TOAN CO DAP AN THI THU DH 2012

Hãy xác định toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,.. Câu VIb (1,0 điểm).B[r]

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

MÔN: TOÁN 12 KHỐI A

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số

1

x y x







1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(4;

2)

Câu II (2,0 điểm )

1 Giải phương trình:

2

x

x

2 Giải hệ phương trình:

2 2

( , )

x y











Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân:

3 0

3

x

dx



  



Câu IV (1,0 điểm).

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi Biết SA = x, với 0x 3 và các cạnh còn lại có

độ dài đều bằng 1 Tính thể tích của hình chóp S.ABCD theo x.

Câu IV (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thay đổi luôn thoả mãn: a + b + c = 1.

Chứng minh rằng:

2

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VIa (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(1; 3) nằm ngoài đường tròn (C):

2 2 6 2 6 0

x y  x y  Xác định toạ độ điểm B, C thuộc đường tròn (C) sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng AC.

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x + 2y + 3z + 3 = 0 và hai điểm A(1; 0; 1), B(2; 1; 2) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (Q).

Câu VIIa (1,0 điểm) Cho hệ phương trình

2

3 2

1

0

m













Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thực.

B Theo chương trình Nâng cao

Câu VIb (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm C(2; 5 ) và đường thẳng : 3x 4y 4 0 Tìm

trên  hai điểm A và B đối xứng nhau qua

5 2;

2

I  

  sao cho diện tích tam giác ABC bằng 15.

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 1), B(1; 2; 1), C(1; 2; 3) Hãy xác định toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC,

log log x  1 x log log x  1 x

HẾT

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

Họ và tên thí sinh: SBD:

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM MÔN TOÁN 12 KHỐI A

I

1, TXĐ: R\{1}

+ Sự biến thiên:

Giới hạn và tiệm cận:

       

Hàm số có TCĐ là x = 1, TCN là y = 2

0,25

2

1

y

x

 Hàm số đồng biến trên các khoảng (∞; 1) và (1; +∞)

0,25

BBT

y

0,25

§å thÞ:

0,25

2 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm PT tiếp tuyến là

0 0 2

0 0

1

1

x

x x







Vì tiếp tuyến cách đều hai điểm A, B nên tiếp tuyến đi qua trung điểm I của AB hoặc song

song hoặc trùng với AB.

Nếu tiếp tuyến đi qua trung điểm I(1; 1) của AB thì ta có:

0

2

0 0

1

1

x

x x







Suy ra phương trình tiếp tuyến là:

Nếu tiếp tuyến sông song hoặc trùng với AB thì hệ số góc của tiếp tuyến k = 1

0 2

0 0

0 1

1

2

x x x







Với x0 = 0 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = x + 1

Với x0 = 2 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = x + 5

Vậy có ba phương trình tiếp tuyến:

0,25 0,25

0,5

1 ®K:



PT

2





sin

x



 cosx sinxsin (1 sin 2 )x  x  (cosx sin )(sin cosx x x sin2x1) 0

 (cosx sin )(sin 2x xcos 2x 3) 0

4

4







 cosx sinx0  tanx = 1 x 4 k (k Z)





(tm®k)

0,25 0,25 0,25

0,25

2 Phương trình thứ nhất tương đương với:

2

x y

x y





  



Với x + y = 2 thay vào phương trình thứ 2 ta có:

2 0





Với

1 2

x y 

thay vào PT thứ 2 ta có:

2







Kết luận

0,25 0,25

0,5

III

Đặt u = x 1 u21 x 2udu dx ; đổi cận:







Ta có:

2

1

u



1

2

1

3

3 6ln

2

 

0,25 0,25 0,25

0,25

IV

Ta có SBDDCB c c c( ) SO CO

Tương tự ta có SO = OA

vậy tam giác SCA vuông tại S,

2

1

Mặt khác ta có

2

1

4

ABCD

0,5

O C

B

A D S

H

Gọi H là hỡnh chiếu của S xuống (CAB) Vỡ SB = SD nờn HB = HD  H  CO

1

x SH

SH SC SA   x Vậy V = 16x 3 x2 ( vtt)d

0,25 0,25

V

Ta có: VT =

A B

2

a b b c c a

a b b c c a

1

2

a b b c c a

Từ đó tacó VT

3 1

2

Dấu đẳng thức xảy ra khi

1 3

a b c  

0,25

0,25 0,25

0,25

VIa

1 Đường trũn (C) cú tõm I(3; 1), bỏn kớnh R = 2 Ta cú: AI 2 5; IB IC 2

Trong AIC đường trung tuyến

Đường trũn bỏn kớnh AC là: (x1)2(y 3)232

Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ:

9

;

5

x

y













Cú 2 cặp điểm thoả món là: B(3;1), (5; 1)C  và

B  C  

2 Ta cú: AB (1;1;1)

và mặt phẳng (Q) cú vectơ phỏp tuyến là n 1 (1; 2;3)

Vỡ AB n,    (1; 2;1) 0

nờn mặt phẳng (P) cú vectơ phỏp tuyến là: n  (1; 2;1)



Phương trỡnh mặt phẳng (P) là: x  2y + z  2 = 0

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5

0,25

VIIa

Đk: x  0, y > 0

 

 

2

3 3

3 3

3 2

2

, 2 0

0 0



Hệ cú nghiệm khi (2) cú nghiệm y > 0

Ta cú : f(y) = y2y > 0 ,y > 0

Do đú phương trỡnh f(y) = m cú nghiệm dương khi m > 0

Vậy hệ cú nghiệm khi m > 0

0,25 0,25 0,25

0,25

VIb

1 Gọi

A a   B  a  

Khi đú diện tớch tam giỏc ABC là

1 ( , ) 3 2

ABC

, Theo giả thiết ta cú

2

0 2

a a

a









Vậy hai điểm cần tỡm là A(0;1) và B(4;4),

0,5 0,25 0,5

0,25

2 AB2;2; 2 ,  AC0;2;2  AB AC,  8; 4;4  

là vtpt của (ABC)

Pt (ABC): 2(x1) y z 1 0  2x y z   1 0

Mp trung trực của AB: (P): x + y  z  1= 0 Mp trung trực của AC: (Q): y + z  3 = 0

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là điểm chung của 3 mp(ABC), (P), (Q)

VIIb

Đk: x 0

5

5

5

0 log x  1 x  x0

5

12

5

Vậy BPT có nghiệm

12 0;

5

x   

0,25 0,25 0,25

0,25