCMN =

SAPN = 1

4 SABC Vậy 3 tam giác đó có diện tích bằng nhau và đều bằng 1

4 diện tích tam giác ABC

Ta có bài toán tổng quát: Cho M, N, P tương ứng là các điểm trên các cạnh

BC, AC, AB sao cho AP = m

n AB, BM = m

nBC, CN = m

nCA (với m, n là số tự nhiên khác 0 và m

n <1) Hãy so sánh diện tích các tam giác: APN, CMN, BMP với diện tích tam giác ABC

Tóm tắt cách giải: ta thấy AP = m

n AB, nên PB = n m

n

ư AB và SBMP = m n

n

ư

SABM; mà SABM = m

n SABC; do đó, diện tích tam giác BMP bằng m n

n

ư x m

n = x(n-m)

x

m

n n

diện tích tam giác ABC Tương tự ta có diện tích các tam giác CMN, APN cũng đều bằng x(n-m)

x

m

n n diện tích tam giác ABC

Cũng từ Bài toán 1, ta có thể mở rộng và khái quát thành bài toán: Cho AP = 1

n AB, BM = 1

n BC, CN = 1

n AC (với n nguyên dương lớn hơn 1); giả sử AM cắt BN ở

G, BN cắt CP ở E, AM cắt CP ở F, thế thì: AG

ư

ư + 2.2 Bài toán 2 Chứng tỏ rằng: “Đường thẳng đi qua điểm M là trung điểm của cạnh AB của tam giác ABC và song song với cạnh BC thì sẽ đi qua N trung điểm

88

của cạnh AC và MN = 1

2 BC.” (Định lí về tính chất đường trung bình của một tam giác – Hình học 8 – Tập 1 – NXB Giáo dục, 2004) (xem Hình 2a và 2b)

Hướng dẫn cách giải:

a Giả sử đường thẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB và song song với BC cắt AC ở N, ta cần chứng tỏ: NA = NC Thật vậy; ta có S CMB= 1

2S ABC (vì có MB = MA hay MB = 1

2 AB và chung đường cao hạ từ C); BMNC là hình thang (vì MN song song với BC) nên SCMB = SBNC (chung đáy BC và các đường cao hạ từ M, N bằng nhau), do đó: SBNC = 1

2 SABC , mặt khác hai tam giác này có chung đường cao hạ từ B nên suy ra: NC = 1

2 AC hay NA = NC

b Chứng tỏ MN = 1

2 BC Ta có: SCMN = 1

2 S AMC (vì NC = 1

2 AC và chung

đường cao hạ từ M) Mà S AMC = S BMC (đáy MA = MB và chung đường cao hạ từ C), nên SCMN = 1

2 S BMC và có đường cao hạ từ C và M bằng nhau, do đó: MN = 1

2 BC Bây giờ ta có thể xem xét vấn đề ngược lại đó là đường thẳng đi qua các trung

điểm M, N của AB, AC của tam giác ABC thì có song song với BC không?

Lấy P là trung điểm cạnh BC, nối P với M, N, A Ta có có SCNP = 1

2 SACP (1) (Vì

NC = 1

2 AC và chung đường cao hạ từ P); SBMP = 1

2 SABP (2) (vì MB = 1

2 AB và chung đường cao hạ từ P), từ (1) và (2) ta có: SCNP = SBMP mà hai tam giác này có đáy

PB = PC, nên đường cao MH và NK phải bằng nhau, nghĩa là MH = NK hay MNKH

là hình chữ nhật, hay MN song song với HK hay MN song song với BC Vấn đề đã

được giải quyết

N M

A

N M

A

P

Hình 2b

B C

N M

A

Hình 3

2.3 Bài toán 3 Một đường thẳng song song với cạnh BC, cắt các cạnh AB và

AC của tam giác ABC lần lượt tại M và N Chứng tỏ rằng: AM

AN

AC (Định lí Talét – Hình học 8 – Tập 2 - NXB Giáo dục, 2004)

Hướng dẫn giải: (xem hình 3)

Do MN song song với BC, nên ta có: SBMC = SBNC (vì

chung đáy BC và các đường cao hạ từ M, N xuống BC

bằng nhau) và suy ra: S ABN = S ACM (vì đều bằng SABC trừ

đi SBMC hoặc SBNC)

AM

CAB

S

BAC

S

CMB

S

BNC

S

AN

CAB

S

BAC

S

Ngoài ra, ta còn có: AM

BC bằng cách hướng dẫn HS lập luận tương tự 2.4 Bài toán 4 Từ đỉnh A của một tứ giác lồi ABCD, hãy kẻ một đường thẳng chia tứ giác đó thành hai phần có diện tích bằng nhau

Hướng dẫn giải: (xem hình 4a và 4b)

Ta có thể đưa diện tích tứ giác ABCD về thành diện tích tam giác AGD bằng cách từ B kẻ BG song song với AC Ta có: SAOB = SCOG (SABG = S CBG vì có đáy BG chung và các đường cao hạ từ A và C bằng nhau, lại có phần SOBG chung) nên SABCD =

S AGD Lấy I trung điểm DG; ta có: SAID = 1

2 S AGD hay SAID = 1

2 S ABCD Vậy AI là

đường thẳng cần kẻ (Hình 4 a)

ở trên I là điểm nằm giữa hai điểm C và D Còn nếu I là điểm nằm giữa hai điểm C

và G thì sao? Gặp trường hợp này ta giải quyết như sau:

Từ I kẻ IK song song AC (K thuộc BC và AI cắt KC ở E) Tương tự như trên

ta có: S AKE = SCIE nên S AKCD = SAID = 1

2 SAGD = 1

2 S ABCD.

Hình 4b Hình 4a

90

Vậy AK là đường thẳng phải kẻ (Hình 4b)

Từ Bài toán 4 có thể mở rộng thành Bài toán 5

2.5 Bài toán 5 Từ một điểm M bất kỳ trên cạnh (không trùng với đỉnh) của một tứ giác lồi ABCD, hãy kẻ một đường thẳng chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau (xem hình 5)

Cách giải bài toán này phức tạp

hơn, nhưng với cách làm tương tự như

Bài toán 4 ta có thể HD cho HS thực

hiện các bước sau đây: Giả sử M nằm

trên cạnh AD

Bước 1: Chuyển diện tích tứ giác

ABCD thành diện tích tam giác AGD

như Bài toán 4

Bước 2: Đưa về Bài toán: Từ một

điểm M trên cạnh AD của tam giác

AGD, kẻ một đường thẳng chia tam

giác này ra 2 phần có diện tích bằng

nhau: Lấy I là trung điểm của cạnh AD,

nối M với G; từ I kẻ IK song song với

GM, nối M với K, I với G, MK cắt GI ở O’, ta thấy SMO’I = SKO’G (vì SGIM = SMKG do hai tam giác này chung đáy MG, hai đường cao hạ từ I, K xuống đáy MG bằng nhau và

có chung phần diện tích OMG) Ta có: SDMK = SDIG, mà SDIG = 1

2 SAGD = 1

2 SABCD, vậy

MK là đường cần tìm

Từ các Bài toán 4, 5 ta có thể khái quát thành Bài toán: Từ một điểm M bất

kỳ trên đỉnh hoặc trên cạnh của một đa giác lồi, hãy kẻ một đường thẳng chia đa giác đó thành 2 phần có diện tích bằng nhau

Từ những bài toán trên ta có thể tìm kiếm và sáng tác nhiều bài toán khó và hay xung quanh chủ đề diện tích hình tam giác, mà trong khuôn khổ bài viết này chúng tôi chưa có điều kiện nêu ra Qua việc HD cho HS giải và khai thác các bài tập như trên sẽ rèn luyện cho HS kỹ năng quan sát, nhìn nhận hình hình học trên nhiều

“khía cạnh” khác nhau; cách so sánh độ dài, tỉ lệ độ dài các đoạn thẳng qui về so sánh diện tích các tam giác; quan hệ giữa diện tích, đáy và đường cao của một tam giác và các tam giác,… đó là, những hoạt động cần thiết để rèn luyện, phát triển tư duy và NNTH cho HS Tuy nhiên, khi hướng dẫn HS cần lưu ý sử dụng đúng lúc,

đúng chỗ các thuật ngữ: “suy ra”, “do đó”, “cho nên”, “mặt khác”, “kết hợp”, “mà”, “ta có”, “tương tự”, “dễ thấy”, …và các thuật ngữ này phải dùng phù hợp với HS tiểu học Chưa dùng thuật ngữ “chứng minh” mà dùng thuật ngữ “chứng tỏ” hoặc “giải thích” hoặc “so sánh”; chưa dùng thuật ngữ “dựng hình” mà chỉ dùng thuật ngữ “kẻ” hoặc

“vẽ”; chưa dùng thuật ngữ và kí hiệu bình phương của một số (ví dụ: n2 thì viết là n x n); chưa dùng kí hiệu hai đường thẳng song song, vuông góc Cũng như các phép biến đổi, thực hiện các phép tính bằng số và trên các biểu thức có chứa chữ được vận dụng trong phạm vi kiến thức, NNTH ở Tiểu học

Hình 5

3 Kết luận

Qua thực tế giảng dạy và bồi dưỡng HS giỏi Toán lớp 5, chúng tôi nhận thấy rằng, việc khai thác, đào sâu, mở rộng, khái quát các bài toán xung quanh phần tính diện tích hình tam giác là những bài toán hay, hấp dẫn và đây cũng là một cơ hội tốt

để kết hợp ngôn ngữ các yếu tố hình học với biểu thức chứa chữ và các phép tính giải quyết các bài toán trên; hướng dẫn HS tìm tòi lời giải và cách trình bày, lập luận, biểu đạt có căn cứ là biện pháp tích cực, hữu hiệu để rèn luyện, phát triển năng lực tư duy và NNTH cho HS, nhất là đối với HS học khá giỏi về môn Toán

TàI LIệU THAM KHảO

[1] Nguyễn áng, Nguyễn Hùng, Một trăm bài toán về chu vi và diện tích các hình lớp 4,5; NXB Giáo dục, Hà Nội, 1995

[2] Phạm Đình Thực, Một câu hỏi và đáp về việc dạy Toán ở tiểu học, NXB Giáo dục,

Hà Nội, 2004

[3] Phạm Đình Thực, Giảng dạy các yếu tố hình học, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2005 [4] Đỗ Đình Hoan (chủ biên), Toán 5, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2005

summary

DEVELOPING MATHEMATICAL THINKING AND LANGUAGE

FOR strong pupils in TEACHING “AREA OF A TRIANGLE”

IN MATHEMATICS PROGRAMME FOR THE 5th FORM

In the article, we have presented several ways of instructing primary school pupils to apply the formula for calculating the area of a triangle in the mathematics textbook for the 5th form to prove, expand some essential geometric theorems at primary schools and some advanced mathematical problems to develop mathematical thinking and language for the pupils

(a) Sở Giáo dục và Đào tạo Nghệ An