Bài giảng Đồ hoạ kỹ thuật

Bài giảng Đồ hoạ kỹ thuật gồm có 4 chương với những nội dung chính sau: Cơ sở của biểu diễn; biểu diễn, liên thuộc; thay mặt phẳng hình chiếu các bài toán về lượng; giao của các đối tượng. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm các nội dung chi tiết.

BÀI GIẢNG

ĐỒ HOẠ KỸ THUẬT

Phần I

Hình họa

Chương 1

Mở đầu

Cơ sở của biểu diễn

Trong kỹ thuật, bản vẽ kỹ thuật( trên giấy)

được sử dụng trong sản xuất và trao đổi thông

tin giữa các nhà thiết kế

Bản vẽ kỹ thuật là một mặt phẳng 2 chiều

còn hầu hết vật thể đều là các vật thể 3 chiều

Vậy làm sao để biểu diễn các đối tượng 3

chiều lên mặt phẳng 2 chiều?

Hình họa

Gaspard Monge

1.1- Đối tượng môn học

- Nghiên cứu các phương pháp biểu diễn các hình không gian trên một mặt phẳng

- Nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán không gian trên một mặt phẳng

1.2- Các phép chiếu

1- Phép chiếu xuyên tâm

a) Xây dựng phép chiếu

- Cho mặt phẳng Π, một điểm S không thuộc

Π và một điểm A bất kỳ

- Gọi A’ là giao của đường thẳng SA với mặt

phẳng Π

*Ta có các định nghĩa sau:

+ Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình chiếu

+ Điểm S gọi là tâm chiếu

+ Điểm A’ gọi là hình chiếu xuyên tâm của

điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π

+ Đường thẳng SA gọi là tia chiếu của điểm A

A

A’

Hình 0.1 Xây dựng phép chiếu xuyên tâm

S

П

- Nếu AB là đoạn thẳng không đi qua tâm chiếu S thì hình chiếu xuyên tâm của nó là một đoạn thẳng A’B’

- Nếu CD là đường thẳng đi qua tâm chiếu S thì C’=D’.(Hình chiếu suy biến) (Hình 0.2.a)

- Hình chiếu xuyên tâm của các đường thẳng song song nói chung là các đường đồng quy (Hình 0.2.b)

F D C

П

П

2- Phép chiếu song song

a) Xây dựng phép chiếu

- Cho mặt phẳng Π, một đường thẳng s

không song song mặt phẳng Π và một

điểm A bất kỳ trong không gian

- Qua A kẻ đường thẳng a//s A’ là giao

của đường thẳng a với mặt phẳng Π

* Ta có các định nghĩa sau:

+ Mặt phẳng Π gọi là mặt phẳng hình

chiếu

+ Đường thẳng s gọi là phương chiếu

+ Điểm A’ gọi là hình chiếu song song

của điểm A lên mặt phẳng hình chiếu Π

theo phương chiếu s

+ Đường thẳng a gọi là tia chiếu của

điểm A

A

A’

Hình 0.3 Xây dựng phép chiếu xuyên tâm

s

П

a

A’

Hình 0.4a,b Tính chất phép chiếu song song

b) Tính chất phép chiếu

- Nếu đường thẳng AB không song song

với phương chiếu s thì hình chiếu song song

của nó là đường thẳng A’B’

- Nếu CD song song với phương chiếu s

thì hình chiếu song song của nó là một điểm

C’=D’

- Nếu M thuộc đoạn AB thì M’ thuộc A’B’

+ Tỷ số đơn của 3 điểm không đổi:

P

K’ I’

P'

N'M'

Q'//P'N'M'







 IK K'

I'

//IK K'

I'

MB

AM B'

M'

M' A'



CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

3- Phép chiếu vuông góc

- Phép chiếu vuông góc trường hợp đặc

biệt của phép chiếu song song khi phương

chiếu vuông góc với mặt phẳng hình

chiếu

- Phép chiếu vuông góc có đầy đủ tính

chất của phép chiếu song song, ngoài ra

có thêm các tính chất sau:

+ Chỉ có một phương chiếu s duy nhất

+ Giả sử AB tạo với П một góc φ thì:

A’B’=AB.cosφ A’B’ ≤ AB

- Sau đây là những ứng dụng của phép

chiếu vuông góc mà ta gọi là phương

pháp hình chiếu thẳng góc

Chương 2

Biểu diễn, liên thuộc

- Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng

Hình 1.1a,b Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

* Các định nghĩa và tính chất

- Mặt phẳng П 1 : mặt phẳng hình chiếu đứng

- Mặt phẳng П 2 : mặt phẳng hình chiếu bằng

- Đường thẳng x : trục hình chiếu

đường thẳng vuông góc với trục x gọi là

đường dóng thẳng đứng

Hình 1.1a,b Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

* Độ cao của một điểm

- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:

+ Độ cao dương: A1 nằm phía trên trục x

+ Độ cao âm: A1 nằm phía dưới trục x

Hình 1.1a,b Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:

+ Độ xa dương: A2 nằm phía dưới trục x

+ Độ xa âm: A2 nằm phía trên trục x

*Chú ý: Với một điểm A trong không gian

có đồ thức là một cặp hình chiếu A 1 , A 2

Ngược lại cho đồ thức A 1 A 2 , ta có thể

xây dựng lại điểm A duy nhất trong

không gian Như vậy đồ thức của một

điểm A có tính phản chuyển

Hình 1.1a,b Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

A2

Π2

A A A

Π1

Π2

b)

A1

b) Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

- Trong không gian, lấy ba mặt phẳng

- Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng

A2 và A3

quanh trục z theo chiều quay được chỉ ra trên

hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.2.b)

Hình 1.2a,b Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

y

y O

Az

Ay

Ay O

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

b) Các định nghĩa và tính chất

Bổ xung thêm các định nghĩa

và tính chất sau:

- Mặt phẳng П 3 : mặt phẳng hình chiếu cạnh

- Gọi

- Trên đồ thức:

thẳng vuông góc với trục x gọi là đường

dóng thẳng đứng

thẳng song song với trục x gọi là đường

y

y O

Az

) AA (A y

Ay

) AA (A x

Ax

3 1

3 2

2 1

b) Các định nghĩa và tính chất (tiếp theo)

* Độ xa cạnh của một điểm

- Ta có:

gọi là độ xa cạnh của điểm A

- Quy ước:

+ Độ xa cạnh dương : khi điểm A nằm

+ Độ xa cạnh âm: khi điểm A nằm

- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:

+ Độ xa cạnh dương: A3 nằm phía bên phải trục x

+ Độ xa cạnh âm: A3 nằm phía bên trái trục x

Hình 1.2a,b Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

y

y O

A A A

Az 1  y 2  x  3

A2

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

2.1.2 Một số định nghĩa khác

2.1.2.1– Góc phần tư

phần, mỗi phần được gọi là một góc phần tư

Ví dụ: Tự cho đồ thức của các điểm A, B, C, D lần lượt thuộc các góc phần tư I, II, III, IV

Hình 1.4 Góc phần tư I, II, III, IV

A2

Π 1

Π 2 ( I )

( IV ) ( III )

2.1.2.2 – Mặt phẳng phân giác

- Có hai mặt phẳng phân giác

+ Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (I) và góc phần tư (III) thành các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác I (Pg1)

+ Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (II) và góc phần tư (IV) thành các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác II.(Pg2)

Ví dụ: Vẽ đồ thức của các điểm A, B thuộc mặt phẳng phân giác I; C, D thuộc mặt phẳng

phân giác II, A thuộc góc phần tư (I), B thuộc (III), C thuộc (II), D thuộc (IV)

2.1.3- Ví dụ: Vẽ hình chiếu thứ ba của một điểm trên đồ thức

Bài toán: Cho hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm, tìm hình chiếu cạnh của điểm đó trên đồ thức

Ví dụ: Vẽ hình chiếu cạnh của các điểm A, B, C, D, E được cho trên đồ thức

x(+) Ax

A2

A3 z(+)

Ez =Ey

E1

Δ Δ’

2.2 - Đường thẳng

2.2.1 Biểu diễn đường thẳng

Vì một đường thẳng đươc xác định bởi hai điểm phân biệt do đó để cho đồ thức của một

đường thẳng ta cho đồ thức của hai điểm phân biệt

thuộc đường thẳng đó

Ví dụ: Cho đồ thức của đường thẳng l;

) A , A(A

B A AB

2 1

2 1

Chú ý: Nếu từ hình chiếu l 1 và l 2 của đường

thẳng l ta xây dựng lại đường thẳng l duy nhất

trong không gian thì đồ thức đường thẳng có

tính chất phản chuyển, khi đó ta không cần

cho các điểm A, B thuộc đuờng thẳng l

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

2.2.2- Điểm thuộc đường thẳng

1- Đường thẳng không song song với Π3

Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc đường thẳng không không song song với Π3 là hình chiếu đứng của điểm thuộc hình chiếu đứng của đường thẳng và hình chiếu bằng của điểm thuộc hình chiếu bằng của đường thẳng

Hình 2.8 Điểm thuộc đường thẳng

1 1

A )

/ / (

A

l

l l

l

PQ I

Q P I

PQ I

Q P I

3 3 3

3 3 3

2- Đường thẳng song song với Π3 (đường cạnh)

Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và điểm I thỏa mãn điều kiện

Xét xem I có thuộc PQ hay không? (Hình 2.11)

Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh Nếu:

Hình 2.10 Cách 1 Xét điểm thuộc đường cạnh

y x

Q2

P3 z

1 1 1

Q P I

Q P I

I2

Q1

IQ

I

PIQ

I

PI

PQ

IQ

I

PIQ

I

PI

2 2

2 2 1

1

1 1

2 2

2 2 1

1

1 1

Hình 2.11 Cách 2 Xét điểm thuộc đường cạnh

2 2 1

QPQI

IPIP

I

PQ

I 



- Nếu thì tỉ số đơn bằng nhau I '1  I1

Ví dụ: Hãy xác định vết của đường thẳng l(l 1 ,l 2 ) được cho như trên đồ thức và

xét xem đường thẳng l đi qua góc phần tư nào trong không gian.(Hình 2.13)

* Xét l đi qua góc phần tư nào?

l đi qua góc phần tư thứ II

l đi qua góc phần tư thứ III

l đi qua góc phần tư thứ I

Vậy, đường thẳng l đi qua các góc I, II, III

Chú ý:

Từ cách xác định mặt phẳng này có thể chuyển đổi thành

cách xác định khác Do đó phương pháp giải bài toán không

phụ thuộc vào cách cho mặt phẳng

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

2.3.1.1- Hai đường thẳng cắt nhau

a) Cả hai đường thẳng không phải đường cạnh

Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng

không phải đường cạnh cắt nhau là trên đồ thức:

các hình chiếu đứng của chúng cắt nhau, các hình

chiếu bằng cắt nhau sao cho các điểm cắt này cùng

I

I b

a

I b

a )

/ b , a (

I b a

2 1

2 2

2

1 1

b) Một trong hai đường thẳng là đường cạnh

Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và

Do đó để xét xem l và PQ có cắt nhau hay

không ta đưa về bài toán điểm thuộc đường

cạnh đã xét ở trên

Hình 2.15 Hai đường thẳng cắt nhau

(một trong hai đường thẳng là đường cạnh)

b //

a )

/ b , a (

b //

a

2.3.1.2- Hai đường thẳng song song

a) Định nghĩa:

Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng

cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm

chung nào

b) Điều kiện song song của hai đường thẳng trên

đồ thức

* Cả hai đường thẳng không phải là đường cạnh

Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng không

phải đường cạnh song song với nhau là trên đồ

thức các hình chiếu đứng của chúng song song và

các hình chiếu bằng của chúng cũng song song

2.3.2- Đường thẳng và điểm thuộc mặt phẳng (bài toán liên thuộc)

2.3.2.1- Bài toán cơ bản 1

Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I, một đường thẳng l thuộc mặt phẳng (α) đó Biết hình chiếu đứng l 1 , tìm hình chiếu bằng l 2 (Hình 3.11)

Hình 3.11 Bài toán cơ bản 1

2.3.2.2- Bài toán cơ bản 2

(bài toán cơ bản 1)

Hình 3.13 Bài toán cơ bản 2

- Ta có thể cho mặt phẳng bởi các vết của nó Mặt phẳng có hai vết cắt nhau tại

- Thông thường người ta chỉ thể hiện vết đứng và vết bằng của mặt phẳng

vì α x , N 2 , N’ 2 thẳng hàng

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

2.4- Mặt (Mặt cong, đa diện)

2.4.1 Biểu diễn đa diện mặt cong

Để biểu diễn một đa diện, trên đồ thức ta cho các yếu tố đủ để xác định đa diện đó

Ví dụ: - Hình chóp ta cho đồ thức của đỉnh và đáy (Hình 5.1.a)

- Lăng trụ ta cho đồ thức của đáy và phương của cạnh bên.(Hình 5.1.b)

Để dễ dàng hình dung đa diện và giải các bái toán, ta nối các đỉnh để tạo nên các cạnh

và mặt đa diện, đồng thời xét tương quan thấy khuất giữa các cạnh và các mặt của đa diện

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

Trên đồ thức, để biểu diễn một mặt cong ta cho các yếu tố đủ để xác định mặt cong đó

Ví dụ: - Hình nón ta cho đồ thức của đỉnh và vòng tròn đáy nón (hay đường chuẩn của nón)

- Hình trụ ta cho đồ thức của đáy trụ và phương của đường sinh

Để dễ dàng hình dung mặt cong và giải các bái toán về mặt cong ta vẽ các đường bao ngoài, (các đường biên), đồng thời xét tương quan thấy khuất cho mặt cong đó

2.4.2 Điểm thuộc mặt

Ví dụ 1: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc các mặt

hình chiếu còn lại của các điểm đó (Hình 5.2)

Giải:

qua đỉnh S, đó là SE và SE’

thẳng qua đỉnh S Ví dụ SI hoặc gắn vào đường

thẳng song song cạnh đáy hình chóp

Ví dụ 2: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc

Tìm hình chiếu còn lại của các điểm đó

(Hình 5.3)

Giải:

* Tìm M 2 : Ta gắn điểm M vào đường thẳng

t song song với cạch bên của lăng trụ

các điểm bằng cách gắn các điểm vào

đường thẳng song song với cạch đáy lăng trụ

Điểm thuộc mặt cong

Ví dụ 1: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt nón

điểm đó (Hình 6.2)

Giải:

- Tìm M 2 : Vẽ đường sinh SE, SE’ chứa M

- Tim P 2 : Vẽ đường tròn song song đáy chứa

Ví dụ 2: Cho các điểm M, N, P, Q thuộc mặt trụ Biết M1,

Ví dụ 3: Cho các điểm M, N, P thuộc mặt cầu

điểm đó (Hình 6.4)

Giải:

sao cho đường tròn này thuộc mặt phẳng song

2.5- Biểu diễn các đối tượng có vị trí đặc biệt (đối với mặt phẳng hình chiếu) 2.5.1- Các đối tượng song song với mặt phẳng hình chiếu

2.5.1.1 Các đường thẳng đồng mức (là các đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu)

c) Đường cạnh

* Định nghĩa: Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh П3

* Tính chất :

y

O F

O F

x //

B A )

ABC C

B A )

n



β 2

ABC C

B A )

( ABC   3 3 3 

 

x n

(γ) vừa là mặt phẳng chiếu đứng vừa là mặt phẳng chiếu bằng

) (

) ( //

x B

1

AB  

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

C1 1 

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

thường thay mα bởi α1

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt

)(  

y

x

A3 z

n ,x//

2.5.3- Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc

2.5.3.1- Định nghĩa

Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một

mặt phẳng khi đường thẳng đó vuông góc với tất cả

các đường thẳng nằm trong mặt phẳng (Hình 3.38.a)

2.5.3.2- Định lý

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường

thẳng cắt nhau của một mặt phẳng thì đường thẳng

đó vuông góc với mặt phẳng (Hình 3.38.b)

2.5.3.3- Chuyển sang đồ thức

- Dựa vào định lý, ta chọn hai đường thẳng cắt nhau

của mặt phẳng là đường đồng mức (đường bằng, đường

mặt, đường cạnh)

- Nếu mặt phẳng không phải mặt phẳng chiếu cạnh mà

cho bởi vết đứng, vết bằng, thì ta dùng hai đường thẳng cắt

nhau của mặt phẳng chính là vết đứng và vết bằng đó

)(a)

(     

l

Hình 3.38 Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc

* Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu

thành một góc vuông (Hình 2.20)

- Cho mặt phẳng П và góc xOy, x’O’y’ là hình

chiếu vuông góc của xOy lên mặt phẳng П

- Nếu hai trong ba điều kiện sau đây được thỏa

mãn thì điều kiện còn lại được thỏa mãn:

Hình 2.20 Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu thành một góc vuông

3)

90y'O' x'2)

90 xOy)1

O’

y’ O

x’

x

y

a) П

4- Ví dụ:

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng α(ABC), I(I 1 , I 2 )

Tìm hình chiếu vuông góc H(H 1 , H 2 ) của điểm

(Bài toán giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng)

Ta có : H là hình chiếu vuông góc của điểm I lên

Ví dụ 3: Cho mặt phẳng α(m α ,n α )

Đường thẳng a(a 1 ,a 2 )

Hãy dựng mặt phẳng (β) sao cho (β) đi

qua a và vuông góc với (α) (Hình 3.41)

Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng

vuông góc với nhau là trong mặt phẳng này có

chứa một đường thẳng vuông góc với mặt

Chương 3 Thay mặt phẳng hình chiếu

Các bài toán về lượng

Đặt vấn đề:

Mục đích của các phép biến đổi là đưa các yếu tố hình học ở vị trí tổng quát về vị trí đặc biệt để thuận lợi cho việc giải các bài toán Dưới đây là một số phương pháp biến đổi

3.1- Thay mặt phẳng hình chiếu

3.1.1- Thay một mặt phẳng hình chiếu

a) Thay mặt phẳng П 1 thành mặt phẳng П’ 1

Điều kiện:

* Xây dựng phép thay mặt phẳng hình chiếu:

- Gọi x’ ≡ П’1∩П2 là trục hình chiếu mới

- Giả sử điểm A trong hệ thống (П1 , П2) có hình chiếu

là (A1 , A2)

- Chiếu vuông góc điểm A lên П’1 ta có hình chiếu A’1

Cố định П2 xoay П’1 quanh trục x’cho đến khi П’1≡П2

( Chiều quay xác định như trên hình 4.1)

- Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ thống

(П’1, П2), A’1 là hình chiếu đứng mới của điểm A.

*Tính chất:

- Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П’1, П2):

Gọi A’x ≡ A’1A2 ∩ x’

+ A’1 , A’x , A2 cùng nằm trên một đường dóng

vuông góc với x’

+ A’xA’1=AxA1 (Độ cao điểm A không thay đổi)

2 1