a.. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta được số chính phương B.. Nếu thêm 3 vào mỗi chữ số đó ta cũng được một số chính phương.. Bài 9: Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bì[r]
Trang 1SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên.
II TÍNH CHẤT:
1 Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; không thể có chữ sốtận cùng bằng 2, 3, 7, 8
2 Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số
6 Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4
Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9
Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25
Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16
III MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
A DẠNG1 : CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 là số chính phương.
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.
Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n N) Ta có
Trang 24 k(k+1)(k+2)(k-1) =
1
4 k(k+1)(k+2)(k+3)
4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1
Theo kết quả bài 2 ⇒ k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính ph ương.
Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …
Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.
Ta có 44…488…89 = 44…488 8 + 1 = 44…4 10n + 8 11…1 + 1
n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 1
Trang 3Bài 6: Chứng minh rằng các số sau là số chính phương:
là số chính phương ( điều phải chứng minh)
Bài 7: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một
số chính phương
Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n N , n ≥2 )
Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2)
Vì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n2+2 không thẻ chia hết cho 5
⇒ 5.( n2+2) không là số chính phương hay A không là số chính phương
Bài 8: Chứng minh rằng số có dạng n 6 – n 4 + 2n 3 + 2n 2 trong đó n N và n>1 không phải
là số chính phương
n6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ]
= n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) – (n2-1) ]
= n2( n+1 )2.( n2–2n+2)Với n N, n >1 thì n2-2n+2 = (n - 1)2 + 1 > ( n – 1 )2
và n2 – 2n + 2 = n2 – 2(n - 1) < n2
Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + 2 < n2 ⇒ n2 – 2n + 2 không phải là một số chính phương
Trang 4Bài 9: Cho 5 số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị
đều là 6 Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương
Cách 1: Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của
nó là số lẻ Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là 1,3,5,7,9 khi đó tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương
Cách 2: Nếu một số chính phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận cùng của a là 4 hoặc 6 ⇒ a ⋮ 2 ⇒ a2 ⋮ 4
Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của M chỉ có thể là 16, 36, 56, 76, 96
Không có số chính phương nào có dạng 3k+2 ⇒ p-1 không là số chính phương
Vậy nếu p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không là số chính phương
Vì N lẻ ⇒ N không chia hết cho 2 và 2N ⋮ 2 nhưng 2N không chia hết cho 4
2N chẵn nên 2N không chia cho 4 dư 1 ⇒ 2N không là số chính phương.
c 2N+1 = 2.1.3.5.7…2007 + 1
Trang 52N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho 4
2N không chia hết cho 4 nên 2N+1 không chia cho 4 dư 1
Trang 6Suy ra n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28.
Bài 2: Tìm a để các số sau là những số chính phương:
Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3
Bài 4: Tìm n N để các số sau là số chính phương:
Trang 7⇒ Điều giả sử sai
Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương
Bài 6: Biết x N và x>2 Tìm x sao cho x x 1 x x1 x 2xx x 1
Đẳng thức đã cho được viết lại như sau:x x 1 x 2 xx x 1 2
Do vế trái là một số chính phương nên vế phải cũng là một số chính phương
Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9 nên x chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 1; 2; 5; 6; 7; 0 (1)
Do x là chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề bài ta có x N và 2 < x ≤ 9 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ x chỉ có thể nhận 1 trong các giá trị 5; 6; 7.
Bằng phép thử ta thấy chỉ có x = 7 thỏa mãn đề bài, khi đó 762 = 5776
Bài 7: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n+1 và 3n+1 đều là các số chính phương.
Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199 Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84
Số 3n+1 bằng 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 là số chính phương
Vậy n = 40
Bài 8: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính
phương thì n là bội số của 24.
⇒ n = 4b(b+1) ⇒ n ⋮ 8 (1)
Ta có k2 + m2 = 3n + 2 2 (mod3)
Mặt khác k2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1, m2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1
Nên để k2 + m2 2 (mod3) thì k2 1 (mod3)
Trang 8⇒ n = 5+7 = 12
Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802
C.DẠNG 3: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn
vị thì ta được số chính phương B Hãy tìm các số A và B.
Gọi A = abcd = k2 Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số
Gọi số chính phương phải tìm là aabb = n2 với a, b N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9
Ta có n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1)
Nhận xét thấy aabb ⋮ 11 ⇒ a + b ⋮ 11
Mà 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 nên 1 ≤ a+b ≤ 18 ⇒ a+b = 11
Thay a+b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a+1) do đó 9a+1 là số chính phương
Bằng phép thử với a = 1; 2; …; 9 ta thấy chỉ có a = 7 thỏa mãn ⇒ b = 4
Số cần tìm là 7744
Bài 4: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương.
Gọi số chính phương đó là abcd Vì abcd vừa là số chính phương vừa là một lập phương nên đặt abcd = x2 = y3 Với x, y N
Vì y3 = x2 nên y cũng là một số chính phương
Ta có 1000 ≤ abcd ≤ 9999 ⇒ 10 ≤ y ≤ 21 và y chính phương ⇒ y = 16
⇒ abcd = 4096
Trang 9Bài 5: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc
hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương.
Gọi số phải tìm là abcd với a, b, c, d nguyên và 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b,c,d ≤ 9
Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và viết số bởi
hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương
Gọi số tự nhiên có hai chữ số phải tìm là ab ( a,b N, 1 ≤ a,b ≤ 9 )
Số viết theo thứ tự ngược lại ba
Ta có ab - ba = ( 10a + b ) 2 – ( 10b + a )2 = 99 ( a2 – b2 ) ⋮ 11 ⇒ a2 - b2 ⋮ 11Hay ( a-b )(a+b ) ⋮ 11
Vì 0 < a - b ≤ 8 , 2 ≤ a+b ≤ 18 nên a+b ⋮ 11 ⇒ a + b = 11
Bài 7: Cho một số chính phương có 4 chữ số Nếu thêm 3 vào mỗi chữ số đó ta cũng được
một số chính phương Tìm số chính phương ban đầu
( Kết quả: 1156 )
Bài 8: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó
Gọi số phải tìm là ab với a,b N và 1 ≤ a ≤ 9 , 0 ≤ b ≤ 9
Theo giả thiết ta có : ab = ( a + b )3
Trang 10Bài 9: Tỡm 3 số lẻ liờn tiếp mà tổng bỡnh phương là một số cú 4 chữ số giống nhau.
Gọi 3 số lẻ liờn tiếp đú là 2n-1, 2n+1, 2n+3 ( n N)
* Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ớc là 1 và chính nó
* Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ớc
2 Tính chất:
* Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q thì p = q
* Nếu tích abc chia hết cho số nguyên tố p thì ít nhất một thừa số của tích abc chia hết cho số nguyên tố p
* Nếu a và b không chia hết cho số nguyên tố p thì tích ab không chia hết cho số nguyên
tố p
3 Cách nhận biết một số nguyên tố:
a) Chia số đó lần lợt cho các số nguyên tố đã biết từ nhỏ đến lớn
- Nếu có một phép chia hết thì số đó không phải là số nguyên tố
- Nếu chia cho đến lúc số thơng nhỏ hơn số chia mà các phép chia vẫn còn số d thì ssó đó
- Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của mỗi số nguyên tố là chính số đó
- Mọi hợp số đều phân tích đợc ra thừa số nguyên tố
Trang 11* Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ƯCLN bằng 1.
Hai số a và b nguyên tố cùng nhau ƯCLN(a, b) = 1
Các số a, b, c nguyên tố cùng nhau ƯCLN(a, b, c) = 1
Các số a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, c) = ƯCLN(c, a)
tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó là 2
VD3: Tổng của 2 số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không? Vì sao?
HD:
Vì tổng của 2 số nguyên tố bằng 2003, nên trong 2 số nguyên tố đó tồn tại 1 số nguyên tố chẵn
Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 Do đó số nguyên tố còn lại là 2001 Do 2001 chia hết cho 3
và 2001 > 3 Suy ra 2001 không phải là số nguyên tố
VD4: Tìm số nguyên tố p, sao cho p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố.
HD:
Giả sử p là số nguyên tố
- Nếu p = 2 thì p + 2 = 4 và p + 4 = 6 đều không phải là số nguyên tố
- Nếu p 3 thì số nguyên tố p có 1 trong 3 dạng: 3k, 3k + 1, 3k + 2 với k N*
+) Nếu p = 3k p = 3 p + 2 = 5 và p + 4 = 7 đều là các số nguyên tố
+) Nếu p = 3k +1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1) p + 2 3 và p + 2 > 3 Do đó
p + 2 là hợp số
+) Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2) p + 4 3 và p + 4 > 3 Do đó
p + 4 là hợp số
Vậy với p = 3 thì p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố
VD5: Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng p + 8 là hợp số.
Mỗi số tự nhiên n khi chia cho 4 có thể có 1 trong các số d: 0; 1; 2; 3 Do đó mọi số tự nhiên n
đều có thể viết đợc dới 1 trong 4 dạng: 4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k + 3
với k N*
- Nếu n = 4k n4 n là hợp số
- Nếu n = 4k + 2 n2 n là hợp số
Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4k + 1 hoặc 4k – 1 Hay mọi số nguyên tố lớn hơn
2 đều có dạng 4n + 1 hoặc 4n – 1 với n N*
VD7: Tìm ssó nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của hai số nguyên tố và bằng hiệu của hai số
nguyên tố
HD:
Trang 12II Bµi tËp vËn dông:
Bµi 1: T×m sè nguyªn tè p sao cho c¸c sè sau còng lµ sè nguyªn tè:
a) Cho p vµ p + 4 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3) Chøng minh r»ng: p + 8 lµ hîp sè
b) Cho p vµ 2p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3) Chøng minh r»ng: 4p + 1 lµ hîp sè
c) Cho p vµ 10p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3) Chøng minh r»ng: 5p + 1 lµ hîp sè.d) Cho p vµ p + 8 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3) Chøng minh r»ng: p + 4 lµ hîp sè
e) Cho p vµ 4p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3) Chøng minh r»ng: 2p + 1 lµ hîp sè
f) Cho p vµ 5p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3) Chøng minh r»ng: 10p + 1 lµ hîp sè.g) Cho p vµ 8p + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3) Chøng minh r»ng: 8p - 1 lµ hîp sè
h) Cho p vµ 8p - 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3) Chøng minh r»ng: 8p + 1 lµ hîp sè
i) Cho p vµ 8p2 - 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3) Chøng minh r»ng: 8p2 + 1 lµ hîp sè.j) Cho p vµ 8p2 + 1 lµ c¸c sè nguyªn tè (p > 3) Chøng minh r»ng: 8p2 - 1 lµ hîp sè
Trang 13b) Một số nguyên tố chia cho 30 có số d r Tìm số d r biết rằng r không là số nguyên tố.
Bài 6: Hai số nguyên tố gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp Chứng minh
rằng một số tự nhiên lớn hơn 3 nằm giữa hai số nguyên tố sinh đôi thì chia hết cho 6
Bài 7: Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3, trong đó số sau lớn hơn số trớc là d đơn vị Chứng minh
rằng d chia hết cho 6
Bài 8: Tìm số nguyên tố có ba chữ số, biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngợc lại thì ta đợc một
số là lập phơng của một số tự nhiên
Bài 9: Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm
bằng chữ số hàng chục và số đó viết đợc dới dạng tích của 3 số nguyên tố liên tiếp
Bài 10: Tìm 3 số nguyên tố lẻ liên tiếp đều là các số nguyên tố.
Bài 11: Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p, q, r sao cho p2 + q2 + r2 cũng là số nguyên tố
Bài 12: Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a, b, c sao cho a.b.c < a.b + b.c + c.a.
Bài 13: Tìm 3 số nguyên tố p, q, r sao cho pq + qp = r
Bài 14: Tìm các số nguyên tố x, y, z thoả mãn xy + 1 = z
Bài 15: Tìm số nguyên tố
2
abcd sao cho ab ac l cd b c
B i 16: à Cho các số p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b (a, b, c N*) là các số nguyên tố Chứng minh rằng 3 số p, q, r có ít nhất hai số bằng nhau
Bài 17: Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho:
Tớnh chất 1: a) Cỏc số cú chữ số tận cựng là 0, 1, 5, 6 khi nõng lờn lũy thừa bậc bất kỡ thỡ chữ
số tận cựng vẫn khụng thay đổi
b) Cỏc số cú chữ số tận cựng là 4, 9 khi nõng lờn lũy thừa bậc lẻ thỡ chữ số tận cựng vẫn khụng thay đổi
c) Cỏc số cú chữ số tận cựng là 3, 7, 9 khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thỡ chữ số tận cựng là 1
d) Cỏc số cú chữ số tận cựng là 2, 4, 8 khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n (n thuộc N) thỡ chữ số tận cựng là 6
e) Tớch của một số tự nhiờn cú chữ số tận cựng là 5 với bất kỡ số tự nhiờn lẻ nào cũng cho ta
số cú chữ số tận cựng là 5.
Tớnh chất 2: Một số tự nhiờn bất kỡ, khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n + 1 (n thuộc N) thỡ chữ số tận
cựng vẫn khụng thay đổi
Tớnh chất 3: a) Số cú chữ số tận cựng là 3 khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ cú chữ số tận
cựng là 7 ; số cú chữ số tận cựng là 7 khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ cú chữ số tận cựng là
3
b) Số cú chữ số tận cựng là 2 khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ cú chữ số tận cựng là 8 ; số
cú chữ số tận cựng là 8 khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ cú chữ số tận cựng là 2
c) Cỏc số cú chữ số tận cựng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nõng lờn lũy thừa bậc 4n + 3 sẽ khụng thay đổi chữ số tận cựng
Bài 2: Tỡm chữ số tận cựng của cỏc số:
Trang 14Bài 5: Có tồn tại hay không số tự nhiên n để n2 + n + 2 chia hết cho 5?
Bài 11: Tìm hai chữ số tận cùng của các số: a) 22003 b) 799
Bài 12: Tìm số dư của phép chia 3517 cho 25
Bài 18: Chứng minh 920002003, 720002003 có chữ số tận cùng giống nhau
Bài 19: Tìm hai chữ số tận cùng của:
Trang 15Sn = 1
2(1 21 −
1(n+1)(n+2))= n(n+3)
Trang 16V-Vận dụng trực tiếp công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều ( Học sinh lớp
6 )
Cơ sở lý thuyết :
+ để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1 số đơn vị , tadùng công thức:
Số số hạng = (số cuối – số đầu) : ( khoảng cách ) + 1
+ Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau cùng 1 số đơn vị , tadùng công thức:
Trang 172.3.4 = 2 3 4 5
1 2 3 44
Hay c¸c bµi to¸n chøng minh sù chia hÕt liªn quan
Trang 1815, Chứng minh : a, A = 4+ 2 +2 +2 + + 2 là luỹ thừa của 2
b, B =2 + 22 + 2 3 + + 2 60 ⋮ 3 ; 7; 15
c, C = 3 + 33 +35 + + 31991 ⋮ 13 ; 41
d, D = 119 + 118 +117 + + 11 +1 ⋮ 5
Chứng minh một số không phải là số chính phơng Phơng pháp 1.
Chú ý: Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng là một trong các số: 0,1,4,5,6,9 nhng vẫn không
phải là số chính phơng, khi đó ta phải lu ý thêm: Nếu một số chính phơng chia hết cho số nguyên
tố p thì nó phải chia hết cho p2
- ở đây ta không gặp trờng hợp nh bài toán 3 nên ta phải nghĩ đến phơng pháp khác
Ta thấy chắc chắn số này chia cho 3 d 2 nên ta có lời giải sau:
- Vì số chíng phơng khi chia cho 3 chỉ có thể d 0 hoặc 1 mà thôi ( đây là kết quả của bài toán mà
ta dễ dàng chứng minh đợc)
- Do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 d 2 Nên số đó không phải là sốchính phơng
Bài toán 5 ( Tơng tự bài toán 4)
Chứng minh tổng các số tự nhien liên tiếp từ 1 đến 2005 không phải là số chính phơng