Phan tich da thuc thanh nhan tu

Vieäc hoïc toaùn khoâng phaûi chæ laø hoïc nhö SGK, khoâng chæ laøm nhöõng baøi taäp do Thaày, Coâ ra maø phaûi nghieân cöùu ñaøo saâu suy nghó, tìm toøi vaán ñeà, toång.. quaùt hoaù vaá[r]

phần I: MễÛ ẹAÀU

1 Lý do chọn đề tài:

Toaựn hoùc laứ boọ moõn khoa hoùc ủửụùc coi laứ chuỷ lửùc, bụỷi trửụực heỏt Toaựn hoùchỡnh thaứnh cho caực em tớnh chớnh xaực, tớnh heọ thoỏng, tớnh khoa hoùc vaứ tớnhlogic,… vỡ theỏ neỏu chaỏt lửụùng daùy vaứ hoùc toaựn ủửụùc naõng cao thỡ coự nghúa laứchuựng ta tieỏp caọn vụựi neàn kinh teỏ tri thửực khoa hoùc hieọn ủaùi, giaứu tớnh nhaõnvaờn cuỷa nhaõn loaùi

Cuứng vụựi sửù ủoồi mụựi chửụng trỡnh vaứ saựch giaựo khoa, taờng cửụứng sửỷ duùngthieỏt bũ, ủoồi mụựi phửụng phaựp daùy hoùc noựi chung vaứ ủoồi mụựi phửụng phaựp daùyvaứ hoùc toaựn noựi rieõng trong trửụứng THCS hieọn nay laứ tớch cửùc hoaự hoaùt ủoọnghoùc taọp, hoaùt ủoọng tử duy, ủoọc laọp saựng taùo cuỷa hoùc sinh, khụi daọy vaứ phaựttrieồn khaỷ naờng tửù hoùc, nhaốm naõng cao naờng lửùc phaựt hieọn vaứ giaỷi quyeỏt vaỏnủeà, reứn luyeọn vaứ hỡnh thaứnh kú naờng vaọn duùng kieỏn thửực moọt caựch khoa hoùc,saựng taùo vaứo thửùc tieón

Trong chửụng trỡnh ẹaùi soỏ lụựp 8, daùng toaựn phaõn tớch ủa thửực thaứnh nhaõntửỷ laứ noọi dung heỏt sửực quan troùng, vieọc aựp duùng cuỷa daùng toaựn naứy raỏt phongphuự, ủa daùng cho vieọc hoùc sau naứy nhử ruựt goùn phaõn thửực, quy ủoàng maóu thửựcnhieàu phaõn thửực, giaỷi phửụng trỡnh, Qua thửùc teỏ giaỷng daùy nhieàu naờm, cuừngnhử qua vieọc theo doừi keỏt quaỷ baứi kieồm tra, baứi thi cuỷa hoùc sinh lụựp 8 (caực lụựpủang giaỷng daùy), vieọc phaõn tớch ủa thửực thaứnh nhaõn tửỷ laứ khoõng khoự, nhửngvaón coứn nhieàu hoùc sinh laứm sai hoaởc chửa thửùc hieọn ủửụùc, chửa naộm vửừng,nắm chaộc caực phửụng phaựp giaỷi, chửa vaọn duùng kú naờng bieỏn ủoồi moọt caựchlinh hoaùt, saựng taùo vaứo tửứng baứi toaựn cuù theồ

Nhaốm ủaựp ửựng yeõu caàu ủoồi mụựi phửụng phaựp giaỷng daùy, giuựp hoùc sinhthaựo gụừ vaứ giaỷi quyeỏt toỏt nhửừng khoự khaờn, vửụựng maộc trong hoùc taọp ủoàng thụứinaõng cao chaỏt lửụùng boọ moõn neõn vieọc phaõn hoựa hoùc sinh theo trỡnh ủoọ naờnglửùc tử duy cuỷa hoùc sinh laứ ủieàu quan troùng vaứ caàn thieỏt, vỡ vaọy baỷn thaõn toõi ủaừ

choùn ủeà taứi: “ Đổi mới kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử ủaùi

soỏ 8 theo hửụựng daùy hoùc phaõn hoựa”

2 Mục đích nghiên cứu:

- Trang bị cho học sinh lớp 8 một cỏch cú hệ thống cỏc phương phỏp phõntớch đa thức thành nhõn tử, nhằm giỳp cho học sinh cú khả năng vận dụng tốtdạng toỏn này

- Học sinh cú khả năng phõn tớch thành thạo một đa thức thành nhõn tử

- Phỏt huy khả năng suy luận, phỏn đoỏn và tớnh linh hoạt của học sinh

- Thấy được vai trũ của việc phõn tớch đa thức thành nhõn tử trong giảitoỏn từ đú giỏo dục ý thức học tập của học sinh

- Góp phần nâng cao chất lợng dạy học ở bậc Trung học cơ sở

- Đào tạo nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứng dụng đợc tri thức vàothực tiễn cuộc sống

3 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Tìm hiểu nội dung dạy học về phân tích đa thức thành nhân tử trong SGKToán 8 - Tập I

- Tìm hiểu mạch kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử

4 Phạm vi và đối t ợng nghiên cứu :

- Khi viết đeà taứi này tôi đã nghieõn cửựu tại trửụứng THCS Hng Long - Xã:Hng Long - Huyện: Yên Lập - Tỉnh: Phú Thọ Đối tợng là học sinh lớp 8A (Lớpthực nghiệm) và 8B (Lớp kiểm chứng) của trờng

- YÙ tửụỷng cuỷa ủeà taứi raỏt phong phuự, ủa daùng, phaùm vi nghieõn cửựu roọng,nhng baỷn thaõn chổ nghieõn cửựu qua boỏn phửụng phaựp phaõn tớch ủa thửực thaứnhnhaõn tửỷ ụỷ chửụng trỡnh SGK, SBT toaựn 8 hieọn haứnh

5 Ph ơng pháp nghiên cứu :

+) Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu lý thuyÕt:

- Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 8, tài liệu có liênquan

+)Phương pháp chuyên gia:

- Xin ý kiến các đồng nghiệp cĩ kinh nghiệm trong quá trình xây dựng,

hồn thiện đề tài

+) Ph¬ng ph¸p thùc nghiƯm s ph¹m:

- Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh

- Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra

- Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh

PhÇn II: NỘI DUNG:

Ch¬ng I: C¬ së lý luËn vµ thùc tiƠn:

1 Cơ sở lý luận :

Trước sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệthông tin như hiện nay, một xã hội thông tin đang hình thành và phát triểntrong thời kỳ đổi mới như nước ta đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạotrước những thời cơ và thách thức mới Để hòa nhập tiến độ phát triển đó thìgiáo dục và đào tạo luôn đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc:

“§ào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà

nước đã đề ra, đó là “§ổi mới giáo dục phổ thông theo Nghị quyết số40/2000/QH10 của Quốc hội”

Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đườngduy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổthông Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hộikiến thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán làmôn học đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó

Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bàitập do Thầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng

quát hoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích Dạng toán phân tích đathức thành nhân tử là một dạng toán rất quan trọng của môn §ại số 8 đápứng yêu cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để học sinh học tiếp các chương saunày, nhất là khi học về rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiềuphân thức và việc giải phương trình, … Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khảnăng nhận thức của học sinh đại trà mà chương trình chỉ đề cập đến bốnphương pháp cơ bản của quá trình phân tích đa thức thành nhân tử thông quacác ví dụ cụ thể, việc phân tích đó là không quá phức tạp và không quá banhân tử

Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thứcthành nhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao Để thựchiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năngnhư quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩnăng vận dụng bài toán, đặc biệt là giáo viên phải biết phân hóa, phân loạihọc sinh, tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phùhợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cách giải khác, lấy trình độchung của lớp làm nền tảng để giúp học sinh học tập tốt bộ môn

Vậy dạy học phân hóa là gì ?

Dạy học theo định hướng phân hóa là phân chia học sinh thành cácnhóm khác biệt nhau, có cùng đặc điểm tâm sinh lý, năng lực, nhu cầu, hoàncảnh, trình độ và tiến hành dạy học Dạy học phân hóa là quá trình tiếp cậndạy và học nhằm đáp ứng nhu cầu, năng lực khác nhau của các nhóm họcsinh trong cùng một lớp Mục đích của dạy học phân hóa là làm tối đa hóakhả năng của mỗi cá nhân thông qua quá trình dạy học mà cá nhân đó thamgia

Hiện nay, có các xu hướng dạy học phân hóa sau:

- Phân hóa theo trình độ, năng lực tư duy của học sinh

- Phân hóa theo phong tục, tập quán vùng miền

- Phân hóa theo địa hình cư trú, điều kiện tự nhiên, vị trí địa lý.

- Phân hóa theo điều kiện kinh tế - xã hội từng dịa phương

Phân hóa trong giáo dục là một đòi hỏi khách quan, nó diễn ra dưới nhiềuhình thức và cấp độ khác nhau: Cấp vĩ mô và cấp vi mô

Sáng kiến này chỉ đề cập đến những hình thức phân hóa ở cấp vi mô đó làphân hóa trong các giờ học chính khóa, ngoại khóa, bồi dưỡng học sinh giỏi,giúp đỡ học sinh yếu kém với dạng toán phân tích đa thức thành nhân tửtrong chương trình toán 8 - THCS Và chủ yếu là phân hóa theo trình độnăng lực tư duy của học sinh

2 Cơ sở thực tiễn của dạy học phân hóa :

2.1: Tư tưởng chủ đạo:

Tiến hành dạy học phân hóa trong môn toán ở trường THCS là cần thiết vàdựa trên những tư tưởng chủ đạo dưới đây :

- Lấy trình độ phát triển chung của số đông học sinh trong lớp làm nềntảng

- Sử dụng nội dung môn học theo chương trình chuẩn kiến thức kỹ năngvà đề xuất biện pháp phân hóa đưa diện yếu kém lên trình độ chung

- Bổ xung một số nội dung thực hành và biện pháp phân hóa giúp họcsinh khá giỏi đạt những yêu cầu phát triển nâng cao trên cơ sở đạt đượcnhững yêu cầu cơ bản

Tư tưởng chủ đạo trên của dạy học phân hóa xuất phát từ quan hệ biệnchứng thống nhất giữa tính đồng loạt và tính phân hóa trong dạy học Mộtmặt đảm bảo tốt các mục tiêu dạy học đối với tất cả đối tượng học sinh, mặtkhác khuyến khích năng lực và sở trường của mỗi cá nhân

2.2 Quy trình thực hiện dạy học phân hóa môn Toán - THCS.

- Bước 1: Đánh giá, phân loại trình độ, năng lực học toán của học sinh

- Bước 2: Xây dựng kế hoạch nội dung, phương pháp dạy học phânhóa

- Bước 3: Triển khai thực hiện.

- Bước 4: Kiểm định và đánh giá

3 Thực trạng dạy học phân hóa môn toán ở trường THCS Hng Long X· Hng Long - HuyƯn: Yªn LËp - TØnh: Phĩ Thä hiện nay:

*) Về học sinh :

Tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính toán, kĩ năng quan sát nhận xét,biến đổi và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớpdưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8, do ch©ylười trong học tập, ỷ lại, trông nhờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tựhọc, tự rèn, ý thức học tập yếu kém

Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo,nên khi gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thíchhợp, không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau,phương pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất

*) Về giáo viên :

- Đa số giáo viên có ý thức dạy học phân hóa, đã thực hiện dạy học phânhóa nhưng hầu hết chưa có kiến thức cơ sở thật sự về dạy học phân hóa

- Một số giáo viên thấy cần thiết phải dạy học phân hóa nhưng chưa thựchiện được

- Khả năng ước lượng đúng đối tượng học sinh của giáo viên khá tốtnhưng còn một số giáo viên chưa chú ý đến điều này

- Việc xác định đúng độ khó của các nội dung lý thuyết và các bài tập khátốt nhưng nhiều giáo viên chưa chỉ rõ được điểm khó đối với học sinh Điềunày dẫn đến việc ra bài tập và thực hành xắp xếp nội dung dạy học cho phùhợp với đối tượng học sinh trong khi dạy học phân hóa chưa đạt hiệu quả nhưmong muốn

- Tài liệu nghiên cứu và hướng dẫn thực hiện cụ thể chưa có, việc chỉ đạo,tổ chức dạy học phân hóa chưa thật tốt, chưa thực hiện được ở tất cả các mônvà tất cả giáo viên.

- Hơn thế nữa, một số giáo viên chưa thật sự đổi mới phương pháp dạyhọc hoặc đổi mới chưa triệt để, ngại sử dụng đồ dùng dạy học, phương tiệndạy học, vẫn tồn tại theo lối giảng dạy cũ xưa, xác định dạy học phươngpháp mới còn mơ hồ

Ch ¬ng II : C¸c biƯn ph¸p (Gi¶i ph¸p) n©ng cao chÊt l ỵng :

1 Những giải pháp mới của đề tài:

- Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản

- Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân

tử

 Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản

+ Phương pháp Đặt nhân tử chung

+ Phương pháp Dùng hằng đẳng thức

+ Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử

 Đối với học sinh đại trà: Vận dụng và phát triển kỹ năng

+ Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên)

- Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán

- Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành

- Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán

- Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao)

 Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy

giới thiệu hai phương pháp:

+ Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác

+ Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử

2 C¸c ph¬ng ph¸p cơ thĨ:

Củng cố kiến thức cơ bản:

 Phương pháp Đặt nhân tử chung:

Phương pháp chung:

Ta thường làm như sau:

- Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số).

- Tìm nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất).

Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D)

*) Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử ta cần đổi dấu các hạng tử

Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x2 y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử

(BT - 39c - SGK - 19)

Giáo viên gợi ý:

- Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 28 trong các hạng tử trên? (Học sinh trả lời là: 7, vì ƯCLN(14, 21, 28 ) = 7 )

- Tìm nhân tử chung của các biến x2 y, xy2, x2y2 ?

(Học sinh trả lời là xy )

- Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là 7xy

Giáo viên gợi ý:

- Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ? (Học sinh trả lời là: 2)

- Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ?

(Học sinh trả lời là: (x – y) hoặc (y – x) )

- Hãy thực hiện đổi dấu tích 10x(x - y) hoặc tích - 8y(y - x) để có nhân

tử chung (y – x) hoặc (x – y)?

Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y)

Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x) (Học sinh tự giải )

10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y)

= 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y)

Vớ duù 3: Phaõn tớch ủa thửực 9x(x – y) – 10(y – x)2 thaứnh nhaõn tửỷ

Lụứi giaỷi sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (ủoồi daỏu sai )

= (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai tửứ treõn) = (x – y)(19x – 10y) (keỏt quaỷ sai )

Sai laàm cuỷa hoùc ụỷ ủaõy laứ:

Thửùc hieọn ủoồi daỏu sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2

Sai laàm ụỷ treõn laứ ủoồi daỏu ba nhaõn tửỷ ứ: - 10 vaứ (y - x)2 cuỷa tớch - 10(y - x)2

(vỡ –10(y – x)2 = –10(y – x)(y – x))

Lụứi giaỷi ủuựng:

9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2

= (x – y)[9x – 10(x – y)]

= (x – y)(10y – x)

Qua vớ duù treõn, giaựo vieõn cuỷng coỏ cho hoùc sinh:

Caựch tỡm nhaõn tửỷ chung cuỷa caực haùng tửỷ (tỡm nhaõn tửỷ chung cuỷa caực heọsoỏ vaứ nhaõn tửỷ chung cuỷa caực bieỏn, moói bieỏn chung laỏy soỏ muừ nhoỷ nhaỏt)

Quy taộc ủoồi daỏu vaứ caựch ủoồi daỏu cuỷa caực nhaõn tửỷ trong moọt tớch

*) Chuự yự: Tớch khoõng ủoồi khi ta ủoồi daỏu hai nhaõn tửỷ trong tớch ủoự (moọt caựch

toồng quaựt, tớch khoõng ủoồi khi ta ủoồi daỏu moọt soỏ chaỹn nhaõn tửỷ trong tớch ủoự).

 Phơng pháp dùng hằng đẳng thức:

Phửụng phaựp chung:

Sửỷ duùng baỷy haống ủaỳng thửực ủaựng nhụự dửụựi “daùng toồng hoaởc hieọu” ủửa

veà “daùng tớch”

1 A2 + 2AB + B2 = (A + B)2

Lời giải sai:

(x + y)2 – (x– y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc) = 0.(2x) = 0 (kết quả sai)

Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện thiếu dấu ngoặc

Lời giải đúng:

(x + y)2 – (x– y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)]

= (x + y – x + y)(x + y + x – y)

= 2y 2x = 4xy

Các sai lầm học sinh dễ mắc phải:

- Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc và quy tắc dấu

- Phép biến đổi, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình

phương, bình phương của một hiệu

Khai thác bài toán: Đối với học sinh khá giỏi, giáo viên có thể cho các em

làm bài tập dưới dạng phức tạp hơn

*) Nếu thay mũ “2” bởi mũ “3” ta có bài toán

Phân tích (x + y)3 – (x – y)3 thành nhân tử (BT- 44b - SGK- 20)

*) Đặt x + y = a, x – y = b, thay mũ “3” bởi mũ “6” ta có bài toán

Phân tích a6 – b6 thành nhân tử (BT- 26c - SBT- 6)

a6 – b6 =    a3 2 b3 2 = (a3 – b3 )( a3 + b3 )

Ví dụ 5: Phân tích a6 – b6 thành nhân tử (BT- 26c - SBT- 6)

Giải:

a6 – b6 =    a3 2 b3 2 = (a3 – b3 )( a3 + b3 )

= (a – b)(a2 + ab + b2)(a + b)(a2 – ab + b2)

Giáo viên củng cố cho học sinh:

Các hằng đẳng thức đáng nhớ, kĩ năng nhận dạng hằng đẳng thức quabài toán, dựa vào các hạng tử, số mũ của các hạng tử mà sử dụng hằng đẳngthức cho thích hợp

 Ph¬ng ph¸p nhãm h¹ng tư:

Phương pháp chung

Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất

hiện một trong hai dạng sau hoặc là đặt nhân tử chung, hoặc là dùng hằng đẳng thức

Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau:

- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán

- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:

+ Mỗi nhóm đều phân tích được.

+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa.

1) Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung:

Ví dụ 6: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử

(Bài tập 47a - SGK - 22) Cách 1: nhóm (x2 – xy) và (x – y)

Cách 2: nhóm (x2 + x) và (– xy – y )

Lời giải sai:

x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)

= x(x – y) + (x – y)

= (x – y)(x + 0) (kết quả sai vì bỏ sót số 1)

Sai lầm của học sinh là: bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung

(HS cho rằng ở ngoặc thứ hai khi đặt nhân tử chung (x – y) thì còn lại là số 0)

Lời giải đúng:

x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)

= x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1)

2) Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức:

Ví dụ 7: Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhân tử

Giải :

x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2

= (x – 1)2 – (2y)2

= (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y)

3) Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên:

Ví dụ 8: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử

Lời giải sai:

x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai)

= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên)

= (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết quả dấu sai)

Sai lầm của học sinh là:

Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y )

(đặt dấu sai ở ngoặc thứ hai)

Lời giải đúng:

x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (– 2x – 4y )

= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2)

Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh:

Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu trừ “ – ” hoặc dấu cộng “ + ” ởtrước dấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm

Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinhcần chú ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm

Lưu ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân

tích thành nhân tử không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai, phải thực hiện lại.

Vận dụng và phát triển kỹ năng

 Phèi hỵp nhiỊu ph¬ng ph¸p:

Phương pháp chung

Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp §ặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử, Vì vậy học sinh cần nhận xét bài toán

một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp

Ta thường xét từng phương pháp: Đặt nhân tử chung?

Dùng hằng đẳng thức?

Nhóm nhiều hạng tử?

Ví dụ 9: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử

(BT- ?2 - SGK- 22) Gợi ý phân tích: Xét từng phương pháp: Đặt nhân tử chung?

Dùng hằng đẳng thức?

Nhóm nhiều hạng tử?

Lời giải chưa hoàn chỉnh:

a) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (phân tích chưa triệt để)

b) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)

= x3(x – 9) + x(x – 9 ) = (x – 9)(x3 + x ) (phân tích chưa triệt để)

Lời giải đúng:

x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9)

= x[(x3 – 9x2 ) + (x – 9)]

= x[x2 (x – 9) + 1.(x – 9)]

= x(x – 9)(x2 + 1)

Ví dụ 10: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 - x3 - y3- z3 thành nhân tử

(Bài tập 57- SBT- 9 toán 8 tập 1)

Trong ví dụ này có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựachọn cách giải phù hợp nhất, gọn nhất

Áp dụng hằng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B)

Suy ra hệ quả sau: A3 + B3 = (A + B)3 – 3AB(A + B)

Giải :

A = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 = [(x + y) + z]3 – x3 – y3 – z3

= (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) - x3 - y3 - z3

= [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z) = 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 ) = 3(x + y)( xy + xz + yz + z2)

= 3(x + y)(y + z)(x + z)

*) Khai thác bài toán:

1) Chứng minh rằng A chia hết cho 6 với mọi x, y, z nguyên

2) Cho x + y + z = 0 Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz

(Bài tập 38- SBT - 7)

Hướng dẫn:

Dùng x 3 + y 3 = (x + y) 3 – 3xy(x + y) và x + y + z = 0  x + y = – z

3) Phân tích đa thức x3 + y3 + z3 – 3xyz thành nhân tử

(Bài tập 28c - SBT- 6)

Hướng dẫn:

Dùng x 3 + y 3 = (x + y) 3 – 3xy(x + y)

Trong chương trình sách giáo khoa Toán 8 hiện hành chỉ giới ba

phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử Tuy nhiên trong phần bài tập lại có những bài không thể áp dụng ngay ba phương pháp trên để giải, (Chẳng hạn như bài tập 53, 57 sgk - 24 + 25) Sách giáo khoa có gợi ý cách “ tách ” một hạng tử thành hai hạng tử khác hoặc “ thêm và bớt cùng một hạng tử ” thích

hợp rồi áp dụng các phương pháp trên để giải Xin giới thiệu thêm về haiphương pháp này, để học sinh vận dụng rộng rãi trong thực hành giải toán

Phát triển tư duy

 Ph¬ng ph¸p t¸ch mét h¹ng tư thµnh nhiỊu h¹ng tư kh¸c:

Ví dụ 11: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + 4 thành nhân tử

Gợi ý ba cách phân tích: (chú ý có nhiều cách phân tích)

Cách 3 (tách hạng tử : 4) 3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 12 – 8x + 16

- Làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương (cách 1)

- Làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ đó làm

xuất hiện nhân tử chung x – 2 (cách 2)

- Làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung (cách 3)

Vì vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác là nhằm làm xuất hiện các phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử là việc làm hết sức cần thiết đối với học sinh trong giải toán.

*) Khai thác cách giải: Tách hạng tử: – 8x (Cách 2)

Nhận xét: Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + 4 ta thấy hệ số ở các số hạng là:

3, – 6, –2, 4 tỷ lệ nhau

Khai thác: Trong đa thức 3x 2 – 8x + 4 đặt a = 3, b = – 8, c = 4

Tính tích a.c và phân tích a.c = b1.b2 sao cho b1 + b2 = b

(ac = b1.b2 = 3.4 = (– 6).( – 2) = 12; b1 + b2 = b = (– 6) + ( – 2)= – 8)

*) Tổng quát:

Để phân tích đa thức dạng ax 2 + bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử

bx thành b 1 x + b 2 x sao cho b 1 b 2 = ac Trong thực hành ta làm như sau:

Lưu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hiện các hệ số tỉ

lệ, tuỳ theo đặc điểm của các hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp nhằm để vận dụng phương pháp nhóm hoặc hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung.

Ví dụ 12: Phân tích đa thức sau ra thừa số : n3 – 7n + 6

Ví dụ 13: Phân tích đa thức x4 – 30x2 + 31x – 30 thành nhân tử

Ta có cách tách như sau: x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30

Giải :

x4 – 30x2 + 31x – 30 = x4 + x – 30x2 + 30x – 30

= x(x3 + 1) – 30(x2 – x + 1) = x(x + 1)(x2 – x + 1) – 30(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x – 30)

= (x2 – x + 1)(x – 5)(x + 6)