Tìm m để hệ phương trình : ïí có đúng 2 nghiệm thực phõn biệt... Phần I: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI 1.[r]
Trang 1Hệ phương trình trong các đề thi tuyển sinh đại học.
Các ví dụ
Bài 1:
a)
4 2
3 ) 2 (
x
x xy
2
5
x
Bài 2: Một số hệ dạng cơ bản
a Giải hệ khi m=12 b.Tìm m để hệ có nghiệm
8
) 1 )(
1 (
2 2
y x y x
m y
x xy
2 2 2
1 1
2
a
x y
x y a
Tìm m để hệ có nghiệm
1
x xy y
2 2
2
6 a y
x
a y x
a) Giải hệ khi a=2
b) Tìm GTNN của F=xy+2(x+y) biết (x,y) là nghiệm của hệ
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
y m x
x m y
2 2
) 1 (
) 1 (
6)
2 2
2 2
x y
y x
7) a.Giải hệ khi m=6 b.Tìm m để hệ có nghiệm
m y
x x
y y
x
y x
1 1
1 1
3 1 1
Bài 2:
HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt S=2x+y và P= 2x.y
35 8
15 2
3 3
2 2
y x
xy y
x
Đs : (1,3) và (3/2 , 2)
Bài 3:
Trang 2HD: từ (2) : -1 ≤ x , y ≤ 1 hàm số :
) 2 ( 1
) 1 ( 3 3
6 6
3 3
y x
y y x x
f t t33t
HD: xét lập BBT suy ra KQ
x
a x y
y
a y x
2 2
2 2
2
2
2 2 3
2x x a
y x
2 3
2 ) (x x x
Bài 5
2 2
2 2
x y
y x
Bài 6 xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8
) 1 (
) 1 (
2 2
x a y
xy
y a x
xy
Bài 7: HD : Rut ra Cô si
) 2 ( 5
) 1 ( 20 10
2 2
y xy
x xy
y y y
y
x 5 2 5 5 y 2 5
y x
x2 20 theo (1) x2 20 suy ra x,y
Bài 8: Tìm a để hệ có nghiệm
a y
x
a y
x
3
2 1
HD: từ (1) đặt u x1,v y2 được hệ dối xứng với u, - v
Chỉ ra hệ có nghiệm thì phương trình bậc hai tương ứng có 2 nghiệm trái dấu
Bài 9: Tìm m để hệ có nghiệm
m xy
x
y xy
26
12
2
2
Bài 10: dặt t=x/y có 2 nghiệm
19
2 ) (
3 3
2
y x
y y x
Bài 11: đặt X=x(x+2) và Y=2x+y
6 4
9 ) 2 )(
2 (
2 x y
x
y x x
x
Bài 12: đổi biến theo v,u từ phương trình số (1)
4
) 1 ( 2
2 2 2 2
y x y x
y x y x
Bài 13: Đặt x=1/z thay vào - W# hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2)
2 2
3 3
3
6
19 1
x xy
y
x y
x
HD: x=y V xy=-1
CM x4 x20 vô nghiệm bằng cách tách hoặc hàm số kq: 3 nghiệm
Trang 3Bài 14: xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ
a x y
a y x
2 2
) 1
(
) 1
(
Bài 15: HD bình phương 2 vế
3
3 2 2
xy y
x
x
y y
x
Bài 16: HD nhân 2 vế của (1) với
78
1 7
xy y xy
x
xy x
y y
x
xy
6 xy y x y x
3 y x xy
2 2
1 xy y x
3 y xy
4 y x
2 y ) 1 m ( mx
2 2
2 y 3 x y 2
2 x 3 y x 2
2 2
2 2
Bài tập 21 có nghiệm duy nhất thoả mãn x >1, y > 0
1 ay x
3 y 2 ax
5 y x
2
1 y
1 x 1
2 2
49 y xy x 5
56 y 2 xy x 6
2 2
2 2
6 y 3 x 3 y x
) xy ( 2 3 9
2 2
3 log )
xy ( 2 log
3 a 2 a y x
1 a 2 y x
2 2 2
m 3 1 y y x x
1 y x
2 2 2 2
y
2 x x 3
x
2 y y 3
1 ) 1 x ( log 3
1 x log 2 1
0 k x 3 1 x
3 2
2 2 3
Trang 4Bài tập 29
2 y x y x
y x y x
3
Các đề thi những năm gần đây về hệ phương trình
3
2
x y x y
x y x y
3x 2
x x 1 x
4 2
y
2 2
x 4 | y | 3 0 log x log y 0
3 2 x
3 y
log x 2x 3x 5y 3 log y 2y 3y 5x 3
3
2y x 1
x y
log xy log y
2 2 2 2
y 2 3y
x
x 2 3x
y
4
2 2
1 log y x log 1
y
x y 25
x x y y 1 3m
x my 3
mx y 2m 1
Trang 5thỏa mãn
x , y0 0
điều kiện 0
0
x 0
y 0
3 3
2 2
x y 7 x y
log xy
2 2
x y 3x 3y 6
2 2
2
log x y 5 2log x log y 4
6x xy 2y 56 5x xy y 49
2 2
ax 2y 3
x ay 1
0, y 0
3 3
2x y xy 15 8x y 35
2 2
2 2
2x y 3x 2 2y x 3y 2
x x
y y
x x
y y
2A 5C 90 5A 2C 80
(trong đó k là chỉnh hợp chập k của n phần tử, là tổ hợp chập k của n phần tử)
n
2 2
xy x y 3
x y x y xy 6
x 1 2 y 1 3log 9x log y 3
x y
Trang 6
x y x y
x x y y y
3
x y x y
2 2
Bµi tËp 27: §HC§ D 2006 chøng minh víi mäi a > 0
ln 1 ln 1
x y
y x a
3( ) 7( )
x xy y x y
x xy y x y
ln(1 ) ln(1 )
2 2
2 2
13 25
x y x y
x y x y
2 2
5 2 21
x y xy
1
2x y 2x
x y y x
x y
5
15 10
y x
4 3 2 2
3 2
1 1
x x y x y
x y x xy
Trang 7Bài tập 35: ĐHCĐ DB B 2007 chứng minh có đúng 2 nghiệm x > 0; y > 0.
2
2
2007
1
2007
1
x
y
y e
y x e
x
2
3 2
2 2
3
2
2 9 2
2 9
xy
x x xy
có nghiệm duy nhất
1
x y m
x xy
4 2
5 4 5 (1 2 )
4
x y x y xy xy
x y xy x
4 3 2 2 2
x x y x y x
x xy x
2 2
2
xy x y x y
36 97
1 6
13 6
13 1
2
x
y y y
x x
y
Bài tập 42 : Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:
my y y x
mx x x y
2 3 2
2 3 2
4 4
2
1y2 xy m y x
m y x
x my xy y
y mx xy x
2
2
2 2
Trang 8
0 1 1 2 3 2
3 2
0 1 2 3 2 3
1 2 2 2
3 1
2 2
2 2
2 2
y x
x
y x
x
y x
x
2 2 2
1
y x
y x
Bài tập 47: Chứng minh rằng với m hệ sau luôn có nghiệm:
m m y x xy
m xy y x
2
1 2
2 2 3
2 2 3 x y log
y x log y x
3 2
2
2 2 2
a y x
a y x
Gọi (x, y) là nghiệm của hệ Xác định a để tích xy là nhỏ nhất
y x log y
x log
x
y y x
3
32 4
1
1 2
2 x m y xy
y m x xy
Bài tập 52: Tìm m để hệ sau có nghiệm:
4 4 5
1 xy ) y x (
m xy
y x
1 4
2 2 4 1
3 1
2
4
2 4 4
4 4
2 2 4
y
x log x
y y log xy
log
y x log x
log y
x log
0
0
2 2
a ay x
x y x
3) Gọi (x1; y1), (x2; y2) là các nghiệm của hệ đã cho Chứng minh rằng:
x2 x1 2 y2 y12 1
Trang 9
1 1 1
2 3 9
2 2
3
2 2
y x
xy log xy
log
1
1
2 2
2
y x tg
x sin y a
ax
x log x
log
x log
y y
y
2
1 2
2
2 3
3
15 3 2
3 2 3
4
m y m x
m y mx
1) Với các giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x, y) thoả mãn x y 2) Với các giá trị của m đã tìm - W# hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x + y
m y
x xy
y x y x
1 1
8 2 2
2) Xác định m để hệ có nghiệm
2 2
2
9 3 2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
1
2 1 1
2
2 2
y x bxy a
b
2 2
2 2
4 3 4
3
4 3 4
3
m m
x y
m m
y x
m y x
y x 2
8
4 2 2
1
2 2
2y xy m x
m y xy x
Trang 10
2) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất
1 2
6
2 c by x b
ac y bx Tìm a sao cho tồn tại c để hệ có nghiệm với b
1 1
3
2 3 2
2 2
3 2
1 3
x xy x
. y x y
x
m x
y
m y
x
1 2
1 2
Bài tập 66: Tìm a để hệ sau có nghiệm:
2 1
2
2
a y
x y
x
y x
1
2
2 2
2
y x
a x y x
x
28 3
11 2
x
xy y x
2 2 2
16 16
4
9 9
3
4 4
2
y log x log z log
x log z log y log
z log y log x log
2
1y2 xy m y x
m y x
1) Giải hệ khi m = 4
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nhiều hơn hai nghiệm
3 2
1 2
0 2
6 4
5
y x y x
y x y
x y
x
2 2 2
1 1 y y
x
y x
y
x x y
x
y y x
4 3
4 3
10 2
3
1 2
2
x y y x
x y y x
Trang 11
13
5
4 2
2
4
2
2
y y
x
x
y
x
49 1
1
5 1 1
2 2 2
2
y x y
x
xy y
x
2
2
3
2
3
2
y
x
y
x
y
x
9
3
4
1
1
xy
y
x
5
1152
2
3
2
log
y
x
2 2
1
2
y
x
x
y
sin
x
sin
2 2
2 2
3
3
y
x
y
x
y
x
0 9 5
18 3
2
2
2
y
x
x
y x
x
x
y x y
x
y y
x
x
3
2
2
2
2
1
1
2
2
x a y xy
y a x xy
4 3
2
4 3
2
2
2
2
2
y x
y
x y
x
2
7
2
2
3
3
y x
y
x
y x
y
x
Trang 12
15
3
2 2
2 2
y x y x
y x y x
3 2
2x y
x
y xy log y log
5
x y
x y
2 2
8 ( 1)( 1)
x y x y
Bài tập 91: ĐH Y > W# 1998 Tìm a để hệ sau có đúng 2 nghiệm
2 2
2
2(1 ) 4
x y
2
x xy y m
xy x y m m
trình có nghiệm duy nhất
2 2
3 3
1 1
x y
x y
4 4
6 6
1 1
x y
x y
5 5
3 3
1 1
x y
x y
2 2 5 5
3 3
1
x y x y
x y
2 2
2 2
y x y x
2
3 3
19
x y y
x y
2
12
xy yx
2 2
2 2 2
y x y x
x y x
Trang 13Bài 2
3 3
26
4
5
x y
Bài
2 2
2 2 2
4
1
1 1
x y
x y
x y
y
xy
x y
tập 2: Bài
Bài 3
1
3
2
x x
x y xy x y
x y xy x y
2 2
7
x y x y
Bài 1: Một số hệ dạng cơ bản
8
) 1 )(
1 (
2
2 y x y x
m y
x xy
a) Giải hệ khi m=12
b) Tìm m để hệ có nghiệm
2 2 2
1 1
2
a
x y
x y a
1
x xy y
Tìm m để hệ có nghiệm
2 2
2
6 a y
x
a y x
a) Giải hệ khi a=2
b) Tìm GTNN của F=xy+2(x+y) biết (x,y) là nghiệm của hệ
y m x
x m y
2 2
) 1 (
) 1 (
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
13)
2 2
2 2
x y
y x
Trang 14
m y
x x
y y
x
y x
1 1
1 1
3 1 1
a) Giải hệ khi m=6
b) Tìm m để hệ có nghiệm
Bài 2:
(KB 2003)
2 2 2 2
2 3
2 3
y
x x
x
y y
HD:
Th1 x=y suy ra x=y=1
TH2 chú y: x>0 , y> 0 suy ra vô nghiệm
Bài 3:
35 8
15 2
3 3
2 2
y x
xy y
x
HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt
S=2x+y và P= 2x.y
Đs : (1,3) và (3/2 , 2)
Bài 4:
) 2 ( 1
) 1 ( 3 3
6 6
3 3
y x
y y x x
HD: từ (2) : -1 ≤ x , y ≤ 1 hàm số :
f t t33t
x
a x y
y
a y x
2 2
2 2
2
2
HD:
2 2 3
2x x a
y x
xét 3 2 lập BBT suy ra KQ
2 )
(x x x
Bài 6:
2 2
2 2
x y
y x
Bài 7: xác định a để hệ có nghiệm duy nhất
) 1 (
) 1 (
2 2
x a y
xy
y a x
xy
HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8
Trang 15Bài 8:
) 2 ( 5
) 1 ( 20 10
2 2
y xy
x xy
HD : Rut ra y
y y
y
x5 2 5
Cô si 5 y 2 5
y x
x2 20 theo (1) x2 20 suy ra x,y
2
) 1 (
3
y x y
x
y x y x
HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2)
Bài 10: Tìm a để hệ có nghiệm
a y x
a y
x
3
2 1
HD: từ (1) đặt u x1,v y2 được hệ dối xứng với u, - v
Chỉ ra hệ có nghiệm thì phương trình bậc hai tương ứng có 2 nghiệm trái dấu
Bài tập áp dụng
49 5
56 2
6
2 2
2 2
y xy x
y xy x
) ( 3
2 2
2 2
y x y
x
y y x x
0 9 5
18 ) 3 )(
2 (
2
2
y x x
y x x x
2
) ( 7
2 2
3 3
y x y x
y x y
x
HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm
2) Tìm m để hệ có nghiệm
m xy
x
y xy
26
12
2
2
3) dặt t=x/y có 2 nghiệm
19
2 ) (
3 3
2
y x
y y x
4) đặt X=x(x+2) và Y=2x+y
6 4
9 ) 2 )(
2 (
2
y x x
y x x
x
5) đổi biến theo v,u từ phương trình số (1)
4
) 1 ( 2
2 2 2 2
y x y x
y x y x
6) Đặt x=1/z thay vào - W# hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2)
2 2
3 3
3
6
19 1
x xy
y
x y
x
7) (KA 2003)
1 2
1 1
3
x y
y
y x x
Trang 16HD: x=y V xy=-1
CM x4 x20 vô nghiệm bằng cách tách hoặc hàm số kq: 3 nghiệm
8) xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ
a x y
a y x
2 2
) 1
(
) 1
(
9) HD bình phương 2 vế
3
3 2 2
xy y
x
x
y y
x
10) HD nhân 2 vế của (1) với
78
1 7
xy y xy
x
xy x
y y
x
xy
HỆ PHƯƠNG TRèNG ĐỐI XỨNG LOẠI I
Giải cỏc hệ phương trỡnh sau :
2 2
1
6
x xy y
MTCN
x y y x
2 2
4 2 2 4
5
( 98) 13
x y
NT
x x y y
2 2
3 3
30 ( 93) 35
x y y x
BK
x y
3 3
5 5 2 2
1
( 97)
x y
AN
x y x y
2 2
4 4 2 2
7 ( 1 2000) 21
x y xy
SP
x y x y
2 2
11
( 2000) 3( ) 28
x y xy
QG
7 1
78
x y
x xy y xy
2 2 2 2
1
( 99) 1
x y
xy
NT
x y
x y
2 2 2 2
1 1
4 ( 99)
1 1
4
x y
x y
AN
x y
x y
2
( 2)(2 ) 9
( 2001)
x x x y
AN
x x y
2
4
2 2
y
x
xy
y xy
x
2 2
7
3 3 16
x y xy
30
11
2 2
xy y x
y x xy
0 9 2 ) ( 3
13
2 2
xy y x
y x
35
30
3
3
2
2
y
x
xy
y
x
20
6
2 2
xy y x
x y y x
4
4
xy y x
y x
2
34
4 4
y x
y x
1) (0;2); (2;0) 2) (2; 3),( 3;2),(1 10;1 10),(1 10;1 10)3) (1;5),(5;1),(2;3),(3;2)
(3; 2),( 2;3),( 2 ; 2 ),( 2 ; 2 )
7) (4;4) 8) (1 2;1 2),(1 2;1 2)
Trang 179 x2 y2 xy 5 Đáp số:
ïï
í
ïî
ï
-ïî
11 x3 y 3 2xy 2 Đáp số:
ïï
í
ïî
3 3
xy(x y) 2
ìï - =
ï
ïî
ì = - ì =
ï = - ï =
ïï
í
ïî
2 2
2 2
1
xy 1
x y
ìï
ïïï
í
ïï
ïî
15 x y y x 30 Đáp số:
x x y y 35
ïï
í
ïïî
16 (chú ý điều kiện x, y > 0) Đáp số:
1
x xy y xy 78
ìï
ïï
í
ïïî
2(x y) 3 x y xy
ïï
í
ïïî
6
3
2
2 y x y xy
x
y x
xy
36 ) 1 ( ) 1 (
12
2 2
y y x x
y x y
5 6
x y x y
x x y xy y
2
2
x 1 y(y x) 4y
(x 1)(y x 2) y
18 Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình : Chứng minh
xy yz zx 4
ï
ïî
x, y, z
19 Tìm m để hệ phương trình : x2 xy y2 m 6 có nghiệm thực duy nhất
2x xy 2y m
ï
ïî
Trang 1820 Tỡm m để hệ phương trỡnh :: x2 xy 2y m 1 cú nghiệm thực x > 0, y > 0.
x y xy m
ùù ớ
ùợ
21 Tỡm m để hệ phương trỡnh : x y m cú nghiệm thực
ùù ớ
ùùợ
22 Tỡm m để hệ phương trỡnh : x2 y22 2(1 m) cú đỳng 2 nghiệm thực phừn biệt
(x y) 4
ù
ùợ
23 Cho x, y là nghiệm của hệ phương trỡnh : x2 y 2 2m 2 1 Tỡm m để P = xy nhỏ nhất
-ùù ớ
-ùợ
24 Tỡm m để hệ phương trỡnh : cú nghiệm:
m y
y x x
y x
3 1 1
25.Tỡm m để hệ phương trỡnh : cú nghiệm: x 2 y 3 5
x y m
Bài tập hệ phương trình
Giải các hệ phương trình sau :
2 2
1
6
x xy y
MTCN
x y y x
2 2
4 2 2 4
5
( 98) 13
x y
NT
x x y y
2 2
3 3
30 ( 93) 35
x y y x
BK
x y
3 3
5 5 2 2
1
( 97)
x y
AN
x y x y
2 2
4 4 2 2
7 ( 1 2000) 21
x y xy
SP
x y x y
2 2
11
( 2000) 3( ) 28
x y xy
QG
7 1
78
x y
x xy y xy
2 2 2 2
1
( 99) 1
x y
xy
NT
x y
x y
2 2 2 2
1 1
4 ( 99)
1 1
4
x y
x y
AN
x y
x y
2
( 2)(2 ) 9
( 2001)
x x x y
AN
x x y
( 99)
AN
2
(3 2 )( 1) 12
x x y x
BCVT
2 2
2 2 2
6 ( 1 2000)
y xy x
SP
x y x
2 2 3 3
4
x y
HVQHQT
x y x y
( 2000)
x x y
QG
y y x
2 2
3
3
x x y
MTCN
y y x
1 3 2
( 99)
1 3 2
x
y x QG y
x y
3 3
3 8
( 98)
3 8
QG
2
2
3
2
3
2
x y
x
TL
y x
y
( 1 2000)
NN
2 2 2 2
2 3
2 3
y y x KhốiB x
x y