CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ Y=AX2

- Biết phân tích và giải được các bài toán về sự tương quan giữa Parabol và đường thẳng.. Thực hiện tiết dạy minh họa 3.. - Xây dựng tiết dạy minh họa... Sự cần thiết của chuy

TRƯỜNG THCS NGUYỄN KHUYẾN

TỔ: TOÁN - TIN

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

Vĩnh Phước, ngày 15 tháng 03 năm 2019

KẾ HOẠCH TỔ CHỨC CHUYÊN ĐỀ

“PHÁT TRIỂN KĨ NĂNG CHO HỌC SINH THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG.”

Thực hiện theo Kế hoạch thực hiện chuyên đề của trường THCS Nguyễn Khuyến năm học 2018 - 2019

Nay, nhóm bộ môn toán 9 , tổ Toán - tin tổ chức chuyên đề “ Phát triển kĩ năng cho học sinh thông qua một số bài toán về tương giao giữa Parabol và đường thẳng" năm học 2018-2019.

I/Mục đích:

- Nắm vững các kiến thức về hàm số y = ax2 và y = ax + b công thức nghiệm của phương trình bậc hai và hệ thức Vi-ét

- Biết phân tích và giải được các bài toán về sự tương quan giữa Parabol và đường thẳng

- Biết kết nối các kiến thức đã học vào các bài toán mở rộng

II/Nội dung triển khai:

1 Triển khai nội dung chuyên đề cấp cụm

2 Thực hiện tiết dạy minh họa

3 Đánh giá rút kinh nghiệm chuyên đề

III/Kế hoạch thực hiện:

1/Thời gian và địa điểm:

- Thời gian: 8h00’ , ngày 28/03/2019

- Địa điểm: Phòng hội đồng và phòng máy chiếu

- Lớp dạy: lớp 9/1

2/ Phân công nhiệm vụ:

- Xây dựng chuyên đề: Nguyễn Thị Thủy, Phạm Minh Vũ, Hoàng Tuấn Tài, Trần Thị Kim Liên, Phạm Thị Kim Dung.Trần Thị Khánh Hà, Nguyễn Thu Hương, Trần Cao Hạnh Nguyên

- Viết báo cáo: Hoàng Tuấn Tài, Trần Thị Kim Liên, Phạm Thị Kim Dung

- Xây dựng tiết dạy minh họa

Phạm Minh Vũ

Hoàng Tuấn Tài

Nguyễn Gia Bảo

Huỳnh Thị Cao Đẳng

3/Báo cáo viên:

Thầy: Hoàng Tuấn Tài

4/ Người dạy minh họa

Thầy: Phạm Minh Vũ

5/Thành phần tham dự:

Nhóm toán các trường : Nguyễn Khuyến, Lý Thái Tổ, Mai Xuân Thưởng, Nguyễn Viết Xuân, Lý Thường Kiệt

* Yêu cầu – đề xuất:

Ban Giám Hiệu Tổ trưởng chuyên môn Người lập kế hoạch

Lưu Hải Sơn Nguyễn Thị Thủy Hoàng Tuấn Tài

A TÊN CHUYÊN ĐỀ:

“PHÁT TRIỂN KĨ NĂNG CHO HỌC SINH THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG.”

B NỘI DUNG

I Đặt vấn đề

1 Sự cần thiết của chuyên đề

Định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay đã xác định “phương pháp dạy học Toán trong nhà trường các cấp phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động của người học, hình thành và phát triển năng lực tự học, trau dồi các phẩm chất linh hoạt , độc lập sáng tao của tư duy”.Bắt nguồn từ định hướng đó giáo viên cần phải học hỏi nghiên cứu, tìm tòi và áp dụng những phương pháp dạy học sao cho phù hợp với từng vùng miền, từng đối tượng học sinh, từng kiểu bài làm cho hiệu quả giờ học đạt cao nhất

2 Mục đích, yêu cầu của chuyên đề

- Tạo hứng thú cho học sinh khi học về chương hàm số y = ax2

- Giúp học sinh nâng cao năng lực tư duy, phân tích vấn đề và tự định hướng để giải quyết các bài toán mở rộng dựa trên các dạng toán cơ bản đã học

II Thực trạng

Thực tiễn tại trường THCS Nguyễn Khuyến – Nha Trang nói riêng và các

trường THCS nói chung khi dạy về chương hàm số y = ax2 , bên cạnh học sinh có

tư duy tốt, tự giác cao thì còn nhiều học sinh vẫn học theo thói quen rập khuôn, áp dụng mà không chịu tư duy, suy luận Vẫn còn nhiều học sinh chưa nắm vững được kiến thức cơ bản, chưa biết cách phân tích bài toán để tìm ra hướng giải quyết mà các em thường rập khuôn theo mẫu mà giáo viên làm sẵn, nhưng khi gặp một dạng toán hơi khác thì các em không làm được bởi các em không biết phải làm gì, bắt đầu từ đâu và điều đáng nói là có em chưa hiểu yêu cầu của đề bài đặt ra

Qua những điều đó nãy sinh cho chúng tôi những trăn trở: Làm thế nào để học sinh hứng thú, say mê trong khi học Làm thế nào để các em có thế tự tư duy, phân tích và tự tìm ra cho mình định hướng để giải quyết bài toán mở rộng dựa trên các dạng toán cơ bản mà các em đã biêt, đặc biệt là giải quyết các bài toán chứa

tham số Với mong muốn đó, chúng tôi xin chọn chuyên đề “MỘT SỐ CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG.” III Nội dung và các giải pháp

1 Nội dung

a) Các dạng toán cơ bản về hàm số y = ax 2 (a≠ 0)

1 Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 (a≠ 0)

2 Tìm một thành phần trong hàm số để thỏa mãn điều kiện cho trước

3 Xác định điểm thuộc hay không thuộc đồ thị hàm số

4 Tìm tọa độ giao điểm của Parabol (P) y = ax2 với đường thẳng (d) y =

mx + n

*) Lý thuyết về sự tương giao giữa Parabol và đường thẳng:

Cho (P): y = ax2 (a≠ 0)và (d): y = mx + n

1/ Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của pt:

ax 2 =mx+m  ax 2 –mx–n = 0 (*)

2/ Số điểm chung của (P) và (d) bằng số nghiệm của pt (*), nghĩa là:

- (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi pt (*) có 2 nghiệm phân biêt ∆> 0

- (d) tiếp xúc (P) khi pt (*) có nghiệm kép  ∆= 0

- (P) và (d) không giao nhau khi pt (*) vô nghiệm ∆< 0

b) Các ví dụ :

Ví dụ 1: Chứng minh rằng (d1) y = 3x – 2 và (d2) y = -x + 6 cắt nhau tại một điểm thuộc (P) y = x2

Phân tích: Đối với bài toán này một số học sinh thường lúng túng khi gặp tới ba

hàm số trong một bài toán, nên các em thường không phải biết xử lí bài toán này như thế nào Giáo viên có thể đặt ra các câu hỏi gợi mở cho học sinh:

- Giả sử (d1) cắt (d2) tại điểm A ta cần chứng minh điều gì?

- Bài toán này điểm A chưa biết Vậy phải tìm trước điểm A

Từ đó rút ra các bước chứng minh cho bài toán này:

1 Tìm tọa độ giao điểm A của (d1) và (d2)

2 Chứng tỏ A thuộc (P) Từ đó rút ra kết luận

Giải:

Tọa độ giao điểm A của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình

Vậy (d1) cắt (d2) tại điểm A(2;4)

Thay x=2, y=4 vào (P) y=x2 , ta có

4=22 (hiển nhiên đúng ) Suy ra A thuộc (P)

Vậy (d1): y = 3x – 2 và (d2): y = -x + 6 cắt nhau tại điểm A thuộc (P): y = x2

Ví dụ 2: Cho (P) y = x2 và (d) y = 2x + 3m

a) Tìm m để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt

b) Tìm m để (d) tiếp xúc (P) , tìm tọa độ tiếp điểm

c) Tìm m để (P) và (d) không giao nhau

Phân tích: Đây là dạng toán quen thuộc học sinh đã gặp ở chương 2 khi tìm mối

quan hệ giữa hai đường thẳng, với cách làm tương tự là lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d), cần phân tích cho học sinh thấy được mối tương quan giữa số giao điểm của (P) và (d) ứng với số nghiệm của phương trình bậc hai một

ẩn Và đây cũng là bài toán cơ bản nhất đối với các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai chứa tham số mà học sinh cần hiểu và nắm vững để vận dụng cho các bài toán khác có liên quan

Giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

x2 = 2x + 3m ⇔ x 2 – 2x – 3m = 0 (1)

Có: ∆= 4 + 12m

a) (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt khi PT(1) có hai nghiệm phân biệt

Suy ra: ∆ > ⇔ 0 4 + 12m > 0 ⇔ 1

3

m> −

b) (P) tiếp xúc với (d) khi PT(1) có nghiệm kép

Suy ra: ∆ = ⇔ 0 1

3

m= −

nghiệm kép của phương trình x = 1 suy ra y = 1 Vậy tọa độ tiếp điểm là (1;1)

c) (P) và (d) không giao nhau khi PT(1) vô nghiệm

Suy ra: ∆ > ⇔ 0 1

3

m< −

Ví dụ 3: Cho (P): y = x2 và (d): y = -x +2

a) Chứng minh rằng trên (P) có hai điểm A, B thuộc (d)

b) Tính diện tích ΔOAB

Phân tích : Ở câu a này học sinh sẽ lúng túng tìm hai điểm nào đó trên (P) để thay

vào (d) nhưng việc này ko thể , hoặc có em sẽ vẽ hai đồ thị nhưng cách làm này ko thuyết phục với bài toán chứng minh

Giả sử nếu có hai điểm trên (P) cũng thuộc (d) thì số điểm chung của chúng sẽ là 2 Điều này xảy ra khi phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt

Giải:

a) Chứng minh:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d)

x2 = -x +2⇔ x 2 +x –2= 0 (2)

Vì pt(2) có a+b+c=0 nên có hai nghiệm:

1

1 2 2

a

=



Vậy (P) và (d) có hai điểm chung A(1;1) và B(-2;4) Chứng tỏ trên (P) tồn tại hai điểm A, B thuộc (d)

b) Tính S ΔOAB.

Phân tích: Dạng toán này ta thường dùng tính chất cơ bản của diện tích đa giác

« Một đa giác được chia thành những đa giác nhỏ không có điểm trong chung thì diện tích đa giác đó bằng tổng diện tích các đa giác

nhỏ »

Giải:

Kẻ AHOy tại H, AHOy tại I, {M}=dOy, M(0;yM)(d) yM = 2

SΔOAB =SΔOMA+ SΔOMB

Ví dụ 4: Cho (P): y = x2 và (d): y = mx - m + 1 (m≠0) Tìm m để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

Phân tích:

- Lập phương trình hoành độ giao điểm phải có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dương



0

0

0



∆ >

 = >





 = >



b

S

a

c

P

a

Giải :

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

x2 = mx - m + 1 ⇔ x 2 – mx + m – 1 = 0 (3)

∆= m2 – 4m + 4 = (m – 2 )2 ≥ 0 với mọi m

(P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt khi PT(3) có hai nghiệm phân biệt

Suy ra : ∆ > ⇔ 0 (m – 2 )2 > 0 đúng với mọi m khác 2

4

3

2

1

x

y

M

O A

B

I

H

Phương trình (3) có hai nghiệm dương khi

1

0

−

 = >

 = >



b

P a

Vậy m >1 và m ≠ 2 thì (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.

Ví dụ 5: Chứng minh rằng: (P): y = x2 và (d): y = 2mx + m + 3 luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m

Phân tích: Với cách làm tương tự ví dụ 3, ở bài này ta cần chứng minh biệt thức ∆

luôn lớn hơn 0 với mọi m, bằng cách biến đổi ∆ = (A) 2 + số dương

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

x2 = 2mx + m + 3 ⇔ x 2 – 2mx – m – 3 = 0 (4)

∆= 4m2 + 4m + 12 = 4m2 + 4m + 1 + 11 = (2m + 1)2 + 11 > 0 với mọi m

Suy ra PT (4) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m Vậy (P): y = x2 và (d):y=2mx + m + 3 luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m

Ví dụ 6: Cho (P): y = x2 và (d): y = 2x +1 – 3m ( 1

3

m≠ ) Tìm m để :

a) (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt nằm cùng phía so với trục tung.

b) Tìm m để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt nằm khác phía so với trục tung Phân tích: Đây là bài toán cùng dạng với ví dụ 4 Ở câu a) đa số học sinh chỉ làm

được ý đầu tiên là phương trình có hai nghiệm phân biệt còn ý sau các em không biết phải xử lý như thế nào Vì (P) nhận Oy làm trục đối xứng nên nếu hai điểm nằm cùng phía đối với Oy thì hoành độ của hai điểm đó cùng dương hoặc cùng âm ( hay còn hiểu là hai hoành độ cùng dấu)

Giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

x2 = 2x +1 – 3m ⇔ x 2 – 2x – 1 + 3m = 0 (5)

∆= 4 + 4 – 12m = 8 – 12m a) (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt khi PT(5) có hai nghiệm phân biệt

Suy ra: Δ = 8 – 12m > 0 ⇔ 2

3

m<

Với 2

3

m< , PT (5) có hai nghiệm cùng dấu khi P = c 0

a >

suy ra: – 1 + 3m > 0 ⇔ 1

3

m>

Vậy 1 2

3 < <m 3 thì (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt nằm cùng phía so với trục tung

Phân tích: Ở câu b) Tương tự như câu a, vì (P) nhận Oy làm trục đối xứng nên

nếu hai điểm nằm khác phía đối với Oy thì hai hoành độ trái dấu tức là x1x2< 0)

Chú ý rằng:

0

0 0

∆ >



 = <



c P c

a P

a

b) Giải :

(P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt khi PT(5) có hai nghiệm phân biệt trái dấu khi:

0

0 0

∆ >



 = <



c P c

a P

a

Suy ra: c =

a – 1 + 3m < 0 ⇔ 1

3

m<

3

m< thì (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt nằm khác phía so với trục tung

Ví dụ 7: (P) y = -x2 và (d) y = 2mx - 3 Tìm m để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách AB ngắn nhất

Phân tích: Ở bài toán này nếu học sinh tương đối khá giỏi thì thường dụng cách tìm

tọa độ của x, y theo m sau đó dùng công thức tính độ dài đoạn thẳng khi biết tọa độ rồi từ đó tìm GTNN của biểu thức Tuy nhiên bài việc tính m để khoảng cách từ A đến B nhỏ nhất còn sử dụng hệ thức Vi-et để bài toán trở nên đơn giản hơn nếu tính

x, y theo m

Giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

-x2 = 2mx – 3⇔ x 2 + 2mx – 3 = 0 (6)

∆= 4m2 + 12 > 0 với mọi m PT(6) luôn có nghiệm với mọi m

Theo hệ thức Vi-et:

2

b

a c

x x

a

−

 + = = −







(1 4 m )( ) (1 4 m ) ( ) 4

(1 4 m )(4 m 12) 12 2 3

Ta có AB ngắn nhất bằng 2 3 khi m = 0

Ví dụ 8: Chứng minh rằng (P): y = 2x2 luôn cắt (d): y = (m – 2 )x – m tại một điểm cố định với mọi giá trị của m

Phân tích: Khi đọc vào bài toán này đa số học sinh sẽ lập ngay phương trình hoành

độ của (P) và (d), sau đó chứng minh (P) luôn cắt (d) với mọi m, tính hai tọa độ giao điểm của (P) và (d) và khẳng định một trong hai điểm đó là điểm cố định Tuy nhiên ngoài cách trên chúng ta còn cách tìm điểm cố định của họ đường thẳng ở chương II và chứng minh điểm cố định đó thuộc vào (P) là bài toán sẽ giải quyết đơn giản hơn

Giải:

Ta có y = (m + 2 )x – m ⇔(x – 1)m + 2x – y = 0 (7)

Để phương trình (7) nghiệm đúng với mọi m thì 1 0 1

Vậy (d) luôn đi qua điểm cố định M(1;2)

Thay x = 1, y = 2 vào (P), ta có:

2=2.12 ⇔ 2=2

Suy ra M(1;2) thuộc vào đồ thị (P)

Vậy (P)y = 2x2 luôn cắt (d) y = (m – 2 ).x – m tại một điểm cố định với mọi giá trị của m

Ví dụ 9: (P): y = -x2 và (d) y = 2mx + m2 + 2m – 3 Tìm m để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 2 2

x +x có giá trị nhỏ nhất.

Phân tích: Ý dầu tiên nếu học sinh nào nắm vững ví dụ 2 đều làm được Với ý hai

học sinh cần phải hiểu xA và xB là nghiệm của phương trình hoành độ và mối tương quan giữa các nghiệm thường thì hay sử dụng hệ thức Vi-et

Giải :

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

-x2 = 2mx + m2 + 2m – 3⇔ x 2 + 2mx + m 2 + 2m - 3 = 0 (8)

∆= 4m2 – 4m2 – 8m + 12 = - 8m + 12 (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt khi PT(8) có hai nghiệm phân biệt

Suy ra 12 – 8m > 0 ⇔ 3

2

m<

Theo hệ thức Vi-et ta có 22





2 2

Suy ra 2 2

x +x có GTNN bằng 4 khi m - 1 = 0 ⇔m = 1 (thỏa 3

2

m< )

Vậy m = 1 thì (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 2 2

x +x có giá trị nhỏ

nhất

C) Phương pháp chung cho dạng toán tương giao giữa (P) và (d) là:

Bước 1: lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d)

Bước 2: Tìm giao điểm của (P) và (d) thỏa mãn điều kiện của đề bài

2 Các giải pháp

2.1 Đối với giáo viên

- Không nên dạy cho học sinh học và làm bài tập theo kiểu rập khuôn

- Giáo viên cần chuẩn bi hệ thống các câu hỏi gợi mở cho mỗi bài tập tương ứng để giúp học sinh (khi cần) có thể phát huy khả năng tư duy, phân tích, suy luận trong từng bài toán khác nhau

- Có sự thay đổi cấu trúc câu hỏi, tránh lập lại nhằm giúp các em tăng cường khả năng đọc, hiểu để từ đó có thể tìm ra cách giải bài toán

2.2 Đối với học sinh : Cần đạt được các năng lực

a Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh cần hiểu rõ vấn đề được nêu ra và

từ đó tìm ra hướng giải quyết vấn đề một cách tốt nhất

b Năng lực phân tích, tư duy, suy luận: Biết phân tích vấn đề, kết nối các

kiến thức đã học để giải quyết các vấn đề

c Năng lực tìm phương án tối ưu: Giải quyết vấn đề một cách hiệu quả

nhất

C KẾT LUẬN:

Thực tiễn dạy học trong thời gian qua và việc áp dụng các giải pháp trên vào quá trình dạy học môn Toán nói chung và môn toán 9 nói riêng chúng tôi đã rút ra một số bài học cơ bản

Một là: Mỗi giáo viên cần phải thường xuyên tự học, tự bồi dưỡng, rèn luyện

để không ngừng trau dồi về kiến thức kỹ năng dạy học

Hai là: Thường xuyên đổi mới về cách soạn, cách giảng, đưa các ứng dụng

công nghệ thông tin vào dạy học, đa dạng hoá các phương pháp và hình thức tổ chức dạy học để lôi cuốn được học sinh vào quá trình học tập

Ba là: Cần quan tâm sâu sát đến từng đối tượng học sinh đặc biệt là học sinh

yếu kém, giúp đỡ ân cần, nhẹ nhàng tạo niềm tin, hứng thú cho các em vào môn học

Bốn là: Trong quá trình dạy giáo viên phải hướng dẫn học sinh vào việc phát

huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, tạo ra những tình huống có vấn đề để học sinh thảo luận Trong mỗi tiết phải tạo ra được quan hệ giao lưu đa chiều giữa giáo viên – học sinh, giữa cá nhân, tổ chức nhóm